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\begin{document}
%
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\newcommand{\nab}{\vec{\nabla}}
\title{\bf Onde elettromagnetiche}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle


\section{Equazioni di Maxwell ed onde elettromagnetiche}

Le equazioni di Maxwell in un mezzo omegeneo, di costante dielettrica $\epsilon$ e permeabilit\'a
magnetica $\mu$, in assenza di correnti e cariche, sono:
\begin{equation}
\nab \cdot \vec{E}\:=\:0   \label{max_one}
\end{equation}
\begin{equation}
\nab \cdot \vec{B}\:=\:0    \label{max_two}
\end{equation}
\begin{equation}
\nab \times \vec{E}\:=\:-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}  \label{max_three}
\end{equation} 
\begin{equation}
\nab \times \vec{B}\:=\:\epsilon \mu \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}  \label{max_four}
\end{equation}

Sono queste equazioni, e pi\'u in particolare le~(\ref{max_three}) e~(\ref{max_four}), che spiegano
la propagazione delle onde elettromagnetiche. La~(\ref{max_four}) prevede infatti che, se in una
certa zona di spazio \'e presente un campo elettrico variabile, questo dia origine ad un 
campo magnetico. Se ad esempio il campo elettrico varia in modo sinusoidale, avremo un campo $\vec{B}$, 
le cui linee di forza si avvolgono attorno a quelle di $\vec{E}$ ed il cui rotore varia in
funzione del tempo t come un coseno. La~(\ref{max_three}) ci dice che allora nasce un campo elettrico,
le cui linee di forza si avvolgono attorno a quelle di $\vec{B}$, che varia in modo sinusoidale.
Si ha cos\'i una \emph{propagazione del campo elettromagnetico}. Nel campo, la componente
elettrica genera continuamente una componente magnetica e questa a sua volta genera una nuova
componente elettrica. \'E anche naturale aspettarsi che le due componenti siano ortogonali
l'una all'altra (le linee di forza di uno dei due campi si avvolgono attorno a quelle dell'altro).

Esaminiamo ora in modo quantitativo come l'onda si propaghi.

Moltiplicando da sinistra la~(\ref{max_three}) per l'operatore $\nab$ si trova:
\[
\nab \times \left(\nab \times \vec{E}\right)\:=\:-\nab \times \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\]
Facciamo ora uso della relazione:
\[
\nab \times \left(\nab \times \vec{E}\right)\:=\:-\nabla^2 \vec{E} + \nab \cdot \left(\nab \cdot \vec{E}\right)
\]
dove l'ultimo dei termini a secondo membro \'e nullo, in assenza di cariche. Si
ha quindi:
\begin{equation}
\nabla^2 \vec{E}-\frac{\partial}{\partial t}\nab \times \vec{B}\:=\:0  \label{eq_part}
\end{equation}

D'altronde, derivando la~(\ref{max_four}) rispetto al tempo si ha:
\[
\frac{\partial}{\partial t} \nab \times \vec{B}\:=\:\epsilon \mu \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}
\]
Sostituendo questa nella~(\ref{eq_part}) si trova infine:
\begin{equation}
\nabla^2 \vec{E}-\epsilon \mu \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}\:=\:0  \label{eq_onde_E}
\end{equation}
Vediamo cos\'i che il vettore $\vec{E}$ soddisfa l'equazione delle onde.

Si pu\'o facilmente verificare che la medesima equazione \'e soddisfatta dal vettore
$\vec{B}$:
\begin{equation}
\nabla^2 \vec{B}-\epsilon \mu \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}\:=\:0  \label{eq_onde_B}
\end{equation}

Queste equazioni ci dicono che i campi $\vec{E}$ e $\vec{B}$ si propagano nello spazio
con velocit\'a:
\[
v\:=\:\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}
\]
Se il mezzo \'e il vuoto, sostituendo i valori numerici di $\epsilon_0$ e $\mu_0$:
\[
\epsilon_0=8.854 \,10^{-12} \;\;\left[\frac{C^2}{N m^2}\right]
\]
\[
\mu_0 \:=\:4 \pi \, 10^{-7} \;\;\left[\frac{N}{A^2}\right]
\]

si trova:
\[
v\:=\:c\:=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\:\approx \:299790000\,\frac{m}{s}
\]
cio\'e la velocit\'a della luce nel vuoto.

In un mezzo denso, caratterizzato da un valore $\epsilon_r$ della costante dielettrica relativa
e $\mu_r$ della permeabilit\'a magnetica, avremo:
\[
v\:=\: \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \frac{1}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}}\:=\:\frac{c}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}}
\:=\:\frac{c}{n}
\]
dove n \'e l'\emph{indice di rifrazione} relativo al mezzo considerato.


