ANALISI MATEMATICA I

Anno Accademico 2000 - 2001

(Prof. M.K. Venkatesha MURTHY)

Richiami dei concetti fondamentali sugli insiemi, applicazioni. Ordinamento, relazione di equivalenza. Cardinalità. Elementi di calcolo combinatorio, richiami delle strutture algebriche.

Introduzione dei numeri reali, le proprietà fondamentali: estremo inferiore e estremo superiore, massimi e minimi,. Cardinalità . Topologia della retta reale: limiti e continuità delle funzioni reali. Compattezza e l'esistenza di massimi e minimi delle funzioni reali.

Successioni reali: Limiti di successioni reali; proprietà dei limiti, teorema dei due carabinieri, teorema della permanenza del segno; successioni monotone e loro limiti in relazione con estremo superiore ed estremo inferiore, il numero "e" come limite notevole di una successione monotona ; massimo e minimo limite di una successione reale; criterio di Cauchy per convergenza; sotto successione di una successione e loro proprietà, caratterizzazione di massimo e minimo limite come il massimo ed il minimo delle sottosuccessioni convergenti; successioni definite per ricorrenza e loro limiti.

Insiemi compatti:

Teorema di Bolzano - Weierstrass; insiemi compatti come insiemi chiusi e limitati.

Serie reali:

Somma parziale, convergenza, divergenza, serie indeterminate, condizione necessaria per convergenza; criterio di Cauchy per convergenza di una serie.

Serie a termini positivi:

Criterio del confronto per convergenza; serie geometrica; criteri del rapporto e della radice; criterio di condensazione di Cauchy; teoremi su riordinamento e raggruppamento dei termini di una serie a termini positivi; divergenza della serie armonica. Serie a termini di segno alterno; teorema di Leibniz.

Assoluta convergenza di una serie a termini di segno arbitrario:

Assoluta convergenza implica convergenza semplice; proprietà rispetto a riordinamento ed a raggruppamento dei termini di una serie assolutamente convergente; esempi e contro-esempi; serie condizionatamente convergenti.

Numeri complessi:

Definizione e rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, successioni complesse, radici n-esima dei numeri complessi, risoluzione di un sistema di equazioni in campo complesso.

Funzioni reali di una variabile reale:

Funzioni limitate ed illimitate, la retta reale estesa, estremo superiore ed estremo superiore di una funzione a valori reali, massimo e minimo, funzioni monotone; funzioni trigonometriche e funzioni inverse; funzioni monotone; funzione esponenziale e funzione logaritmo.

Limiti di funzioni:

Definizione del limite di una funzione quando l'argomento x tende ad un punto di accumulazione del dominio della funzione e loro proprietà;

Limiti notevoli:

Limite all' infinito per funzioni definite su intervalli illimitati, e loro proprietà.

Caratterizzazione dei limiti mediante le successioni. Limite sinistro e limite destro e la loro relazione rispetto all'esistenza del limite, limiti di funzioni monotone. Massimo e minimo limiti di una funzione e l'esistenza dei limiti.

Continuità e uniforme continuità

Funzioni continue; generalità, esempi; continuità delle funzioni composte, teorema della permanenza del segno, funzioni continue su compatti, compattezza della immagine, teorema di Weierstrass su massimi e minimi di funzioni continue su compatti.

Punti di discontinuità e la loro classificazione: discontinuità di tipo eliminabile, di tipo salto e discontinuità della seconda specie, teorema sull' insieme dei punti di discontinuità delle funzioni monotone.

Uniforme continuità:

Teorema di limitatezza, teorema di prolungamento; funzioni lipschitziane e holderiane; teorema dell'uniforme continuità delle funzioni continue su compatti.

Funzioni continue su intervalli:

Immagine di un intervallo per una funzione continua è un intervallo, teorema sugli zeri di funzioni continue e dei valori intermedi; stretta monotonia delle funzioni iniettive su intervalli; continuità delle funzioni inverse:

arcsin x, arccos x, arctan x, log x, potenze di x.

