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\title{\bf Effetto magneto-meccanico ed esperimenti di Einstein-de Haas e di Barnett}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle

\section{Introduzione}

Lo origini fisiche degli effetti che discuteremo nel seguito sono note fin
dai tempi di Maxwell. 
\newline \indent
Se un conduttore in moto con una certa velocit\'a viene
bruscamente arrestato, l'inerzia degli elettroni di conduzione far\'a si che
essi acquistino, per un breve intervallo di tempo, una velocit\'a v rispetto
alla massa (ioni) del metallo. Tale velocit\'a degli elettroni dar\'a origine,
in tale intervallo di tempo, ad una corrente elettrica e ad una corrispondente
differenza di potenziale tra le estremit\'a del conduttore poste rispettivamente a monte ed a valle rispetto alla direzione della velocit\'a.
Un analogo fenomeno potr\'a essere osservato se il conduttore subisce una
brusca accelerazione.
\newline \indent
Nel classico testo di Maxwell sull'elettromagnetismo~\cite{kn:maxwell} si
legge: " ...se termini di questo tipo hanno un'esistenza reale, sarebbe
possibile produrre una forza elettromotrice indipendentemente dall'esistenza
o meno di correnti, modificando semplicemente la velocit\'a dei conduttori".
Un tale effetto fu tuttavia osservato solo nel 1916 da Richard C. Tolman
e T. Dale Stewart~\cite{kn:tolman}. 
\newline \indent
Una bobina era avvolta lungo il bordo di un disco orizzontale, libero di
ruotare attorno ad un asse vertcale. Le estremit\'a della bobina erano
fatte passare lungo l'asse cui era fissato il disco e messe poi in contatto
con i terminali di un galvanometro balistico di elevata sensibilit\'a.
Il sistema veniva messo in rapida rotazione e poi bruscamente arrestato, in un piccolissimo intervallo di temp $\delta t$.
Un breve impulso di corrente veniva cos\'i prodotto nell'istante di massima
decelerazione, per effetto dell'inerzia legata alla massa degli elettroni di conduzione.
Il galvanometro consentiva agli sperimentatori di ottenere una misura accurata della carica che, nel breve intervallo di tempo considerato, attraversava l'avvolgimento. Indicando con R la resistenza totale del circuito,
con l la lunghezza dell'avvolgimento, con v la velocit\'a di rotazione, con
q la carica che attraversa l'avvolgimento e rispettivamente con e ed m la
carica e massa dell'elettrone, si pu\'o facilmente vedere~\cite{kn:sivuchin} che \'e:
\[
q = \frac{mlv}{e R}
\]
Infatti, la forza che agisce su di un elettrone nella fase di decelerazione \'e $F_e = dP/dt$ dove $P=mv$ \'e l'impulso. Tale forza, divisa per la
carica e, equivale ad un campo elettrico $E=V/l$ dove V \'e la forza
elettromotrice che agisce lungo l'intera bobina. Se indichiamo con L il
coefficiente di autoinduzione del circuito, si ha:
\[
V\:=\:Ri\:+\:L \frac{di}{dt}
\]
dove:
\[
V\:=\:E l\:=\:\frac{F_e l}{e} \:=\:\frac{d(mv)}{dt} \frac{l}{e}
\]
Ne segue:
\[
\frac{d(mv)}{dt}\:=\:\frac{e}{l}[R i + L \frac{di}{dt}]
\]
Integrando sul tempo tra 0 e $\delta t$:
\[
\int_{0}^{\delta t} d(mv)\:=\: \frac{e R}{l}\int_{0}^{\delta t} i dt + \frac{Le}{l}\int_{0}^{\delta t} di
\]
cio\'e
\[
mv_f -mv_i = \frac{e R q}{l} + \frac{Le}{l}(i_f-i_i)
\]
dove le sottoscritte i ed f si riferiscono all'istante iniziale ed a quello
finale (dopo l'arresto). Poich\'e inoltre \'e $i_f = i_i = v_f = 0$ avremo:
\[
v =\frac{eRq}{lm}
\]
da cui si ottiene la relazione scritta prima.
\newline \indent
Da tale misura si pu\'o ottenere una stima del rapporto tra massa e carica
dell'elettrone.
\newline \indent
Un'altro esperimento che lega l'inerzia degli elettroni in un conduttore
ad effetti elettromagnetici fu suggerito dallo stesso Maxwell~\cite{kn:maxwell}. Egli propose di utilizzare una bobina circolare
costituita da un gran numero di spire, sospesa mediante un filo verticale
in modo tale che il piano della bobina fosse orizzontale e che essa potesse
ruotare attorno alla verticale. Una corrente poteva esser fatta passare
nella bobina, utilizzando il filo di sospensione che era collegato ad
un polo della batteria ed un secondo filo che scendeva verticalmente dal centro della bobina fino ad una bacinella di mercurio collegata all'altro
polo. Nell'istante in cui la corrente inizia a fluire nella bobina, al
moto di drift degli elettroni sar\'a associata una quantit\'a di moto
e quindi, per l'insieme degli elettroni, un momento della quantit\'a di moto
rispetto all'asse verticale. Poich\'e il momento angolare dell'avvolgimento
deve rimanere nullo, esso comincer\'a a ruotare in verso contrario a quello
della velocit\'a degli elettroni.
\newline \indent
Maxwell non riusc\'i a rivelare sperimentalmente il fenomeno, che fu osservato
nel 1931 da S.J. Barnett~\cite{kn:barnett}. 
\newline \indent
Nelle prossime sezioni ci occuperemo di un effetto, noto sotto il nome
di Einstein e de Haas~\cite{kn:einstein}, che consiste nella rotazione
di un blocco di materiale ferromagnetico quando esso venga magnetizzato
nella direzione dell'asse di rotazione.

