
\documentclass[12pt,fleqn]{article}
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\begin{document}
\title{\bf Corso di Fisica bI: secondo compitino}
\date{9 Gennaio 2001}
 
\maketitle


\section{Elettrostatica in presenza di conduttori}

\vskip0.5truecm
Due sfere conduttrici di raggi $R_1$ e $R_2$, unite da un sottile filo conduttore, 
sono poste a distanza $L >>  R_1,~R_2$. La sfera 1 \`e connessa ad un generatore di tensione
$V_0$.
\begin{itemize}
\item Si calcolino le distribuzioni di carica sulle superfici delle due sfere all'equilibrio.
\end{itemize}
Il generatore viene ora disconnesso ed una carica $q$ \'e posta a distanza $d_1$ (con $d_1 \ll L$)
dal centro della sfera 1 (Figura~\ref{fig1}).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=090102-1.eps,width=8cm}}
\caption{}
\label{fig1}
\end{center}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item Si calcolino, in questa nuova situazione, le cariche immagini che darebbero origine
ad un potenziale uguale a quello reale.
\end{itemize}
Un dipolo \'e ora posto a distanza $d_2$ dalla sfera 2. L'orientazione del dipolo
\`e ortogonale alla congiungente il centro della sfera con il dipolo (Figura~\ref{fig2}).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=090102-2.eps,width=8cm}}
\caption{}
\label{fig2}
\end{center}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item Si trovino le cariche immagini equivalenti a questa nuova configurazione;
\item Si determini la forza ed il momento risentito dal dipolo. Si calcoli il momento prendendo come
polo il punto in cui si trova il dipolo stesso.
\end{itemize}

\section{Elettrostatica in presenza di dielettrici}

Una distribuzione lineare di carica, di valore $\lambda_l$, \'e posta in un mezzo di
costante dielettrica $\epsilon_{r1}$, parallelamente ad un piano che separa tale mezzo
da un secondo di costante dielettrica $\epsilon_{r2}$ ed ad una distanza a da tale
piano (vedi figura~\ref{figura_com_9_01_01}).

Supponendo entrambi i mezzi di estensione (semi)infinita e la distribuzione lineare
infinitamente lunga, si calcolino:
\begin{description}
	\item[a] i potenziali nei due mezzi
	\item[b] il campo elettrico sulla superficie di separazione in entrambi i mezzi, in funzione della coordinata y (vedi figura)
	\item[c] la densit\'a superficiale delle cariche di polarizzazione in funzione della medesima variabile
	\item[d] la forza per unit\'a di lunghezza agente sulla linea     
\end{description}

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=figura_com_9_01_01,width=10 cm,height=14
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{figura_com_9_01_01}
\end{figure}
Suggerimento: Si pu\'o procedere facendo uso del metodo delle immagini, in modo analogo
al caso del problema di una carica puntifome posta di fronte ad un piano dielettrico
infinito.

\newpage
\centerline {\Large{Soluzioni }}
\vskip1.truecm
\begin{large}
\centerline{\bf Soluzione esercizio 1}
\end{large}
\vskip1.truecm
Le due sfere sono allo stesso potenziale $V_0$ e poich\`e sono poste
a distanza $L >> R_1, R_2$ \'e lecito trascurare gli effetti di induzione,
per cui:
\begin{equation}
\frac{Q_1}{4\pi \epsilon_0 R_1} = \frac{Q_2}{4\pi \epsilon_0 R_2} = V_0
\end{equation}
da cui si ottiene~:
\begin{equation}
Q_1 = 4 \pi \epsilon_0 V_0 R_1~~~Q_2 = 4 \pi \epsilon_0 V_0 R_2
\end{equation}
Le cariche $Q_1$ e $Q_2$ sono distribuite uniformemente sulle superfici delle due sfere.


Quando il generatore di tensione viene disconnesso e la carica q avvicinata alla sfera 1, 
la condizione che dovr\`a essere soddisfatta \`e che la carica totale dell'insieme delle 
due sfere rimanga uguale a $Q_0$:
\begin{equation}
Q_0 = Q_1' + Q_2'
\end{equation}
dove $Q_1'$ e $Q_2'$ sono le nuove cariche sulle sfere.

