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%
\begin{document}

{\Large Problema sui conduttori}\\

Un conduttore piano infinito ha una sporgenza di forma sferica, di raggio
$R$. La superficie del conduttore \`e invariante per rotazione attorno
all'asse $z$, asse passante per il centro della semisfera e perpendicolare
al conduttore stesso (vedi  fig.~\ref{fig1}).  Il conduttore \`e messo a terra. 
Una carica puntiforme $q$ \`e posta sull'asse $z$  a distanza $d$
dal centro della semisfera, coincidente con l'origine delle
coordinate (vedi fig.~\ref{fig1}). Si calcoli:
\begin{itemize}
\item la forza che agisce sulla carica;
\item l'energia elettrostatica del sistema conduttore pi\`u carica;
\item la densit\`a di carica e la carica totale 
indotta sulla superficie del conduttore.
\end{itemize}
{\bf Suggerimento: si consiglia di  procede utilizzando il metodo delle cariche
immagini.}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=cond.eps,width=5 cm}}
\caption{}
\label{fig1}
\end{center}
\end{figure}
\newpage

{\Large Soluzione}

Il problema pu\`o essere risolto utilizzando il metodo delle immagini,
aggiungendo 3 cariche immagini all'interno del conduttore disposte
sull'asse $z$, come mostrato in figura~\ref{fig2}. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=cond_sol.eps,width=8 cm}}
\caption{}
\label{fig2}
\end{center}
\end{figure}
Affinch\`e la semisfera sia a potenziale nullo occorre mettere una carica
immagine $q'=-qR/d$ a distanza $z'=R^2/d$ dall'origine sull'asse $z$. 
Affinch\`e il piano sia a potenziale nullo occorre aggiungere altre due
cariche immagini $q''=-q'$ e $q'''=-q$ a distanza 
$z''=-z'$ e $z'''=-d$, all'interno del conduttore sempre lungo l'asse $z$.
Le cariche  $q''$ e $q'''$ poste in posizione simmetrica
rispetto a $q$ e $q'$ danno un contributo nullo al 
potenziale sulla superficie della semisfera.
\begin{enumerate}
\item la forza che agisce sulla carica \`e la somma delle forze esercitate
da ciascuna immagine sulla carica stessa:
\begin{eqnarray*} 
\vec{F} &= &\vec{F}_{qq'}+\vec{F}_{qq''}+\vec{F}_{qq'''}  = F_z \hat{z}\\
F_z &=& \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \Big(\frac{-qR}{d}\frac{1}{(d-R^2/d)^2}+
\frac{qR}{d}\frac{1}{(d+R^2/d)^2}-\frac{q}{4d^2}\Big) = \\
&=& \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0} 
\Big (\frac{-Rd}{(d^2-R^2)^2}+ \frac{Rd}{(d^2+R^2)^2} 
- \frac{1}{4d^2}\Big); \\
\end{eqnarray*}
Questa forza tende ad attrarre la carica sul piano.

\item l'energia elettrostatica del sistema pu\`o essere calcolata in due
modi:
\begin{enumerate}
\item integrando il prodotto del potenziale per la densit\`a di carica
totale (conduttore + carica) $\sigma_{x,y,z}+q\delta(z-d)$:
\begin{eqnarray*}
U &=& \frac{1}{2} \Big(q\phi'(0,0,d)+
\int_{condutt} \sigma(x,y,z) \phi(x,y,z) dx dy dz \Big ) 
\end{eqnarray*}
dove $\phi'$ `e il potenziale dovuto alla sola densit\`a di carica
superficiale. Il secondo integrale d\`a contributo nullo in quanto \`e
calcolato sulla superficie del conduttore (che \`e a potenziale 0).
$\phi'$ pu\`o essere calcolato come somma di contributi di ciascuna carica 
immagine:
\begin{eqnarray*}
\phi'(0,0,d) & = & \phi_{q'} (0,0,d) + \phi_{q''} (0,0,d)+ 
\phi_{q'''} (0,0,d) \\
& = &-\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{R}{d^2-R^2} +  \frac{q}{4\pi\epsilon_0}
\frac{R}{d^2+R^2} -\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{2d} \\
\end{eqnarray*}
da cui si ricava:
\begin{eqnarray*}
U &=&  \frac{1}{2} q\phi'(0,0,d) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{2}
\Big ( \frac{-R}{d^2-R^2} + \frac{R}{d^2+R^2} -  \frac{1}{2d} \Big)
\end{eqnarray*}
\item come lavoro fatto dalle forze esterne per portare la carica $q$ 
dall'infinito alla posizione $z=d$ (non si compie lavoro per portare 
il piano dall'infinito 
alla configurazione attuale, essendo inizialmente scarico):
\begin{eqnarray*}
U &= &-\int_{\infty}^d F_z dz \\ 
  &= &- \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0} \int_{\infty}^d  
\Big
( \frac{-Rz}{(z^2-R^2)^2}+ \frac{Rz}{(z^2+R^2)^2} 
- \frac{1}{4z^2}\Big)  dz \\
&= & \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0} 
\Big ( \frac{-R^3}{d^4-R^4} - \frac{1}{4d} \Big) \\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\item
La densit\`a di carica indotta sulla superficie del conduttore
si ottiene dalla componente
normale del campo elettrico alla superficie stessa. 
Calcoliamo dapprima la densit\`a
di carica in un punto generico del conduttore in cui il profilo \`e piano 
$((x,y,0)$  con $\sqrt{x^2+y^2}>R)$:
\begin{eqnarray*}
\sigma_{piano} (x,y,0) & = & \epsilon_0 E_{z} \\
&=& -2\frac{q}{4\pi} 
\frac{d}{(x^2+y^2+d^2)^{3/2}} -2 \frac{q'}{4\pi} 
\frac{z'}{(x^2+y^2+z'^2)^{3/2}} \\
\end{eqnarray*}
La densit\`a di carica sulla superficie della semisfera 
\`e (in coordinate sferiche): 
\begin{eqnarray*}
\sigma_{sfera} (R,\theta,\phi)& = & \epsilon_0 E_{r}  
= - \epsilon_0 \frac{\partial\phi}{\partial r}\Big\arrowvert_{r=R}  \\
& = & \frac{1}{4\pi} 
\Big(
\frac{q(R-d\cos\theta)}{(d^2+R^2-2Rd\cos\theta)^{3/2}} + 
\frac{q'(R-z'\cos\theta)}{(z'^2+R^2-2zd\cos\theta)^{3/2}} \Big ) +\\
 &- & \frac{1}{4\pi} 
\Big(
\frac{q(R+d\cos\theta)}{(d^2+R^2+2Rd\cos\theta)^{3/2}} + 
\frac{q'(R+z'\cos\theta)}{(z'^2+R^2+2zd\cos\theta)^{3/2}} \Big )\\
\end{eqnarray*}