\section{considerazioni qualitative sull'esperimento di Einstein- de Haas}



\'E possibile, in uno schema classico, assimilare l'atomo ad un nucleo 
centrale avente  carica positiva attorno a cui ruotano, su orbite circolari 
o ellittiche, uno o piu' elettroni. 
Ciascuna di tali orbite equivale ad un minuscolo circuito percorso da 
corrente e quindi, a distanze grandi rispetto alle dimensioni atomiche, essa 
sar\'a vista come un dipolo magnetico. Vedremo nel prossimo paragrafo che il 
modulo di tale momento magnetico \'e, nel caso di un'orbita circolare, dato da 
$\mathbf{e r v/2}$ dove r \'e il raggio dell'orbita, v la velocit\'a ed e la carica 
dell'elettrone. Al moto dell'elettrone sull'orbita \'e inoltre associato un 
momento della quantit\'a di moto pari ad $\mathbf{m r v}$, dove m \'e la massa 
dell'elettrone. Si puo' inoltre vedere che il vettore momento  magnetico e quello del momento angolare hanno direzione perpendicolare al piano 
dell'orbita ma versi opposti ( essendo negativa la carica dell'elettrone). 
Ne segue che il  rapporto tra momento magnetico e momento meccanico per il 
moto orbitale di un elettrone vale $\mathbf{e/2m}$ e che il segno \'e negativo se si tiene conto del verso dei vettori.
\newline \indent
Se consideriamo un atomo con molti elettroni, le normali ai piani delle 
diverse orbite saranno in generale orientate in direzioni diverse e potr\'a essere mediamente nullo sia il vettore momento magnetico che quello del momento angolare. 
Anche se tali vettori avessero valor medio diverso da zero per un 
atomo, un blocco di materiale costituito da un grande numero di atomi, 
ciascuno  con un diverso orientamento dei suddetti vettori, avr\'a normalmente momento  magnetico ed angolare nulli.
\newline \indent
Se tuttavia un qualche meccanismo che possa orientare i momenti magnetici 
atomici  entra in azione, il blocco di materiale acquister\'a un momento magnetico netto  diverso da zero. Vedremo che il medesimo valore $\mathbf{e/2m}$ del rapporto tra momento  magnetico e momento angolare 
trovato nel caso di una singola orbita elettronica, continua a valere per un sistema di N atomi. 
Ne segue che se il blocco di materiale acquista un momento magnetico netto, 
esso acquister\'a anche un momento angolare netto ed il rapporto tra i due 
varr\'a $\mathbf{e/2m}$ . Il blocco quindi si metter\'a a ruotare. 
\newline \indent
L'effetto in questione va sotto il nome di effetto magneto-meccanico e l'esperimento, effettuato per la prima volta da Einstein e de Haas~\cite{kn:einstein} nel 1915, \'e associato al nome dei due scienziati (anche se era in realt\'a stato suggerito sette anni prima da O.W. Richardson~\cite{kn:richardson} e se il primo risultato significativo si ebbe 3 anni piu' tardi ad opera di J. Q. Stewart~\cite{kn:stewart}).



\section{Il rapporto giromagnetico}

Consideriamo un elementino di volume dV di massa $dm$ e carica $dq$, in moto 
attorno ad un centro fisso. 
Ammettiamo che il moto sia circolare ed uniforme, su di un'orbita 
di raggio r e che la velocit\'a angolare sia $\omega$. 
La velocit\'a tangenziale \'e quindi $v = \omega r$ ed il periodo di rotazione $T=2\pi/\omega$.
\newline \indent
Il momento angolare $\vec{dp}$ del sistema,  perpendicolare al piano dell'orbita, \'e dato da:
\[
\vec{dp}\:=\:dm (\vec{r}\times \vec{v})
\]
Alla carica in movimento puo' essere associata una corrente 
$di=dq/T = dq \omega/2\pi$. 

A tale corrente (spira di raggio r percorsa dalla corrente di) \'e associato 
un momento magnetico $\vec{dM}$  il cui modulo vale:
\[
dM = di\: S = dq (\omega/2\pi) \pi r^2  =  dq \:(\omega/2) r^2  =  
dq \: r \: v/2
\]

e la cui direzione \'e perpendicolare al piano dell'orbita. 
Il verso \'e uguale a quello di $\vec{dp}$. 
Poich\'e il modulo di $\vec{dp}$  vale $\boldmath{dm \: r v}$ si ha che il rapporto tra 
momento magnetico e momento angolare \'e:
\begin{equation}
\frac{|\vec{dM}|}{|\vec{dp}|}\:=\:\frac{dq}{2 dm}\label{eq:one}
\end{equation}
Se applichiamo tale relazione al moto dell'elettrone attorno al nucleo, 
indicando con e la carica e con m la massa dell'elettrone, troviamo:

\begin{equation}
\vec{M}\:=\:-\frac{e}{2m}\:\vec{p} \label{eq:two}
\end{equation}
dove il segno (-) deriva dal fatto che la carica dell'elettrone \'e negativa e 
che quindi ora $\vec{M}$  e $\vec{p}$  sono antiparalleli anzich\'e paralleli.
Notiamo per inciso che nel moto dell'elettrone attorno al nucleo possiamo 
considerare quest'ultimo fermo, essendo la sua massa, anche nel caso del nucleo piu' leggero (quello dell'idrogeno) circa 2000 volte quella dell'elettrone.
Si pu\'o far vedere che la (1) e la (2) continuano a valere anche nel caso in 
cui la particella si muova su di un'orbita ellittica.
\newline \indent
Immaginiamo ora di considerare un disco di raggio R, dotato di una densit\'a 
superficiale di carica $\sigma$, in rotazione attorno al proprio asse con velocit\'a angolare $\omega$. 
Indichiamo con $\rho$ la densit\'a superficiale di massa del disco. Ci chiediamo quale sia il momento magnetico generato dal moto delle cariche disposte sulla superficie del disco e quale sia il suo momento angolare.
Se consideriamo un elementino di superficie $ds = r dr d\phi$ e la carica 
da esso posseduta: $dq = \sigma ds = \sigma r dr d\phi$; la corrente che ad esso puo' essere associata \'e:
\[
di = dq/T = dq \omega/2\pi =\sigma r dr d \phi \omega/2\pi
\]

A tale corrente sar\'a associato un momento magnetico:
\[
dM = di\; s = \sigma r dr d \phi (\omega/2 \pi) \pi r^2 = \sigma (\omega/2) r^3 dr d\phi
\]

Integrando su r e $\phi$ otteniamo il momento magnetico del disco:
\[
M = \pi \sigma \omega \int_{0}^{R} r^3 dr = \pi \sigma \omega \frac{R^4}{4}=
\frac{Q R^2 \omega}{4}
\]

dove Q \'e la carica totale del disco.

Il momento della quantit\'a di moto del singolo elementino \'e:
\[
d\vec{p} = \rho \;ds \vec{r} \times \vec{v}
\]


Il cui modulo \'e: $dp = \rho r dr d \phi r^2 \omega$. 
\newline \indent

Il momento della quantit\'a di moto totale \'e:
\[
P=2 \pi \rho \omega \int_{0}^{R} r^3 dr \:=\: 2\pi \rho \omega \frac{R^4}{4}=
2 M \omega \frac{R^2}{4}
\]

dove M \'e la massa del disco.
Il rapporto tra momento magnetico e momento meccanico \'e:
\[
\frac{M}{P} = \frac{Q}{2M}
\]
Cio\'e ha la medesima forma trovata in precedenza.
\newline \indent
Consideriamo infine una sfera di raggio $R_s$, massa $m_s$ e carica 
$Q_s$ distribuite uniformemente nel volume della sfera. Calcoliamo anche per tale sistema il rapporto tra momento magnetico e momento angolare, nell'ipotesi che la sfera sia in rotazione 
attorno ad uno dei suoi diametri, con velocit\'a angolare $\omega$.
Immaginiamo di suddividere la sfera in sottili dischi, di spessore 
infinitesimo dh, come mostrato in figura. Se indichiamo con R il raggio del generico disco, avremo:
\[
R=R_s \cos\theta
\]
\[
h=R_s \sin\theta
\]
\[
dh=R_s \cos\theta
\]