Il potenziale della configurazione mostrata in figura~\ref{fig1} pu\`o essere
ottenuto con il metodo delle cariche immagini. Una carica immagine
$q_{i_1} = -qR_1/d_1$ \`e posta a sinistra del centro della sfera di raggio $R_1$, 
a distanza da questo data da: $x_{i_1} = R_1^2/d_1$.

Infatti, il potenziale generato dalla carica $q_{i_1}$ e dalla carica $q$ ha come 
superficie equipotenziale a potenziale nullo, la sfera di raggio $R_1$ e centro 
coincidente con quello della sfera 1. Le condizioni al contorno da imporre sono
quella che:
\begin{enumerate}
\item La somma delle cariche $Q_1'$ e $Q_2'$ sia uguale a $Q_0$
\item I potenziali delle due sfere siano uguali.
\end{enumerate}
Avendo introdotto la carica immagine $q_{i_1}$ all'interno della sfera 1 e nessuna
carica immagine all'interno della sfera 2, dobbiamo introdurre due ulteriori
cariche $q_{i_1}'$ e $q_{i_2}'$, poste rispettivamente al centro delle sfere 1 e 2, 
tali che la carica della sfera 1 sia uguale a $Q_1'$, quella della sfera 2 a $Q_2'$ e 
che le due sfere siano allo stesso potenziale. Le cariche saranno legate dalle relazioni:
\begin{eqnarray}
Q_1' & = & q_{i_1} + q_{i_1}' \\
Q_2' & = & q_{i_2}' \\
Q_0  & = & Q_1' + Q_2' \\
\end{eqnarray}

cio\'e:

\[
Q_0 =  q_{i_1} + q_{i_1}' + q_{i_2}'
\]
La condizione di uguaglianza dei potenziali si traduce in:
\[
\frac{q_{i_1}'}{R_1}  =  \frac{q_{i_2}'}{R_2}
\]
Da queste equazioni si ottiene:
\begin{eqnarray}
q_{i_1}' = \frac{(Q_0 - q_{i_1})R_1}{R_1 + R_2} \\
q_{2_1}' = \frac{(Q_0 - q_{i_1})R_2}{R_1 + R_2}
\end{eqnarray}


Le nuove cariche $Q'_1$ e $Q'_2$ delle due sfere sono facilmente ottenibili da
queste equazioni:
\[
Q'_1\:=\:q_{i1}+q'_{i1}\:=\:-q \frac{R_1}{d_1}+R_1 \frac{Q_0 + q R_1/d_1}{R_1+R_2}
\]
cio\'e:
\[
Q'_1\:=\:Q_0 \frac{R_1}{R_1+R_2} -\frac{q}{d_1} \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}\:=
\]
\[
=\:Q_1+q_{i1} \frac{R_2}{R_1+R_2}
\]
ed ovviamente:
\[
Q'_2\:=\:Q_2-q_{i1} \frac{R_2}{R_1+R_2}
\]

Consideriamo ora la configurazione in cui il dipolo \`e posto davanti alla
sfera 2. Esso pu\`o essere visto come due cariche $\pm q_p$ poste a distanza
$a$. Le due cariche immagini delle cariche $q_p$ sono poste sulle rette che congiungono
rispettivamente la carica $+q_d$ e quella $-q_d$ con il centro della sfera.


Indichiamo rispettivamente con $q^+_{i_d}$ e $q^-_{i_d}$ le cariche immagini di quelle
$+q_d$ e $-q_d$ del dipolo. Queste sono poste 
in due punti le cui distanze $A^{\pm}$ dal centro della sfera sono:
\begin{equation}
A^+  =  \frac{R^2_2}{\sqrt{d_2^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \frac{a}{2} d_2 \cos \alpha}} \simeq \frac{R_2^2}{d_2} \left(1+\frac{a}{2 d_2} \cos \alpha\right) 
\end{equation}
\begin{equation}
A^-  =  \frac{R^2_2}{\sqrt{d_2^2 + (\frac{a}{2})^2 + 2 \frac{a}{2} d_2 \cos \alpha}} \simeq \frac{R_2^2}{d_2}\left( 1-\frac{a}{2 d_2} \cos \alpha\right)
\end{equation}
dove $\alpha$ \`e il supplemento dell'angolo che il dipolo forma con l'asse delle x (asse che passa
per il centro delle due sfere e per il dipolo, come mostrato in figura~\ref{fig3}).

