\documentstyle[11pt,epsfig]{article}
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\begin{document}
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\title{\bf Onde elettromagnetiche nei mezzi materiali}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle

\section{Alcune conseguenze delle equazioni di Maxwell}
Consideriamo un mezzo caratterizzato da valori costanti della permeabilit\'a
magnetica relativa $\mu_r$ e della costante dielettrica relativa $\epsilon_r$.
Ammettiamo inoltre che per tale mezzo continui a valere la legge di Ohm: $\vec{J}=\sigma \vec{E}$ con J eventualmente complesso.
\newline \indent
Cerchiamo soluzioni di onda piana delle equazioni di Maxwell in tale mezzo, soluzioni che scriveremo nella forma:
\begin{equation}
\vec{E}\:=\:\vec{E_0} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)} \label{eq:one}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{B}\:=\:\vec{B_0} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)} \label{eq:two}
\end{equation}
Facendo uso delle equazioni di Maxwell:
\begin{equation}
\vec{\nabla} \times \vec{H}\:=\:\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\:+\: \sigma \vec{E} \label{eq:three}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{\nabla} \times \vec{E}\:=\: -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \label{eq:four}
\end{equation}
Moltiplicando la prima delle due ultime equazioni vettorialmente da sinistra
per l'operatore $\vec{\nabla}$, avremo:
\[
\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{H}\:=\:\vec{\nabla} \times [\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\:+\: \sigma \vec{E}]
\]
e, ricordando l'identit\'a matematica:
\[
\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{A}\:=\:-\nabla^2 \vec{A}\:+\:\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A})
\]
l'ultima equazione diventa:
\[
-\nabla^2 \vec{H}\:+\:\vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{H})\:=\:\sigma \vec{\nabla} \times \vec{E}\:+\:\epsilon \vec{\nabla} \times \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\]
Ricordando ora che $\vec{\nabla}\times \vec{H} \:=\:0$ e che la derivata
$(\partial \vec{E})/\partial t$ per l'onda di frequenza angolare $\omega$
considerata \'e uguale a $-i \omega \vec{E}$, avremo:
\[
\nabla^2 \vec{H} \:+\:(\sigma - i\omega \epsilon) \vec{\nabla} \times \vec{E}\:=\:0
\]
Questa espressione pu\'o essere ridotta ad un'equazione nella sola variabile
$\vec{H}$ facendo uso della seconda delle due equazioni di Maxwell scritte:
\[
\nabla^2 \vec{H} \:-\:(\sigma - i\omega \epsilon)\:\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}\:=\:0
\]
Sostituendo infine al vettore $\vec{H}$ il suo modulo (ricordiamo che ci
stiamo limitando ad esaminare un'onda piana), alla derivata $\frac{\partial H}{\partial t}$ il termine $-i \omega H$, e ricordando che per l'onda piana che stiamo considerando le derivate rispetto ad y e rispetto a z sono nulle, otteniamo:
\[
\frac{\partial^2 H}{\partial x^2}\:+\:(i \omega \mu \sigma + \omega^2 \epsilon \mu) H \:=\:0
\]
Cerchiamo ora soluzioni di tale equazione del tipo di onda piana monocromatica
scritta sopra~\ref{eq:two}:
\[
H(x)\:=\:H_0 e^{ikx}
\]
sostituendo tale espressione nell'equazione precedente, possiamo ricavare k:
\[
k\:=\:\sqrt{\epsilon \mu \omega^2+i\omega \mu \sigma}
\]
Ricordando poi le relazioni:
\[
\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r
\]
\[
\mu = \mu_0 \mu_r
\]
\[
c^2\:=\:\frac{1}{\epsilon_0 \mu_0}
\]
\[
k_0\:=\:\omega/c
\]
troviamo:
\[
k \:=\: \sqrt{\epsilon_0 \mu_0 \epsilon_r \mu_r \omega^2+i \omega \mu_0 \mu_r \sigma}\:=\:\sqrt{\frac{\epsilon_r \mu_r \omega^2}{c^2}+i \omega \sigma \frac{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}{\epsilon}}\:=
\]
\[=\: \sqrt{\frac{\epsilon_r \mu_r \omega^2}{c^2}+i \omega \sigma \frac{\epsilon_r \mu_r}{\epsilon c^2}}\:=\: \sqrt{\epsilon_r \mu_r}\sqrt{\frac{\omega^2}{c^2}+i\frac{\omega \sigma}{\epsilon c^2}}
\]
cio\'e:
\begin{equation}
k\:=\: \sqrt{\epsilon_r \mu_r} \sqrt{k_0^2+i k_0^2 \frac{\sigma}{\epsilon \omega}} \:=\: k_0 \: \sqrt{\mu_r \epsilon_r} \sqrt{1+i \frac{\sigma}{\omega \epsilon}} \label{eq:general}
\end{equation}
e per B abbiamo:
\[
B\:=\:\frac{k}{\omega}\:E
\]
Possono ora verificarsi tre casi distinti:
\begin{enumerate}
\item{dielettrici:  $\sigma$ \'e trascurabile}
\item{conduttori: $\sigma$ \'e molto grande}
\item{plasmi: $\sigma$ \'e immaginario}
\end{enumerate}
Esamineremo ora nell'ordine questi tre casi.