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=disco.eps,width=6 cm,height=6 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{fig1}
\end{figure}

Il volume del disco \'e dato da:
\[
dV = \pi R^2 dh = \pi R_s^2 \cos^2\theta R_s \cos\theta d\theta
\]
Il rapporto tra il volume del disco e quello della sfera, moltiplicato per la 
carica totale della sfera $Q_s$ ci dar\'a la carica del disco. Analogamente, il medesimo rapporto, moltiplicato per la massa totale della sfera, ci dar\'a la massa del disco.
\newline \indent 
Tale rapporto vale:
\[
\Gamma \:=\: \frac{3}{4} \cos^3\theta d\theta
\]
 
da cui la carica $Q_d$ e la massa $m_d$ del disco saranno:
\[
Q_d = \frac{3}{4} \cos^3 \theta d\theta Q_s
\]
\[
m_d = \frac{3}{4} \cos^3 \theta d\theta m_s
\]

Il momento magnetico del disco \'e dato da:
\[
dM \:=\: \frac{1}{4} Q_d R^2 \omega \:=\: \frac{3}{16} \cos^5 \theta 
Q_s \omega R_s^2 d\theta
\]
ed il momento angolare dello stesso:
\[
dP \:=\: \frac{1}{4} m_d R^2 2\omega \:=\: \frac{3}{16} \cos^5 \theta 
m_s 2\omega R_s^2 d\theta
\]

Il momento magnetico della sfera si otterr\'a integrando dM rispetto 
a $\theta$ tra $-\pi/2$ e $\pi/2$. 
Analogamente, il momento angolare si otterr\'a integrando dP tra i medesimi 
limiti.
\newline \indent
Si ottiene in tal modo:
\[
M=\frac{3}{15} Q_s R_s^2 \omega
\]
Analogamente:
\[
P=\frac{6}{15} m_s R_s^2 \omega
\]
Il rapporto tra momento magnetico e momento angolare \'e quindi:
\[
\frac{M}{P}\:=\: \frac{Q_s}{2 m_s}
\]
 
ed il verso dei rispettivi vettori sar\'a l'uno l'opposto dell'altro se la 
carica \'e negativa.
\newline \indent
Il rapporto tra P ed M \'e noto come "rapporto giromagnetico".
Da quanto visto, se un pezzo di materiale (costituito da un elevatissimo 
numero di atomi) \'e posto in un campo B tale da orientare i momenti di dipolo magnetici dei singoli atomi nella direzione del campo, ciascun atomo "orienter\'a" nella direzione opposta il proprio momento angolare. I vettori momento angolare dei singoli atomi, inizialmente orientati, al pari dei vettori momento di dipolo magnetico, in modo casuale in tutte le direzioni, si orienteranno mediamente nella direzione opposta a quella del campo B. Gli effetti del moto di agitazione termica contrasteranno in qualche misura tale tendenza, ma si avr\'a in ogni caso un momento magnetico netto e quindi un momento angolare netto. L'effetto sar\'a molto piu' accentuato nel caso delle 
sostanze ferromagnetiche che in quello delle sostanze dia o para-magnetiche.
Poich\'e il momento angolare del blocco di materiale \'e la somma vettoriale dei vettori momento angolare dei singoli atomi, e poich\'e questi hanno tutti acquistato un momento angolare medio parallelo a B ne segue, dovendosi conservare il momento angolare del sistema elettroni-reticolo cristallino, che l'intero blocco avr\'a alla fine acquistato un momento angolare netto di segno opposto a quello del sistema degli elettroni, cio\'e esso inzier\'a a ruotare dopo l'accensione del campo. 
\newline \indent
A questo riguardo \'e opportuna una precisazione. A rigore, cio' che abbiamo fatto vedere \'e che i momenti magnetici associati alle orbite degli elettroni atomici si orientano per effetto del campo e che di conseguenza si orientano i relativi momenti angolari. Ma al momento angolare del blocco contribuiscono anche i nuclei, cio\'e esso \'e la somma dei momenti angolari di tutti gli atomi, non dei soli elettroni. Di fatto, cio' che accade \'e analogo a cio' che si ha nel caso di una barretta di lunghezza $\boldmath{l}$, percorsa da una corrente $\boldmath{i}$ in un campo B perpendicolare alla barretta. La forza \'e $\boldmath{i \vec{l}\times \vec{B}}$ ed essa nasce dalla forza di Lorentz che agisce sugli elettroni di conduzione. Essa si traduce in una forza sulla barretta a causa dell'interazione continua che nel materiale esiste tra elettroni di conduzione e reticolo cristallino. Qualcosa di analogo accade nel caso in esame. Il momento angolare acquistato dagli elettroni viene rapidamente trasmesso al blocco per effetto dell'interazione che esiste tra elettroni e nuclei.
\newline \indent
Indicando con $\vec{m_i}$   e $\vec{p_i}$   rispettivamente il momento magnetico e quello angolare dell'ie-mo atomo, avremo:

\begin{equation}
\vec{m_i}\:=\:- \vec{p_i} \frac{e}{2m} \label{eq:three}
\end{equation}
dove e \'e la carica ed m la massa dell'elettrone. Da tale relazione si avr\'a:
\begin{equation}
m_{iz}\:=\:- p_{iz} \frac{e}{2m} \label{eq:four}
\end{equation}

e, sommando su tutti gli atomi:

\begin{equation}
M_{bz}\:=\:- P_{bz} \frac{e}{2m} \label{eq:five}
\end{equation}
dove $M_b$ e $P_b$ denotano il momento magnetico e quello angolare del blocco, 
rispetto all'asse z. Se  $\vec{B}$ \'e diretto lungo l'asse z solo $M_{bz}$ avr\'a valor medio non nullo, mentre saranno nulli i valori medi di $M_{bx}$ ed $M_{by}$.
\newline \indent
Notiamo che ci siamo finora limitati a considerare i momenti magnetici   e 
quelli angolari associati al moto di rotazione degli elettroni attorno ai nuclei atomici. Se ammettiamo che ciascun elettrone possa inoltre essere assimilato ad un minuta sfera di massa $\boldmath{m}$ e carica $\boldmath{e}$, in rotazione attorno ad un diametro, anche per tale sistema dovrebbe valere la relazione scritta in precedenza:
\begin{equation}
\mu_{iz}\:=\:- s_{iz} \frac{e}{2m} \label{eq:six}
\end{equation}
dove abbiamo indicato con $\mu$ il momento magnetico della sferetta associato alla rotazione attorno al suo diametro e con s il relativo momento angolare. Si usa chiamare "momento magnetico di spin" il vettore $\vec{\mu}$  e "momento angolare di spin" il vettore $\vec{s}$ . 
Ovviamente, il momento angolare dell'intero blocco sar\'a la somma vettoriale dei momenti angolari atomici e dei momenti angolari di spin di tutti gli elettroni che lo compongono. Analogamente, il momento magnetico dell'intero blocco sar\'a la somma dei momenti magnetici atomici e dei momenti magnetici di spin di tutti i costituenti.
\newline \indent
Ancora una volta continuer\'a a valere la relazione:
\begin{equation}
M_{iz}\:=\:- P_{iz} \frac{e}{2m} \label{eq:seven}
\end{equation}
Per verificare tale relazione, Einstein e de Haas effettuarono un esperimento 
consistente nell'applicare un campo B ad un cilindretto di ferro il cui asse 
di simmetria era parallelo al campo B, in modo da magnetizzarlo. Il cilindretto, sospeso tramite un filo di torsione, veniva cosi' ad acquistare un momento angolare che era la grandezza misurata insieme al momento magnetico.
Passeremo ora a descrivere tale esperimento.


