\documentclass[12pt,fleqn]{article}
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\begin{document}
\title{\bf \normalsize Corso di Fisica bI: Appello del 15 Febbraio 2002}
\date{}
%\author{} 
\maketitle
{\it \small Si spieghi in dettaglio il procedimento seguito, il significato dei vari simboli
e formule adoperate. Si prega inoltre di fare attenzione alla \emph{leggibilit\'a} dell'elaborato.
Si faccia uso del sistema SI.}

\centerline{\bf \small Esercizio 1}
\vskip0.4cm
Due onde sinusoidali di uguale frequenza ($\nu$) ed ampiezza $A~=~500~\mu m$, 
si propagano
in direzioni opposte su una corda tesa di lunghezza $L~=~40~cm$ fissata
agli estremi. La velocit\`a di propagazione delle onde \`e in modulo pari 
a $v~=~30~msec^{-1}$. 
\begin{itemize}
\item Le due onde producono una oscillazione stazionaria. Scrivere 
l'equazione della perturbazione risultante in funzione dei parametri
dati.
\end{itemize}
Si osserva che tra i punti della corda che raggiungono la velocit\`a massima
quello che  
si trova pi\`u vicino ad uno degli estremi 
dista da esso $10~cm$. Dire in base a questa osservazione 
quanto valgono~:
\begin{itemize}
\item la lunghezza d'onda $\lambda$;
\item la frequenza di oscillazione $\nu$;
\item la velocit\`a massima con cui si muovono i punti della corda.
\end{itemize}
Fermi restando tutti gli altri parametri, la corda viene sostituita con 
una della stessa lunghezza, dello stesso materiale ma di sezione $4$ volte 
inferiore. 
Quanto vale in questo caso la lunghezza d'onda $\lambda$ ?

\vspace{0.4 cm}

\centerline{\bf \small Esercizio 2}

\vskip0.4cm

Un conduttore piano infinito ha una sporgenza di forma sferica, di raggio
$R$. La superficie del conduttore \`e invariante per rotazione attorno
all'asse $z$, asse passante per il centro della semisfera e perpendicolare
al conduttore stesso (vedi  fig.~\ref{fig1}).  Il conduttore \`e messo a terra. 
Una carica puntiforme $q$ \`e posta sull'asse $z$  a distanza $d$
dal centro della semisfera, coincidente con l'origine delle
coordinate (vedi fig.~\ref{fig1}). Si calcoli:
\begin{itemize}
\item la forza che agisce sulla carica;
\item l'energia elettrostatica del sistema conduttore pi\`u carica;
\item la densit\`a di carica e la carica totale 
indotta sulla superficie del conduttore.
\end{itemize}
{\bf \small \it Suggerimento: si consiglia di  procedere utilizzando il metodo delle cariche
immagini. Inoltre, nel calcolo della carica totale indotta il metodo consistente
nell'integrare la densit\'a superficiale di carica \emph{non} \'e necessariamente il pi\'u
semplice.}

\newpage

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=cond.eps,width=5 cm}}
\caption{}
\label{fig1}
\end{center}
\end{figure}

\centerline{\bf \small Esercizio 3}

\vskip0.4cm

Una piccola sfera di suscettivit\'a $\chi$ e raggio a \'e posta a grande
distanza r da una sfera conduttrice di raggio b, mantenuta ad un
potenziale V (vedi figura~\ref{sfere}.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=sfere.eps,width=10.0 cm,height=4 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{sfere}
\end{figure}

Sapendo che il mezzo interposto ha costante dielettrica
relativa uguale ad 1 e che $a \ll r$, si trovi l'espressione della forza 
che si esercita tra le due sfere.