\section{Dielettrici}
L'equazione~\ref{eq:general} ottenuta nella precedente sezione, nel caso di
sostanze aventi conducibilit\'a molto basse, come appunto i dielettrici, diventa:
\[
k\:=\: k_0 \sqrt{\mu_r \epsilon_r}\:\approx \: k_0 \sqrt{\epsilon_r}
\]
poich\'e \'e $\mu_r\:\approx\: 1$ nel caso dei dielettrici.
Per la lunghezza d'onda ci\'o implica:
\[
\lambda\:=\: \lambda_0/\sqrt{\epsilon_r}\:=\: \lambda_0/n
\]
dove n \'e l'indice di rifrazione.
Notiamo qui che $\epsilon_r$ non \'e necessariamente reale, e quindi n sar\'a
in genere complesso. 
\newline \indent
Per un discussione di questo punto si veda il libro di Mencuccini e Silvestrini, dove \'e discusso un semplice modellino classico dell'atomo
che porta a valori della parte reale dell'indice di rifrazione in ragionevole accordo con i dati sperimentali.
\section{Conduttori}
Nel caso dei conduttori, come vedremo, \'e possibile in molti casi trascurare
nell'equazione~\ref{eq:general} il termine costante (1) rispetto all'altro.
Ci\'o accade se:
\[
\frac{\sigma}{\omega \epsilon} \gg 1
\]
Possiamo vedere che ci\'o equivale a richiedere che nell'equazione di Maxwell~\ref{eq:three}
che d\'a il rotore di H, il termine di corrente di spostamento sia trascurabile
rispetto a quello di conduzione. Infatti il rapporto dei due termini vale:
\[
\frac{J_d}{J}\:=\: \frac{\epsilon \partial E/\partial t}{\sigma E}
\]
che per un segnale sinusoidale: $E=E_0 exp(i \omega t)$ vale:
\[
\frac{J_d}{J}\:=\: \frac{\epsilon \omega E}{\sigma E}\:=\: \frac{\epsilon \omega}{\sigma}
\]
Ad esempio, per il rame ad una frequenza $f=10^{16} s^{-1}$ avremo:
\[
\sigma = 5.8 \; 10^7\: S/m
\]
\[
\epsilon\:=\:\epsilon_0\:=\:8.85\;10^{-12}
\]
\[
\frac{J_d}{J}\:=\:\frac{8.85\:10^{-12}
\:10^{16}\:\:6.28}{5.8\:10^7}\: \approx \: 0.01
\]
Cio\'e la corrente di spostamento contribuisce per circa $1 \%$ per frequenze
di $10^{16} s^{-1}$ ed ancor meno a frequenze pi\'u basse. 
