Funzioni di variabile complessa. Funzioni analitiche. Teoremi di Cauchy.
Teorema di Morera. Sviluppo di Taylor-Laurent. Singolarita' isolate. Zeri
di funzioni analitiche e prolungamento analitico. Funzioni a piu' valori.
Tagli. Trasformazioni conformi. Problemi di Dirichlet e di Neumann e
unicita' della soluzione. La funzione di Green e il suo uso per la
soluzione di problemi omogenei e non omogenei. Trasformazioni bilineari.
Trasformazione di Schwarz-Christoffel e alcune sue applicazioni.

Serie di Fourier. Approssimazione in media. Lo spazio L2. Disuguaglianza di
Bessel, uguaglianza di Parseval. Lemma di Riemann-Lebesgue. Convergenza
puntuale, uniforme e in media della serie di Fourier. Proprieta' generali
della serie di Fourier. Separazione delle variabili. Equazione del calore,
principio del massimo e unicita' della soluzione. Equazione della corda
vibrante e unicita' della soluzione. Estensione della validita' delle
soluzioni trovate con la separazione delle variabili. Equazioni non
omogenee. La funzione di Green sotto forma di serie.

Spazi di Hilbert. Proprieta' generali. Spazi separabili. Insiemi completi.
Proiezione su un sottospazio chiuso. Operatori lineari. Funzionali lineari
e teorema di Riesz. Proiettori. Operatori unitari e isometrici. Operatori
Hermitiani. Sottospazi invarianti. Riduzione di un operatore. Operatori non
limitati. Grafo di un operatore. Operatori chiusi. Aggiunto di un operatore
non limitato. Cenni sulla decomposizione spettrale.

Trasformata di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue e integrale di Dirichlet.
Trasformata di Fourier in L2. Relazione di Parseval. Proprieta' della
trasformata di Fourier. Prodotto di convoluzione. Relazione fra proprieta'
di un segnale e proprieta' dello spettro (sampling theorem, larghezza
spettrale e durata temporale). Uso della trasformata di Fourier per la
soluzione di equazioni differenziali. Distribuzioni temperate e di
Schwartz. Derivata di una distribuzione. Trasformata di Fourier di una
distribuzione. Successioni convergenti nel senso delle distribuzioni.
Distribuzioni a supporto puntiforme. Cambiamento di variabile in una
distribuzione. Analisi di sistemi lineari e
indipendenti dal tempo. Sistemi causali. Teorema di Titchmarsh. Relazioni
di dispersione. Formule di Kramers-Kronig. Cenno al criterio di
Paley-Wiener e alle relazioni fra modulo e fase della trasformata di una
funzione di Green causale.

Testi consigliati: le dispense di Cicogna coprono la maggior parte della
materia. Se necessario, indicazioni supplementari saranno date per taluni
argomenti.