\documentstyle[11pt,epsfig]{article}
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\begin{document}
%
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%
\title{Prima prova del corso di Fisica Generale IIB -- 8/4/2002}
\author{}
\date{}
\maketitle
\begin{large}
\centerline{\bf Esercizio 1}
\end{large}
\vskip0.5cm
Sia dato un condensatore cilindrico di lunghezza $L$, raggio interno $a$ e raggio esterno $b$, con $L>>a,b$. 
Tra le due armature poste a differenza di potenziale $V$, vi \'e un mezzo di costante dielettrica 
$\epsilon_0$ e conduttivit\'a $\sigma = \sigma_a \cdot (a/r)^2$.
Si calcoli~:
\begin{itemize}
\item il campo elettrico ovunque;
\item la resistenza del condensatore;
\item la densita' di carica libera di volume e di superficie.
\end{itemize}
Il materiale viene poi sostituito con un dielettrico di stessa conducibilit\'a ma 
con constante dielettrica~:
\begin{equation}
\epsilon = \epsilon_0 (1 + k cos^2 \theta) ~~~ k~>~0
\end{equation}
dove $\theta $ \'e l'angolo azimutale, ossia di rotazione intorno all'asse del cilindro.
Si discuta il problema in questa configurazione.
\par
\vskip0.5cm
\begin{large}
\centerline{\bf Esercizio 2}
\end{large}
\vskip0.5cm
Siano dati due nastri conduttori di lunghezza indefinita, larghezza $2a$ e 
spessore trascurabile, disposti parallelelamente a distanza $2b$. 
La loro resistenza elettrica
sia trascurabile. Una corrente uniforme e costante di modulo $I$ scorre come 
disegnato in figura~\ref{fig:ese2-1} (sinistra). 
\begin{itemize}
\item si calcoli il campo di 
induzione magnetica in ogni punto del piano mediano perpendicolare ai
nastri di corrente;
\end{itemize}
Una spira quadrata di lato $2d$, percorsa da una corrente costante $i$ come
in figura~\ref{fig:ese2-1} (destra), di resistenza trascurabile, viene posta 
tra i due nastri di corrente come disegnato in figura~\ref{fig:ese2-1} (destra).
\begin{itemize}
\item si calcoli la forza che la spira risente in una posizione generica tra i 
due nastri;
\item si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni della spira per oscillazioni
lungo l'asse $x$ intorno alla posizione di equilibrio, nel limite $b>>a$ e $b>>d$.
\end{itemize}
\begin{figure}
[hbpt]
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\epsfig{file=ese2-1.eps,width=0.5\textwidth} &
\epsfig{file=ese2-2.eps,width=0.45\textwidth} \\
\end{tabular}
\label{fig:ese2-1}
\end{center}
\end{figure}
\newpage
\centerline{\Large \bf Soluzione}
\vskip1cm
\begin{large}
{\bf Esercizio 1 - Metodo I}
\end{large}
\vskip1cm
Data la simmetria del problema il campo elettrico e’ radiale ed indipendente da z 
(coordinata lungo l’asse del cilindro).
Il campo elettrico sulla superficie della armatura interna, $r=a$ vale~: 
\begin{equation}
\vec E(a) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 a} \hat r
\end{equation}
Consideriamo ora una superficie cilindrica di raggio $r$ e altezza $\Delta z$ ed
utilizziando la condizione di stazionariet\'a della corrente imponiamo che il 
flusso della densit\'a di corrente $\vec J$ sia nullo~:
\begin{equation}
J(a) 2\pi a \Delta z = J(r) 2\pi r \Delta z ~~\rightarrow~~ \sigma(a)  E(a)  2\pi a \Delta z =  \sigma(r)  E(r)  2\pi a \Delta z
\end{equation}
quindi si ottiene~:
\begin{equation}
\vec E(r) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 a^2} r 
\end{equation}
La corrente \`e quindi data dal flusso della densit\'a di corrente attraverso una superficie
cilindrica~:
\begin{equation}
i = \sigma(a) E(a) 2\pi a L = \frac{\sigma_a \lambda L }{\epsilon_0} 
\end{equation}
La differenza di potenziale \'e data da~:
\begin{equation}
V = \int_a^b E(r) dr ~~\rightarrow~~ V = \frac{\lambda L }{4 \pi \epsilon_0 a^2}(b^2 - a^2) 
\end{equation}
da cui si puo' ricavare $\lambda$.