Per $\alpha = \pi/2$ otteniamo:

\[
A^+ \:=\:A^-\:=\:\frac{R_2^2}{d_2}
\]
ed inoltre avremo $q^+_{i_d} = q^-_{i_d} = q_{i_d}$.

Indicando poi con $\beta$ l'angolo che la congiungente la carica positiva ed il centro della
sfera 2 forma con l'asse x (vedi figura), otteniamo (sempre per $\alpha = \pi/2$):
\[
\cos \beta \simeq 1
\]
\[
\sin \beta \simeq \frac{a}{2 d_2}
\]
Per cui le componenti x ed y di $A^+$ ed $A^-$ sono:
\begin{equation}
A^+_x \:=\: A^+ \cos \beta \:=\: \frac{R_2^2}{d_2}
\end{equation}
\begin{equation}
A^+_y \:=\: A^+ \sin \beta \:=\:\frac{R_2^2 a}{2 d_2^2}
\end{equation}
\begin{equation}
A^-_x \:=\: A^- \cos \beta  \:=\: \frac{R_2^2}{d_2}
\end{equation}
\begin{equation}
A^-_y \:=\: - A^- \sin \beta \:=\:- \frac{R_2^2 a}{2 d_2^2}
\end{equation}

Le due cariche immagini sono:
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=dip.eps,width=12cm}}
\caption{}
\label{fig3}
\end{center}
\end{figure}

\begin{equation}
q_{i_p} = \pm \frac{q_p R_2}{d_2}
\end{equation}

La distanza tra le due cariche $\pm q_p$, immagini di quelle del dipolo, \'e:

\begin{equation}
a_i = \frac{R_2^2 a}{d_2^2}
\end{equation}
Le due cariche immagini corrispondono a una carica immagine totale nulla e ad un 
dipolo immagine pari a~:
\begin{equation}
\vec{p}_i = - \frac{pR_2^3}{d_2^3} \hat y
\end{equation}
posto a destra del centro della sfera 2, ad una distanza da essa data da:
\begin{equation}
x_{p_i} = \frac{R_2^2}{d_2}
\end{equation}


Tale dipolo immagine, insieme al dipolo $\vec{p}$, alla carica q ed alla sua immagine 
$q_{i_1}$,  generano un potenziale che ha come superfici equipotenziali a potenziale 
nullo le superfici sferiche 1 e 2.

La soluzione sar\'a determinata, come nel caso precedente, imponendo le condizioni al contorno~:

\begin{eqnarray}
q_{i_1} + q_{i_1}' + q_{i_2}' = Q_0 \\
\frac{q_{i_1}'}{R_1} = \frac{q_{i_2}'}{R_2}
\end{eqnarray}
da cui si ottiene di nuovo~:
\begin{eqnarray}
q_{i_1}' = \frac{(Q_0 - q_{i_1})R_1}{R_1 + R_2} \\
q_{2_1}' = \frac{(Q_0 - q_{i_1})R_2}{R_1 + R_2}
\end{eqnarray}
dato che il dipolo immagine posto entro la sfera 2 ha carica totale nulla.