\section{L'esperimento di Einstein-de Haas}

Consideriamo un cilindro di materiale ferromagnetico, la cui magnetizzazione 
sia inizialmente nulla. Il cilindro sia sospeso verticalmente mediante un filo di torsione, in modo da poter effettuare piccole oscillazioni rotazionali attorno al proprio asse. Se indichiamo con k la costante elastica del filo, con I il momento d'inerzia del cilindro e con $\Theta(t)$ l'angolo di cui esso \'e ruotato al tempo t rispetto alla posizione d'equilibrio, l'equazione del moto in assenza di fenomeni dissipativi sar\'a:
\[
I \ddot{\Theta} \:=\:-k \Theta
\]
la cui soluzione \'e $\Theta = \Theta_0 \cos(\omega_0 t)$; con:
\[
\omega_0\:=\:\sqrt{\frac{k}{I}}
\]

In presenza di attriti caratterizzati da una costante di smorzamento $\eta$, 
l'equazione differenziale del moto diventa:

\[
I \ddot{\Theta} + \eta \dot{\Theta} + k\Theta \:=\:0
\]

In tal caso la soluzione sar\'a un'oscillazione smorzata.
\newline \indent
Ammettiamo che il cilindro sia inizialmente in quiete ($\omega(0)=0$) e che esso sia posto coassialmente all'interno di un lungo solenoide. Se in quest'ultimo viene ad un certo istante fatta passare una corrente i, nascer\'a all'interno un campo d'induzione magnetica $B = \mu_0 n i$, dove  n \'e il numero di spire per unit\'a di lunghezza del solenoide. Tale campo indurr\'a un momento magnetico M nel solenoide, parallelo a B e funzione di questo. Scegliendo un sistema di assi cartesiani con l'asse z parallelo al 
campo, avremo che il cilindretto verr\'a, come visto, ad acquistare un momento 
angolare:
\[
P\:=\:P_z\:=\:-\frac{2m}{e}\:M
\]
Il momento angolare del sistema dopo l'applicazione del campo non \'e piu' 
nullo. 
L'effetto \'e tuttavia molto piccolo. Per valutarne l'ordine di grandezza 
ammettiamo che il cilindretto abbia:
\begin{itemize}
\item{raggio r = 0.015 cm}
\item{lunghezza l = 10 cm}
\item{densit\'a $d = 8 g/cm^3$}
\item{permeabilit\'a magnetica relativa $\mu_r$ = 800 (costante)}
\item{il campo B valga 0.1 T}
\end{itemize}
Con cio' avremo:
\[
H\:=\:\frac{B}{\mu_0 \mu_r}\:=\:\frac{0.1}{4 \pi \cdot 800 \cdot 10^{-7}}\:=\:
99.47 [A/m]
\]
La magnetizzazione $M'$ sar\'a allora:
\[
M' \:=\: \frac{B}{\mu_0} -H = 79500 [A/m]
\]
ed il momento magnetico M della barretta, pari al prodotto della magnetizzazione per il volume:  $M = 5.7 \:10^{-4}  [A \:m^2]$.
Dalla relazione:
\[
P\:=\:-\frac{2m}{e} M
\]
otterremo allora:
\[
P\:=\:- 1.14\:10^{-11}\:5.7\:10^{-4}\:\:[\frac{A \:Kg\: m^2}{C}]\:=\:6.5\:10^{-15} [Kg\: m^2 \:s^{-1}]
\]
 
e, facendo uso della relazione: $P=I \omega_r$, con 
$I=\frac{1}{2}m r^2 = 6.3 \: 10^{-14} [Kg \:m^2]$ , otterremo la velocit\'a angolare:
\begin{equation}
\omega_r\:=\:\frac{P}{I}\:=\:0.1 \: \: [rad/s] \label{eq:eight}
\end{equation}

Se quindi il cilindro \'e inizialmente in quiete, l'accensione del campo gli 
imprimer\'a una velocit\'a angolare di circa 100 mrad/s.
\newline \indent
L'effetto puo' divenire apprezzabile facendo uso di un metodo risonante. Si 
applica cio\'e una corrente al solenoide, e quindi un campo B, variabile 
sinusoidalmente con frequenza angolare $\omega$. Se scriviamo il campo H come:
\[
H\:=\:H_0 \sin(\omega t)
\]
Il momento magnetico del cilindretto sar\'a:
\begin{equation}
M\:=\:\chi_m V H_0 \sin(\omega t) \label{eq:nine}
\end{equation}
con $\chi_m\:=\:\mu_r -1$.
Poich\'e il momento angolare P \'e proporzionale al momento magnetico M, ne 
segue che il momento meccanico $dP/dt$ sar\'a proporzionale a $dM/dt$; 
piu' in particolare (omettendo il segno (-) ):
\begin{equation}
\frac{dP}{dt}\:=\:2 \frac{m}{e} \frac{dM}{dt}\:=\:2 \frac{m}{e} \chi_m 
H_0 V \omega \cos(\omega t) \label{eq:ten}
\end{equation}


L'equazione differenziale del moto sar\'a allora:
\begin{equation}
I \ddot{\Theta} + \eta\dot{\Theta} + k \Theta \:=\:2 \frac{m}{e} \chi_m 
H_0 V \omega \cos(\omega t) \label{eq:eleven}
\end{equation}
Cio\'e:
\begin{equation}
\ddot{\Theta} + \frac{\eta}{I}\dot{\Theta} + \frac{k}{I} \Theta \:=\:2 \frac{m}{e} \frac{\chi_m H_0 V}{I} \omega \cos(\omega t) \label{eq:twelve}
\end{equation}
che, ponendo:
\[
\rho = \frac{\eta}{I}
\]
\[
\omega_0^2 = \frac{k}{I}
\]
\[
b=2 \frac{m}{e}\:\frac{\chi_m H_0 V}{I}
\]
diventa:

\begin{equation}
\ddot{\Theta} + \rho\dot{\Theta} + \omega_0^2 \Theta \:=\:b \omega \cos
(\omega t) \label{eq:thirteen}
\end{equation}
la cui soluzione \'e:
\begin{equation}
\Theta = \Theta_a \cos(\omega t - \chi) \label{eq:fourteen}
\end{equation}
dove:
\begin{equation}
\tan{\chi}\:=\:\frac{\rho \omega}{\omega_0^2 -\omega^2} \label{eq:fifteen}
\end{equation}
\begin{equation}
\Theta_a\:=\:\frac{b \omega}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \rho^2 \omega^2}} \label{eq:sixteen}
\end{equation}

