Prova scritta del corso Fisica Generale IIB - primo appello – 25/1/2002

Esercizio 1

Un ricevitore ed una sorgente di onde sonore (in aria) di frequenza ν_{0}=2000 Hz, sono poste su di un medesimo asse (asse x).

Inizialmente la sorgente é ferma e l’ampiezza delle oscillazioni é di 10^{−4}m. Se il ricevitore é costituito da un dischetto avente raggio R = 10cm, ed esso é posto ad 80 cm di distanza dalla sorgente, si calcoli la potenza media che esso riceve. Si prenda come densitá dell’aria il valore ρ_{0} = 1.2Kg m^{−3}.

Se ora la sorgente inizia a muoversi di moto sinusoidale lungo il medesimo asse, con frequenza angolare ω ed ampiezza a = 50cm, si calcoli per quale valore di ω la larghezza di banda delle onde che arrivano al ricevitore (definita come Δν = ν_{max} − ν_{min}) sará uguale a 200Hz. Si assuma in ogni caso come velocitá di propagazione del suono: c = 340m/s.

Esercizio 2

Un dipolo è posto a distanza d da una sfera conduttrice di raggio R connessa a terra, vedi Figura ??. Il dipolo di intensità p è disposto parallelamente alla congiungete il centro della sfera con la posizione in cui si trova il dipolo.

Figure 1:

• Il sistema di cariche immagini equivalente alla distribuzione indotta sulla sfera conduttrice è composto da una carica ed un dipolo. Trovare l’intensità e la posizione della carica e del dipolo immagine.

• Trovare la forza ed il momento risentiti dal dipolo dovuti dovuti alla interazione con la carica indotta sulla sfera conduttrice.

Esercizio 3

In un condensatore a facce piane parallele di sezione A, poste a distanza l, è presente un dielettrico rigido isotropo di spessore d e sezione A, con costante dielettrica

ϵ = ϵ_{0}(\frac{z − h + d}{d})  (1)

dove z è la distanza dall’armatura inferiore del condensatore (vedi fig. ??).

Figure 2:

Il condensatore è mantenuto ad una differenza di potenziale costante V. Si calcolino:

• il campo elettrico in tutto lo spazio;

• la densità di carica sulle armature e la capacità del condensatore;

• fare un grafico del campo elettrico in funzione di z;

• la densità di carica superficiale e volumetrica di polarizzazione;

• la forza elettrostatica esercitata dal solo dielettrico sull’armatura superiore del condensatore;

• la forza elettrostatica totale a cui è sottoposta l’armatura superiore del condensatore.

• Si supponga ora che il dielettrico sia inserito solo per un tratto x all’interno del condensatore, come mostrato in fig. ??. Siano a e b i lati di ciascuna armatura del condensatore (e del dielettrico). Si calcoli la forza di cui risente il dielettrico. N.B.:per i primi 5 punti si trascurino gli effetti al bordo del condensatore.

Figure 3:

Soluzione

Esercizio 1

Se A é l’ampiezza di oscillazione ed r la distanza del ricevitore, l’intensitá dell’onda sonora é:

I = (\frac{A}{r})^{2} \frac{ω^{2}ρ_{0}}{2} c

dove:

ω = 2πν_{0} = 2π · 2000

ed inoltre:

ρ_{0} = 1.2 Kg/m^{3}
A = 10^{−4}m

e c é la velocitá di propagazione dell’onda sonora: c = 340 m/s.

Si trova allora per la potenza ricevuta:

P = \frac{10^{−8}}{0.8^{2}} \frac{(2π · 2000)^{2} · 1.2}{2} · 340 · π(0.1)^{2} = 15.81W

La larghezza di banda Δν = ν_{max} − ν_{min} é ottenibile da:

ν_{max} = ν_{0} \frac{c}{c − |v_{max}|} = ν_{0} \frac{c}{c − aω}

dove: v = aω cos(ωt); quindi: v_{max} = aω.