La forza agente sul dipolo ha due origini: la forza $\vec F_q$ dovuta
all'interazione tra la carica $q_{i2}'$ ed il dipolo e quella $\vec F_p$ dovuta 
all'interazione tra i due dipoli. La forza esercitata da un campo $\vec E$ su di
un dipolo $\vec{p}$ \`e data da~:
\begin{equation}
\vec{F} = (\vec p \cdot \vec \nabla ) \cdot \vec E
\end{equation}
Il campo generato dalla carica $q_{i2}'$ nel generico punto di coordinata $\vec{r}$ rispetto
all'origine della sfera 2\'e:
\[
\vec{E}_q \:=\: \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q_{i2}' \frac{\vec{r}}{r^3}
\]
Per cui la forza che questo esercita sul dipolo \'e:
\[
\vec{F}_q\:=\:\left(p_y \frac {\partial}{\partial y} \right) \vec{E}_q\:=\:p_y \frac{q_{i2}'}
{4 \pi \epsilon_0}\left[ \frac{\partial}{\partial y} \frac{x \hat{x} + y \hat{y} + z 
\hat{z}}{r^5}\right]_{y=z=0,x=d_2}\:=
\]
\[
=\:p_y \frac{q_{i2}'}{4 \pi \epsilon_0}\left[ \frac{r^3 \hat{y} - 3 r y  
\vec{r}}{r^6}\right]_{y=z=0,x=d_2}\:=\:p_y
\frac{q_{i2}'}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\hat{y}}{d_2^3} 
\]
Analogamente troviamo:
\[
\vec{E}_p\:=\:\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left[\left(3 \frac{\vec{p}_i \cdot \vec{r}}{r^5}\right)\vec{r}
- \frac{\vec{p_i}}{r^3} \right]
\]
Cio\'e:
\[
E_{px}\:=\:\frac{3 x y p_{iy}}{4 \pi \epsilon_0 r^5}
\]
\[
E_{py}\:=\:p_{iy} \frac{3  y^2 - r^2}{4 \pi \epsilon_0 r^5}
\]
\[
E_{pz}\:=\:\frac{3 z y p_{iy}}{4 \pi \epsilon_0 r^5}
\]
Per cui:
\[
\vec{F}_p\:=\:\frac{3 p_y p_{iy}}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{x y \hat{x} +
(3 y^2 - r^2) \hat{y} + z y \hat{z}}{r^5}\right]_{y=z=0,x=d_2-x_{pi}}\:=\:\frac{3 p_y p_{iy}}{4 \pi 
\epsilon_0} 
\frac{1}{x^4} \hat{x}
\]
E quindi:

\[
\vec F_p^p = - \frac{3 p p_i}{4 \pi \epsilon_0 (d_2 - x_{p_i})^4} \hat{x}
\]

Il momento della forza che agisce su un dipolo posto in un
campo esterno calcolato rispetto ad un polo coincidente con la posizione del dipolo \`e dato da~:
\begin{equation}
\vec M = \vec p \times \vec E
\end{equation}

anche per il momento si hanno due contributi, dovuto il primo ($\vec M_q$) al campo 
generato dalla carica $q_{i2}'$ e  l'altro ($\vec M_p$) al campo generato dal 
dipolo-immagine $\vec{p}_i$:

\begin{eqnarray}
\vec M_q & = & -\frac{pq_{i_2}' }{4 \pi \epsilon_0 d_2^2} \hat z \\
\vec M_p & = & \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (d_2 - x_{p_i})^3}[3(\vec p_i \cdot \hat x)(\vec p \times \hat x) - (\vec p \times \vec p_i)] = 0
\end{eqnarray}


\newpage


\begin{large}
\centerline{\bf Soluzione esercizio 2}
\end{large}

\subsection{Calcolo del potenziale}

Il problema pu\'o esser risolto per analogia con l'analogo problema relativo ad una carica
puntiforme immersa in un dielettrico e posta di fronte ad una superficie piana che separa
il primo dielettrico da un secondo di diversa costante dielettrica.



Il potenziale $V_1(x,y)$ nel primo dielettrico \'e quello generato dalla distribuzione data pi\'u
una seconda distribuzione di carica lineare $\lambda_l'$, parallela alla prima e posta 
alla medesima distanza ma dalla parte opposta del piano. Il potenziale $V_2(x,y)$ nel 
secondo dielettrico \'e quello generato da una distribuzione lineare di carica $\lambda_l''$,
posta dove \'e la distribuzione originale di carica. I potenziali vanno
calcolati ammettendo che \emph{l'intero spazio} sia riempito di un dielettrico di costante
$\epsilon_{r1}$ nel primo caso ed  $\epsilon_{r2}$ nel secondo .

Le condizioni al contorno da imporre sono la continuit\'a della componente tangenziale di
$\vec{E}$ e della componente longitudinale di $\vec{D}$ sulla superficie di separazione. In
termini dei potenziali $V_1$ e $V_2$ queste si scrivono:

\begin{equation}
\frac{\partial V_1}{\partial y} \:=\:\frac{\partial V_2}{\partial y}  \label{prima}
\end{equation}

\begin{equation}
\epsilon_{r1} \frac{\partial V_1}{\partial x} \:=\:\epsilon_{r2} \frac{\partial V_2}{\partial x}  \label{seconda}
\end{equation}