La resistenza a questo punto pu\'o essere ricavata come~:
\begin{equation}
R = \frac{V}{i} = \frac{b^2 - a^2}{4 \pi \sigma_a L a^2}
\end{equation}
Alternativamente si pu\'o ottenere la resistenza come resistenza equivalente di cilindri 
di raggio $dr$ e lunghezza $L$ connessi in serie~:
\begin{equation}
R = \int_a^b \frac{\rho_a r^2}{a^2 2 \pi r L } dr = \frac{1}{\sigma_a 2\pi La^2} \int_a^b r dr = \frac{b^2 - a^2}{\sigma_a 4 \pi L a^2 }
\end{equation}
La densit\'a di carica libera di volume \'e~:
\begin{equation}
\rho (r) = \vec \nabla \vec D = \frac{\lambda}{2 \pi a^2} \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r} r^2 = \frac{\lambda}{\pi a^2}
\end{equation}
Consideriamo ora il caso in cui il materiale all'interno del condensatore venga
sostituito con un materiale di costante dielettrica data da~:
\begin{equation}
\epsilon = \epsilon_0 (1 + k cos^2 \theta) ~~~ k~>~0
\end{equation}
Le superfici del cilindro ad $r = a$ ed a $r = b$ sono superfici equipotenziali
quindi il potenziale su queste superfici non dipende da $\theta$. Poich\'e il potenziale
deve essere una funzione continua per $a < r < b $ il potenziale \'e indipendente
da $\theta$. Quindi solo la componente radiale di $\vec E$ \'e non nulla. Inoltre 
essa non dipende da $\theta$.
Il campo per $r=a$ deve quindi essere della forma~:
\begin{equation}
E(a) = \frac{A}{a}
\end{equation}
dove $A$ \'e una costante che pu\'o essere determinata applicando il teorema
di Gauss~:
\begin{equation}
\int_0^2\pi D(a) L a d\theta = \int_0^2pi (1 + \epsilon_0 cos^2 \theta) \frac{A}{a} L a d\theta = \lambda L 2\pi a 
\end{equation}
da cui si ottiene~:
\begin{equation}
E(a) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 (1 + k/2) a }
\end{equation}
a questo punto la soluzione \'e del tutto indentica a quella ottenuta con il materiale con $\epsilon$
costante a parte la sostituzione di $\epsilon_0$ con $\epsilon_0(1 + k/2)$.
\vskip1cm
\begin{large}
{\bf Esercizio 1 - Metodo II}
\end{large}
\vskip1cm
Lo stesso esercizio pu\'o essere risolto in modo alternativo utilizzando
il procedimento descritto qui di sguito.
Indichiamo con $J(r)$ la densit\'a di corrente, con $E(r)$ il campo e con $\rho(r)$ la densit\'a
di carica di volume. Le equazioni da soddisfare sono:
\begin{equation}
\nab \cdot \vec{E}\:=\:\frac{\rho(r)}{\epsilon_0}  \label{equ_one}
\end{equation}
\[
\vec{J}\:=\:\sigma(r) \vec{E}
\]
Inoltre, l'equazione di continuit\'a, in condizioni stazionarie ($\rho(t)=costante$) fornisce:
\[
\nab \cdot \vec{J}\:=\:0
\]
Poich\'e il problema ha simmetria cilindrica, nell'espressione della divergenza rimane solo il
termine radiale. Le ultime due equazioni scritte danno allora:
\[
\nab \cdot \sigma \vec{E}\:=\:0
\]
cio\'e:
\[
\frac{1}{r}\left(\sigma(r) E(r) + r \frac{\partial (\sigma(r) E(r))}{\partial r}\right) \:=\:0
\]
Sostituendo in questa l'espressione data per $\sigma(r)$ ed effettuando le derivate, si trova:
\[
\left(\frac{a}{r}\right)^2 E(r) + r \frac{\partial}{\partial r}\left[\left(\frac{a}{r}\right)^2 E(r)\right]\:=\:0
\]
da cui si ottiene:
\[
-E(r) + r \frac{\partial E(r)}{\partial r} \:=\:0
\]
La cui soluzione \'e:
\[
E(r)\:=\:K r
\]
con k una costante da determinare imponendo che la differenza di potenziale tra le armature
sia qualla data (V).