\section{Onde piane}
La soluzione generale dell'equazione d'onda, nel caso di propagazione di un'onda 
\emph{scalare}~\footnote{Cio\'e di un'onda descrivibile da una singola funzione, quale
potrebbe essere la pressione, nel caso di un'onda in un gas, lo spostamento trasversale
di un elemento di corda nel caso di un'onda in una corda tesa, etc} 
lungo una direzione determinata, (x) \'e del tipo:
\[
f(x,t)\:=\:f_+(x-vt) + f_-(x+vt)
\]
dove la $f_+$ rappresenta un'onda progressiva e la $f_-$ una regressiva.
Nel caso di un'onda elettromagnetica piana~\footnote{Si definisce piana un'onda la cui
ampiezza e fase in un dato istante \'e la medesima in tutti i punti di un piano 
(fronte d'onda) perpendicolare
alla direzione di propagazione} che si propaghi lungo l'asse x, ciascuna delle componenti del
campo elettrico (come pure ciascuna delle componenti del campo $\vec{B}$)
dovr\'a essere descritta da una funzione del tipo della f(x,t) e dovr\'a quindi 
dipendere da x e t solo nella combinazione $(x\mp vt)$.

Scriveremo:


\begin{equation}
\vec{E}\:=\:\vec{E} (x\mp vt) \label{eq:piana_one}
\end{equation}
per il campo elettrico $\vec{E}$, e:

\begin{equation}
\vec{B}\:=\:\vec{B} (x\mp vt) \label{eq:piana_two}
\end{equation}
per il vettore induzione magnetica $\vec{B}$, dove abbiamo indicato con $v$ la velocit\'a 
di propagazione dell'onda e.m. nel mezzo considerato.

Dalle equazioni~(\ref{max_one}) e~(\ref{max_two}) otteniamo:
\[
\nab \cdot \vec{E} \:=\:0 \;\;\; \Rightarrow \: \frac{\partial E_x}{\partial x}=0
\]
\[
\nab \cdot \vec{B} \:=\:0 \;\;\; \Rightarrow \: \frac{\partial B_x}{\partial x}=0
\]
Vediamo cos\'i che le componenti x dei campi non dipendono dal tempo.

La componente x dell'equazione~(\ref{max_three}) fornisce:
\[
\frac{\partial B_x}{\partial t}\:=\:-\left( \frac{\partial E_y}{\partial z} - 
\frac{\partial E_z}{\partial y} \right)\:=\:0
\]
poich\'e per l'ipotesi fatta, di un'onda piana che si propaga lungo l'asse x, $\vec{E}$ 
non dipende dalle coordinate y, z. Vediamo quindi che la componente x del campo $\vec{B}$
non dipende neanche dalla coordinata x. Essa \'e quindi una costante, e non descrive
alcuna propagazione di tipo ondulatorio.

Le altre due componenti della~(\ref{max_three}) danno poi:
\[
\frac{\partial B_y}{\partial t}\:=\: -\frac{\partial E_x}{\partial z} + 
\frac{\partial E_z}{\partial x} \:=\:+ \frac{\partial E_z}{\partial x}
\]

\[
\frac{\partial B_z}{\partial t}\:=\: -\frac{\partial E_y}{\partial x} + 
\frac{\partial E_x}{\partial y} \:=\: -\frac{\partial E_y}{\partial x}
\]
Mentre dalla componente x della~(\ref{max_four}) si ottiene:
\[
\epsilon \mu \frac{\partial E_x}{\partial t}\:=\: \frac{\partial B_y}{\partial z} - 
\frac{\partial B_z}{\partial y} \:=\:0
\]
Questa ci fa vedere che la componente x del campo $\vec{E}$ non dipende dal tempo. 
Poich\'e essa, come visto, non dipende neanche dalla coordinata x, ne concludiamo, come gi\'a
per $B_x$ che tale termine \'e una costante, irrilevante per ci\'o che concerne la
propagazione dell'onda.

Le altre due componenti della~(\ref{max_four}) forniscono:

\[
\epsilon \mu \frac{\partial E_y}{\partial t}\:=\: -\frac{\partial B_z}{\partial x} + 
\frac{\partial B_x}{\partial z} \:=\:-\frac{\partial B_z}{\partial x}
\]

\[
\epsilon \mu \frac{\partial E_z}{\partial t}\:=\: -\frac{\partial B_x}{\partial y} + 
\frac{\partial B_y}{\partial x} \:=\: \frac{\partial B_y}{\partial x}
\]



Abbiamo in tal modo visto che le sole componenti dei campi rilevanti agli effetti
della propagazione dell'onda, sono quelle lungo y e z, cio\'e lungo gli assi
perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda. Le eventuali componenti
longitudinali di $\vec{B}$ ed $\vec{E}$ descrivono campi uniformi e costanti,
che non corrispondono ad alcuna propagazione di tipo ondulatorio.