\newpage
\centerline{\Large \bf Soluzioni}
\vskip1cm
\begin{large}
{\bf Esercizio 1}
\end{large}
\vskip1cm
Supponiamo che la corda in posizione di riposo giaccia sull'asse $x$ tra 
$x~=~0$ e $x~=~L$.
Le due onde di uguale ampiezza e frequenza che si muovono 
in direzioni opposte generano sulla corda un'onda stazionaria la cui 
equazione in funzione delle variabili date \`e~:
\begin{equation}
\psi(x,t) = 2A sin \frac{2\pi\nu}{v} x sen 2 \pi \nu t = 2A sin k x sen \omega t
\end{equation}
La velocit\`a dei punti della corda \`e~:
\begin{equation}
\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \dot \psi(x,t) = 2A \omega sin k x cos \omega t
\end{equation}
e la velocit\`a massima \`e $\dot \psi_{max} = 4A\pi \nu$.
I tratti di corda che raggiungono la  velocit\`a massima si trovano 
nei punti di coordinata $x_n$ definiti dall'equazione~:
\begin{equation}
sen kx_n = 1 ~~\rightarrow kx_n = ~~n\pi + \frac{\pi}{2}
\end{equation}
dove $n$ assume tutti i valori possibili $n = 0,1,2....$ tenendo conto che $x_n < L$. 
Il punto pi\`u vicino all'estremo si ottiene per $n~=~0$, cio\`e~:
\begin{equation}
x_0 = \frac{\pi}{2k} 
\end{equation}
e per i dati del problema questo \`e uguale a~:
\begin{equation}
\frac{\pi}{2k} = \frac{L}{4} 
\end{equation}
La lunghezza d'onda delle onde stazionarie che possono essere 
sostenute dalla corda sono~:
\begin{equation}
k_m = \frac{m\pi}{L} ~~\rightarrow~~\lambda_m = \frac{2L}{m} 
\end{equation}
dove $m = 1,2,...$ Quindi si ha~:
\begin{equation}
\frac{L }{2m} = \frac{L }{4} ~~\rightarrow~~m = 2 
\end{equation}
Quindi la lunghezza d'onda, la frequenza e la velocit\`a massima con cui
si muovono i punti sono~:
\begin{eqnarray}
\lambda & = & L  =  40~cm  \\
\nu & = & \frac{v}{\lambda} = \frac{30}{0.4} = 75 Hz \\
\dot \psi(x,t)_{max} & = & 4A \pi \nu = 4 \cdot 5\:10^{-4} \cdot 3.14
\cdot 75 = 0.471 ~m s^{-1}
\end{eqnarray}
Se si sostituisce la corda con una di sezione 4 volte inferiore la 
velocit\`a di propagazione dell'onda diventa due volte maggiore infatti~:
\begin{equation}
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{T}{\rho s}} 
\end{equation}
dove $T$ indica la tensione della corda, $\mu$ la densit\`a lineare, $\rho$ la 
densit\`a di volume ed $s$ la sezione.
Di conseguenza la lunghezza d'onda $\lambda$ risulter\`a due volte maggiore.