\[
\int_a^b E(r) dr \:=\:V
\]
da cui:
\[
K \frac{b^2 - a^2}{2} \:=\:V
\]
cio\'e:
\[
K\:=\:\frac{2 V}{b^2 - a^2}
\]
La densit\'a di carica $\rho(r)$ pu\'o ora esser ottenuta dall'equazione~\ref{equ_one}:
\[
E(r) + r \frac{\partial E(r)}{\partial r}\:=\:\frac{r \rho(r)}{\epsilon_0}
\]
Sostituendo in questa l'espressione ricavata per $E(r)$ si trova poi:
\[
2 K r \:=\:\frac{r}{\epsilon_0} \rho(r)
\]
da cui:
\[
\rho(r)\:=\: 2 K \epsilon_0\:=\:4 \epsilon_0 \frac{V}{b^2 - a^2}
\]
La corrente totale I si ottiene integrando $J$ (data da $\sigma(r) E(r)$) su di una superficie
cilindrica di raggio r ed altezza L:
\[
I\:=\:2 \pi r L J \: = \: \sigma_a \frac{a^2}{b^2-a^2} 4 \pi L V
\]
da cui si ottiene la resistenza:
\[
R\:=\:\frac{V}{I}\:=\:\frac{b^2 - a^2}{a^2} \frac{1}{4 \pi L \sigma_a}
\]
La densit\'a di carica di volume \'e quindi costante ed uguale a $\rho$. Quella di
superficie \'e data dal valore di $\epsilon_0 E(r)$ sulle superfici delle armature.
\vskip1cm
\begin{large}
{\bf Esercizio 2}
\end{large}
\vskip1cm
Data la simmetria del problema il campo di induzione magnetica puo' avere solo componente 
lungo $y$ (vedi figura~\ref{fig:ese2-1}, sinistra) . Il campo si puo' calcolare come somma sovrapposizione 
del campo dei due nastri. Per calcolare il campo di un nastro considero i
contributi infinitesimi del campo generato da fili percorsi da corrente $di$
(figura\ref{fig:ese2-3})~:
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=ese2-3.eps,width=7 cm}}
\caption{}
\label{fig:ese2-3}
\end{center}
\end{figure}
\begin{equation}
dB_{nastro} = \frac{\mu_0 cos\theta di}{2 \pi r } 
\end{equation}
dove $di = Jdy$ e $J$ \'e la densit\'a di corrente che \`e data da $J = I/2a$. 
Poich\'e~:
\begin{eqnarray}
y & = & x tg\theta ~~\rightarrow~~ dy = x\cos^2\theta d\theta \\
r & = & \frac{x}{cos\theta} 
\end{eqnarray} 
sostituendo ed integrando si ottiene~: 
\begin{equation}
B_{nastro} = 2 \int_0^a  \frac{\mu_0 J}{2\pi x} cos^2 \theta dy = 2 \int_0^{atan\frac{a}{x}}  \frac{\mu_0 J}{2\pi } d\theta =  
\frac{\mu_0 J}{\pi  } atan \left ( \frac{a}{x} \right ) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a } atan \left ( \frac{a}{x} \right ) 
\end{equation} 
Quindi il campo totale generato dai due nastri di corrente \'e dato da~:
\begin{equation}
\vec B =  \frac{\mu_0 I}{2\pi a } \left ( atan \left ( \frac{a}{x} \right ) +  atan \left ( \frac{a}{2b - x} \right ) \right ) \hat y
\end{equation}
Se si considera una spira che pu\'o traslare lungo la direzione $x$ si pu\'o calcolare la forza 
come~:
\begin{equation}
\vec F = \vec m \frac{\partial \vec B}{\partial x} \hat x
\end{equation}
dove $\vec m = - 4d^2i \hat y$. Il campo $B$ pu\'o essere riscritto in funzione della distanza $\delta$
dal centro dei due nastri~:
\begin{equation}
\vec B =  \frac{\mu_0 J}{\pi a } \left ( atan\left (\frac{a}{b+\delta} \right ) +  atan \left (\frac{a}{b - \delta} \right )\right ) \hat y
\end{equation}
la forza risentita dalla spira \'e data da~:
\begin{equation}
F_x = - m\frac{\partial B}{\partial \delta} = - \frac{m\mu_0 I}{2 \pi a} \left [ \frac{1}{(b-\delta)^2 + a^2} - \frac{1}{(b+\delta)^2 + a^2} \right ]
\end{equation}
si vede che per $\delta = 0$ si ha $F_x = 0$. 
Nell'approssimazione $b>>a$ e $b>>d$ si ha~:
\begin{equation}
F_x \simeq - \frac{m\mu_0I}{2\pi b^2} \left ( \frac{1}{1 - \frac{2\delta}{b} } -  \frac{1}{1 + \frac{2\delta}{b} } \right ) 
\simeq - \frac{m\mu_0I}{2\pi}\frac{4\delta}{b^3}
\end{equation}
Il periodo delle piccole oscillazioni \'e quindi~:
\begin{equation}
T = \sqrt{ \frac{\pi M b^3}{m\mu_0I2}}
\end{equation}
\end{document}