Le equazioni differenziali soddisfatte dalle componenti y e z sono quelle appena scritte, 
che riportiamo qui per comodit\'a:

\begin{equation}
\frac{\partial B_y}{\partial t}\:=\: \frac{\partial E_z}{\partial x} \label{cross_a}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial B_z}{\partial t}\:=\: -\frac{\partial E_y}{\partial x}  \label{cross_b}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial B_z}{\partial x}\:=\: -\epsilon \mu \frac{\partial E_y}{\partial t}  \label{cross_c}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\partial B_y}{\partial x}\:=\:  \epsilon \mu \frac{\partial E_z}{\partial t}  \label{cross_d}
\end{equation}

Notiamo che la prima e l'ultima di tali equazioni contengono le sole variabili $B_y$ ed $E_z$,
mentre le altre due contengono solo $E_y$ e $B_z$. Ci\'o ci dice che il problema pu\'o esser
affrontato separatamente per ciascuna coppia. Essendo per\'o uguali le equazioni cui ciascuna coppia
soddisfa, dobbiamo aspettarci di trovare anche soluzioni uguali.


Esaminiamo ora una soluzione particolare delle equazioni. Ammettiamo che il campo elettrico
$\vec{E}$ abbia nulla la componente z.  In tale caso, le equazioni~(\ref{cross_a}) e~(\ref{cross_d}) ci dicono che \'e:
\[
\frac{\partial B_y}{\partial t} = 0
\]
\[
\frac{\partial B_y}{\partial x} = 0
\]
Cio\'e $B_y$ \'e costante nel tempo e nello spazio. Nuovamente
abbiamo una componente che non corrisponde ad un'onda e che possiamo quindi ignorare.
L'unica componente di $\vec{B}$ che sopravvive \'e quella z. Abbiamo quindi che le
componenti dei campi elettrico e magnetico che rimangono sono $E_y$ e $B_z$. 
Le soluzioni saranno allora:
\[
\vec{E}\:\equiv \: E_y \hat{y}\:=\:f(x \mp vt)
\]
\[
\vec{B}\:\equiv \: B_z \hat{z}\:=\:g(x \mp vt)
\]
dove abbiamo indicato con $\hat{y}$ e $\hat{z}$ i versori dei relativi assi cartesiani e
dove il segno (-) \'e relativo ad un'onda progressiva, quello (+) ad una regressiva.

L'onda che si propaga \'e cio\'e caratterizzata da un campo elettrico $\vec{E}$ e da un campo $\vec{B}$
che sono perpendicolari tra loro, oltre ad essere perpendicolari alla direzione (x)
di propagazione dell'onda.

Possiamo in aggiunta vedere che, in tale situazione, esiste una relazione definita
tra i moduli dei campi $\vec{E}$ e $\vec{B}$. Ponendo: $\xi=x\mp vt$, possiamo infatti
scrivere:
\[
E_y\:=\:E_y(x \mp vt)\:=\:E_y(\xi)
\]
\[
B_z\:=\:B_z(x \mp vt)\:=\:B_z(\xi)
\]

e, facendo uso della~(\ref{cross_b}):
\[
\mp v \frac{\partial B_z}{\partial \xi}\:=\:\frac{\partial B_z}{\partial t}\:=\:
-\frac{\partial E_y}{\partial x}\:=\:-\frac{\partial E_y}{\partial \xi}
\]
cio\'e:
\[
\frac{\partial E_y}{\partial \xi}\:=\:\pm v \frac{\partial B_z}{\partial \xi}
\]
da cui:
\[
E_y\:=\:\pm v B_z + costante
\]
dove il termine costante pu\'o, come prima, essere ignorato. Si ottiene infine:
\begin{equation}
\frac{E_y}{B_z}\:=\:\pm v\:=\:\pm \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}} \label{eysubz}
\end{equation}
Tenendo conto del fatto che il vettore $\vec{E}$ \'e diretto lungo l'asse y ed
il vettore $\vec{B}$ lungo l'asse z, mentre l'onda viaggia lungo il verso positivo
dell'asse x se progressiva, lungo quello negativo se regressiva, vediamo che si
pu\'o scrivere:
\begin{equation}
\vec{E}\:=\:\vec{B} \times \vec{v}   \label{vecevecb}
\end{equation}
Il rapporto tra il modulo di $\vec{E}$ e quello di $\vec{B}$ \'e:
\[
\frac{E}{B}\:=\:v
\]
Una soluzione particolare alternativa a quella considerata \'e ottenibile ammettendo
che il campo elettrico $\vec{E}$ abbia nulla la componente y. In modo analogo a quello
seguito in precedenza si trova allora, facendo uso delle equazioni~(\ref{cross_b}) e~(\ref{cross_c}):