\newpage

\begin{large}
\centerline{\bf Esercizio 2}
\end{large}
\vskip0.5cm

Il problema pu\`o essere risolto utilizzando il metodo delle immagini,
aggiungendo 3 cariche immagini all'interno del conduttore disposte
sull'asse $z$, come mostrato in figura~\ref{fig2}. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=cond_sol.eps,width=8 cm}}
\caption{}
\label{fig2}
\end{center}
\end{figure}
Affinch\`e la semisfera sia a potenziale nullo occorre mettere una carica
immagine $q'=-qR/d$ a distanza $z'=R^2/d$ dall'origine sull'asse $z$. 
Affinch\`e il piano sia a potenziale nullo occorre aggiungere altre due
cariche immagini $q''=-q'$ e $q'''=-q$ a distanza 
$z''=-z'$ e $z'''=-d$, all'interno del conduttore sempre lungo l'asse $z$.
Le cariche  $q''$ e $q'''$ poste in posizione simmetrica
rispetto a $q$ e $q'$ danno un contributo nullo al 
potenziale sulla superficie della semisfera.
\begin{enumerate}
\item la forza che agisce sulla carica \`e la somma delle forze esercitate
da ciascuna immagine sulla carica stessa:
\begin{eqnarray*} 
\vec{F} &= &\vec{F}_{qq'}+\vec{F}_{qq''}+\vec{F}_{qq'''}  = F_z \hat{z}\\
F_z &=& \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \Big(\frac{-qR}{d}\frac{1}{(d-R^2/d)^2}+
\frac{qR}{d}\frac{1}{(d+R^2/d)^2}-\frac{q}{4d^2}\Big) = \\
&=& \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0} 
\Big (\frac{-Rd}{(d^2-R^2)^2}+ \frac{Rd}{(d^2+R^2)^2} 
- \frac{1}{4d^2}\Big); \\
\end{eqnarray*}
Questa forza tende ad attrarre la carica sul piano.

\item l'energia elettrostatica del sistema pu\`o essere calcolata in due
modi:
\begin{enumerate}
\item integrando il prodotto del potenziale per la densit\`a di carica
totale (conduttore + carica) $\sigma_{x,y,z}+q\delta(z-d)$:
\begin{eqnarray*}
U &=& \frac{1}{2} \Big(q\phi'(0,0,d)+
\int_{condutt} \sigma(x,y,z) \phi(x,y,z) dx dy dz \Big ) 
\end{eqnarray*}
dove $\phi'$ `e il potenziale dovuto alla sola densit\`a di carica
superficiale. Il secondo integrale d\`a contributo nullo in quanto \`e
calcolato sulla superficie del conduttore (che \`e a potenziale 0).
$\phi'$ pu\`o essere calcolato come somma di contributi di ciascuna carica 
immagine:
\begin{eqnarray*}
\phi'(0,0,d) & = & \phi_{q'} (0,0,d) + \phi_{q''} (0,0,d)+ 
\phi_{q'''} (0,0,d) \\
& = &-\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{R}{d^2-R^2} +  \frac{q}{4\pi\epsilon_0}
\frac{R}{d^2+R^2} -\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{2d} \\
\end{eqnarray*}
da cui si ricava:
\begin{eqnarray*}
U &=&  \frac{1}{2} q\phi'(0,0,d) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{2}
\Big ( \frac{-R}{d^2-R^2} + \frac{R}{d^2+R^2} -  \frac{1}{2d} \Big)
\end{eqnarray*}
\item come lavoro fatto dalle forze esterne per portare la carica $q$ 
dall'infinito alla posizione $z=d$ (non si compie lavoro per portare 
il piano dall'infinito 
alla configurazione attuale, essendo inizialmente scarico):
\begin{eqnarray*}
U &= &-\int_{\infty}^d F_z dz \\ 
  &= &- \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0} \int_{\infty}^d  
\Big
( \frac{-Rz}{(z^2-R^2)^2}+ \frac{Rz}{(z^2+R^2)^2} 
- \frac{1}{4z^2}\Big)  dz \\
&= & \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0} 
\Big ( \frac{-R^3}{d^4-R^4} - \frac{1}{4d} \Big) \\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\item
La densit\`a di carica indotta sulla superficie del conduttore
si ottiene dalla componente
normale del campo elettrico alla superficie stessa. 
Calcoliamo dapprima la densit\`a
di carica in un punto generico del conduttore in cui il profilo \`e piano 
$((x,y,0)$  con $\sqrt{x^2+y^2}>R)$:
\begin{eqnarray*}
\sigma_{piano} (x,y,0) & = & \epsilon_0 E_{z} \\
&=& -2\frac{q}{4\pi} 
\frac{d}{(x^2+y^2+d^2)^{3/2}} -2 \frac{q'}{4\pi} 
\frac{z'}{(x^2+y^2+z'^2)^{3/2}} \\
\end{eqnarray*}
La densit\`a di carica sulla superficie della semisfera 
\`e (in coordinate sferiche): 
\begin{eqnarray*}
\sigma_{sfera} (R,\theta,\phi)& = & \epsilon_0 E_{r}  
= - \epsilon_0 \frac{\partial\phi}{\partial r}\Big\arrowvert_{r=R}  \\
& = & \frac{1}{4\pi} 
\Big(
\frac{q(R-d\cos\theta)}{(d^2+R^2-2Rd\cos\theta)^{3/2}} + 
\frac{q'(R-z'\cos\theta)}{(z'^2+R^2-2z'R\cos\theta)^{3/2}} \Big ) +\\
 &- & \frac{1}{4\pi} 
\Big(
\frac{q(R+d\cos\theta)}{(d^2+R^2+2Rd\cos\theta)^{3/2}} + 
\frac{q'(R+z'\cos\theta)}{(z'^2+R^2+2z'R\cos\theta)^{3/2}} \Big )\\
\end{eqnarray*}