\newline \indent
Nelle ipotesi fatte, dall'equazione~\ref{eq:general} otteniamo:
\[
k=k_0 \sqrt{\epsilon_r \mu_r \frac{\sigma}{\omega\epsilon}} \: \sqrt{i}\:=\: k_0 \sqrt{\frac{\sigma \mu_r}{\omega \epsilon_0}} \:\frac{1+i}{\sqrt{2}}
\]
Facendo poi uso della relazione: $k_0 \:=\: \frac{\omega}{c}$ da questa si ottiene con facili passaggi:
\[
k\:=\:\sqrt{\omega \sigma \mu} \: \frac{1+i}{\sqrt{2}}
\]
Sostituendo tale espressione di k nell'equazione dell'onda piana:
\[
e^{i(kx-\omega t)}\;=\;e^{-i( \omega t)} e^{i\sqrt{\frac{\omega \sigma \mu}{2}}\:x}\;e^{-\sqrt{\frac{\omega \sigma \mu}{2}}\:x}
\]
Ponendo poi:
\[
\delta\:=\:\sqrt{\frac{2}{\omega \sigma \mu}}
\]
l'equazione dell'onda nel conduttore diventa:
\[
e^{i(\frac{x}{\delta}-\omega t)}\;e^{-\frac{x}{\delta}}
\]
cio\'e abbiamo un'onda piana, avente modulo del vettore d'onda uguale a $1/\delta$ e che si attenua di un fattore e=2.718 dopo una lunghezza $x=\delta$.
\newline \indent
Consideriamo come primo esempio quello del rame, per il quale $\sigma = 5.8\;10^7 Siemens/m$ e $\mu_r \approx 1$. Ad una frequenza di 60 Hz troviamo:
\[
\delta \:=\:\sqrt{\frac{2}{\omega \sigma \mu}}\:=\: \sqrt{\frac{2}{377 \cdot 5.8\:10^7 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7}}}\:=\:0.85 \:cm
\]
vediamo quindi che un'onda avente una frequenza di 60 Hz \'e attenuata di un
fattore e=2.718 dopo una profondit\'a di 8.5 mm. Frequenze pi\'u alte sono attenuate
ancora di pi\'u. A 60 MHz il campo \'e ridotto a meno dell'$1\%$ ad una profondit\'a di 0.05~mm.
\newline \indent
Osserviamo per inciso che il fenomeno ha un analogo nella conduzione del
calore (che \'e descritta da un'analoga equazione differenziale). In tal caso si nota che le variazioni diurne (alta frequenza) di temperatura non sono apprezzabili sottoterra  quanto lo sono le variazioni stagionali (bassa frequenza).
\newline \indent
Come il campo, cos\'i la corrente, ad alte frequenze, \'e limitata ad
un sottile strato superficiale, tanto pi\'u sottile quanto pi\'u \'e
elevata la frequenza (effetto pelle). Ci\'o porta ad una effettiva riduzione della sezione utile dei conduttori e ad un aumento della resistenza.
\newline \indent
Se il materiale \'e ferromagnetico, il parametro $\mu$ che compare nell'espressione di $\delta$ diverr\'a $\mu_r$ volte pi\'u grande
e l'effetto sar\'a ulteriormente accentuato.
\newline \indent
Notiamo ancora che la grandezza $\delta$ \'e legata alla lunghezza d'onda
nel mezzo dalla relazione:
\[
\frac{2 \pi}{\lambda}\:=\:\frac{1}{\delta}
\]
da cui, nell'esempio appena considerato, si trova:
\[
\lambda\:=\:5.34 \:cm
\]
mentre la lunghezza d'onda nel vuoto era:
\[
\lambda_0\:=\:\frac{c}{f}\:=\:\frac{3\:10^8}{377}\:=\:79.5\cdot 10^6 cm
\]
Nel caso di un conduttore atipico come l'acqua del mare, con $\sigma=5 \:S/m$ ed alla medesima frequenza, troviamo:
\[
\delta\:=\:29 m
\]
se quindi vogliamo comunicare via radio con un sottomarino, dovremo usare
onde di bassa frequenza.
\newline \indent
Conviene esaminare anche il rapporto tra il vettore elettrico e quello magnetico nel materiale.  Dall'equazione di Maxwell per il rotore di E:
\[
\vec{\nabla} \times \vec{E}\:=\: -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\]
facendo uso dell'onda piana data dalle equazioni~\ref{eq:one} e~\ref{eq:two},
troviamo:
\[
\vec{\nabla} \times \vec{E}\:=\:\vec{\nabla} \times(\vec{E_0} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)})\:=\:-\vec{E_0}\times \vec{\nabla} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)}\:=\:-i \vec{E_0}\times \vec{k} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)}\:=\:i\:\vec{k}\times\vec{E}
\]
e questo deve essere uguale a:
\[
-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\:=\:i \omega \vec{B}
\]
per cui, in definitiva avremo:
\[
\vec{k}\times \vec{E}\:=\:\omega \:\vec{B}\:=\:\omega \mu \vec{H}
\]
Vediamo quindi che anche nel mezzo i vettori $\vec{E}$,$\vec{H}$ ed
il vettore d'onda $\vec{k}$ formano una terna ortogonale.
