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\bibliographystyle{unsrt}
\begin{document}
\title{Intensit\'a di un'onda sonora}
\author{\small }
\author{}
\date{\small 24 Ottobre 2001}
 
\maketitle

\section{Intensit\'a di un'onda sonora in un tubo pieno di gas}
\subsection{Prima derivazione}

Possiamo calcolare l'intensit\'a a partire dall'espressione del
lavoro (per unit\'a di tempo e di superficie) che lo strato di gas posto a
monte di una certa sezione del tubo fa su quello posto a valle. Tale
lavoro \'e pari al prodotto della ''pressione in eccesso'' $P_e=P-P_0$
per la velocit\'a con cui si muove lo strato di gas. Denotando con
$\delta(x,t)$ la funzione che esprime lo spostamento nel punto di ascissa
x al tempo t, avremo:

\[
I(t)\:=\:\frac{\partial \delta}{\partial t} \,P_e
\]
dove, per un'onda sinusoidale \'e:
\[
\delta(t)\:=\:\delta_0 \cos(kx-\omega t)
\]
Derivando questa rispetto al tempo:
\[
\frac{\partial \delta}{\partial t}\:=\:\omega \delta_0 \sin(kx-\omega t)
\]
La pressione in eccesso $P_e$ \'e data da:
\[
P_e\:=\:-K \rho_0 \frac{\partial \delta}{\partial t}
\]
dove K \'e dato da:
\[
K\:=\:v^2
\]
e $\rho_0$ \'e la densit\'a a riposo del gas. v \'e la velocit\'a di
propagazione dell'onda.


Si ha quindi per $P_e$:
\[
P_e\:=\:K \rho_0 \delta_0 \omega \sin(kx-\omega t)
\]
Per cui:
\[
I(t)\:=\:P_e \frac{\partial \delta}{\partial t} \:=\:\frac{K\rho_0
\omega^2\delta_0^2}{v} sin^2(kx-\omega t)
\]
La media su di un periodo d\'a un fattore 1/2, per cui:
\[
I\:=\:2 \pi^2 \nu^2 \delta_0^2 \rho_0 v
\]
\subsection{Seconda derivazione}

L'intensit\'a pu\'o anche esser calcolata a partire dall'energia cinetica
trasportata per unit\'a di tempo e di superficie.

Consideriamo un trattino di tubo di lunghezza $\Delta x$. La massa di gas
contenuta in esso, per unit\'a di area \'e:
\[
\Delta m \:=\: \rho_0 \Delta x
\]
La sua energia cinetica:
\[
\Delta T \:=\: \frac{1}{2} \Delta m v^2 \:=\: \frac{1}{2} \rho_0 \Delta x
\left(\omega \delta_0 sin(kx-\omega t)\right)^2\:=\:\frac{1}{2}\rho_0
\Delta x \omega^2 \delta_0^2 sin^2(k x-\omega t)
\]
Per $\Delta x$ infinitesimo:
\[
dT\:=\:\frac{1}{2}\rho_0 dx \omega^2 \delta_0^2 sin^2(kx-\omega t)
\]
L'energia cinetica per unit\'a di tempo sar\'a ora:
\[
\frac{dT}{dt}\:=\:\frac{1}{2}\rho_0 \omega^2 \delta_0^2 sin^2(kx-\omega t)
\,\frac{dx}{dt}\:=\:\frac{1}{2}\rho_0 \omega^2 \delta_0^2 sin^2(kx-\omega
t)\,v
\]
Il valor medio di questo su di un periodo \'e:
\[
\frac{1}{4}\rho_0 \omega^2 \delta_0^2 v
\]
Poich\'e sappiamo che l'energia potenziale \'e uguale a quella cinetica,
l'energia totale trasportata sar\'a due volte questa:
\[
I\:=\:\frac{1}{2}\rho_0 \omega^2 \delta_0^2 v\:=\:2 \pi^2 \nu^2 \delta_0^2
\rho_0 v
\]
Cio\'e il medesimo risultato ottenuto con il metodo precedente.

\section{Intensit\'a di un'onda sonora emessa da una sorgente ''puntiforme'' 
(onda sferica)}

Calcoliamo ora, seguendo lo stesso metodo adoperato nel caso di un'onda piana,
l'intensit\'a di un'onda sferica. Confronteremo poi il risultato ottenuto con
quello relativo al caso dell'onda piana.

Lo spostamento radiale di un guscio sferico infinitesimo \'e ora dato da:

\[
\delta(r,t)\:=\:\frac{\overline{\delta}^2}{r}cos(kr-\omega t)
\]
dove abbiamo indicato con $\overline{\delta}^2$ l'ampiezza (in tal modo la 
funzione $\delta$  avr\'a le dimensioni di una lunghezza).

L'energia cinetica contenuta nel guscio sferico di spessore infinitesimo $dr$
\'e data da:
\[
dT\:=\:\frac{4 \pi r^2 \rho_0}{2}\left(\frac{\partial \delta}{\partial 
t}\right)^2 \,dr\:=\:\frac{4 \pi r^2}{2}\frac{\rho_0 \overline{\delta}^4 
\omega^2}{r^2}sin^2(kr-\omega t)\,dr
\]
dove $\rho_0$ \'e la densit\'a di volume del gas a riposo.

Poich\'e siamo interessati all'intensit\'a, cio\'e all'energia per unit\'a
di superficie (e di tempo) dividiamo per $4 \pi r^2$, ottenendo:
\[
dT\:=\:\left(\frac{\overline{\delta}^2}{r}\right)^2 \frac{\omega^2 \rho_0}{2}
sin^2(kr-\omega t)\,dr
\]
In un intervallo di tempo infinitesimo dt, questa energia cinetica si sposta
del tratto $v dt$, dove $v$ \'e la velocit\'a di propagazione dell'onda:
\[
\frac{dT}{dt}\:=\:\left(\frac{\overline{\delta}^2}{r}\right)^2 \frac{\omega^2 
\rho_0}{2} sin^2(kr-\omega t)\,v
\]
Questa rappresenta il contributo all'intensit\'a istantanea dovuto alla sola
energia cinetica trasportata. Teniamo ora conto del fatto che l'energia 
potenziale contribuisce in ugual misura. Mediando sul tempo otteniamo allora
per l'intensit\'a:
\[
I\:=\:\left(\frac{\overline{\delta}^2}{r}\right)^2 \frac{\omega^2 \rho_0}{2}\,v
\]
Per confrontare ora questo risultato con quello ottenuto nel caso dell'onda
piana, esaminiamo il coefficiente $\frac{\overline{\delta}^2}{r}$, che \'e
l'ampiezza d'oscillazione dell'onda, alla distanza r dalla sorgente. Se
r varia da $r_1$ ad $r_2$, la variazione percentuale di tale coefficiente
sar\'a:
\[
2\,\frac{r_2-r_1}{r_2+r_1}
\]
Vediamo che, per $r_1 \approx r_2$ molto grande, tale variazione percentuale
\'e piccola. In tal caso il termine: $\frac{\overline{\delta}^2}{r}$ pu\'o
esser considerato all'incirca costante. Ponendo:
\[
\frac{\overline{\delta}^2}{r}\:=\:\delta_0
\]
abbiamo allora:
\[
I\:=\:\delta_0^2 \frac{\omega^2 \rho_0}{2}\,v
\]
cio\'e il medesimo risultato ottenuto nel caso dell'onda piana.




\end{document}






