E' in buona parte un corso di Algebra Lineare e si trattano (quasi) esclusivamente spazi vettoriali di dimensione finita.
 

• Nozioni fondamentali sugli spazi vettoriali (su un campo di scalari K arbitrario): spazi vettoriali, sottospazi, applicazioni lineari, somma e somma diretta di spazi, indipendenza lineare, spazi finitamente generati, basi, dimensione, applicazioni lineari, nucleo e immagine, isomorfismi, passaggio alle coordinate, cambiamenti di base, matrici associate alle applicazioni lineari, rango di un'applicazione lineare e di una matrice, composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici, sistemi lineari, algoritmo di Gauss (espresso sia via "operazioni elementari sulle righe ", sia in forma matriciale, via le "matrici elementari"; applicazioni al calcolo del rango di una matrice, alla risoluzione dei sistemi lineari, al calcolo dell'inversa di una matrice invertibile), formula di Grassmann.
• Duale di uno spazio vettoriale, biduale, basi duali, trasposta di un'applicazione lineare e trasposta di una matrice.
• Teoria del determinante e applicazioni (cenni sul gruppo simmetrico, caratterizzazione assiomatica del determinante, interpretazione geometrica, formule esplicite, formula di Binet, formula di Cramer, formula dell'inversa di una matrice invertibile, determinante della trasposta).
• Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Autovalori e autospazi. Sottospazi invarianti. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili e di quelli triangolabili. Teorema di Hamilton-Cayley. Ideale di un endomorfismo. Richiami sull'anello dei polinomi a coefficienti in un campo (teorema di divisione, MCD, fattorizzazione in irriducibili). Polinomio minimo di un endomorfismo. Decomposizione in somma diretta di sottospazi invarianti associata ad una decomposizione di un polinomio nell'ideale in fattori coprimi. Classificazione a meno di coniugio degli endomorfismi di uno spazio vettoriale su un campo algebricamente chiuso (forma canonica di Jordan).
• Complessificazione di endomorfismi reali e loro classificazione e a meno di coniugio.
• Applicazione della teoria degli endomorfismi alla soluzione delle equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti (complessi e reali).
• Cenni sulla teoria del risultante e del discriminante (lo "spazio" dei polinomi, i coefficienti o le radici come "sistemi di parametri").
•  Forme bilineari. Matrici rappresentative di forme bilineari. Forme isometriche e matrici congruenti. Rango di una forma. Forme non degeneri e identificazione indotta tra lo spazio e il suo duale. Forme simmetriche (prodotti scalari) e antisimmetriche. Prodotti scalari e forme quadratiche. Ortogonalita'. Vettori isotropi. Esistenza di basi ortogonali. Procedimenti di ortogonalizzazione. Teorema di Jacobi.  Classificazione dei prodotti scalari complessi e  reali a meno di isometrie.  Prodotti Hermitiani. Generalita' sul gruppo ortogonale di un prodotto scalare non degenere. Teorema di Witt. Il gruppo ortogonale reale e il gruppo unitario.  Endomorfismi autoaggiunti.  Teorema spettrale (reale e "unitario" complesso). Traccia e determinante di una forma bilineare rispetto ad una forma
• Cenni di geometria affine [e classificazione dei polinomi di secondo grado rispetto a sostituzioni lineari ("coniche e quadriche")]