\item {\bf primo modo}:
la carica totale pu\`o essere calcolata integrando le due densit\`a di
carica. Utilizziamo le coordinate cilindriche per
integrare sul piano, mentre quelle sferiche per integrare sulla semisfera.
Indichiamo in {\bf grassetto} il differenziale nell'integrale, per
distinguerlo dalla distanza $d$:
\begin{eqnarray*}
Q_{piano} & = & -\int_{R}^{\infty} \Big( 
\frac{2qd}{4\pi} \frac{2\pi \rho {\bf d\rho}}{(\rho^2+d^2)^{3/2}} +   
\frac{2q'z'}{4\pi} \frac{2\pi \rho {\bf d\rho}}{(\rho^2+z'^2)^{3/2}} \Big) = \\
& = & - \Big(\frac{qd}{\sqrt{R^2+d^2}} + 
\frac{qz'}{\sqrt{R^2+z'^2}} \Big )\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
Q_{semisfera} & = & \frac{q}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R-dcos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta} {\bf d\theta}}{(d^2+R^2-2Rdcos\theta)^{3/2}} +   
\frac{q'}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R-z'cos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta}{\bf d\theta}}{(z'^2+R^2-2Rz'cos\theta)^{3/2}} + \\
&-& \Big(
\frac{q}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R+dcos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta}{\bf d\theta}}{(d^2+R^2+2Rdcos\theta)^{3/2}} +  
\frac{q'}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R+z'\cos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta} {\bf d\theta}}{(z'^2+R^2+2Rz'\cos\theta)^{3/2}}  \Big )\\
\end{eqnarray*}
Calcoliamo il primo integrale (il secondo \`e formalmente identico):
\begin{eqnarray*}
\frac{q}{4\pi}
 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R-d\cos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta} {\bf d\theta}}{(d^2+R^2-2Rd\cos\theta)^{3/2}} & =  &  
\frac{q R^2}{2} \int_{\theta=0}^{\theta=\frac{\pi}{2}}
\frac{{\bf d\cos{\theta}}(d\cos{\theta}-R)}{(d^2+R^2-2Rd\cos\theta)^{3/2}} \\
\end{eqnarray*}
ponendo $x=d\cos{\theta}-R$ l'integrale diventa:
 \begin{eqnarray*}
 \frac{q R^2}{2}   
 \int_{x=d-R}^{x=-R} \frac{x dx}{d (d^2-R^2-2Rx)^{3/2}} & = & \\
=  \frac{q R^2}{2} 
\frac{2}{4dR^2} \Big ( \sqrt{d^2-R^2-2Rx} + 
\frac{d^2-R^2}{\sqrt{d^2-R^2-2Rx}}\Big) {\Big\arrowvert^{x=-R}_{x=d-R}} &=&  \\
=  \frac{q}{4d}  
 \Big (\sqrt{d^2+R^2} + \frac{d^2-R^2}{\sqrt{d^2+R^2}}
- (|d-R| +sgn(d-R)(d+R) \Big ) &= &   \\
= 
\frac{q}{4d} \Big ( \frac{2 d^2}{\sqrt{d^2+R^2}} -2d \Big ) 
= \frac{q}{2} \Big ( \frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}} -1 \Big ) && \\
\end{eqnarray*}
Il secondo integrale si ottiene sostituendo $q$ e $d$ con $q'$ e $z'$, 
con il {\it caveat} $z'<R$:
  \begin{eqnarray*}