Questa ha la tipica forma di una risonanza, con un massimo in corrispondenza 
ad $\omega=\omega_0$ , che vale: 
\begin{equation}
\Theta_0 = \frac{b}{\rho} = 2 \frac{m}{e} \frac{\chi_m H_0 V}
{\eta} \label{eq:seventeen}
\end{equation}
La misura di $\Theta_0$, noti i valori delle costanti $\chi_m, H_0, V$ ed $\eta$, che compaiono nell'ultima espressione, ci consente di verificare se il coefficiente di proporzionalit\'a \'e veramente $2 m/e$. \'E prassi comune scrivere il coefficiente di proporzionalit\'a come 
\begin{equation}
2m/ge   \label{eq:eighteen}
\end{equation}
e determinare, noti e ed m, la costante g che dovrebbe, classicamente, valere 1.
\newline \indent
La determinazione fatta a partire da $\Theta_0$, nel modo descritto \'e resa difficile dal fatto che il valore di $\eta$ non \'e ben noto. Per tale motivo si ricorre ad una misura completa della curva di risonanza: si determina cio\'e l'ampiezza $\Theta_a$ di oscillazione per valori di $\omega$ diversi da
$\omega_0$ e da tale misura si ottiene il valore di $\rho=\eta/I$. 
\newline \indent
Dall'espressione dell'ampiezza $\Theta_a$ si ottiene infatti:
\[
\Theta_a^2\:=\:\frac{b^2 \omega^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2+\rho^2 \omega^2}
\]
da cui si ottiene con facili passaggi:
\begin{equation}
\rho^2\:=\:\frac{(\omega_0^2 - \omega^2)^2/\omega^2}{(\Theta_0/\Theta_a)^2 -1}
\label{eq:nineteen}
\end{equation}
Misurando $\Theta_0$ e $\Theta_a$ per diversi valori di $\omega$ si puo' quindi determinare il parametro incognito $\rho$ e quindi $\eta$.
\newline \indent
La trattazione fatta prescinde dall'isteresi magnetica del materiale, che \'e 
in realt\'a importante e che fa si che la relazione tra H ed M sia non lineare. Si puo' tuttavia vedere che i risultati  ottenuti continuano ad essere validi con ottima approssimazione. 
Per una discussione di questo punto si veda la referenza~\cite{kn:becker}.
\newline \indent
I risultati ottenuti da Einstein e de Haas risultavano in accordo con il 
valore g=1 predetto dalla teoria classica, e confermavano quindi le 
previsioni teoriche~\cite{kn:results}.  Tuttavia, quasi simultaneamente,
S.J. Barnett ottenne, con il metodo che sar\'a descritto pi\'u avanti, un valore per g che era all'incirca 2. L'esperimento di Einstein e de Haas fu
ripetuto, con un apparato modificato e con migliore sensibilit\'a, da John
Q. Stewart~\cite{kn:stewart} nel 1918, confermando un valore di g che era
consistente con 2 e non con il valore classico g=1 ottenuto da Einstein e
de Haas. Stewart rinunci\'o ad usare il metodo risonante adoperato da
Einstein e de Haas, e prefer\'i misurare con grande accuratezza la rotazione
del cilindretto fissato al filo di torsione (di quarzo) subito dopo
l'applicazione di un impulso di corrente al solenoide. Il risultato
che ottenne: $g\:=\:1.96 \pm 0.15$ era consistente con quello di Barnett
e non con la teoria classica (n\'e con il risultato dell'esperimento
di Einstein-de Haas).
\newline \indent
Una rassegna di molti esperimenti effettuati fino al 1962 \'e stata pubblicata 
da Scott~\cite{kn:scott} che ha effettuato un gran numero di misure di questo tipo su vari materiali.
L'esperimento richiede numerosi accorgimenti, essendo l'effetto molto piccolo, 
per ridurre l'influenza di fattori esterni, quale ad esempio il campo magnetico terrestre, che eserciterebbe da solo un momento rotazionale che \'e molti ordini di grandezza piu' intenso di quello che si vuol misurare. A tale scopo l'intero apparato \'e posto all'interno di coppie parallele di avvolgimenti circolari (coppie di Helmotz) percorse da correnti tali da generare dei campi B uguali ed opposti a quello terrestre. 
Diverse coppie di Helmotz sono adoperate per neutralizzare le diverse componenti del campo magnetico terrestre. Inoltre l'apparato \'e isolato meccanicamente in modo da annullare l'effetto di vibrazioni e movimenti di vario tipo del pavimento.
Il risultato ottenuto per il parametro g che figura nell'equazione (18) (che dovrebbe valere 1 nella semplice teoria delineata) \'e, nel caso del Fe:
\[
g\:=\:1.938 \pm 0.006
\]
valore che \'e significativamente diverso da 1, e molto piu' prossimo a 2.
\newline \indent
Analoghi risultati furono trovati da altri autori e per un gran numero di 
elementi.
Se ne dedusse che il momento angolare associato ad un dato momento magnetico 
non era $\boldmath{2m/e}$ volte questo, ma semplicemente $\boldmath{m/e}$ volte. Al problema fu data una soluzione nel 1925 da Goudsmith e Uhlenbeck~\cite{kn:goudsmith}. Costoro, anche sulla base di misure di tipo spettroscopico (effetto Zeeman), avanzarono l'ipotesi che al moto dell'elettrone attorno al proprio asse (lo spin) fosse associato un momento angolare ed un momento magnetico il cui rapporto era esattamente uguale ad $m/e$.
Pi\'u in particolare, Goudsmith e Uhlenbeck avanzarono l'ipotesi che alla rotazione dell'elettrone attorno al proprio asse fossero associati un momento angolare $J_s$ ed un momento magnetico $M_s$ dati rispettivamente da:
\[
J_s\:=\: \frac{h}{4 \pi}
\]
\[
M_s\:=\:\frac{e h}{4 \pi m}
\]
dove h (costante di Planck) vale $6.626 \cdot 10^{-34} J s$.
\newline \indent
Cio' implica che il valore di g nella (18) sia esattamente uguale a 2, se si ignora il moto orbitale dell'elettrone. Il valore di g per il moto orbitale 
\'e ancora 1. 
\newline \indent
Il fatto che il valore sperimentale sia cosi' vicino a 2 si attribuisce al 
fatto che alla magnetizzazione contribuisce sopratutto il momento di spin e molto poco quello orbitale
\section{Ulteriori considerazioni relative all'esperimento di Einstein-de Haas}
Pu\'o a prima vista apparire strano che, aumentando l'intensit\'a del campo
magnetico da zero ad un certo valore, la barretta acquisti un momento angolare. Infatti, ci\'o implica una certa energia cinetica di rotazione e
quindi un lavoro fatto sulla barretta. Da dove viene tale lavoro, se sappiamo
che il campo magnetico non compie alcun lavoro ? In realt\'a ci\'o \'e
perfettamente comprensibile se ricordiamo che il nostro campo magnetico
\'e variabile e che, in base alle equazioni di Maxwell, ad un campo
magnetico variabile \'e associato un campo elettrico:
\begin{equation}
 \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\label{eq:max}
\end{equation}
Consideriamo, a solo scopo illustrativo, un semplicissimo modellino in
cui l'atomo \'e schematizzato come una circonferenza di raggio costante r,
lungo la quale \'e depositata una carica q ed una massa m, distribuite
uniformemente con densit\'a lineari rispettivamente $\lambda_q$ e $\lambda_m$.
Ammettiamo che la circonferenza giaccia nel piano $x-y$ di un sistema di
coordinate cartesiane e che il campo B, inizialmente nullo, acquisti
un valore lungo z che cresce col tempo t come:
\[
B = \alpha t
\]
Ammettiamo che la materia distribuita lungo la circonferenza ruoti inizialmente con velocit\'a angolare $\omega_0$. Possiamo ora far uso
del teorema di Stokes ed applicare l'quazione~\ref{eq:max} alla superficie
del cerchio di raggio r, per ottenere:
\[
\oint\vec{E}\cdot \vec{dl} \:=\: -\frac{\partial}{\partial t} \int_{S} \vec{B} \cdot \vec{ds} \:=\: -\frac{\partial}{\partial t} (\pi r^2) \alpha t
\]
da cui:
\[ 
2 \pi r E \:=\: - \pi r^2 \alpha
\]
e quindi:
\[
E\:=\:-\frac{\alpha}{2} r
\]
L'energia del sistema, coincidente con quella cinetica del disco, \'e:
\[
W \:=\: \frac{1}{2} m v^2 \:=\: \pi \lambda_m \omega^2 r^3
\]
e la sua variazione in un intervallino di tempo infinitesimo dt, indicando con
$d\omega$ la corrispondente variazione di velocit\'a angolare:
\[
dW \:=\: d(\pi \lambda_m \omega^2 r^3)\:=\:2 \pi \lambda_m r^3 \omega d\omega
\]
Questa deve uguagliare il lavoro fatto dal campo elettrico nel tempo dt:
\[
dL\:=\: E q v dt\:=\:-\frac{\alpha}{2} r (2 \pi r \lambda_q) \omega r dt\:=\:
- \alpha \pi \omega \lambda_q r^3 dt
\]
Uguagliando i termini:
\[
d \omega\:=\:-\frac{\lambda_q}{2 \lambda_m} \alpha dt
\]
cio\'e
\[
\omega(t)\:=\:-\frac{\lambda_q}{2 \lambda_m} \alpha t \:+\: \omega_0\:
=\: -\frac{q}{2m}\:B\:+\: \omega_0
\]
Vediamo cos\'i che l'aumento di velocit\'a angolare e quindi di energia, viene
dal lavoro fatto dal campo elettrico generato dalla variazione di B. Il modellino che abbiamo considerato \'e totalmente irrealistico, ma illustra
in modo semplice il fenomeno che ha luogo. Vedremo pi\'u avanti un modello
pi\'u aderente alla realt\'a.
\section{Il teorema di Larmor}