\item {\bf primo modo}:
la carica totale pu\`o essere calcolata integrando le due densit\`a di
carica. Utilizziamo le coordinate cilindriche per
integrare sul piano, mentre quelle sferiche per integrare sulla semisfera.
Indichiamo in {\bf grassetto} il differenziale nell'integrale, per
distinguerlo dalla distanza $d$:
\begin{eqnarray*}
Q_{piano} & = & -\int_{R}^{\infty} \Big( 
\frac{2qd}{4\pi} \frac{2\pi \rho {\bf d\rho}}{(\rho^2+d^2)^{3/2}} +   
\frac{2q'z'}{4\pi} \frac{2\pi \rho {\bf d\rho}}{(\rho^2+z'^2)^{3/2}} \Big) = \\
& = & - \Big(\frac{qd}{\sqrt{R^2+d^2}} + 
\frac{qz'}{\sqrt{R^2+z'^2}} \Big )\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
Q_{semisfera} & = & \frac{q}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R-dcos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta} {\bf d\theta}}{(d^2+R^2-2Rdcos\theta)^{3/2}} +   
\frac{q'}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R-z'cos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta}{\bf d\theta}}{(z'^2+R^2-2Rz'cos\theta)^{3/2}} + \\
&-& \Big(
\frac{q}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R+dcos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta}{\bf d\theta}}{(d^2+R^2+2Rdcos\theta)^{3/2}} +  
\frac{q'}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R+z'\cos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta} {\bf d\theta}}{(z'^2+R^2+2Rz'\cos\theta)^{3/2}}  \Big )\\
\end{eqnarray*}
Calcoliamo il primo integrale (il secondo \`e formalmente identico):
\begin{eqnarray*}
\frac{q}{4\pi}
 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R-d\cos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta} {\bf d\theta}}{(d^2+R^2-2Rd\cos\theta)^{3/2}} & =  &  
\frac{q R^2}{2} \int_{\theta=0}^{\theta=\frac{\pi}{2}}
\frac{{\bf d\cos{\theta}}(d\cos{\theta}-R)}{(d^2+R^2-2Rd\cos\theta)^{3/2}} \\
\end{eqnarray*}
ponendo $x=d\cos{\theta}-R$ l'integrale diventa:
 \begin{eqnarray*}
 \frac{q R^2}{2}   
 \int_{x=d-R}^{x=-R} \frac{x dx}{d (d^2-R^2-2Rx)^{3/2}} & = & \\
=  \frac{q R^2}{2} 
\frac{2}{4dR^2} \Big ( \sqrt{d^2-R^2-2Rx} + 
\frac{d^2-R^2}{\sqrt{d^2-R^2-2Rx}}\Big) {\Big\arrowvert^{x=-R}_{x=d-R}} &=&  \\
=  \frac{q}{4d}  
 \Big (\sqrt{d^2+R^2} + \frac{d^2-R^2}{\sqrt{d^2+R^2}}
- (|d-R| +sgn(d-R)(d+R) \Big ) &= &   \\
= 
\frac{q}{4d} \Big ( \frac{2 d^2}{\sqrt{d^2+R^2}} -2d \Big ) 
= \frac{q}{2} \Big ( \frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}} -1 \Big ) && \\
\end{eqnarray*}
Il secondo integrale si ottiene sostituendo $q$ e $d$ con $q'$ e $z'$, 
con il {\it caveat} $z'<R$:
  \begin{eqnarray*}
\frac{q'}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R-z'\cos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta}{\bf d\theta}}{(z'^2+R^2-2Rz'\cos\theta)^{3/2}} & =&  \\
=  \frac{q'}{4z'}  
 \Big (\sqrt{z'^2+R^2} + \frac{z'^2-R^2}{\sqrt{z'^2+R^2}}
- (|z'-R| +sgn(z'-R)(z'+R) \Big ) &= &   \\
= 
\frac{q'}{4z'} \Big ( \frac{2 z'^2}{\sqrt{z'^2+R^2}} +2d \Big ) 