Il rapporto tra i moduli di E e di B \'e pari a $\omega/k$ che, come si
pu\'o facilmente vedere, vale:
\[
\frac{E}{B}\:=\:\sqrt{\frac{\omega}{\sigma \mu}}
\]
ed \'e anche uguale alla velocit\'a (di fase) di propagazione della radiazione nel mezzo. Nel caso del rame ad una fequenza di 1 MHz troveremmo un rapporto pari a circa 300 m/s. Nel vuoto, alla medesima frequenza, troveremmo un valore
pari a c~=~$3\:10^8 m/s$. Vediamo quindi che nel mezzo considerato, ad 1 MHz,
il campo elettrico \'e ridotto di un fattore $10^6$, se rapportato al campo
B, rispetto all'analogo valore nel vuoto. Il rapporto tra l'energia magnetica
e l'energia elettrica sar\'a:
\[
R\:=\:\frac{B^2/2\mu}{\epsilon E^2/2}\:=\:\frac{\sigma}{\omega \epsilon}\:\approx \:10^{12}
\]
cio\'e l'energia \'e quesi interamente magnetica.

\section{Plasmi}
Un plasma \'e un gas ionizzato ed elettricamente neutro: elettroni e nuclei non sono pi\'u legati. Ci\'o accade ad esempio a temperature estremamente elevate, o in presenza di intense sorgenti ionizzanti~\cite{kn:sivuchin}. \'E un plasma ad esempio una scintilla, cos\'i come lo \'e in larga misura una stella. 
Un plasma (debolmente ionizzato) \'e la ionosfera, cio\'e la zona esterna dell'atmosfera terrestre,situata ad altezze comprese tra circa 100 e 400 km,
ionizzata per effetto della radiazione solare.
\newline \indent
In un plasma accade che la corrente segua il campo elettrico dell'onda con
un'anticipo di fase pari a $\pi/2$; cio\'e la conducibilit\'a $\sigma$ \'e
immaginaria. Vediamo come ci\'o accada.
\newline \indent
Consideriamo al solito il caso di un'onda piana, diretta lungo un asse (asse z) e sia il campo elettrico diretto lungo l'asse y. Il campo elettrico dell'onda sia descritto da:
\[
E\:=\:E_0 e^{i(kz-\omega t)}
\]
La velocit\'a raggiunta al tempo t da un elettrone investito dall'onda sar\'a:
\[
v\:=\:\int{a\:dt}\:=\:\int{\frac{e\:E}{m}\:dt}\:=\:\frac{e\:E_0}{m}\:\int{e^{i(kz-\omega t)}\:dt}\:=
\]
\[
=-\frac{e \: E_0}{i\omega m} \: e^{i(kz-\omega t)}\:=\:-\frac{e\:E}{i\omega m}
\]
da cui segue poi per la densit\'a di corrente $J=\rho v$:
\[
J\:=\:e\:N\:\frac{ieE}{\omega m}
\]
dove N \'e il numero di elettroni per unit\'a di volume.
Si vede quindi che la conducibilit\'a \'e data da:
\[
\sigma\:=\: \frac{J}{E} \:=\: \frac{iNe^2}{\omega m}
\]
che \'e immaginaria, come anticipato.
\newline \indent
Ricordiamo ora la relazione~\ref{eq:general}:
\[
k\:=\: k_0 \: \sqrt{\mu_r \epsilon_r} \sqrt{1+i \frac{\sigma}{\omega \epsilon}}
\]
Possiamo ammettere che in tale espressione sia $\mu_r$ che $\epsilon_r$ valgano 1, trattandosi di gas a bassa densit\'a.