ν_{min} = ν_{0} \frac{c}{c + aω}

Δν = ν_{max} − ν_{min} = ν_{0}c (\frac{1}{c − aω} − \frac{1}{c + aω} ) =

= ν_{0}c\frac{2aω}{c^{2} − a^{2}ω^{2}}

Da questa, fissato Δν, si ottiene un’equazione quadratica in ω:

(\frac{Δν}{ν_{0}} a^{2}) ω^{2} + 2acω − \frac{Δν}{ν_{0}} c^{2} = 0

Da cui si ottiene:

ω = c\frac{ν_{0}}{Δν} (\sqrt{1 + (\frac{Δν}{ν_{0}} )^{2}} − 1)

Sostituendo i valori numerici si trova:

ω = 165.95 rad/s

Esercizio 2

Il dipolo può essere visto come due cariche di intensità ±q poste a distanza a. Il problema si può quindi risolvere trovando le cariche immagini delle cariche ±q. Indichiamo con q_{i}^{+} le carica immagine di +q e con q_{i}^{+} la carica immagine di −q. Le cariche immagini hanno intensità :

q_{i}^{−} = +q \frac{R}{d − \frac{a}{2}}  (2)
q_{i}^{+} = −q \frac{R}{d + \frac{a}{2}}  (3)

e sono poste in :

x(q_{i}^{−}) = \frac{R^{2}}{(d − \frac{a}{2})} ≃ \frac{R^{2}}{d} (1 + \frac{a}{2d})  (4)
x(q_{i}^{+}) = \frac{R^{2}}{(d + \frac{a}{2})} ≃ \frac{R^{2}}{d} (1 − \frac{a}{2d})  (5)

dove nel sencondo passaggio il denominatore è stato sviluppato per d >> a. Il potenziale generato dalle cariche che formano il dipolo e dalle cariche immagini ha una superficie equipotenziale a potenziale nullo coincidente con la sfera conduttrice. Il momento di monopolo, cioè la carica totale, del sistema di cariche immagini è :

Q_{i} = q_{i}^{−} + q_{i}^{+} ≃ q \frac{R}{d} (1 + \frac{a}{2d}) − q \frac{R}{d} (1 − \frac{a}{d}) = \frac{qRa}{d^{2}} = \frac{pR}{d^{2}}  (6)

dove è stato utilizzato lo sviluppo al primo ordine in a/d. La carica Q_{i} è posta in :

x(Q_{i}) = \frac{R^{2}}{d}  (7)

Il momento di dipolo del sistema di cariche immagini calcolato rispetto a x(Q_{i}) é :

p⃗_{i} = q_{i}^{+}[x(q_{i}^{+}) − x(Q_{i})] + q_{i}^{−}[x(q_{i}^{−}) − x(Q_{i})]  (8)
= −\frac{qR}{d − \frac{a}{2}} \frac{−a}{2d} + \frac{R}{d + \frac{a}{2}} \frac{a}{2d}  (9)
= \frac{aqR}{2d^{2}} (1 + \frac{a}{2d} − 1 + \frac{a}{2d}) = \frac{pR^{3}}{d^{3}} x̂  (10)

Quindi si hanno una carica ed un dipolo immagine posti entrambi in R^{2}/d che con il dipolo reale generano una superficie equipotenziale coincidente con la sfera conduttrice (figura ??).

Figure 4:

La forza ed il momento risentiti dal dipolo è dovuta a due contributi : quello dovuto all’interazione con la carica immagine F⃗_{Q_{i}} e quello dovuto all’interazione con il dipolo immagine F⃗_{p_{i}}. Considerando che il campo generato dalla carica immagine è :

E⃗_{Q_{i}} = \frac{1}{4πϵ_{0}} Q_{i} \frac{r⃗}{r^{3}}

dove r é la distanza tra la carica immagine ed il dipolo, la forza che questo esercita sul dipolo é:

F⃗_{Q_{i}} = (p_{x} \frac{∂}{∂x}) E⃗_{Q_{i}} = p_{x} \frac{Q_{i}}{4πϵ_{0}} [\frac{∂}{∂x} \frac{xx̂ + yŷ + zẑ}{r^{3}}]_{y=z=0,x=(d−x(Q_{i}))} =

= p_{x} \frac{Q_{i}}{4πϵ_{0}} [\frac{r^{3}x̂ − 3rxr⃗}{r^{6}} ]_{y=z=0,x=(d−x(Q_{i}))} = −p_{x} \frac{2Q_{i}}{4πϵ_{0}} \frac{x̂}{(d − x(Q_{i}))^{3}}

e quindi :

F⃗_{Q_{i}} = −\frac{2p^{2}R}{4πϵ_{0}d^{2}(d − \frac{R^{2}}{d})^{3}} x̂ = −\frac{2p^{2}Rd}{4πϵ_{0}(d^{2} − R^{2})^{3}} x̂  (11)

