Matematica I

semestrale


 

Prof. Patrizia Gianni (a.a. 1999-2000)



Algebra e aritmetica: Numeri naturali, interi e razionali. Principio di induzione. Disposizioni, permutazioni e coefficiente binomiale. Cenni di teo-ria degli insiemi, intersezione, unione e complementare. Quantificatori logici, dimostrazioni per assurdo. Definizioni di gruppo, anello e campo. L'anello degli interi, la divisione in Z, massimo comun divisore. L'algoritmo euclideo, equazioni diofantee. Numeri primi, criteri di divisibilita'. Assiomi dei nu-meri reali: assiomi di campo, dell'ordinamento e di completezza. L'anello dei polinomi, massimo comun divisore, irriducibilta' e fattorizzazione, radici e teorema di Ruffini. Teorema fondamentale dell'algebra. Numeri complessi. Forma cartesiana e trigonometrica, radici di numeri complessi; formula di De Moivre.

Funzioni di variabile reale: Il concetto di funzione, grafico. Funzioni lineari, crescenti, decrescenti, iniettive e surgettive. Funzioni monotone. Composizione di funzioni. Funzione inversa. Funzione potenza, esponenziale e logaritmo. Funzioni trigonometriche.

Sistemi lineari, matrici e determinanti: Matrici, operazioni con le matrici, determinanti. Matrice inversa, caratteristica di una matrice. Sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss. Autovalori e autovettori.

Cenni di geometria nel piano e nello spazio: Lo spazio vettoriale R2, prodotto scalare ortogonalita' fra vettori. Equazioni della retta,rette paral-lele, perpendicolari, semipiani. Valore assoluto, distanza, disequazioni. Luoghi geometrici, coniche (in forma canonica) Lo spazio euclideo Rn. Elementi di geometria analitica nello spazio.

Limiti di funzioni e funzioni continue

Derivate e applicazioni: Velocita' media, velocita' istantanea: il con-cetto di derivata. Interpretazione geometrica della derivata Crescenza, de-crescenza, concavita' e convessita', Massimi e minimi. Derivate di somme,differenze, prodotti e quozienti. Derivate di funzioni elementari, funzioni composte e inverse. Derivate successive.

Teoremi sulle funzioni continue: Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di Weierstrass (senza dimostrazione), teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema di Lagrange Criteri di convessita'

Studio di funzione

Determinazione degli zeri di una funzione: metodo di bisezione, metodo di Newton Approssimazione polinomiale: polinomio di Taylor Infinitesimi, principio di sostituzione degli infinitesimi

Integrali definiti: L'integrale definito Proprieta' dell'integrale definito I1 teorema della media

Integrali Indefiniti: La funzione integrale, il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti, cambiamento di variabili. Calcolo di volumi, lungezza di archi di curva. Integrali impropri, criteri di confronto.

Equazioni differenziali: Equazioni differenziali del primo ordine: lineari, di Bernoulli, a variabili separabili.

Complementi Successioni di numeri reali, sottosuccessioni. Limiti di successioni. Operazioni sulle successioni. Serie numeriche. Criteri di convergenza. Confronto fra serie e integrali.

Introduzione ad un linguaggio per la manipolazione simbolica (MapleV) Per alcune delle esercitazioni ci si avvarra' di un sistema di manipolazione simbolica (MapleV), che sara' presentato all'inizio del corso.