Sostituendo allora l'espressione trovata per la conducibilit\'a, troviamo:
\[
k\:=\:k_0\sqrt{1\:-\:\frac{N e^2}{\omega^2 m \epsilon_0}}
\]
Introduciamo ora la $\emph frequenza \;di \;plasma \;\omega_P$:
\[
\omega_P^2\:=\:\frac{N e^2}{m \epsilon_0}
\]
per scrivere il numero d'onda k nella forma semplificata:
\[
k\:=\:k_0\:\sqrt{1-\frac{\omega_P^2}{\omega^2}}
\]
Notiamo che la frequenza di plasma \'e determinata essenzialmente dalla densit\'a N di elettroni nel plasma, essendo gli altri parametri che
intervengono nella definizione delle costanti universali. Ad esempio, nel caso della ionosfera terrestre, la densit\'a di elettroni varia tra circa  $10^{12}$ e $10^{13}$ per $m^3$, il che implica valori di $\omega_P$
compresi tra $5.6\:10^{7}$ e $1.8\:10^{8}$~rad/s, cio\'e valori della variabile $f_P\:=\:\omega_P/2\pi$ compresi tra $8.9\:10^6$  e $2.8\:10^7 s^{-1}$.
\newline \indent
Ora possono verificarsi tre casi, a seconda del valore relativo di $\omega$ e di $\omega_P$.
\newline \indent
a) $\omega\:<\:\omega_P$
\newline \indent
In tal caso il radicando \'e negativo, e k immaginario. Ne segue che l'andamento spaziale dell'ampiezza del campo elettrico sar\'a del tipo:
\[
E\:=\:E_0\:e^{-|k|}
\]
Ci\'o implica una rapida attenuazione dell'onda che entra nella zona occupata
dal plasma. Di fatto l'onda sar\'a riflessa quasi totalmente (visto che nel
meccanismo esaminato non intervengono, in prima approssimazione, fenomeni
dissipativi). \'E quel che accade nelle trasmissioni radio in AM, dove
si lavora con frequenze tipiche inferiori a qualche MHz.  Si \'e visto infatti che le frequenze di plasma nella ionosfera sono dell'ordine di 10 Mhz. Tale fenomeno consente trasmissioni radio, in tale range di frequenze, a gandi distanze.
Che l'onda non perda
energia nel plasma \'e ovvio anche se si pensa che l'energia dissipata
per unit\'a di tempo ed unit\'a di volume \'e: $\vec{E}\cdot \vec{J}$ e che
$\vec{J}\:=\:\sigma \vec{E}$, con $\sigma$ immaginario, il che implica 
un'energia dissipata nulla.
\newline \indent
b) $\omega\:=\:\omega_P$
\newline
In tal caso avremo $k=0$ cio\'e una lunghezza d'onda infinitamente lunga nel
plasma.
\newline \indent
c) $\omega\:>\:\omega_P$
\newline
In tal caso k \'e reale e minore di $k_0$. Ci\'o implica una lunghezza d'onda
nel plasma (e quindi una velocit\'a di fase) maggiori di quelle nel vuoto.

Notiamo che, fissato N, l'indice di rifrazione n tende ad 1 per $\omega \gg \omega_p$. Se invece fissiamo $\omega$ (ad un valore maggiore di $\omega_p$),
n diminuisce all'aumentare di N, cio\'e della densit\'a elettronica. Numericamente troviamo:
\[
\omega_p\:=\:56.415\:\sqrt{N}
\]
\[
n\:=\:\sqrt{1-3182.7\:N/\omega^2}
\]
Per $\omega<\omega_p$ l'onda \'e riflessa qualunque sia l'angolo d'incidenza.
\newline
Se invece $\omega >\omega_p$, n \'e reale ed avremo, indicando con $i$ l'angolo d'incidenza dell'onda sulla supoerficie del plasma e con $r$ l'angolo
di rifrazione:
\[
\sin i\:=\: n\:\sin r
\]
con $n<1$; da cui:
\[
\sin i_{max}\:=\:n\:=\:\sqrt{1-\frac{Ne^2}{m_e \epsilon_0 \omega^2}}
\]
e quindi anche:
\[
\cos i_{max}\:=\:\sqrt{\frac{Ne^2}{m_e \epsilon_0 \omega^2}}
\]

La parte dell'atmosfera situata ad altezze superiori a circa 60 km
\'e interessata da fenomeni rilevanti per la fisica dei plasmi e per le
trasmissioni radio.
