ANALISI MATEMATICA I

Premesse su operazioni fra insiemi e applicazioni fra insiemi. Numeri reali - Proprieta'. Estremo superiore e inferiore, i numeri interi e il principio di induzione, i numeri razionali e loro numerabilita'. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Non numerabilita' dei numeri reali. Il binomio di Newton ed altre note relazioni. Insiemi definiti.
Numeri complessi - Definizioni. Forma algebrica dei numeri complessi. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Radici n-sime dei numeri complessi
Continuita' delle funzioni reali di variabile reale - Consueti teoremi sui limiti e sulle funzioni continue, funzioni monotone e invertibilita', infinitesimi. Derivate di una funzione reale di una variabile reale - Definizione di derivata. Significato geometrico e significato meccanico della derivata. Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari. Le derivate successive di una funzione.
Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: prime applicazioni - Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Prime conseguenze del teorema di Lagrange. Teoremi di L'Hôpital. La formula di Taylor.. Punti di crescenza, di decrescenza, di massimo e minimo relativo per funzione. Convessita' di una funzione in un punto.
Le serie numeriche - Criterio generale di convergenza: considerazioni di carattere generale. Serie e termini positivi. Criterio del confronto. Criteri della radice e del rapporto. Serie convergenti assolutamente. Criteri di convergenza incondizionata. Operazioni sulle serie: prodotto secondo Cauchy.
Teoria dell'integrazione per le funzioni continue di una variabile - Notazioni. Integrale di una funzione continua. Proprieta' degli integrali. Integrali definiti. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti. Regole di integrazioni definite. Integrali impropri: criteri di integrabilita'.
Integrazione delle funzioni elementari - Integrali indefiniti immediati. Metodo di integrazione per decomposizione di somma. Metodo di integrazioni per parti. Metodo di integrazione per sostituzione. Integrazioni delle funzioni razionali. Calcolo degli integrali definiti.
Successioni e serie di funzioni - Successioni di funzioni, convergenza uniforme in un intervallo. Serie di funzioni. Convergenza totale in un intervallo. Serie di Taylor. Serie di potenze. Raggio di convergenza di una serie di potenze. Sviluppi in serie di potenze delle funzioni elementari.
Primi cenni sulle equazioni differenziali lineari - Equazioni differenziali lineari del primo ordine: formula risolutiva. Equazioni differenziali lineari di ordine n: Teorema di Cauchy
Relazione con l'equazione omogenea associata. Spazio delle soluzioni della equazione omogenea e soluzioni linearmente indipendenti. Equazioni a coefficienti costanti: soluzioni mediante le radici del polimero caratteristico. Oscillazioni in un fluido e oscillazioni forzate. Caduta dei gravi in un mezzo resistente. Altri esempi fisici. Equazioni a variabili separabili: qualche esempio.

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Dispensa sui numeri interi.
Dispensa sulle funzioni inverse, sulle potenze con esponente reale, sulla funzione esponenziale e sul logaritmo.
Dispensa sulle serie di funzioni.