Problemi di evoluzione temporale; equazione di
d'Alembert e del calore. Spazi di Hilbert; gli spazi delle funzioni C0,
L1, L2 e delle successioni l2; basi ortonormali,
proprietà dei set completi. Serie di Fourier, sue proprietà e
applicazioni.
Operatori lineari in dimensione infinita: esempi. Il
problema agli autovettori in dimensione finita e infinita: esempi.
Serie di potenze, esponenziale ed altri esempi di
funzioni in campo complesso. Serie di Fourier e serie di Taylor-Laurent;
funzioni armoniche, problemi di potenziale piano, problema di Dirichlet.
L'analisi in frequenza: dalla serie all'integrale di
Fourier. Il “principio di
indeterminazione”. La trasformata di Fourier in L1 ed L2;
inversione della trasformata (senza dimostrazioni). Calcolo diretto di
trasformate e antitrasformate di Fourier (in L2 e L1).
Applicazioni allo studio di equazioni differenziali, circuiti, equazioni di
d'Alembert, del calore, di Laplace. La delta di Dirac; funzioni di Green,
prodotto di convoluzione con esempi (in L2 e L1) e
applicazioni fisiche.
Operatori lineari su spazi di Hilbert; operatori
continui, operatori chiusi. Funzionali e Teorema di Riesz. Operatore aggiunto e
operatori simmetrici. Proiettori e sottospazi. Trasformazioni unitarie.
Autovalori e autovettori, problemi e applicazioni. Operatori di moltiplicazione
e spettro continuo. Problema di Sturm-Liouville.
Introduzione alla teoria dei gruppi e alle
proprietà di simmetria. Definizione e principali proprietà delle
rappresentazioni di un gruppo. Lemma di Schur e sue prime conseguenze. Gruppi e
algebre di Lie (definizioni fondamentali); gruppo delle rotazioni.
Funzioni di una variabile complessa: olomorfia,
sviluppabilità in serie, proprietà degli zeri. Singolarità
isolate, punti di diramazione e tagli. Teorema di Liouville, teorema
fondamentale dell'algebra. Calcolo dei residui; lemma di Jordan; calcolo
di integrali mediante integrazione
nel piano complesso. Funzioni armoniche; esempi di trasformazioni conformi.
Trasformata di Fourier in L1, L2,
S e sue
proprietà generali. Prodotto di convoluzione. Inversione della
trasformata. Teoria delle distribuzioni: funzioni test e distribuzioni
temperate. Derivata e trasformata di Fourier di distribuzioni. Distribuzioni
collegate alla delta di Dirac e loro proprietà. Funzioni di Green e loro
applicazioni ed esempi.
Trasformata di Laplace e sue proprietà.
Semipiano di convergenza; inversione della trasformata. Uso delle trasformate
di Fourier e di Laplace nell'analisi di sistemi lineari, nello studio e nella
soluzione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.
Il corso di Metodi Matematici si articola in due moduli, il primo dei
quali e' propedeutico al secondo. Ciascuno studente puo' scegliere di sostenere
un unico esame alla fine del secondo modulo sull'intero programma, oppure di
sostenere due esami separati alla fine di ciascun modulo.
Nel corso del primo modulo si svolgerà un compitino; il
superamento di una delle successive 5 prove scritte d'esame del primo modulo
verrà riconosciuto valido, agli studenti che intendono sostenere un
unico esame finale, come secondo compitino.
Nel corso del secondo modulo si svolgerà un compitino sugli
argomenti svolti nella prima parte del secondo modulo; lo studente che lo avra'
superato potra' sostenere, in una delle successive 5 prove scritte d'esame, una
prova abbreviata rispondendo alle sole domande relative seconda parte del
secondo modulo.
Sulla base delle prove scritte, la commissione puo' esonerare dalla prova orale, sia nel caso di esami distinti che nel caso di unico esame finale. Lo studente puo' comunque chiedere di sostenere un orale.