\frac{q'}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R-z'\cos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta}{\bf d\theta}}{(z'^2+R^2-2Rz'\cos\theta)^{3/2}} & =&  \\
=  \frac{q'}{4z'}  
 \Big (\sqrt{z'^2+R^2} + \frac{z'^2-R^2}{\sqrt{z'^2+R^2}}
- (|z'-R| +sgn(z'-R)(z'+R) \Big ) &= &   \\
= 
\frac{q'}{4z'} \Big ( \frac{2 z'^2}{\sqrt{z'^2+R^2}} +2d \Big ) 
= \frac{q'}{2} \Big ( \frac{z'}{\sqrt{z'^2+R^2}} +1 \Big ) & & \\
\end{eqnarray*}
Il terzo integrale pu\`o essere calcolato nel seguente modo:
\begin{eqnarray*}
-\frac{q}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R+d\cos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta}{\bf d\theta}}{(d^2+R^2+2Rd\cos\theta)^{3/2}} & =&
-\frac{q R^2}{2} \int_{\theta'=\pi/2}^{\theta'=\pi}
\frac{d\cos{\theta'}(d\cos{\theta'}-R)}{(d^2+R^2-2Rd\cos\theta')^{3/2}} \\
\end{eqnarray*}
quindi l'integrando \`e formalmente indentico al primo a parte il segno
globale. Possiamo quindi usare la stessa sostituzione $x=d\cos{\theta'}-R$
e l'integrale diventa:
 \begin{eqnarray*}
- \frac{q R^2}{2}   
 \int_{x=-R}^{x=-(d+R)} \frac{x dx}{d (d^2-R^2-2Rx)^{3/2}} & = & \\
=  - \frac{q R^2}{2} 
\frac{2}{4dR^2} \Big ( 
\sqrt{d^2-R^2-2Rx} + 
\frac{d^2-R^2}{\sqrt{d^2-R^2-2Rx}}\Big) {\Big\arrowvert^{x=-(d+R)}_{x=-R}} &=&  \\
=  - \frac{q}{4d}  
 \Big ((d+R)+(d-R) - (\sqrt{d^2+R^2} + \frac{d^2-R^2}{\sqrt{d^2+R^2}}) 
\Big ) &= &   \\
= 
\frac{q}{4d} \Big (\frac{2 d^2}{\sqrt{d^2+R^2}} -2d \Big )  =
\frac{q}{2} \Big (\frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}} -1 \Big ) & &\\
\end{eqnarray*}
Il quarto integrale si ottiene sostituendo $q$ e $d$ con $q'$ e $z'$:
\begin{eqnarray*}
-\frac{q' R^2}{2} \int_{\theta'=\pi/2}^{\theta'=\pi}
\frac{{\bf d\cos{\theta'}}(z'\cos{\theta'}-R)}{(z'^2+R^2-2Rz'\cos\theta')^{3/2}} 
& = & \\  
= \frac{q'}{4z'} \Big (\frac{2 z'^2}{\sqrt{z'^2+R^2}} -2z' \Big ) 
= \frac{q'}{2} \Big (\frac{z'}{\sqrt{z'^2+R^2}} -1 \Big ) & &\\
\end{eqnarray*}
La carica totale sulla superficie sferica 
\`e quindi la somma dei quattro integrali:
\begin{eqnarray*}
Q_{sfera} & = & 
\frac{q}{2} \Big ( \frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}} -1 \Big )
+\frac{q'}{2} \Big ( \frac{z'}{\sqrt{z'^2+R^2}} +1 \Big ) +\\
& + & \frac{q}{2} \Big (\frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}} -1 \Big ) +
 \frac{q'}{2} \Big (\frac{z'}{\sqrt{z'^2+R^2}} -1 \Big ) =\\
&=& q\Big ( \frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}} -1 \Big ) +
q' \Big ( \frac{z'}{\sqrt{z'^2+R^2}} \Big) \\
\end{eqnarray*}
Sommando la carica totale indotta sul piano e sulla semisfera si ottiene 
una carica $Q_{tot} =-q$

