Misura di e/m con il metodo di Hoag

 

 

 

Velocita’ dell’elettrone alla fine dello stadio d’accelerazione:

 

 

tempo trascorso tra le placchette deflettrici:

 

 

spostamento laterale:

 

 

velocita’ perpendicolare:

 

 

cioe’ l’elettrone, se si ignora B, si sposta lateralmente di soli 0.42 mm, mentre acquista una velocita’ trasversa di 8.5 105 m/s.

 

 

Trattazione semplificata:

 

Ignoriamo l’effetto di B nell’intervallo di tempo (1 ns) che l’elettrone trascorre tra le armature.

Vt= velocita’ nel piano trasverso all’uscita delle armature.

 

w = (e/m) B

r = (m/e) Vt /B

 

Velocita’ angolare indipendente dal raggio del cerchio

 

Elettroni su orbite di raggio maggiore viaggiano piu’ velocemente.

 

Dato il potenziale acceleratore V, la velocita’ iniziale sara’:

 

 

tempo per raggiungere lo schermo:

se tale tempo uguaglia quello che occorre per un giro completo:

 

 

segue:

 

 

Focalizzazioni successive (rotazioni di multipli di 2p) danno:

 

 

 

 

 

 

Relazioni "esatte":

 

Poniamo:

 

; ; ; ;

 

 

Equazioni che tengono conto del moto dell’elettrone tra le armature (tenendo conto sia di B che di E):

 

 

 

Verifichiamo sotto quali condizioni l’equazione esatta da’ il medesimo risultato di quella originale.

 

Poniamo:

 

 

L’equazione originale:

 

 

si puo’ modificare come segue:

 

 

poniamo f=0.5 e diamo a p un valore arbitrario (e.g. 5):

 

 

Sostituendo nelle espressioni di x ed y, si trova:

X = 0

Y = 0.06 a/w2 = 1.8 mm

 

Avendo preso: E = 5000 V/m, d (distanza tra le armature) 1 cm e

B = 4 10-3 T

 

Quindi l’approssimazione e’ buona.

 

 

 

 

MISURA DI e/m CON IL METODO DI HOAG

 

Sistema di riferimento:

 

x

-E

 

B

z

y

 

 

Calcolo dettagliato delle coordinate del punto d'arrivo sullo schermo:

Per lo studio del moto dividiamo i calcoli in due parti:

La prima parte integra le equazioni del moto all'interno delle piastre deflettrici, la seconda si occupa del moto dall'uscita delle piastre allo schermo del tubo catodico.

Sia vo la velocita' che l'elettrone acquista grazie alla d.d.p. VA tra il catodo e l'anodo del tubo catodico, cioe` la velocita' dell’elettrone prima di entrare tra le armature deflettrici:

 

In presenza del solo campo elettrico avrei:

 

Questa accelerazione genera una componente della velocita' lungo l'asse x che chiamo vn, e quindi la carica risente di una forza dovuta al campo magnetico, che e' diretto come l'asse z.

 

 

Sull'elettrone avro' percio' una risultante:

 

Calcoliamo il prodotto vettoriale:

 

Risolviamo il moto componente per componente

 

 

Ponendo

 

avro':

 

Introducendo ora la variabile complessa:

sommando le prime due equazioni del sistema abbiamo:

La soluzione di questa equazione differenziale e':

 

con c costante appartenente ai numeri complessi da determinarsi in base alla condizioni iniziali.

Ponendo

 

e ricordando la definizione di r possiamo scrivere

 

 

Poiche' a t=0 come condizioni al contorno abbiamo

ricaviamo

Riscrivo le equazioni:

Se integriamo ulteriormente ricaviamo le equazioni del moto.

 

Il moto e' una cicloide. All'uscita delle piastre, dopo un tempo t1=l1/vo, indicando con :

 

le coordinate dell'elettrone saranno:

 

e le velocita' :

 

Nella seconda parte del moto abbiamo E = 0 , cioe' a = 0.

Le equazioni del moto risultano essere:

 

Integrando tali equazioni con il metodo gia’ impiegato, otteniamo:

Imponendo come condizione iniziale la velocita' con cui l'elettrone e' uscito dalle piastre ricaviamo:

 

Integrando nuovamente le equazioni che esprimono le velocita' e imponendo come condizione iniziale la posizione dell'elettrone all'uscita delle piastre, otteniamo le equazioni del moto:

 

L'elettrone allora giunge sullo schermo al tempo:

Misurato a partire dall’istante in cui esso e’ uscito dalle piastre.

 

Indichiamo con :

Percio' le coordinate dell'elettrone sullo schermo sono:

 

 

Questa è la formula che useremo per il calcolo di e/m.

 

 

 

 

Le grandezze che compaiono sono:

 

n = numero di giri compiuti dall’elettrone

 

L = lunghezza del solenoide

 

d = diametro del solenoide

 

VA = potenziale acceleratore

 

N = numero di spire del solenoide

 

l = lunghezza percorsa dagli elettroni

 

I = corrente che circola nel solenoide

 

 

Dimostriamo come si giunge all’equazione.

 

Ricordiamo alcune equazioni introdotte precedentemente:

 

 

 

Il numero di giri che l’elettrone compie in un tempo t = l/vo è:

 

Sullo schermo si visualizza un punto quando ogni elettrone compie un numero intero n di giri. Se B(n) è il valore del campo magnetico per cui avviene tale contrazione, imponendo

 

 

otteniamo:

 

Elevando al quadrato e sostituendo il valore della velocità angolare ricaviamo:

 

 

In un solenoide infinito il campo magnetico vale:

 

Nel nostro caso, avendo lunghezza finita, il campo sull’asse del solenoide vale:

 

Sostituendo questo valore di B e ricordando che

 

abbiamo: