Corso di Fisica bI: secondo compitino

9 Gennaio 2001

1 Elettrostatica in presenza di conduttori

Due sfere conduttrici di raggi R_{1} e R_{2}, unite da un sottile filo conduttore, sono poste a distanza L >> R_{1}, R_{2}. La sfera 1 è connessa ad un generatore di tensione V_{0}.

• Si calcolino le distribuzioni di carica sulle superfici delle due sfere all’equilibrio.

Il generatore viene ora disconnesso ed una carica q é posta a distanza d_{1} (con d_{1} ≪ L) dal centro della sfera 1 (Figura 1).

Figura 1:

• Si calcolino, in questa nuova situazione, le cariche immagini che darebbero origine ad un potenziale uguale a quello reale.

Un dipolo é ora posto a distanza d_{2} dalla sfera 2. L’orientazione del dipolo è ortogonale alla congiungente il centro della sfera con il dipolo (Figura 2).

Figura 2:

• Si trovino le cariche immagini equivalenti a questa nuova configurazione;

• Si determini la forza ed il momento risentito dal dipolo. Si calcoli il momento prendendo come polo il punto in cui si trova il dipolo stesso.

Figura 3:

2 Elettrostatica in presenza di dielettrici

Una distribuzione lineare di carica, di valore λ_{l}, é posta in un mezzo di costante dielettrica ϵ_{r1}, parallelamente ad un piano che separa tale mezzo da un secondo di costante dielettrica ϵ_{r2} ed ad una distanza a da tale piano (vedi figura 3).

Supponendo entrambi i mezzi di estensione (semi)infinita e la distribuzione lineare infinitamente lunga, si calcolino:

a i potenziali nei due mezzi

b il campo elettrico sulla superficie di separazione in entrambi i mezzi, in funzione della coordinata y (vedi figura)

c la densitá superficiale delle cariche di polarizzazione in funzione della medesima variabile

d la forza per unitá di lunghezza agente sulla linea

Suggerimento: Si puó procedere facendo uso del metodo delle immagini, in modo analogo al caso del problema di una carica puntifome posta di fronte ad un piano dielettrico infinito.

Soluzioni

Soluzione esercizio 1

Le due sfere sono allo stesso potenziale V_{0} e poichè sono poste a distanza L >> R_{1}, R_{2} é lecito trascurare gli effetti di induzione, per cui:

\frac{Q_{1}}{4πϵ_{0}R_{1}} = \frac{Q_{2}}{4πϵ_{0}R_{2}} = V_{0} (1)

da cui si ottiene :

Q_{1} = 4πϵ_{0}V_{0}R_{1} Q_{2} = 4πϵ_{0}V_{0}R_{2} (2)

Le cariche Q_{1} e Q_{2} sono distribuite uniformemente sulle superfici delle due sfere.

Quando il generatore di tensione viene disconnesso e la carica q avvicinata alla sfera 1, la condizione che dovrà essere soddisfatta è che la carica totale dell’insieme delle due sfere rimanga uguale a Q_{0}:

Q_{0} = Q′_{1} + Q′_{2} (3)

dove Q′_{1} e Q′_{2} sono le nuove cariche sulle sfere.

Il potenziale della configurazione mostrata in figura 1 può essere ottenuto con il metodo delle cariche immagini. Una carica immagine q_{i_{1}} = −qR_{1}/d_{1} è posta a sinistra del centro della sfera di raggio R_{1}, a distanza da questo data da: x_{i_{1}} = R_{1}^{2}/d_{1}.

Infatti, il potenziale generato dalla carica q_{i_{1}} e dalla carica q ha come superficie equipotenziale a potenziale nullo, la sfera di raggio R_{1} e centro coincidente con quello della sfera 1. Le condizioni al contorno da imporre sono quella che:

1. La somma delle cariche Q′_{1} e Q′_{2} sia uguale a Q_{0}

2. I potenziali delle due sfere siano uguali.

Avendo introdotto la carica immagine q_{i_{1}} all’interno della sfera 1 e nessuna carica immagine all’interno della sfera 2, dobbiamo introdurre due ulteriori cariche q′_{i_{1}} e q′_{i_{2}}, poste rispettivamente al centro delle sfere 1 e 2, tali che la carica della sfera 1 sia uguale a Q′_{1}, quella della sfera 2 a Q′_{2} e che le due sfere siano allo stesso potenziale. Le cariche saranno legate dalle relazioni:

Q′_{1} = q_{i_{1}} + q′_{i_{1}}  (4)
Q′_{2} = q′_{i_{2}}  (5)
Q_{0} = Q′_{1} + Q′_{2}  (6)

(7)

cioé:

Q_{0} = q_{i_{1}} + q′_{i_{1}} + q′_{i_{2}}

La condizione di uguaglianza dei potenziali si traduce in:

\frac{q′_{i_{1}}}{R_{1}} = \frac{q′_{i_{2}}}{R_{2}}

Da queste equazioni si ottiene:

q′_{i_{1}} = \frac{(Q_{0} − q_{i_{1}})R_{1}}{R_{1} + R_{2}}  (8)
q′_{2_{1}} = \frac{(Q_{0} − q_{i_{1}})R_{2}}{R_{1} + R_{2}}  (9)

Le nuove cariche Q′_{1} e Q′_{2} delle due sfere sono facilmente ottenibili da queste equazioni:

Q′_{1} = q_{i1} + q′_{i1} = −q \frac{R_{1}}{d_{1}} + R_{1} \frac{Q_{0} + qR_{1}/d_{1}}{R_{1} + R_{2}}

cioé:

Q′_{1} = Q_{0} \frac{R_{1}}{R_{1} + R_{2}} − \frac{q}{d_{1}} \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}} =

= Q_{1} + q_{i1} \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

ed ovviamente:

Q′_{2} = Q_{2} − q_{i1} \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}}

Consideriamo ora la configurazione in cui il dipolo è posto davanti alla sfera 2. Esso può essere visto come due cariche ±q_{p} poste a distanza a. Le due cariche immagini delle cariche q_{p} sono poste sulle rette che congiungono rispettivamente la carica +q_{d} e quella −q_{d} con il centro della sfera.

Indichiamo rispettivamente con q_{i_{d}}^{+} e q_{i_{d}}^{−} le cariche immagini di quelle +q_{d} e −q_{d} del dipolo. Queste sono poste in due punti le cui distanze A^{±} dal centro della sfera sono:

A^{+} = \frac{R_{2}^{2}}{\sqrt{d_{2}^{2} + (\frac{a}{2})^{2} − 2\frac{a}{2}d_{2} cos α}} ≃ \frac{R_{2}^{2}}{d_{2}} (1 + \frac{a}{2d_{2}} cos α) (10)

A^{−} = \frac{R_{2}^{2}}{\sqrt{d_{2}^{2} + (\frac{a}{2})^{2} + 2\frac{a}{2}d_{2} cos α}} ≃ \frac{R_{2}^{2}}{d_{2}} (1 − \frac{a}{2d_{2}} cos α) (11)

dove α è il supplemento dell’angolo che il dipolo forma con l’asse delle x (asse che passa per il centro delle due sfere e per il dipolo, come mostrato in figura 4).

Per α = π/2 otteniamo:

A^{+} = A^{−} = \frac{R_{2}^{2}}{d_{2}}

ed inoltre avremo q_{i_{d}}^{+} = q_{i_{d}}^{−} = q_{i_{d}}.

Indicando poi con β l’angolo che la congiungente la carica positiva ed il centro della sfera 2 forma con l’asse x (vedi figura), otteniamo (sempre per α = π/2):

cos β ≃ 1

sin β ≃ \frac{a}{2d_{2}}

Per cui le componenti x ed y di A^{+} ed A^{−} sono:

A_{x}^{+} = A^{+} cos β = \frac{R_{2}^{2}}{d_{2}} (12)

A_{y}^{+} = A^{+} sin β = \frac{R_{2}^{2}a}{2d_{2}^{2}} (13)

A_{x}^{−} = A^{−} cos β = \frac{R_{2}^{2}}{d_{2}} (14)

A_{y}^{−} = −A^{−} sin β = −\frac{R_{2}^{2}a}{2d_{2}^{2}} (15)

Le due cariche immagini sono:

Figura 4:

q_{i_{p}} = ±\frac{q_{p}R_{2}}{d_{2}} (16)

La distanza tra le due cariche ±q_{p}, immagini di quelle del dipolo, é:

a_{i} = \frac{R_{2}^{2}a}{d_{2}^{2}} (17)

Le due cariche immagini corrispondono a una carica immagine totale nulla e ad un dipolo immagine pari a :

p⃗_{i} = −\frac{pR_{2}^{3}}{d_{2}^{3}} ŷ (18)

posto a destra del centro della sfera 2, ad una distanza da essa data da:

x_{p_{i}} = \frac{R_{2}^{2}}{d_{2}} (19)

Tale dipolo immagine, insieme al dipolo p⃗, alla carica q ed alla sua immagine q_{i_{1}}, generano un potenziale che ha come superfici equipotenziali a potenziale nullo le superfici sferiche 1 e 2.

La soluzione sará determinata, come nel caso precedente, imponendo le condizioni al contorno :

q_{i_{1}} + q′_{i_{1}} + q′_{i_{2}} = Q_{0}  (20)
\frac{q′_{i_{1}}}{R_{1}} = \frac{q′_{i_{2}}}{R_{2}}  (21)

da cui si ottiene di nuovo :

q′_{i_{1}} = \frac{(Q_{0} − q_{i_{1}})R_{1}}{R_{1} + R_{2}}  (22)
q′_{2_{1}} = \frac{(Q_{0} − q_{i_{1}})R_{2}}{R_{1} + R_{2}}  (23)

dato che il dipolo immagine posto entro la sfera 2 ha carica totale nulla.

La forza agente sul dipolo ha due origini: la forza F⃗_{q} dovuta all’interazione tra la carica q′_{i2} ed il dipolo e quella F⃗_{p} dovuta all’interazione tra i due dipoli. La forza esercitata da un campo E⃗ su di un dipolo p⃗ è data da :

F⃗ = (p⃗ · ∇) · E⃗ (24)

Il campo generato dalla carica q′_{i2} nel generico punto di coordinata r⃗ rispetto all’origine della sfera 2é:

E⃗_{q} = \frac{1}{4πϵ_{0}} q′_{i2} \frac{r⃗}{r^{3}}

Per cui la forza che questo esercita sul dipolo é:

F⃗_{q} = (p_{y} \frac{∂}{∂y} ) E⃗_{q} = p_{y} \frac{q′_{i2}}{4πϵ_{0}} [\frac{∂}{∂y} \frac{xx̂ + yŷ + zẑ}{r^{5}}]_{y=z=0,x=d_{2}} =

= p_{y} \frac{q′_{i2}}{4πϵ_{0}} [\frac{r^{3}ŷ − 3ryr⃗}{r^{6}} ]_{y=z=0,x=d_{2}} = p_{y} \frac{q′_{i2}}{4πϵ_{0}} \frac{ŷ}{d_{2}^{3}}

Analogamente troviamo:

E⃗_{p} = \frac{1}{4πϵ_{0}} [(3\frac{p⃗_{i} · r⃗}{r^{5}} ) r⃗ − \frac{p⃗_{i}}{r^{3}} ]

Cioé:

E_{px} = \frac{3xyp_{iy}}{4πϵ_{0}r^{5}}

E_{py} = p_{iy} \frac{3y^{2} − r^{2}}{4πϵ_{0}r^{5}}

E_{pz} = \frac{3zyp_{iy}}{4πϵ_{0}r^{5}}

Per cui:

F⃗_{p} = \frac{3p_{y}p_{iy}}{4πϵ_{0}} \frac{∂}{∂y} [\frac{xyx̂ + (3y^{2} − r^{2})ŷ + zyẑ}{r^{5}}]_{y=z=0,x=d_{2}−x_{pi}} = \frac{3p_{y}p_{iy}}{4πϵ_{0}} \frac{1}{x^{4}} x̂

E quindi:

F⃗_{p}^{p} = −\frac{3pp_{i}}{4πϵ_{0}(d_{2} − x_{p_{i}})^{4}} x̂

Il momento della forza che agisce su un dipolo posto in un campo esterno calcolato rispetto ad un polo coincidente con la posizione del dipolo è dato da :

M⃗ = p⃗ × E⃗ (25) anche per il momento si hanno due contributi, dovuto il primo (M⃗_{q}) al campo generato

dalla carica q′_{i2} e l’altro (M⃗_{p}) al campo generato dal dipolo-immagine p⃗_{i}:

M⃗_{q} = −\frac{pq′_{i_{2}}}{4πϵ_{0}d_{2}^{2}} ẑ  (26)
M⃗_{p} = \frac{1}{4πϵ_{0}(d_{2} − x_{p_{i}})^{3}} [3(p⃗_{i} · x̂)(p⃗ × x̂) − (p⃗ × p⃗_{i})] = 0  (27)

Soluzione esercizio 2

2.1 Calcolo del potenziale

Il problema puó esser risolto per analogia con l’analogo problema relativo ad una carica puntiforme immersa in un dielettrico e posta di fronte ad una superficie piana che separa il primo dielettrico da un secondo di diversa costante dielettrica.

Il potenziale V_{1}(x, y) nel primo dielettrico é quello generato dalla distribuzione data piú una seconda distribuzione di carica lineare λ′_{l}, parallela alla prima e posta alla medesima distanza ma dalla parte opposta del piano. Il potenziale V_{2}(x, y) nel secondo dielettrico é quello generato da una distribuzione lineare di carica λ′′_{l}, posta dove é la distribuzione originale di carica. I potenziali vanno calcolati ammettendo che l’intero spazio sia riempito di un dielettrico di costante ϵ_{r1} nel primo caso ed ϵ_{r2} nel secondo .

Le condizioni al contorno da imporre sono la continuitá della componente tangenziale di E⃗ e della componente longitudinale di D⃗ sulla superficie di separazione. In termini dei potenziali V_{1} e V_{2} queste si scrivono:

\frac{∂V_{1}}{∂y} = \frac{∂V_{2}}{∂y} (28)

ϵ_{r1} \frac{∂V_{1}}{∂x} = ϵ_{r2} \frac{∂V_{2}}{∂x} (29)

I potenziali V_{1} e V_{2} nel generico punto P sono dati da:

V_{1}(P) = −\frac{1}{2πϵ_{0}} [\frac{λ_{l}}{ϵ_{r1}} ln r_{a} + \frac{λ′_{l}}{ϵ_{r1}} ln r_{b}] (30)

V_{2}(P) = −\frac{1}{2πϵ_{0}} \frac{λ′′_{l}}{ϵ_{r2}} ln r_{a} (31)

Poiché i potenziali sono espressi in funzione della variabile radiale r mentre le condizioni al contorno sono espresse in funzione delle coordinate cartesiane x ed y sulla superficie di separazione, ci occorrono le derivate di ln r_{a} ed ln r_{b} rispetto ad x ed y. Si ha:

r_{a} = \sqrt{y^{2} + (a + x)^{2}}

r_{b} = \sqrt{y^{2} + (a − x)^{2}}

per cui:

\frac{∂ ln r_{a}}{∂y} = \frac{y}{y^{2} + (a + x)^{2}}

\frac{∂ ln r_{b}}{∂y} = \frac{y}{y^{2} + (a − x)^{2}}

\frac{∂ ln r_{a}}{∂x} = \frac{a + x}{y^{2} + (a + x)^{2}}

\frac{∂ ln r_{b}}{∂x} = −\frac{a − x}{y^{2} + (a − x)^{2}}

Si ha quindi:

\frac{∂V_{1}}{∂y} |_{x=0} = −\frac{1}{2πϵ_{0}} [\frac{λ_{l}}{ϵ_{r1}} \frac{y}{y^{2} + a^{2}} + \frac{λ′_{l}}{ϵ_{r1}} \frac{y}{y^{2} + a^{2}} ] = −\frac{1}{2πϵ_{0}ϵ_{r1}} \frac{y}{y^{2} + a^{2}} (λ_{l} + λ′_{l})

\frac{∂V_{1}}{∂x} |_{x=0} = −\frac{1}{2πϵ_{0}} [\frac{λ_{l}}{ϵ_{r1}} \frac{a}{y^{2} + a^{2}} − \frac{λ′_{l}}{ϵ_{r1}} \frac{a}{y^{2} + a^{2}} ] = −\frac{1}{2πϵ_{0}ϵ_{r1}} \frac{a}{y^{2} + a^{2}} (λ_{l} − λ′_{l})

\frac{∂V_{2}}{∂y} |_{x=0} = −\frac{1}{2πϵ_{0}} [\frac{λ′′_{l}}{ϵ_{r2}} \frac{y}{y^{2} + a^{2}} ]

\frac{∂V_{2}}{∂x} |_{x=0} = −\frac{1}{2πϵ_{0}} [\frac{λ′′_{l}}{ϵ_{r2}} \frac{a}{y^{2} + a^{2}} ]

Le condizioni al contorno (28) e (29) ci danno allora:

λ′′_{l} = λ_{l} − λ′_{l}

\frac{λ_{l}}{ϵ_{r1}} + \frac{λ′_{l}}{ϵ_{r1}} = \frac{λ′′_{l}}{ϵ_{r2}}

Da queste si ricavano le incognite λ′_{l} e λ′′_{l}:

λ′_{l} = λ_{l} \frac{ϵ_{r1} − ϵ_{r2}}{ϵ_{r1} + ϵ_{r2}}

λ′′_{l} = λ_{l} \frac{2ϵ_{r2}}{ϵ_{r1} + ϵ_{r2}}

I potenziali sono quindi dati dalle (30) e (31) con i valori di λ′_{l} e λ′′_{l} trovati.

2.2 Campo elettrico

Le componenti x ed y del campo elettrico nel primo mezzo sono date da:

E_{1x} = −\frac{∂V_{1}}{∂x} |_{x=0} = \frac{1}{2πϵ_{0}ϵ_{r1}} \frac{a}{y^{2} + a^{2}} (λ_{l} − λ′_{l}) = \frac{1}{πϵ_{0}ϵ_{r1}} λ_{l} \frac{a}{y^{2} + a^{2}} \frac{ϵ_{r2}}{ϵ_{r1} + ϵ_{r2}}

E_{1y} = −\frac{∂V_{1}}{∂y} |_{x=0} = \frac{1}{2πϵ_{0}ϵ_{r1}} \frac{y}{y^{2} + a^{2}} (λ_{l} + λ′_{l}) = \frac{1}{πϵ_{0}ϵ_{r1}} λ_{l} \frac{y}{y^{2} + a^{2}} \frac{ϵ_{r1}}{ϵ_{r1} + ϵ_{r2}}

Le componenti x ed y del campo elettrico nel secondo mezzo sono date da:

E_{2x} = −\frac{∂V_{2}}{∂x} |_{x=0} = \frac{1}{2πϵ_{0}ϵ_{r2}} λ′′_{l} \frac{a}{y^{2} + a^{2}} = \frac{1}{πϵ_{0}ϵ_{r2}} λ_{l} \frac{a}{y^{2} + a^{2}} \frac{ϵ_{r2}}{ϵ_{r1} + ϵ_{r2}}

E_{2y} = −\frac{∂V_{2}}{∂y} |_{x=0} = \frac{1}{2πϵ_{0}ϵ_{r2}} λ′′_{l} \frac{y}{y^{2} + a^{2}} = \frac{1}{πϵ_{0}ϵ_{r2}} λ_{l} \frac{y}{y^{2} + a^{2}} \frac{ϵ_{r2}}{ϵ_{r1} + ϵ_{r2}}

2.3 Densitá superficiale delle cariche di polarizzazione

Sulla superficie del primo mezzo affacciata al secondo si formerá una densitá di cariche di polarizzazione data da:

σ_{1} = P_{n1} = ϵ_{0} (ϵ_{r1} − 1) E_{1x}

dove abbiamo indicato con P_{n1} la componente del vettore polarizzazione perpendicolare alla superficie.

Analogamente, sulla superficie del secondo mezzo affacciato al primo si formerá una densitá di cariche di polarizzazione data da:

σ_{2} = −P_{n2} = −ϵ_{0} (ϵ_{r2} − 1) E_{2x}

Sostituendo i valori trovati per E_{1x} e per E_{2x} troviamo:

σ = σ_{1} + σ_{2} = ϵ_{0} [(ϵ_{r1} − 1) E_{1x} − (ϵ_{r2} − 1) E_{2x}] = \frac{λ_{l}}{πϵ_{r1}} \frac{ϵ_{r1} − ϵ_{r2}}{ϵ_{r1} + ϵ_{r2}} \frac{a}{y^{2} + a^{2}}

2.4 Forza per unitá di lunghezza agente sulla linea

Per calcolare la forza per unitá di lunghezza, possiamo procedere al calcolo del campo generato dalla distribuzione lineare di carica λ′_{l} nella posizione occupata dalla densitá di carica λ_{l} e moltiplicare poi per λ_{l}. Il campo nel punto considerato avrá diversa da zero la sola componente x, data da:

E′_{x} = −\frac{∂}{∂x} [\frac{−λ′_{l}}{2πϵ_{0}ϵ_{r1}} ln r_{b}]_{x=−a} = \frac{λ_{l}}{2πϵ_{0}ϵ_{r1}} \frac{ϵ_{r1} − ϵ_{r2}}{ϵ_{r1} + ϵ_{r2}} [\frac{∂}{∂x} ln r_{b}]_{x=−a} =

= −\frac{λ_{l}}{πϵ_{0}ϵ_{r1}} \frac{ϵ_{r1} − ϵ_{r2}}{ϵ_{r1} + ϵ_{r2}} \frac{1}{4a}

La forza per unitá di lunghezza é allora:

\frac{λ_{l}^{2}}{4πϵ_{0}ϵ_{r1}} \frac{ϵ_{r2} − ϵ_{r1}}{ϵ_{r1} + ϵ_{r2}} \frac{1}{a}