Problema sulle correnti

Aprile 2002

Indichiamo con J(r) la densitá di corrente, con E(r) il campo e con ρ(r) la densitá di carica di volume. Le equazioni da soddisfare sono:

∇ · E⃗ = \frac{ρ(r)}{ϵ_{0}} (1)

J⃗ = σ(r)E⃗

Inoltre, l’equazione di continuitá, in condizioni stazionarie (ρ(t) = costante) fornisce:

∇ · J⃗ = 0

Poiché il problema ha simmetria cilindrica, nell’espressione della divergenza rimane solo il termine radiale. Le ultime due equazioni scritte danno allora:

∇ · σE⃗ = 0

cioé:

\frac{1}{r} (σ(r)E(r) + r\frac{∂(σ(r)E(r))}{∂r}) = 0

Sostituendo in questa l’espressione data per σ(r) ed effettuando le derivate, si trova:

(\frac{a}{r})^{2} E(r) + r\frac{∂}{∂r} [(\frac{a}{r})^{2} E(r)] = 0

da cui si ottiene:

−E(r) + r\frac{∂E(r)}{∂r} = 0

La cui soluzione é:

E(r) = Kr

con k una costante da determinare imponendo che la differenza di potenziale tra le armature sia qualla data (V).

∫_{a}^{b} E(r)dr = V

da cui:

K \frac{b^{2} − a^{2}}{2} = V

cioé:

K = \frac{2V}{b^{2} − a^{2}}

La densitá di carica ρ(r) puó ora esser ottenuta dall’equazione 1:

E(r) + r\frac{∂E(r)}{∂r} = \frac{rρ(r)}{ϵ_{0}}

Sostituendo in questa l’espressione ricavata per E(r) si trova poi:

2Kr = \frac{r}{ϵ_{0}} ρ(r)

da cui:

ρ(r) = 2Kϵ_{0} = 4ϵ_{0} \frac{V}{b^{2} − a^{2}}

La corrente totale I si ottiene integrando J (data da σ(r)E(r)) su di una superficie cilindrica di raggio r ed altezza L:

I = 2πrLJ = σ_{a} \frac{a^{2}}{b^{2} − a^{2}} 4πLV

da cui si ottiene la resistenza:

R = \frac{V}{I} = \frac{b^{2} − a^{2}}{a^{2}} \frac{1}{4πLσ_{a}}

La densitá di carica di volume é quindi costante ed uguale a ρ. Quella di superficie é data dal valore di ϵ_{0}E(r) sulle superfici delle armature.

Se il materiale posto tra le armature é un dielettrico, con:

ϵ = ϵ_{0} (1 + k cos^{2} θ) le equazioni da soddisfare sono:

∇ · D⃗ = 0

∇ · J⃗ = 0

cioé:

∇ · ϵE⃗ = 0
∇ · σE⃗ = 0

In coordinate cilindriche la prima di queste diventa:

E_{r} + r\frac{∂E_{r}}{∂r} = \frac{2k sin θ cos θ}{1 + k cos^{2} θ}E_{θ} − \frac{∂E_{θ}}{∂θ} (2)

e la seconda:

\frac{∂}{∂r} (rσE_{r}) + \frac{∂(σE_{θ}}{∂θ} = 0

cioé:

σE_{r} + rE_{r} \frac{∂σ}{∂r} + rσ \frac{∂E_{r}}{∂r} + σ \frac{∂E_{θ}}{∂θ} = 0

da cui:

E_{r}(1 − 2σ_{a}) + r\frac{∂E_{r}}{∂r} + \frac{∂E_{θ}}{∂θ} = 0

ed infine:

\frac{∂E_{θ}}{∂θ} = E_{r}(2σ_{a} − 1) − r\frac{∂}{∂r}E_{r}

Sostituendo questa nella 2 si ottiene:

E_{r} = \frac{k}{σ_{a}} \frac{sin θ cos θ}{1 + cos^{2} θ} E_{θ}

da cui si vede che se si annulla la componente θ deve annullarsi anche quella radiale (tranne che per θ = 0 o per θ = π/2).