CORSO DI LAUREA IN FISICA

 

PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I (NUOVO ORDINAMENTO)

 

Anno Accademico 2002 - 2003

 

M.K. Venkatesha MURTHY

 

 

Richiami dei concetti fondamentali sugli insiemi, applicazioni.

Ordinamento, relazione di equvalenza. Cardinalita'. Elementi di

calcolo combinatorio, richiami delle strutture algebriche.

 

Introduzione dei numeri reali, le propriet\`a fondamentali: estremo

inferiore e estremo superiore, massimi e minimi,. Cardinalita'.

Topologia della retta reale :limiti e continuita'delle funzioni reali.

Compattezza e l'esistenza di massimi e minimi delle funzioni reali.

 

Funzioni reali di una variabile reale:

 

Funzioni limitate ed illimtate, la retta reale estesa, estremo

superiore ed estremo superiore di una funzione a valori reali, massimo

e minimo, funzioni monotone; funzioni trigonometriche e funzioni

inverse; funzioni monotone; funzione esponenziale e funzione

logaritmo.

 

Limiti di funzioni:

 

Definizione del limite di una funzione quando l'aromento x tende ad un

punto di accumulazione del dominio della funzione e loro propriet\'a;

limiti notevoli:

 

Limite al infinito per funzioni definite su intervalli illimitati, e

loro propriet\`a.

 

Caratterizzazione dei limiti mediante le successioni.

 

Limite sinistro e limite destro e la loro relazione rispetto

all'esistenza del limite, limiti di funzioni monotone. Massimo e

minimo limiti di una funzione e l'esistenza dei limiti.

 

Continuit\`a e uniforme continuit\`a

 

Funzioni continue; generalit\`a, esempi; continuit\`a degli funzioni

composte, teorema del permanenza del segno, funzioni continue su

compatti, compatezza dell' immagine, teorema di Weierstrass su massimi

e minimi di funzioni continue su compatti.

 

Punti di discontinuit\`a e la loro classificazione: discontinuit\`a di

tipo eliminabile, di tipo salto e discontinuit\`a della seconda

specie, teorema sull' insieme dei punti di discontinuit\`a delle

funzioni monotone.

 

Uniforme continuit\`a:

 

Teorema di limitatezza, teorema di prolungamento; funzioni

lipschitziane e h\"olderiane; teorema dell'uniforme continuit\`a dell

funzioni continue su compatti.

 

Funzioni continue su intervalli:

 

Immagine di un intervallo per una funzione continua \`e un intervallo,

teorema sugli zeri di funzioni continue e dei valori intermedi;

stretta monotonia delle funzioni iniettive su intervalli;

 

 

Funzioni monotone e funzioni inverse. Le potenze reali e le funzioni

esponenziale e logaritmo e loro propriet\`a, continuit\`a delle

funzioni inverse:

 

\arcsin x, \arccos x, \arctan x, \log x.

 

Successioni reali: Limiti di successioni reali; propriet\`a dei

limiti, teorema dei due carbinieri, teoreme del permanenza del segno;

successioni monotone e loro limiti in relazione con estremo superiore

ed estremo inferiore, il numero `e' come limite notevole della

successione monotona $(1 + {1\over n})^n$; massimo e minimo limite di

una successione reale; criterio di Cauchy per convergenza; sotto

successione di una suceessione e loro propriet\`a, caratterizzazione

di massimo e minimo limite come il massimo ed il minimo dei

sottosuccesioni convergenti; successioni definte per ricorrenza e loro

limiti.

 

Insiemi compatti:

 

Teorema di Bolzano - Weierstrass; insiemi compatti come insiemi chiusi

e limitati.

 

Serie reali:

 

Somma parziale, convergenza, divergenza, serie indeterminati,

condizione necessaria per convergenza; criterio di Cauchy per

convergenza di una serie.

 

Serie a termini positivi:

 

Criterio del confronto per convergenza; serie geometrica; criteri del

rapporto e della radice; criterio di condensazione di Cauchy; teoremi

su reordinamento e ragruppamento dei termini di una serie a termini

positivi; divergenza della serie armonica.

Serie a termini di segno alterno; teorema di Leibniz.

 

Assoluta convergenza di una serie a termini di segno arbitrario:

 

Assoluta convergenza implica convergenza semplice; propriet\`a

rispetto a reordinamento ed a ragruppamento dei termini di una serie

assolutamente convergente; esempi e contro-esempi; serie

condizionatamente convergenti.

 

Numeri complessi:

 

Definizione e rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi,

successioni complessi, radici n-esima dei numeri complessi,

risoluzione di un sistema di equazioni in campo complesso.

 

Calcolo differenziale delle funzioni di una variabile reale:

 

Definizione e primi esempi, propriet\`a di differenziabilit\`a

rispetto l'operazioni algebriche, differenziabilit\`a e continuit\`a,

derivazione delle funzioni composte e della funzione inversa, derivata

e massimi e minimi locali, funzioni definite e differenziabili su

intervalli: teoremi di Rolle, Lagrange (del valor medio) e di Cauchy.

 

Derivate di ordine superiore e formula di Leibniz.

 

Massimi e minimi locali, punti stazionari,

 

Testi consigliati:

 

E.Giusti, Analisi Matematica, Vol I; Esercizi e Complementi di

Analisi Matematica I, Boringhieri

 

N.Fusco, Marcellini e C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori

Editori

 

J. Cecconi e Guido Stampacchia, Analisi Matematica I; Complementi di

problemi e di esercizi di Analisi Matematica I, Liguori Editori

 

G.Prodi, ANALISI MATEMATICA I, Boringhieri

 

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw Hill