Confronto di infinitesimi e di infiniti, ordine di un infinitesimo e di un infinito; "O - grande" ed "o - piccolo", principio di sostituzione degli infinitesimi e di infiniti.

Funzioni monotone e funzioni inverse. Le potenze e la funzione esponenziale.

Funzioni inverse e continuità, le funzioni logaritmo, arcosen, arco cosen, arcotan.

Calcolo differenziale delle funzioni di una variabile reale:

Definizione e primi esempi, proprietà di differenziabilità rispetto le operazioni algebriche, differenziabilità e continuità,

derivazione delle funzioni composte e della funzione inversa, derivata e massimi e minimi locali, funzioni definite e differenziabili su intervalli: teoremi di Rolle, Lagrange (del valor medio) e di Cauchy.

Calcolo dei limiti di tipo indeterminato e teoremi dell' Hopital, infinitesimi e infiniti.

Derivate di ordine superiore e formula di Leibniz, teorema di Taylor con resto di Peano e con resto di Lagrange, massimi e minimi locali, punti stazionari, applicazione della formula di Taylor per la ricerca di massimi e minimi locali ed alla approssimazione numerica di funzioni e calcolo dei errori, le funzioni convesse e concave e la seconda derivata, punto di flesso.

Applicazione del calcolo differenziale allo studio di funzioni e tracciare le grafiche. Calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali, applicazioni allo studio delle curve piane e curve spaziali.

Teoria dell'integrazione secondo Riemann:

Funzioni limitate su intervalli chiusi e limitati, somma superiore e somma inferiore rispetto ad una partizione, integrabilità, funzioni semplici, criterio di integrabilità, proprietà algebriche delle funzioni integrabili, integrabilità delle funzioni continue, somma di Cauchy, integrabilità per funzioni generalmente continue e monotone.

Formula delle integrazioni per parti e teorema della sostituzione, media integrale.

Teorema fondamentale del calcolo integrale, primitiva di una funzione continua, integrale definita e metodi di integrazione per alcune funzioni razionali e per alcune classi di funzioni irrazionali.

Integrali in senso generalizzato:

Integrali impropri per funzioni su intervalli aperti e su intervalli illimitati, criteri per convergenza, assoluta integrabilità ed esempi e controesempi di funzioni integrabili ma non integrabili assolutamente.

Integrali dipendenti su parametri:

Passaggio al limite rispetto un parametro reale sotto segno dell'integrale, continuità e derivabilità rispetto un parametro e applicazioni.

Metodo della integrazione numerica per integrali definiti:

Metodi dei rettangoli, dei trapezi, della tangente e di Simpson - Cavalieri

Equazioni differenziale ordinarie:

Equazioni differenziali del primo ordine, integrale di equazioni differenziali lineari del primo ordine e il metodo del fattore integrante, equazioni differenziali non lineari del primo ordine del tipo Bernoulli, equazioni non lineari del tipo variabili separabili.

Equazioni differenziali lineari di ordine arbitraria, soluzioni linearmente indipendenti, Wronskiano e principio di sovrapposizione, metodo della riduzione dell'ordine della equazione.

Equazioni differenziali lineari di ordine n, e metodi di risoluzione delle equazioni omogenee a coefficienti costanti, gli zeri della equazione caratteristica e la struttura delle soluzioni, equazioni con un secondo membro e determinazione della soluzione particolare con metodo delle variazione dei costanti arbitrari, equazioni con secondo membro di tipi particolari.

Testi consigliati:

E.Giusti, Analisi Matematica, Vol I

Esercizi e Complementi di Analisi Matematica I, Boringhieri

N.Fusco, Marcellini e C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editori

J. Cecconi e Guido Stampacchia, Analisi Matematica I

Complementi di problemi e di esercizi di Analisi Matematica I, Liguori Editori

G.Prodi, ANALISI MATEMATICA I, Boringhieri

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw Hill