Consideriamo un semplice modellino atomico, quello di un atomo con un solo
elettrone legato elasticamente ad una posizione di equilibrio. Sia $-k \vec{r}$ la forza elastica diretta verso il nucleo atomico, che supporremo fermo. Ammettiamo che la traiettoria dell'elettrone sia circolare. Uguagliando
la forza centripeta e quella elastica, possiamo ottenere il valore della
velocit\'a angolare $\omega_0$:
\[
-k \vec{r} \:+\:m \omega_0^2 \vec{r}\:=\:0
\]
da cui:
\[
\omega_0\:=\:\pm \sqrt{\frac{k}{m}}
\]
In presenza di una campo d'induzione magnetica B, perpendicolare al piano dell'orbita, dobbiamo tener conto del termine aggiuntivo dovuto alla forza di Lorentz: $e \vec{v} \times \vec{B}$,
che ha la direzione di $\vec{r}$ e modulo uguale a $e r B \omega$, se assumiamo per $\omega$ il segno positivo per un moto destrorso (orario) dell'elettrone
attorno alla direzione di B. In presenza del campo l'equazione del moto
diviene allora:
\[
-k + m \omega^2 +e \omega B \:=\:0
\]
ponendo:
\[
\omega_L\:=\:-\frac{eB}{2m}
\]
questa diventa:
\[
-\omega_0^2+\omega^2+2\omega \omega_L\:=\:0
\]
la cui soluzione \'e:
\[
\omega\:=\:\omega_L \pm \sqrt{\omega_L^2+\omega_0^2}
\]
Come si pu\'o verificare in concreto, per campi non troppo intensi (in pratica
sempre) il termine $\omega_L$ \'e trascurabile rispetto ad $\omega_0$. Le soluzioni diventano allora:
\[
\omega_1\:=\:-\omega_0 + \omega_L
\]
\[
\omega_2\:=\:+\omega_0 + \omega_L
\]
Poich\'e avevamo ammesso che la velocit\'a angolare in assenza di campo fosse
$+\omega_0$, nel caso specifico dovremo scegliere la seconda delle due soluzioni. Ne segue che, in presenza del campo, la velocit\'a angolare aumenta
della quantit\'a $\omega_L$. Se il moto iniziale fosse stato sinistrorso, avremmo dovuto scegliere la prima delle due soluzioni, ed avremmo avuto per
il modulo della velocit\'a angolare dopo l'applicazione del campo: $\omega_0-\omega_L$. Se quindi la velocit\'a angolare era $\omega_0$ prima dell'applicazione del campo, dopo essa sar\'a $\omega_0+\omega_L$ o
$\omega_0-\omega_L$ a seconda di quella che \'e l'orientazione della velocit\'a dell'elettrone rispetto alla direzione del campo.
\newline \indent
Esaminiamo ora l'energia dell'elettrone. Essa era $(1/2) m v^2\:=\:(1/2) m r^2 \omega_0^2$ prima dell'applicazione del campo ed \'e invece: $(1/2) m r^2 (\omega_0+\omega_L)^2$ dopo. Come visto nella sezione precedente, la
differenza di energia viene dal lavoro fatto dal campo elettrico associato
alla variazione di B. 
\newline \indent Infatti il lavoro fornito dal campo all'elettrone in un giro completo \'e:
\[
\oint{e \vec{E} \cdot d\vec{r}}\:=\:e \int_{S} \vec{\nabla}\times \vec{E} \cdot ds\:=\:e (\vec{\nabla}\times \vec{E})_n \: \pi \:r^2 
\]
dove $\vec{n}$ \'e la normale alla superficie dell'orbita.
\newline \indent
Il lavoro fatto in un secondo sar\'a:
\[
(\vec{\nabla}\times \vec{E})_n \frac{e r^2 \omega_0}{2}
\]
Se il senso di rotazione dell'elettrone \'e destrorso, il lavoro ad esso
fornito in un secondo sar\'a allora:
\[
-\frac{\partial B}{\partial t} \frac{e r^2 \omega_0}{2}
\]
ed il lavoro totale nel passaggio del campo dal valore zero al valore B sar\'a:
\[
-B \frac{e r^2 \omega_0}{2}\:=\:-mr^2\omega_0\frac{e B}{2 m}\:=\:-\frac{1}{2}m r^2 \omega_0\:2 \frac{eB}{2m}\:=\:\frac{1}{2}m r^2 (2 \omega_0 \omega_L)
\]
Si vede che, a meno di termini in $\omega_L^2$, questo \'e l'aumento di energia calcolato prima.
\newline \indent
I due casi appena esaminati, quello di un elettrone che, in un campo B segue
una traiettoria circolare destrorsa attorno alla direzione del campo, e quello di un elettrone che segue una traiettoria circolare sinistrorsa, rientrano in un unico teorema generale, che \'e quello di Larmor, secondo
il quale 
\emph{per effetto dell'inserimento del campo B, l'elettrone descrive dopo
l'inserimento il medesimo moto rotatorio che esso descriveva prima, ma
ora in un riferimento ruotante con velocit\'a angolare $\omega_L$}.
\newline \indent
Verifichiamo ora che il medesimo risultato continua a valere nel caso
pi\'u generale di un elettrone legato elasticamente ad un nucleo fisso,
nel caso in cui si applichi un campo B. In tal caso, l'equazione del
moto si scriver\'a:
\begin{equation}
m\vec{\ddot{r}} + k \vec{r}\:=\:e \vec{v}\times \vec{B}
\end{equation}
che, ponendo al solito $k/m=\omega_0^2$, in coordinate cartesiane
diventa:
\[
\ddot{x}+\omega_0^2 x\:=\:\frac{e}{m} \dot{y} B
\]
\[
\ddot{y}+\omega_0^2 y\:=\:-\frac{e}{m} \dot{x} B
\]
\[
\ddot{z}+\omega_0^2 z\:=\:0
\]
dove si \'e ammesso che B sia diretto lungo l'asse z.
\newline \indent
Moltiplicando la seconda di queste equazioni per l'unit\'a immaginaria i, sommandola poi alla prima ed introducendo la variabile complessa: $\alpha=x+iy$, si ottiene:
\[
\ddot{\alpha}\:+\:\omega_0^2 \alpha \:=\:-i\frac{e B}{m} \dot{\alpha} \:=\: 2i\omega_L \dot{\alpha}
\]
dove:
\[
\omega_L=-\frac{eB}{2m}
\]
La soluzione generale di tale equazione \'e:
\[
\alpha \:=\:A \exp{i(\omega_0+\omega_L)t} \:+\:B \exp{i(-\omega_0+\omega_L)t}
\]
ovvero:
\[
\alpha\:=\:x+iy\:=\:\exp{i \omega_L t}(A \exp{i \omega_0 t}+B \exp{-i \omega_0 t})
\]
che differisce dal moto in assenza del campo B per la presenza del fattore
$\exp{i \omega_L t}$, corrispondente ad una rotazione attorno alla direzione dell'asse z con velocit\'a angolare $\omega_L$ (frequenza di
Larmor). Notiamo che il moto lungo l'asse z non \'e alterato dal campo.
\newline \indent
Ne concludiamo che, quando si stabilisce il campo, al movimento iniziale
si sovrappone una rotazione con velocit\'a angolare uniforme $\omega_L$.
In generale, si pu\'o dimostrare per il caso di un generico sistema atomico
con un generico numero di elettroni, che l'aggiunta di una campo magnetico
ha come unico risultato quello di imprimere al sistema di elettroni un
