Soluzione dello scritto del 28 maggio 2004

La lista delle soluzioni numeriche corrette del testo che compare in rete (problema n. 4) è la seguente

B D B A B A S B D A C A D E

Problema 1

Dati: altezza iniziale h ; velocità aereo (che è la velocità iniziale, in direzione orizzontale, del corpo che cade)  v0 ; altezza finale h1.

1.  Si scompone il moto lungo la direzione verticale ed orizzontale. In direzione verticale, il corpo cade con accelerazione g , partendo dall’altezza h  con velocità nulla. Il tempo t impiegato per arrivare all’altezza h1 (e cioè per compiere un percorso h – h1) si ha risolvendo l’equazione:

h – h1 = 1/2 gt2 e cioè . In direzione orizzontale la velocità è costante e quindi la distanza percorsa in tale direzione è PQ =

2.  La velocità del corpo all’altezza h1 ha una componente verticale gt e una orizzontale v0. Il modulo della velocità è dunque  .

Problema 2

Dati: massa della sonda m; periodo di rivoluzione T

1. La forza d’attrazione gravitazionale è responsabile dell’accelerazione centripeta della sonda in orbita circolare. Quindi . Essendo v =2πR/T, si ha  . Attenzione alle unità di misura! Nella formula va inserito il valore di T in secondi (cioè il dato inore va moltiplicato per 3600) ed il risultato che si ottiene è in metri.

2.  Quando la sonda è in orbita la sua energia potenziale è  –GMm/R e la sua energia cinetica è 1/2 mv2 =1/2 m(2πR/T)2. L’energia totale è negativa. Per far lasciare alla sonda il campo gravitazionale di Giove, si dovrà aggiungere energia cinetica tale da rendere positiva l’energia totale e quindi E = GMm/R – 1/2 m(2πR/T)2.

Problema 3

Dati: Correnti  I1 e I2, distanza d

1.  Il campo generato in un punto P da un filo rettilineo percorso da una corrente I è pari a , essendo R la distanza misurata lungo la perpendicolare di P dal filo,  ed è diretto perpendico­lar­mente al piano identificato dal filo e dalla congiungente di P al filo.  Il campo in A è la somma vettoriale dei campi generati in A dai due fili.  Il primo genera in A (che si trova ad una distanza da entrambi i fili pari a d sin30°= d /2 ) un campo  ortogonalmente al piano; il secondo un campo  ancora ortogonale al piano, ma in direzione opposta. Il campo totale è quindi .

2.  Nel punto B la distanza dai due fili è d cos30°= d √3 /2. I campi generati dai due fili agiscono questa volta nella stessa direzione. Quindi .

3. La direzione del campo magnetico in A è perpendicolare al piano.

Problema 4

 

1.  La resistenza equivalente del circuito elettrico vista dal generatore è pari a 2R. Ad essa va aggiunta la resistenza interna del generatore, per una resistenza totale di 21/10 R. La corrente fornita dal generatore  e , 

2. Il ramo dove si trovano i punti C e D è la serie di tre resistenze, il cui valore totale è 4R. Poiché tra C e D la resistenza è 2R, la differenza di potenziale tra C e D  sarà la metà di quella tra A e B e cioè 10/21 e. 

3. I due condensatori sono posti in serie tra loro. La differenza di potenziale tra C e D si ripartisce sui due condensatori proporzionatamente alle loro capacità. Quindi ai capi di C1  .

4. P=eI

Problema 5

Dati: distanza tra le piastre del condensatore d.

1.  All’interno del condensatore piano c’è un campo elettrico uniforme, diretto perpendicolarmente alle armature, il cui modulo vale E=∆V/d. La forza elettrica è quindi =q∆V/d.

2. Perché il corpo sia in equilibrio, occorre che la componente lungo la guida della froza peso bilanci esattamente la componente in tale direzione della forza elettrica, Cioè:

 mg cos30°= (∆V/d) sin30° , da cui   .

3. Con il valore iniziale di ∆V lungo tutto il binario la forza peso bilancia esattamente la forza elettrostatica; ciò significa che per qualunque spostamento lungo il binario il lavoro è nullo e che le varizioni di energia potenziale elettrostatica sono esattamente compensate da variazioni uguali e contrarie dell’energia potenziale gravitazionale. Variando il valore della differenza di potenziale tra le armature, che diventa quindi 2∆V , ciò non è più vero; il valore dell’energia potenziale elettrostatica nel punto a metà strada tra le due armature è ora q∆V, cioè è aumentato rispetto al caso precedente di q∆V/2, mentre nel punto finale (contro l’armatura carica negativa) rimane nullo. L’energia potenziale gravitazionale ovviamente non cambia. Il corpo arriva quindi contro l’armatura carica negativa con un’energia cinetica 1/2 mv2 = q∆V/2,. Quindi .