I potenziali $V_1$ e $V_2$ nel generico punto P sono dati da:

\begin{equation}
V_1(P) \:=\:- \frac{1}{2 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{\lambda_l}{\epsilon_{r1}} \ln r_a + \frac{\lambda_l'}{\epsilon_{r1}} \ln r_b \right]  \label{terza}
\end{equation}
\begin{equation}
V_2(P)\:=\:-\frac{1}{2 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda_l''}{\epsilon_{r2}} \ln r_a  \label{quarta}
\end{equation}

Poich\'e i potenziali sono espressi in funzione della variabile radiale r mentre le
condizioni al contorno sono espresse in funzione delle coordinate cartesiane x ed y
sulla superficie di separazione, ci occorrono le derivate di $\ln r_a$ ed $\ln r_b$ rispetto ad
x ed y. Si ha:

\[
r_a\:=\:\sqrt{y^2 + (a+x)^2}
\]

\[
r_b\:=\:\sqrt{y^2 + (a-x)^2}
\]

per cui:

\[
\frac{\partial \ln r_a}{\partial y}\:=\:\frac{y}{y^2 + (a+x)^2}
\]


\[
\frac{\partial \ln r_b}{\partial y}\:=\:\frac{y}{y^2 + (a-x)^2}
\]

\[
\frac{\partial \ln r_a}{\partial x}\:=\:\frac{a+x}{y^2 + (a+x)^2}
\]

\[
\frac{\partial \ln r_b}{\partial x}\:=\:-\frac{a-x}{y^2 + (a-x)^2}
\]

Si ha quindi:

\[
\frac{\partial V_1}{\partial y}|_{x=0} \:=\:-\frac{1}{2\pi \epsilon_0} \left[ \frac{\lambda_l}{\epsilon_{r1}} \frac{y}{y^2 + a^2}\:+\:\frac{\lambda_l'}{\epsilon_{r1}} \frac{y}{y^2 + a^2} \right]\:=\:-\frac{1}{2\pi \epsilon_0 \epsilon_{r1}} \frac{y}{y^2 + a^2}\left(\lambda_l +\lambda_l'\right)
\]

\[
\frac{\partial V_1}{\partial x}|_{x=0} \:=\:-\frac{1}{2\pi \epsilon_0} \left[ \frac{\lambda_l}{\epsilon_{r1}} \frac{a}{y^2 + a^2}\:-\:\frac{\lambda_l'}{\epsilon_{r1}} \frac{a}{y^2 + a^2} \right]\:=\:-\frac{1}{2\pi \epsilon_0 \epsilon_{r1}} \frac{a}{y^2 + a^2}\left(\lambda_l -\lambda_l'\right)
\]

\[
\frac{\partial V_2}{\partial y}|_{x=0} \:=\:-\frac{1}{2\pi \epsilon_0} \left[ \frac{\lambda_l''}{\epsilon_{r2}} \frac{y}{y^2 + a^2} \right]
\]

\[
\frac{\partial V_2}{\partial x}|_{x=0} \:=\:-\frac{1}{2\pi \epsilon_0} \left[ \frac{\lambda_l''}{\epsilon_{r2}} \frac{a}{y^2 + a^2} \right]
\]


Le condizioni al contorno~(\ref{prima}) e~(\ref{seconda}) ci danno allora:


\[
\lambda_l''\:=\:\lambda_l - \lambda_l'
\]

\[
\frac{\lambda_l}{\epsilon_{r1}}+\frac{\lambda_l'}{\epsilon_{r1}}\:=\:\frac{\lambda_l''}{\epsilon_{r2}}
\]

Da queste si ricavano le incognite $\lambda_l'$ e $\lambda_l''$:

\[
\lambda_l'\:=\:\lambda_l \frac{\epsilon_{r1}-\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}+\epsilon_{r2}}
\]


\[
\lambda_l''\:=\:\lambda_l \frac{2 \epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}+\epsilon_{r2}}
\]

I potenziali sono quindi dati dalle~(\ref{terza}) e~(\ref{quarta}) con i valori di $\lambda_l'$
e $\lambda_l''$ trovati.
\subsection{Campo elettrico}