ulteriore moto di rotazione con frequenza angolare $\omega_L$. Poich\'e tale
moto rotatorio addizionale crea un ulteriore momento di dipolo, ne segue che
il momento magnetico del materiale sar\'a modificato e, se prima era nullo,
ora verr\'a ad essere diverso da zero. \'E questa l'origine del diamagnetismo.
\newline \indent
Ammettiamo ora di porre un pezzo di metallo in un campo B. L'effetto della
rotazione di Larmor \'e quello di aggiungere, al moto iniziale di rotazione
degli elettroni attorno ai rispettivi nuclei, un ulteriore moto rotatorio
di frequenza angolare $\omega_L=-(e/2m) B$. Se ora immaginiamo di far
ruotare il metallo, attorno alla direzione di B, con velocit\'a angolare 
$-\omega_L$, ciascun elettrone di ciascun atomo si comporter\'a esattamente
come si comportava prima dell'applicazione del campo: ruoter\'a con
velocit\'a angolare $\omega_0$.  Cio\'e il moto di rotazione ha annullato
l'effetto del campo. Se in seguito all'applicazione di un campo il
materiale aveva acquistato un momento magnetico, dopo la rotazione che
gli abbiamo impresso tale momento magnetico verr\'a a mancare. Ci\'o per\'o
vuol anche dire che, \emph{ se non applichiamo alcun campo, ma
facciamo ruotare il blocco di metallo, questo si comporter\'a come se fosse
stato messo in un campo magnetico di intensit\'a $B=2m\omega/e$}. Tale fenomeno \'e l'opposto di quello relativo all'effetto Einstein-de Haas (o effetto magneto-meccanico) ed \'e noto sotto il nome di Barnett, che per
primo lo mise in evidenza.
\newline \indent
\'E possibile dedurre il medesimo risultato per altra via, che mette in
evidenza in modo immediato il legame tra quest'ultimo effetto e quello di
Einstein-de Haas.
\newline \indent
Ricordiamo dalla meccanica che la derivata rispetto al tempo di un vettore $\vec{u}$ in un sistema fisso, \'e legata alla derivata rispetto al tempo
del vettore $\vec{u_r}$ espresso in un sistema di riferimento che ruota con
velocit\'a angolare $\vec{\omega}$, dalla relazione:
\[
\frac{d\vec{u}}{dt}\:=\:\frac{d\vec{u_r}}{dt}\:+\vec{\omega} \times \vec{u}
\]
Se applichiamo tale relazione al vettore momento angolare $\vec{p}$ di un
sistema atomico, parte di un blocco di materiale in rotazione attorno ad
un asse fisso con velocit\'a angolare $\vec{\omega}$, avremo:
\[
\frac{d\vec{p}}{dt}\:=\:\frac{d\vec{p_r}}{dt}\:+\vec{\omega} \times \vec{p}
\]
Se nessun momento meccanico agisce sul sistema, il termine $d\vec{p}/dt$ deve
esser nullo. Ne segue:
\[
\frac{d\vec{p_r}}{dt}\:=\vec{p} \times \vec{\omega}
\]
Ci\'o vuol dire che nel sistema ruotante agisce sul vettore $\vec{p}$
un momento meccanico, che chiameremo $\vec{K}$: $\vec{K}\:=\:\vec{p} \times \vec{\omega}$. In altre parole, un osservatore nel sistema ruotante vedr\'a 
un momento meccanico $\vec{K}$ agente sul vettore momento angolare $\vec{p}$.
Sappiamo d'altronde che al momento angolare \'e associato un momento
magnetico $\vec{M}$ pari a $-(e/2m) \vec{p}$ e che questo, in un campo
d'induzione magnetica $\vec{B}$ (che potremo scegliere parallelo al vettore
$\vec{\omega}$) subirebbe un momento torcente 
\[
\vec{K'}\:=\:\vec{M} \times \vec{B}\:=\:-\frac{e}{2m} \vec{p} \times \vec{B}
\]
Possiamo ora, con un'opportuna scelta del modulo di $\vec{B}$, far si che
il momento meccanico totale si annulli:
\[
\vec{K'}\:=\:-\vec{K}
\]
cio\'e
\[
\vec{p} \times \vec{\omega}\:=\:\frac{e}{2m} \vec{p} \times \vec{B}
\]
da cui segue:
\[
\vec{B}\:=\: \frac{2m}{e} \vec{\omega}
\]
Vediamo quindi che possiamo "compensare" l'effetto della rotazione mediante
l'applicazione di un opportuno campo magnetico $\vec{B}$. Segue allora che
una rotazione \'e equivalente all'applicazione di un campo, purch\'e tra
campo e vettore velocit\'a angolare susssista la relazione scritta.
\section{L'esperimento di Barnett}
Se un cilindretto di materiale \'e messo in rapida rotazione attorno al suo
asse, dobbiamo aspettarci, per quanto visto sopra, che esso si magnetizzi. Che ci\'o dovesse avvenire era stato predetto da John Perry~\cite{kn:perry} fin
dal 1890, che tuttavia non riusc\'i a rivelare l'effetto. Perry attribu\'i
la causa dell'insuccesso alla inadeguata velocit\'a di rotazione impressa
al suo campione.
\newline \indent
L'effetto fu poi osservato per la prima volta da Barnett~\cite{kn:barn} nel
1914-1915. 
\newline \indent
Non entreremo in una discussione dei dettagli dell'esperimento di Barnett. Ci limiteremo a menzionare che egli adoper\'o un cilindro, del diametro di circa 7~cm e lungo circa 85~cm, attorno a cui era posto un solenoide, adoperato
per misurare il campo prodotto dalla rotazione. La velocit\'a angolare di
rotazione veniva fatta variare tra circa 20 e 40 rotazioni al secondo. Un secondo cilindro simile al primo, posto anch'esso in un solenoide e collocato, parallelamente al primo, ad una certa distanza da esso, veniva usato (senza imprimergli alcuna rotazione) come
campione di confronto. Per ridurre gli effetti del campo magnetico terrestre, entrambi i sistemi erano posti orizzontalmente, ad un angolo di circa $90^0$ rispetto alla direzione del meridiano magnetico. La grandezza misurata era la differenza tra i segnali (flussi magnetici) nei due solenoidi.
Il risultato veniva riportato in un diagramma, in funzione della velocit\'a
angolare e mostrava una andamento all'incirca lineare in funzione di questa.
\newline \indent
Anche da tali misure fu possibile estrarre il valore del parametro
g definito dall'equazione~\ref{eq:eighteen}. Si trov\'o che, sia pure con grossi errori, il valore di g era compatibile con quello ottenuto nell'esperimento di J.Q.Stewart ma non con il valore 1 predetto dalla teoria classica. Tale risultato \'e stato poi confermato da numerosi altri esperimenti e, come gi\'a detto, trova la sua spiegazione nello spin dell'elettrone.