\[
\frac{\partial B_z}{\partial t}\:=\:0
\]
\[
\frac{\partial B_z}{\partial x}\:=\:0
\]

Cio\'e la componente z del campo $\vec{B}$ corrisponde ad un campo uniforme e costante che,
come nei casi precedenti, pu\'o essere ignorato. Le componenti dei campi che rimangono sono
in questo caso $B_y$ e $E_z$:
\[
B_y\:=\:B_y(x \mp vt)
\]
\[
E_z\:=\:E_z(x \mp vt)
\]
Ancora una volta troveremo poi che i campi $\vec{E}$ e $\vec{B}$ sono legati da una relazione analoga
alla~(\ref{eysubz}). Facendo infatti uso della~(\ref{cross_a}), si trova:

\begin{equation}
E_z\:=\:\pm v B_y    \label{ezsuby}
\end{equation}
Da questa si vede poi che anche in questo caso \'e:
\[
\vec{E}\:=\:\vec{B} \times \vec{v}
\]

Questa equazione mostra che i vettori $\vec{E}$, $\vec{B}$ e $\vec{v}$ (o il ''vettore d'onda $\vec{k}$''
che incontreremo tra poco) sono tali che, per un'osservatore che guardi nel verso negativo di $\vec{v}$,
$\vec{E}$ debba ruotare in verso antiorario per andare a sovrapporsi a $\vec{B}$ 
(vedi figura~\ref{e_b_v}(a)).
Si noti che se si inverte il verso di propagazione dell'onda, si scambiano $\vec{E}$ e $\vec{B}$(vedi figura~\ref{e_b_v}(b)).

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=e_b_v.eps,width=11.0 cm,height=6 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{e_b_v}
\end{figure}

Nel caso in cui siano diverse da zero sia la componente y che quella z di $\vec{E}$, la soluzione
pu\'o poi essere ottenuta, facendo uso della linearit\'a delle equazioni differenziali, combinando
le soluzioni particolari ottenute nel caso $E_y=0$ ed in quello $E_z=0$. Si ha cos\'i (limitandoci
al caso di un'onda progressiva):
\[
\vec{E}\:=\:E_y(x-vt) \hat{y} + E_z(x-vt) \hat{z}
\]
\[
\vec{B}\:=\:B_y(x-vt) \hat{y} + B_z(x-vt) \hat{z}
\]
dove, come segue dalle~(\ref{eysubz} e~(\ref{ezsuby}):
\[
B_y(x-vt)\:=\:-\frac{1}{v}E_z(x-vt)
\]
\[
B_z(x-vt)\:=\:\frac{1}{v}E_y(x-vt)
\]
Come vediamo, anche in questo caso le componenti del campo $\vec{B}$ sono dipendenti da quelle
di $\vec{E}$. Potremo scrivere:
\[
\vec{E}\:=\:E_y(x-vt) \hat{y} + E_z(x-vt) \hat{z}
\]
\[
\vec{B}\:=\:\frac{1}{v}\left[-E_z(x-vt) \hat{y} + E_y(x-vt) \hat{z}\right]
\]
da cui si ottiene la relazione tra i moduli dei vettori $\vec{E}$ e $\vec{B}$:
\[
B^2 \:=\:B_y^2 + B_z^2\:=\:\frac{1}{v^2}\left(E_y^2 + E_z^2\right)\:=\:\frac{E^2}{v^2}
\]
I vettori $\vec{E}$ e $\vec{B}$ sono ancora una volta prependicolari tra loro, come si
verifica facilmente calcolando il loro prodotto scalare:
\[
\vec{E}\cdot \vec{B}\:=\:\frac{1}{v}\left( -E_y(x-vt)E_z(x-vt)+E_z(x-vt)E_y(x-vt)\right)\:=\:0
\]
Il prodotto vettoriale di $\vec{E}$ e $\vec{B}$ \'e poi dato da:
\begin{equation}
\vec{E} \times \vec{B}\:=\:\frac{E^2}{v} \hat{x}\:=\:B^2 v \hat{x}\:=\:E B \hat{x}\:=\:B^2 \vec{v}   \label{ecrossb}
\end{equation}