= \frac{q'}{2} \Big ( \frac{z'}{\sqrt{z'^2+R^2}} +1 \Big ) & & \\
\end{eqnarray*}
Il terzo integrale pu\`o essere calcolato nel seguente modo:
\begin{eqnarray*}
-\frac{q}{4\pi}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(R+d\cos\theta) 2\pi R^2 
\sin{\theta}{\bf d\theta}}{(d^2+R^2+2Rd\cos\theta)^{3/2}} & =&
-\frac{q R^2}{2} \int_{\theta'=\pi/2}^{\theta'=\pi}
\frac{d\cos{\theta'}(d\cos{\theta'}-R)}{(d^2+R^2-2Rd\cos\theta')^{3/2}} \\
\end{eqnarray*}
quindi l'integrando \`e formalmente indentico al primo a parte il segno
globale. Possiamo quindi usare la stessa sostituzione $x=d\cos{\theta'}-R$
e l'integrale diventa:
 \begin{eqnarray*}
- \frac{q R^2}{2}   
 \int_{x=-R}^{x=-(d+R)} \frac{x dx}{d (d^2-R^2-2Rx)^{3/2}} & = & \\
=  - \frac{q R^2}{2} 
\frac{2}{4dR^2} \Big ( 
\sqrt{d^2-R^2-2Rx} + 
\frac{d^2-R^2}{\sqrt{d^2-R^2-2Rx}}\Big) {\Big\arrowvert^{x=-(d+R)}_{x=-R}} &=&  \\
=  - \frac{q}{4d}  
 \Big ((d+R)+(d-R) - (\sqrt{d^2+R^2} + \frac{d^2-R^2}{\sqrt{d^2+R^2}}) 
\Big ) &= &   \\
= 
\frac{q}{4d} \Big (\frac{2 d^2}{\sqrt{d^2+R^2}} -2d \Big )  =
\frac{q}{2} \Big (\frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}} -1 \Big ) & &\\
\end{eqnarray*}
Il quarto integrale si ottiene sostituendo $q$ e $d$ con $q'$ e $z'$:
\begin{eqnarray*}
-\frac{q' R^2}{2} \int_{\theta'=\pi/2}^{\theta'=\pi}
\frac{{\bf d\cos{\theta'}}(z'\cos{\theta'}-R)}{(z'^2+R^2-2Rz'\cos\theta')^{3/2}} 
& = & \\  
= \frac{q'}{4z'} \Big (\frac{2 z'^2}{\sqrt{z'^2+R^2}} -2z' \Big ) 
= \frac{q'}{2} \Big (\frac{z'}{\sqrt{z'^2+R^2}} -1 \Big ) & &\\
\end{eqnarray*}
La carica totale sulla superficie sferica 
\`e quindi la somma dei quattro integrali:
\begin{eqnarray*}
Q_{sfera} & = & 
\frac{q}{2} \Big ( \frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}} -1 \Big )
+\frac{q'}{2} \Big ( \frac{z'}{\sqrt{z'^2+R^2}} +1 \Big ) +\\
& + & \frac{q}{2} \Big (\frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}} -1 \Big ) +
 \frac{q'}{2} \Big (\frac{z'}{\sqrt{z'^2+R^2}} -1 \Big ) =\\
&=& q\Big ( \frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}} -1 \Big ) +
q' \Big ( \frac{z'}{\sqrt{z'^2+R^2}} \Big) \\
\end{eqnarray*}
Sommando la carica totale indotta sul piano e sulla semisfera si ottiene 
una carica $Q_{tot} =-q$

{\bf secondo modo} 

Si pu\`o utilizzare una superficie di gauss 
di raggio $r\to \infty$ come in figura~\ref{gauss}. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=gauss.eps,width=3 cm}}
\caption{}
\label{gauss}
\end{center}
\end{figure}
Il flusso sulla superficie
all'infinito \`e nullo essendo la somma di due campi di dipoli e quindi va
come $1/r^3$. Il campo all'interno del conduttore e nullo e quindi anche il
suo flusso. Di conseguenza la somma delle cariche all'interno del volume
 \`e nulla e quindi la carica indotta sulla superficie del conduttore \`e
-q.
\end{enumerate}
\end{document}


 




   



















\end{enumerate}


\end{document}





 