\newcommand{\Wiley}{John Wiley \& Sons\ }
\newcommand{\PH}{Prentice Hall\ }

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{kn:maxwell} J.C. Maxwell "A treatise on Electricity and Magnetism";
(Oxford University Press) Vol. II, $3^a$ edizione del 1891. Ristampato da
Clarendon Press - Oxford; pag. 221.
\bibitem{kn:tolman} R.C. Tolman e T. Dole Stewart; Physical Review VIII, 97 (1916); Physical Review IX, 164 (1917); R.C. Tolman, S. Karrer e E.W. Guernsey
Physical Review XXI, 525 (1923); R.C. Tolman e L.M. Mott-Smith, Physical Review XXVIII, 794 (1926)
\bibitem{kn:sivuchin} Per una dimostrazione ed una descrizione dell'esperimento si veda il libro di elettricit\'a di D. V. Sivuchin, pagg. 453-455
\bibitem{kn:barnett} S.J. Barnett; Phil. Mag. XII, 349 (1931)
\bibitem{kn:einstein} A. Einstein e W.J. de Haas, Verhandl. Deut. Physik Ges. 17, 152 (1915); 18, 173 (1916)
\bibitem{kn:results} I risultati trovati da Einstein e de Haas furono, in due
misure separate: g=1.33 e g=1.02. Vedasi per\'o una critica di questi risultati nell'articolo di J.Q. Stewart (pagina 116)
\bibitem{kn:stewart} J.Q. Stewart; Physical Review 11, 110 (1918)
\bibitem{kn:richardson} O.W. Richardson; Physical Review 26, 194 (1908)
\bibitem{kn:becker} R. Becker; "Teoria dell'elettricit\'a"; sesta edizione.  Sansoni Editore, secondo volume p. 122-123
\bibitem{kn:scott} G.G. Scott; Reviews of Modern Physics 34, 102 (1962) 
\bibitem{kn:goudsmith} G.E. Uhlenbeck e S. Goudsmith; Naturwiss, XIII, 953 (1925). Nature, CXVII, 264 (1926)
\bibitem{kn:perry} J. Perry: "Spinning Top"; p. 112
\bibitem{kn:barn} S.J. Barnett: Physical Review VI, 239 (1915); Phys. Rev. XX,
90 (1922); Nature CXII, 186 (1923)
\end{thebibliography}


\tableofcontents

%
%\begin{listoftables}
%\end{listoftables}

\end{document}


