Esercizi  #5

1.

L'accelerazione centripeta v^2/Rè dovuta alla forza d'attrazione gravitazionale. Essendo v = (2π R)/T  (T = 8,80 × 3600 s è il periodo dell'orbita), si ha:

RowBox[{(G M_Giove)/R^2 = 1/R ((2π R)/T)^2, ;, , RowBox[{R, =, RowBox[{(G M_Giove T^2)/(2π)^2^(1/3), =, RowBox[{RowBox[{1.477, , ×, , 10^8 , m}], =, 147 700 km }]}]}]}]

All'infinito l'energia potenziale è nulla. L'energia totale della sonda in orbita è:

RowBox[{v = (2π R)/T, ;, RowBox[{1/2m v^2 - (G m M_Giove)/R, =, RowBox[{RowBox[{-, 5.148}], , 10^11, J}]}]}]

Per uscire dalla campo gravitazionale di Giove occorre quindi fornire almeno RowBox[{5.148, , 10^11, J}].

3.

Per esseere in equilibrio la risultante delle forze applicate al corpo deve essere nulla. Le forze sono: la forza elettrica Overscript[F_e, ] = qOverscript[E, ], dove | Overscript[E, ] | = ΔV/d è  diretto orizzontalmente; la forza peso mg, dirtaa verticalmente e la forza elastica kl essendo l la lunghezza all'equilibrio della molla. Indicando con x l'asse orizzontale e y l'asse verticale, la condizione d'equilibrio dà:

qΔV/d = k l_x ; mg = k l_y ;

RowBox[{RowBox[{m, =, RowBox[{6.3, , 10^(-3)}]}], ;, q = 130 10^(-9), ;, RowBox[{k, =, 0.2}], ;, ΔV = 180 10^3, ;, d = .55, ;, RowBox[{g, =, 9.81}], ;}]

l_x = q/kΔV/d ; l_y = (m g)/k

RowBox[{α, =, RowBox[{ArcTan[l_x/l_y], =, RowBox[{34.54, °}]}]}]

RowBox[{l, =, RowBox[{(l_x^2 + l_y^2)^(1/2), =, RowBox[{0.375, , m}]}]}]

5.

Nel moto si conserva l'energia. Inizialmente l'energia cinetica è  1/2m v_0^2. La direzione di moto dello ione è radiale ed esso si avvicinerà fino alla distanza d_m  in cui la sua energia cinetica si annulla.  Se d è la distanza iniziale e d_mè òa distanza di massimo avvicinamento. il lavoro fatto dalla forza elettrica sulla carica q èpari a  qΔV = k q  Q (1/d_m - 1/d). Quindi:

RowBox[{RowBox[{m, =, RowBox[{6.66, , 10^(-26)}]}], ;, RowBox[{q, =, RowBox[{1.602, , 10^(-1 ... sp;         d_m, , RowBox[{0.356, , m}]}]}]

Created by Mathematica  (May 9, 2006)