{\bf secondo modo} 

Si pu\`o utilizzare una superficie di gauss 
di raggio $r\to \infty$ come in figura~\ref{gauss}. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=gauss.eps,width=3 cm}}
\caption{}
\label{gauss}
\end{center}
\end{figure}
Il flusso sulla superficie
all'infinito \`e nullo essendo la somma di due campi di dipoli e quindi va
come $1/r^3$. Il campo all'interno del conduttore e nullo e quindi anche il
suo flusso. Di conseguenza la somma delle cariche all'interno del volume
 \`e nulla e quindi la carica indotta sulla superficie del conduttore \`e
-q.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{large}
{\bf Esercizio 3}
\end{large}
\vskip1cm


Il campo generato dalla sfera conduttrice nella posizione occupata da quella dielettrica \'e (vedi 
figura~\ref{sfere}):
\[
E\:=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}
\]
dove la carica Q posseduta dalla sfera conduttrice \'e data da:
\[
Q\:=\:C V\:=\:4 \pi \epsilon_0 b V
\]
con C la capacit\'a della sfera conduttrice.
Quindi il campo \'e:
\[
\vec{E}\:=\:\frac{b V}{r^2}\frac{\vec{r}}{r}
\]
Essendo grande la distanza della sfera dielettrica da quella conduttrice, il campo visto da
questa pu\'o esser considerato uniforme e parallelo ad $\vec{r}$. Il momento di dipolo acquistato
da una sfera dielettrica in un campo uniforme E, \'e dato da:
\[
\vec{p}\:=\:4 \pi \epsilon_0 \frac{\epsilon_r -1}{\epsilon_r +2} a^3 \vec{E}
\]
Prendendo l'asse z parallelo ad $\vec{r}$ e l'origine nel centro della sfera conduttrice, si ha quindi:
\[
\vec{p}\:=\:4 \pi \epsilon_0 \frac{\chi}{\chi+3}a^3 \vec{E}\:=\:4 \pi \epsilon_0 \frac{\chi}{\chi+3}
\frac{a^3 b V}{r^2} \hat{z}
\]
La forza agente su tale dipolo nel campo generato dalla sfera conduttrice \'e:
\[
\vec{F}\:=\:\left( \vec{p} \cdot \vec{\nabla}\right) \vec{E}
\]
Questa ha solo la componente lungo $\vec{z}$, che vale:
\[
\vec{F}\:=\:4 \pi \epsilon_0 \frac{\chi}{\chi+3} \frac{a^3 b V}{r^2} \frac{\partial}{\partial z}
\frac{b V}{z^2}\hat{z}\:=\:-4 \pi \epsilon_0 \frac{\chi}{\chi+3} \frac{a^3 b V}{z^2} \frac{2 b V}{z^3}\hat{z}\:=
\]
\[
=\: -8 \pi \epsilon_0 \frac{\chi b^2 V^2 a^3}{(\chi + 3) z^5}\hat{z}
\]
dove $z=r$.
Questa \'e rivolta nel verso opposto ad $\hat{z}$ ed \'e quindi attrattiva.

\end{document}






