Programma del corso di GEOMETRIA I (Fisica)
A.A. 2002 – 2003
I numeri complessi. Spazi vettoriali, sottospazi, somma e somma
diretta di sottospazi. Applicazioni lineari, nucleo e immagine,
isomorfismi. Indipendenza lineare, spazi finitamente generati, basi,
dimensione, formula di Grassmann. Passaggio alle coordinate, matrici
associate alle applicazioni lineari, cambiamenti di base. Rango di
un'applicazione lineare e di una matrice, composizione di applicazioni
lineari e prodotto di matrici. Sistemi lineari, algoritmo di Gauss
(espresso sia via "operazioni elementari sulle righe ", sia in forma
matriciale via le "matrici elementari"); applicazioni al calcolo del
rango di una matrice e al calcolo dell'inversa di una matrice
invertibile).
Teoria del determinante e applicazioni: caratterizzazione assiomatica
del determinante, interpretazione geometrica, formule esplicite
(sviluppi di Laplace), formula di Binet, formula di Cramer, formula
dell'inversa di una matrice invertibile, determinante della
trasposta.
Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Endomorfismi coniugati e
matrici simili. Autovalori e autospazi. Sottospazi invarianti.
Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili e di quelli
triangolabili. Teorema di Hamilton-Cayley. Ideale di un endomorfismo.
Polinomio minimo di un endomorfismo. Decomposizione in somma diretta
di sottospazi invarianti associata ad una decomposizione di un
polinomio nell'ideale in fattori coprimi.
Forme bilineari. Matrici rappresentative di forme bilineari. Forme
isometriche e matrici congruenti. Rango di una forma. Forme non
degeneri. Prodotti scalari e forme quadratiche. Ortogonalita'. Vettori
isotropi. Esistenza di basi ortogonali. Procedimenti di
ortogonalizzazione. Classificazione dei prodotti scalari complessi e
reali a meno di isometrie. Prodotti Hermitiani. Spazi
Euclidei. Gruppo ortogonale reale e gruppo unitario. Teorema
spettrale.