Le componenti x ed y del campo elettrico nel primo mezzo sono date da:
\[
E_{1x} \:=\: -\frac{\partial V_1}{\partial x}|_{x=0} \:=\:\frac{1}{2\pi \epsilon_0 \epsilon_{r1}} \frac{a}{y^2 + a^2}\left(\lambda_l -\lambda_l'\right)\:=\:\frac{1}{\pi \epsilon_0 \epsilon_{r1}}\lambda_l  \frac{a}{y^2 + a^2}\frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}+\epsilon_{r2}}
\]
\[
E_{1y}\:=\:-\frac{\partial V_1}{\partial y}|_{x=0}\:=\:\frac{1}{2\pi \epsilon_0 \epsilon_{r1}}\frac{y}{y^2 + a^2}\left(\lambda_l + \lambda_l'\right)\:=\:\:\frac{1}{\pi \epsilon_0 \epsilon_{r1}}\lambda_l \frac{y}{y^2 + a^2} \frac{\epsilon_{r1}}{\epsilon_{r1}+\epsilon_{r2}}
\]
Le componenti x ed y del campo elettrico nel secondo mezzo sono date da:

\[
E_{2x}\:=\: -\frac{\partial V_2}{\partial x}|_{x=0} \:=\: \frac{1}{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_{r2}} \lambda_l'' \frac{a}{y^2 + a^2} \:=\: \frac{1}{\pi \epsilon_0 \epsilon_{r2}} \lambda_l \frac{a}{y^2 + a^2}
 \frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1} + \epsilon_{r2}}
\]

\[
E_{2y}\:=\:-\frac{\partial V_2}{\partial y}|_{x=0} \:=\: \frac{1}{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_{r2}} \lambda_l'' \frac{y}{y^2 + a^2}\:=\: \frac{1}{\pi \epsilon_0 \epsilon_{r2}} \lambda_l \frac{y}{y^2 + a^2}
 \frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1} + \epsilon_{r2}}
\]

\subsection{Densit\'a superficiale delle cariche di polarizzazione}

Sulla superficie del primo mezzo affacciata al secondo si former\'a una densit\'a di cariche
di polarizzazione data da:
\[
\sigma_1\:=\:P_{n1}\:=\:\epsilon_0 \left(\epsilon_{r1} - 1 \right) E_{1x}
\]
dove abbiamo indicato con $P_{n1}$ la componente del vettore polarizzazione perpendicolare
alla superficie.

Analogamente, sulla superficie del secondo mezzo affacciato al primo si former\'a una
densit\'a di cariche di polarizzazione data da:

\[
\sigma_2\:=\:-P_{n2}\:=\:-\epsilon_0 \left(\epsilon_{r2} - 1 \right) E_{2x}
\]
Sostituendo i valori trovati per $E_{1x}$ e per $E_{2x}$ troviamo:

\[
\sigma \:=\: \sigma_1+ \sigma_2 \:=\:\epsilon_0 \left[ \left(\epsilon_{r1}-1 \right) E_{1x} - \left( \epsilon_{r2}-1 \right) E_{2x} \right]\:=\:\frac{\lambda_l}{\pi \epsilon_{r1}}  \frac{\epsilon_{r1}-\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}+\epsilon_{r2}} \frac{a}{y^2 + a^2}
\]

\subsection{Forza per unit\'a di lunghezza agente sulla linea}

Per calcolare la forza per unit\'a di lunghezza, possiamo procedere al calcolo del campo
generato dalla distribuzione lineare di carica $\lambda_l'$ nella posizione occupata
dalla densit\'a di carica $\lambda_l$ e moltiplicare poi per $\lambda_l$. 
Il campo nel punto considerato avr\'a diversa da zero la sola componente x, data da:
\[
E_x'\:=\:-\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{- \lambda_l'}{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_{r1}} \ln r_b \right]_{x=-a}\:=\:\frac{\lambda_l}{2 \pi \epsilon_0 \epsilon_{r1} } \frac{\epsilon_{r1}-\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}+\epsilon_{r2}} \left[\frac{\partial}{\partial x} \ln r_b\right]_{x=-a} \:=
\]

\[
= - \frac{\lambda_l}{\pi \epsilon_0 \epsilon_{r1}} \frac{\epsilon_{r1}-\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}+\epsilon_{r2}} \frac{1}{4a}
\]

La forza per unit\'a di lunghezza \'e allora:

\[
\frac{\lambda_l^2}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon_{r1}} \frac{\epsilon_{r2}-\epsilon_{r1}}{\epsilon_{r1}+\epsilon_{r2}} \frac{1}{a}
\]

\end{document}