 
Infatti, la parte esterna dell'atmosfera terrestre \'e investita dalla radiazione solare con una intensit\'a (potenza per unit\'a di superficie) di circa 1370~$Watt/m^2$ (tale valore \'e noto come la "costante solare"). Tale radiazione copre un'ampio spettro di frequenze, che va dalle onde radio, all'infrasso ed arriva fino all'ultravioletto (uv). La radiazione
uv, e quella a frequenze ancora pi\'u elevate, ha un'energia sufficiente a ionizzare le molecole di gas incontrate. Nelle parti pi\'u esterne dell'atmosfera l'intensit\'a della radiazione \'e molto elevata, ma la densit\'a del gas \'e ridotta, quindi la ionizzazione non \'e molto elevata. Via via che l'altezza diminuisce,  la densit\'a dei gas aumenta e quindi
aumenta anche la ionizzazione. Tuttavia tale aumento \'e compensato da un parallelo aumento della ricombinazione tra ioni ed elettroni, dovuto all'aumento della densit\'a e quindi ad una diminuzione del cammino libero medio degli elettroni tra una collisione e la successiva. La densit\'a del plasma ad una data altezza \'e quindi determinata dal bilanciamento tra i processi di ionizzazione e ricombinazione.
\newline \indent
Ad altezze ancora minori, la densit\'a di atomi e molecole aumenta ulteriormente, ma in parallelo diminuisce l'intensit\'a della radiazione che vi arriva, a causa dell'assorbimento negli strati pi\'u alti dell'atmosfera. Si raggiunge infine un punto in cui  la ridotta intensit\'a della radiazione, la maggiore densit\'a del gas e l'accresciuto rate di ricombinazione si fanno equilibrio, e la densit\'a del plasma comincia a diminuire con il diminuire dell'altezza. Si formano cos\'i della fascie, situate a varie altezze, cui corrispondono densit\'a ioniche diverse. Queste fasce vanno sotto il nome di "strati di Heviside" e, a seconda della relativa densit\'a di ionizzazione, sono classificati con le sigle "D", "E", "F1", "F2" e "G".
\newline \indent
Lo strato D si estende da 60 a 90 km di altezza. Esso fu scoperto casualmente, quando ci si rese conto che emissioni radio dall\'europa potevano esser rivelate negli Stati Uniti. Ci si rese allora conto che doveva esistere una qualche "riflessione".
Fu appunto Oliver Heviside ( e simultaneamente l'ingegnere elettronico americano Arthur Kennelly) a postulare l'esistenza di uno strato riflettente situato nella stratosfera. 
\newline \indent
Nel 1912 uno degli ex assistenti di Marconi, William Eccles, che aveva collaborato con Marconi alla preparazione della prima trasmissione radio intercontinentale, elabor\'o la teoria che spiegava come uno strato di gas ionizzato potesse svolgere tale ruolo.
Nel 1924 Edward Appleton dimostr\'o la fondatezza di tale teoria, quando egli scopr\'i la ionosfera.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ion.eps,width=8 cm,height=10 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{}
\end{figure}
Lo strato E \'e quello cui corrisponde la riflessione di onde corte. Esso si estende da 90 a 140 km di altezza.
Gli strati F1 ed F2 sono quelli dove la densit\'a di ioni \'e maggiore. Essi si estendono da 140 a 1000 km.  Il massimo della densit\'a ionica \'e raggiunto ad altezze comprese tra 200 e 500 km, dove la densit\'a varia tra 
$4 \:10^{10}$ e $4 \:10^{12}$ $m^{-3}$, che corrisponde a valori della frequenza di plasma $omega_p$ compresi tra 1.8 e 18~MHz.
La figura mostra l'andamento della densit\'a ionica in funzione dell'altezza.
Le onde radio sono totalmente riflesse per frequenze inferiori alla frequenza di plasma (o frequenza critica). La riflessione pu\'o anche aver luogo per
frequenze pi\'u elevate, se le onde incidono sulla ionosfera a grandi angoli.
Ovviamente, le tasmissioni radio a lunga distanza sulla Terra debbono far uso
di frequenze inferiori a quella critica, mentre la radioastronomia e le comunicazioni via satellite possono essere effettuate solo a frequenze tali
da riuscire ad attraversare la ionosfera.


\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{kn:sivuchin} Per una discussione pi\'u approfondita delle propriet\'a dei plasmi, di quel che non sia possibile qu\'i, si veda a pag. 554 del volume 3 (Elettricit\'a) di D. V. Sivuchin.
\end{thebibliography}
\end{document}