La forza dovuta all’interazione con il dipolo immagine é data da :

F⃗_{p_{i}} = −\frac{6pp_{i}}{4πϵ_{0}(d − x(p_{i}))^{4}} x̂ = −\frac{6p^{2}R^{3}d}{4πϵ_{0}(d^{2} − R^{2})^{4}} x̂  (12)

Calcolo il momento risentito dal dipolo rispetto ad un polo coincidente con la posizione in cui si trova il dipolo. Il momento è dato da :

M⃗ = p⃗ × (E_{Q_{i}} + E_{p_{i}})  (13)

il contributo dato dall’interazione con la carica immagine è nullo poichè il campo è parallelo al dipolo. Il contributo dovuto all’interazione con il dipolo è :

M⃗_{p} = \frac{1}{4πϵ_{0}(d − x_{p_{i}})^{3}} [3(p⃗_{i} · x̂)(p⃗ × x̂) − (p⃗ × p⃗_{i})] = 0  (14)

e quindi anche questo è nullo.

Esercizio 3

Per la simmetria del problema il campo ha come unica componente la componente E_{z}, ed esiste solo all’interno del condensatore. Dalla relazione ∇·D⃗ = ρ_{libera} si ottiene D_{z} = σ costante, dove σ è la densità di carica libera sull’armatura del condensatore a potenziale V. Il campo elettrico sarà quindi (vedi fig. ??) :

E_{1} = E_{3} = −σ/ϵ_{0}ẑ
E_{2}(z) = −\frac{σd}{ϵ_{0}(z − h + d)}ẑ

Dalla relazione :

V = \frac{σ}{ϵ_{0}} (l − d) + ∫_{h}^{d+h} \frac{σd}{ϵ_{0}(z − h + d)}dz = \frac{σ}{ϵ_{0}} (l − (1 − ln2)d)  (15)

si ottiene:

σ = \frac{ϵ_{0}V}{(l − (1 − ln2)d)}
C = \frac{Q}{V} = \frac{ϵ_{0}A}{(l − (1 − ln2)d)}

Il vettore di polarizzazione è legato al vettore induzione elettrica dalla seguente relazione :

P⃗ = \frac{ϵ_{r} − 1}{ϵ_{r}} D⃗ = −\frac{(z − h)σ}{(z − h) + d}ẑ  (16)

da questo si ottengono le densità superficiali di polarizzazione :

σ_{p1} = P⃗ · n̂|_{z=h+d} = −\frac{σ}{2}  (17)
σ_{p2} = P⃗ · m̂|_{z=h} = 0  (18)
ρ_{pol} = ∇ · P⃗ = \frac{dσ}{(z − h + d)^{2}}  (19)

(20)

dove n̂ e m̂ sono versori ortogonali alle superfici del dielettrico e con verso uscente dallo stesso. Il campo dovuto alle cariche di polarizzazione del dielettrico è nullo al di fuori di esso, infatti l’integrale della densità di volume di carica è uguale contraria alla densità superficiale di carica. Di conseguenza l’unica forza risentita da un’armatura del condensatore è dovuta alle cariche libere. La forza risentita dall’armatura può essere calcolata differenziando l’energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore carico. L’energia elettrostatica è data da :

U = \frac{1}{2}CV^{2} = \frac{ϵ_{0}AV^{2}}{2(l − (1 − ln2)d)}  (21)

quindi la forza è data da :

F⃗ = \frac{∂U}{∂l} ẑ = −\frac{ϵ_{0}AV^{2}}{2(l − (1 − ln2)d)^{2}} = −\frac{σ^{2}A}{2ϵ_{0}}  (22)

dove la forza si ottiene come la derivata dell’energia elettrostatica con segno positivo poiché il sistema è a tensione costante. Nel caso in cui il dielettrico sia parzialmente inserito all’interno del conduttore, come nel caso di figura ?? il condensatore è equivalente a due condensatori connessi in parallelo la cui capacità è :

C = \frac{ϵ_{0}xb}{(l − (1 − ln2)d)} + \frac{ϵ_{0}(a − x)b}{l}  (23)

da cui si ottiene:

F_{x} = \frac{V^{2}}{2} \frac{dC}{dx} = \frac{V^{2}ϵ_{0}b}{2}(\frac{1}{l − (1 − ln2)d)} − \frac{1}{l})  (24)

che tende a risucchiare il dielettrico all’interno del condensatore.