GEOMETRIA

Spazi vettoriali, sottospazi, applicazioni lineari, somma e somma diretta di
spazi, indipendenza lineare, spazi finitamente generati, basi, dimensione,
applicazioni lineari, nucleo e immagine, isomorfismi, passaggio alle coordinate, cambiamenti di base, matrici associate alle applicazioni lineari, rango di un'applicazione lineare e di una matrice, composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici, sistemi lineari.

Calcolo del rango di una matrice, alla risoluzione dei sistemi lineari, al calcolo dell'inversa di una matrice invertibile.

Duale di uno spazio vettoriale, biduale, basi duali, trasposta di un'applicazione lineare e trasposta di una matrice.

Teoria del determinante e applicazioni. Formula di Binet, formula di Cramer,
formula dell'inversa di una matrice invertibile, determinante della trasposta.

Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Autovalori e autospazi. Teorema di Hamilton -Cayley. Ideale di un endomorfismo. Richiami sull'anello dei polinomi a coefficienti in un campo (teorema di divisione, MCD, fattorizzazione in irriducibili. Polinomio minimo di un endomorfismo.

Forme bilineari. Matrici rappresentative di forme bilineari. Forme isometriche e matrici congruenti. Rango di una forma. Forme non degeneri e identificazione indotta tra lo spazio e il suo duale. Forme simmetriche (prodotti scalari) e antisimmetriche. Prodotti scalari e forme quadratiche. Ortogonalita'. Vettori isotropi. Esistenza di basi ortogonali. Procedimenti di ortogonalizzazione. Teorema di Jacobi.

Classificazione dei prodotti scalari complessi e reali a meno di isometrie. Prodotti Hermitiani. Generalita' sul gruppo ortogonale di un prodotto scalare non degenere. Il gruppo ortogonale reale e il gruppo unitario. Endomorfismi autoaggiunti. Teorema spettrale: reale e "unitario" complesso. Traccia e determinante di una forma bilineare rispetto ad una forma non degenere.

Cenni di geometria affine e classificazione dei polinomi di secondo grado rispetto a sostituzioni lineari: coniche e quadriche.

Elementi di geometria differenziale delle curve e delle. Teoremi di Gauss e di Stokes.