Richiami di nozioni fondamentali per spazi metrici: Intorni, aperti e chiusi, applicazioni continue fra spazi metrici, convergenza delle successioni, successioni di Cauchy e spazi metrici completi.

FUNZIONI DI PIU' VARIABILI

Spazi metrici e spazi normati - Spazi metrici, successioni, convergenza e completezza; spazi normati, spazi di Banach e di Hilbert. Richiami di topologia in spazio Euclideo n-dimensionale, limiti e continuità, insiemi connessi, insiemi compatti funzioni continue su insiemi aperti e connessi, funzioni continue su compatti, Teorema di Ascoli - Arzela.

Calcolo differenziale - Derivate parziali e derivata direzionale, funzioni differenziabili e loro proprietà, gradiente; teorema di differenziale totale; derivate successive ed il teorema di Schwarz; formula di Taylor; forme quadratiche definite, semidefinite e indefinite; punti stazionari, massimi e minimi relativi e assoluti, e punti di sella; condizioni necessarie e condizioni sufficiente per un massimo o minimo relativo o di sella.

Funzioni definite implicitamente, il teorema del Dini nel piano e in spazio tre dimensionale; funzioni a valori vettoriali, Jacobiano ed il teorema delle funzioni implicite; funzioni localmente invertibili e diffeomorfismi fra aperti.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Generalità sulle equazioni differenziali; integrale generale; il problema di Cauchy, funzioni lipschitziane e teorema di contrazione; teorema di Cauchy - Lipschitz sull'esistenza e l'unicità della soluzione locale; teorema di Peano per l'esistenza locale; prolungabilità delle soluzioni e soluzioni globali; studio qualitativo delle soluzioni; risoluzione esplicita di alcuni equazioni del primo ordine; equazioni a variabili separabili, cenni sullo studio di sistemi lineari.

Equazioni differenziali lineari - Sistemi fondamentali di soluzioni e Wronskiano; equazioni omogenee a coefficienti costanti, polinomio caratteristico e costruzione di un sistema fondamentale; equazioni particolari delle equazioni non omogenee e metodo della variazione delle costanti arbitrarie; equazioni con termini noti di tipo particolare; equazione di Eulero.

Estensione al problema di Cauchy per sistemi del primo ordine; riduzione di un equazione scalare di ordine m ad un sistema equivalente di m equazioni del primo ordine; problema di Cauchy per un equazione del ordine m esistenza e l'unicità;

Studio di sistemi di equazioni lineare del primo ordine a coefficienti continue, sistema fondamentale di base allo spazio

delle soluzioni del sistema omogeneo

CURVE E SUPERFICI

Curve semplici, curve chiuse e curve regolari, orientazione d'una curva; lunghezza di una curva, integrale curvilineo

di una funzione; campi vettoriali; forme differenziali lineari.

Superfici regolari in spazio euclideo tre dimensionale, piano tangente e versore normale; superfici equivalenti; superfici orientate.

Massimi e minimi vincolati per funzioni di più variabili, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

FUNZIONI PERIODICHE E SERIE DI FOURIER

Polinomi e serie trigonometriche, Coefficienti di Fourier e la serie di Fourier di una funzione periodica o della estensione periodica di una funzione definita su un intervallo limitato, disuguaglianza di Bessel e sue conseguenze; teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier generalmente continua e regolare a tratti; teorema sulla convergenza uniforme della serie di Fourier di una funzione continua e regolare a tratti, teorema sull' integrazione di una serie di Fourier; questioni di completezza.

Teorema di Weierstrass di approssimazione uniforme delle funzioni continue con polinomi su compatti della retta reale (senza dimostrazione).

Basi orto - normali in uno spazio di Hilbert; metodo di Gramm - Schmidt per orto - normalizzazione; eguaglianza dell'energia.

MISURA DI LEBESGUE

Plurirettangoli in spazio euclideo, misura di aperti e compatti; misurabilità degli insiemi limitati e misura di

Lebesgue; proprietà della misura di Lebesgue - additività e subadditività finita; insiemi misurabili illimitati secondo Lebesgue e loro proprietà; insiemi di misura nulla e proprietà quasi ovunque.

TEORIA DELL'INTEGRALE DI LEBESGUE

Integrale secondo Lebesgue per funzioni limitate e nulle fuori di un compatto; funzioni semplici; funzioni integrabili e criterio per l'integrabilità secondo Lebesgue; integrabilità di funzioni continue e generalmente continue e limitate.

Funzioni misurabili e limitate, proprietà della famiglia di funzioni misurabili rispetto le operazioni algebriche, rispetto le operazioni di inf. e sup. di una successione, rispetto a passaggio al limite; integrale di Lebesgue di una funzione positiva come misura del sottografico positivo; integrale di Lebesgue per funzioni definite su insieme limitato e misurabile.

Teoremi sul passaggio al limite per integrale di Lebesgue: teoremi di Beppo Levi, Fatou e di Lebesgue sulla convergenza dominata (senza dimostrazioni).

Funzioni definite su un insieme misurabile ma non limitate in un sotto insieme di misura nulla; integrabilità di funzioni definite su insiemi non limitati.

Misura di Lebesgue sul prodotto di due insiemi misurabili, teorema di Fubini; misurabilità di insiemi normali. Forma differenziale di volume orientato, cambiamento di variabili negli integrali multipli ed applicazioni, forme differenziali di area orientata, formula di Cauchy - Binet e formula di Gram, area di superficie e integrale di superficie (solo enunciati).

CENNO SU CALCOLO DELLE VARIAZIONI E APPLICAZIONI PER PROBLEMI DI FISICA

Funzionali in spazi funzionali definite da integrali in una dimensione e estremi di un funzionale, equazioni di Eulero - Lagrange, funzionali di energia totale e integrale di azione, principio di Hamilton di energia minima, geodetiche rispetto una metrica Riemanniana.

Funzionali definite da integrali su superfici e su varietà di dimensione arbitraria, equazione Eulero - Lagrange per minimo di un funzionale. Funzionali convessi, coercività, semi - continuità di funzionali, risultato di esistenza dei minimi.

Esempi di alcuni funzionali di interesse ai problemi di fisica.

BIBLIOGRAFIA

V.I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti

E.Giusti, Analisi Matematica Vol II, Boringhieri

E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Boringhieri

Appunti del corso e dell' esrcitazioni

J. Cecconi e G. Stampacchia, Analisi Matematica II, Liguori Ed.

J. Cecconi, L. Piccinini e G. Stampacchia,

R. Courant and F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Vols. I , II John Wiley and Co.

W. Fleming, Functions of several variables

M. Giaquinta e G. Modica, Analisi Matematica, Voll 1 e 2, Pitagora Ed

P. Marcellini, Analisi Matematica Due, Liguori Editori

L.D. Landau e L. M. Lifschitz, Mechanics

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw Hill