\documentclass[12pt,fleqn]{article}
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\bibliographystyle{unsrt}
\begin{document}
\title{\bf Problema sulle correnti}
\author{\small }
\author{}
\date{Aprile 2002}
 
\maketitle

\newcommand{\nab}{\vec{\nabla}}
Indichiamo con $J(r)$ la densit\'a di corrente, con $E(r)$ il campo e con $\rho(r)$ la densit\'a
di carica di volume. Le equazioni da soddisfare sono:
\begin{equation}
\nab \cdot \vec{E}\:=\:\frac{\rho(r)}{\epsilon_0}  \label{equ_one}
\end{equation}
\[
\vec{J}\:=\:\sigma(r) \vec{E}
\]
Inoltre, l'equazione di continuit\'a, in condizioni stazionarie ($\rho(t)=costante$) fornisce:
\[
\nab \cdot \vec{J}\:=\:0
\]
Poich\'e il problema ha simmetria cilindrica, nell'espressione della divergenza rimane solo il
termine radiale. Le ultime due equazioni scritte danno allora:
\[
\nab \cdot \sigma \vec{E}\:=\:0
\]
cio\'e:
\[
\frac{1}{r}\left(\sigma(r) E(r) + r \frac{\partial (\sigma(r) E(r))}{\partial r}\right) \:=\:0
\]
Sostituendo in questa l'espressione data per $\sigma(r)$ ed effettuando le derivate, si trova:
\[
\left(\frac{a}{r}\right)^2 E(r) + r \frac{\partial}{\partial r}\left[\left(\frac{a}{r}\right)^2 E(r)\right]\:=\:0
\]
da cui si ottiene:
\[
-E(r) + r \frac{\partial E(r)}{\partial r} \:=\:0
\]
La cui soluzione \'e:
\[
E(r)\:=\:K r
\]
con k una costante da determinare imponendo che la differenza di potenziale tra le armature
sia qualla data (V).
\[
\int_a^b E(r) dr \:=\:V
\]
da cui:
\[
K \frac{b^2 - a^2}{2} \:=\:V
\]
cio\'e:
\[
K\:=\:\frac{2 V}{b^2 - a^2}
\]
La densit\'a di carica $\rho(r)$ pu\'o ora esser ottenuta dall'equazione~\ref{equ_one}:
\[
E(r) + r \frac{\partial E(r)}{\partial r}\:=\:\frac{r \rho(r)}{\epsilon_0}
\]
Sostituendo in questa l'espressione ricavata per $E(r)$ si trova poi:
\[
2 K r \:=\:\frac{r}{\epsilon_0} \rho(r)
\]
da cui:
\[
\rho(r)\:=\: 2 K \epsilon_0\:=\:4 \epsilon_0 \frac{V}{b^2 - a^2}
\]
La corrente totale I si ottiene integrando $J$ (data da $\sigma(r) E(r)$) su di una superficie
cilindrica di raggio r ed altezza L:
\[
I\:=\:2 \pi r L J \: = \: \sigma_a \frac{a^2}{b^2-a^2} 4 \pi L V
\]
da cui si ottiene la resistenza:
\[
R\:=\:\frac{V}{I}\:=\:\frac{b^2 - a^2}{a^2} \frac{1}{4 \pi L \sigma_a}
\]
La densit\'a di carica di volume \'e quindi costante ed uguale a $\rho$. Quella di
superficie \'e data dal valore di $\epsilon_0 E(r)$ sulle superfici delle armature.

\newpage

Se il materiale posto tra le armature \'e un dielettrico, con:
\[
\epsilon \:=\: \epsilon_0\left(1 + k \cos^2 \theta \right)
\]
le equazioni da soddisfare sono:
\[
\nab \cdot \vec{D} \:=\: 0
\]
\[
\nab \cdot \vec{J}\:=\:0
\]
cio\'e:
\[
\nab \cdot \epsilon \vec{E} \:=\: 0
\]
\[
\nab \cdot \sigma \vec{E}\:=\:0
\]
In coordinate cilindriche la prima di queste diventa:
\begin{equation}
E_r + r \frac{\partial E_r}{\partial r} \:=\: \frac{2 k \sin \theta \cos \theta}{1 + k \cos^2 \theta} E_{\theta} - \frac{\partial E_{\theta}}{\partial \theta} \label{divj}
\end{equation}
e la seconda:
\[
\frac{\partial}{\partial r} \left( r \sigma E_r \right) + \frac{\partial (\sigma E_{\theta}}{\partial \theta} \:=\:0
\]
cio\'e:
\[
\sigma E_r + r E_r \frac{\partial \sigma }{\partial r} + r \sigma \frac{\partial E_r}{\partial r} + \sigma \frac{\partial E_{\theta}}{\partial \theta}\:=\:0
\]
da cui:
\[
E_r(1 - 2 \sigma_a) + r \frac{\partial E_r}{\partial r}+ \frac{\partial E_{\theta}}{\partial \theta} \:=\:0
\]
ed infine:
\[
\frac{\partial E_{\theta}}{\partial \theta}\:=\:E_r (2 \sigma_a - 1) - r \frac{\partial}{\partial r} E_r
\]
Sostituendo questa nella~\ref{divj} si ottiene:
\[
E_r \:=\:\frac{k}{\sigma_a} \frac{ \sin \theta \cos \theta}{1+\cos^2 \theta} \,E_{\theta}
\]
da cui si vede che se si annulla la componente $\theta$ deve annullarsi anche quella
radiale (tranne che per $\theta = 0$ o per $\theta = \pi/2$).



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