Modi normali: evoluzione temporale

Evoluzione temporale del sistema

In questa sezione è possibile verificare le caratteristiche della evoluzione temporale del sistema considerato, usando le equazioni presentate precedentemente.

Nella finestra a sinistra è possibile inserire i parametri del sistema, in particolare

le costanti elastiche delle tre molle: partendo dall'alto verso il basso queste si riferiscono alle molle da sinistra verso destra.
le due masse: \(m_1\) è la massa a sinistra e \(m_2\) quella a destra.
le posizioni iniziali: \(x_1(0)\) è lo spostamento iniziale rispetto alla posizione di equilibrio della massa a sinistra, \(x_2(0)\) lo spostamento iniziale rispetto alla posizione di equilibrio della massa a destra.
le velocità iniziali: \(v_1(0)\) è la velocità iniziale della massa a sinistra, \(v_2(0)\) la velocità iniziale della massa a destra.

Nel box in alto a sinistra è possibile attivare o disattivare l'animazione della evoluzione del sistema, che ogni volta inizia con i parametri e le condizioni iniziali specificate.

Inoltre è possibile abilitare o disabilitare la visualizzazione delle forze applicate alle due masse.

Infine, utilizzando il box in basso a sinistra è possibile visualizzare l'evoluzione complessiva del sistema (selezionando "Completo") oppure proiettare sul contributo del primo o del secondo modo normale. In ciascun caso l'evoluzione è visualizzata nella finestra in alto.

Invece nella finestra a fianco vengono visualizzati schematicamente i modi normali. Gli assi di colore nero corrispondono agli spostamenti \(x_1\) e \(x_2\) delle due masse dalle posizioni di equilibrio. Invece gli assi verdi e rossi rappresentano le direzioni dei due modi normali, e come tali dipendono dalla scelta dei parametri. In particolare è possibile che non risultino ortogonali tra di loro, dato che come detto in precedenza l'ortogonalità è rispetto al prodotto scalare definito dalla matrice \(\boldsymbol{M}\).

Provate a sperimentare variando i parametri del sistema, cercando di ottenere modi normali non ortogonali (secondo il prodotto scalare canonico) tra di loro.

Durante l'evoluzione anche il diagramma dei modi è animato: quello che si deve notare è che ciascun modo oscilla ad una data frequenza (i vettori verdi e rossi), e la configurazione del sistema è data dal vettore nero, che proiettato sugli assi \(x_1\) e \(x_2\) da ad ogni istante lo spostamento delle due masse.

Infine nei due grafici che seguono viene rappresentata l'evoluzione della posizione delle due masse. Anche in questo caso la posizione è riportata in nero, mentre le linee rosse e verdi corrispondono ai contributi di ciscun modo.

Sperimentate liberamente per familiarizzare. Seguono alcuni suggerimenti per possibili "esperimenti".

Simmetrie I

Scegliete due valori delle masse uguali (per esempio \( m_1=m_2=1 \) ) e scegliete \(k_1=k=k_2\). In questo caso il sistema rimane uguale a se stesso se viene riflesso attorno al suo punto medio. Verificate che i modi normali hanno una parità ben definita rispetto a questa operazione: uno dei due \(\underline{Q}_i\) resta uguale a se stesso, l'altro cambia segno.

Simmetrie II

Con la scelta precedente dei parametri, determinare condizioni al contorno per le quali solo il modo normale simmetrico abbia ampiezza diversa da zero. Fare lo stesso cercando di "attivare" solo il modo antisimmetrico.

Simmetrie III

Si possono avere modi normali con parità ben definita con una scelta delle costanti elastiche diversa da \(k_1=k=k_2\)? Verificate.

Simmetrie IV

Scegliendo i parametri in modo da avere modi normali di parità ben definita, è possibile predire con un semplice argomento le frequenze angolare \(\omega_i\)? Provate e verificate (le frequenze angolari) appaiono nella finestra del diagramma dei modi).

Oscillatori quasi disaccoppiati

Ponendo \(k=0\) si ottengono due oscillatori armonici indipendenti. Scegliete come condizioni iniziali \(x_1(0)=50\) e \(x_2(0)=0\) (velocità iniziali nulle), e osservate l'evoluzione temporale e la struttura dei modi normali. Se adesso prendiamo \(k_1=k_2\) e \(k\ll k_{1,2}\) possiamo considerare il sistema come composto da due oscillatori identici accoppiati debolmente tra di loro. Utilizzando le stesse condizioni iniziali precedenti osservate l'evoluzione temporale e la struttura dei modi. Cosa succede per condizioni iniziali differenti e/o per \(k_1\neq k_2\)?

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