Moltiplicando vettorialmente entrambi i membri di questa equazione a sinistra per $\vec{B}$,
troviamo poi:
\[
\vec{B} \times \left(\vec{E}\times \vec{B}\right) \:=\: B^2 \vec{B} \times \vec{v}
\]
e, facendo uso dell'identit\'a vettoriale:
\[
\vec{a}\times(\vec{b}\times \vec{c})\:=\:\vec{b}(\vec{a}\cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a}\cdot \vec{b})
\]
otteniamo:
\[
\vec{E}\:=\:\vec{B}\times \vec{v}
\]
cio\'e la medesima relazione trovata in precedenza.

La relazione tra i moduli di $\vec{B}$ ed $\vec{E}$:
\[
\frac{E}{B}\:=\:v\:=\:\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}
\]
si pu\'o esprimere come una relazione tra $\vec{E}$ e $\vec{H}$:
\[
\frac{E}{H}\:=\:\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\:\equiv\:Z
\]
La grandezza $\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\:=\:Z$, che ha le dimensioni di una resistenza, \'e nota
come l'\emph{impedenza caratteristica} del mezzo. Nel vuoto essa vale $377\,\Omega$.


\section{Onde piane monocromatiche}

In questa sezione considereremo onde piane monocromatiche, cio\'e onde piane la cui dipendenza
spazio-temporale sia di tipo sinusoidale.

Un'onda piana monocromatica pu\'o essere espressa nella forma:

\begin{equation}
\vec{E}\:=\:\vec{E_0} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)} \label{eq:piana_mono_one}
\end{equation}
per il campo elettrico $\vec{E}$, e:

\begin{equation}
\vec{B}\:=\:\vec{B_0} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)} \label{eq:piana_mono_two}
\end{equation}
per il vettore induzione magnetica $\vec{B}$.

Il vettore $\vec{k}$ \'e il vettore d'onda, diretto nella direzione di propagazione
dell'onda ed avente modulo:
\[
k\:=\:\frac{2 \pi}{\lambda}
\]

Sostituendo tali espressioni dei campi nelle equazioni~(\ref{max_one})-(\ref{max_four})
e tenendo conto del fatto che:
\newcommand{\wav}{e^{i \vec{k}\cdot \vec{r}}}
\[
\nab \left (\wav \right)\:=\: i \vec{k} \wav
\]
\[
\frac{\partial}{\partial t} e^{-i \omega t}\:=\:-i \omega e^{-i \omega t}
\]
si trova che:

\[
\nab \times \vec{B}\:=\:\epsilon \mu \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \Rightarrow \vec{k}\times \vec{B}\:=\:-\omega \epsilon \mu \vec{E}
\]
e:
\[
\nab \times \vec{E}\:=\:-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \Rightarrow \vec{k}\times \vec{E}\:=\:\omega  \vec{B}
\]
Mentre dalle equazioni della divergenza~(\ref{max_one}) e~(\ref{max_two}) segue:

\[
\vec{k} \cdot \vec{B}\:=\:0
\]
\[
\vec{k} \cdot \vec{E}\:=\:0
\]
Segue da tali relazioni che i vettori $\vec{E}$ e $\vec{B}$ di un'onda piana monocromatica
sono perpendicolari al vettore $\vec{k}$, cio\'e alla direzione di propagazione dell'onda.

L'onda elettromagnetica \'e \emph{trasversale}. Inoltre i vettori $\vec{E}$ e $\vec{B}$ sono
perpendicolari tra loro e, insieme al vettore $\vec{k}$, formano una terna di vettori
ortogonali (vedi figura~\ref{e_b_v}). La fase di $\vec{E}$ e $\vec{B}$ \'e la medesima in ogni istante.

Il fatto che le onde elettromagnetiche fossero trasversali fu scoperto nel 1817 da Young. Basandosi
su tale ipotesi egli spieg\'o infatti l'assenza di interferenza tra raggi luminosi polarizzati
in direzioni perpendicolari, osservata quasi contemporaneamente da Arago e Fresnel nel 1816.

Dalla relazione:
\[
\vec{k}\times \vec{E}\:=\:\omega  \vec{B}
\]
prendendo il modulo di entrambi i membri:
\[
|\vec{k}\times \vec{E}|\:=\:\omega  |\vec{B}|
\]
e tenendo conto del fatto che:
\[
|\vec{k}\times \vec{E}|\:=\:|k| |E|
\]
nonch\'e del fatto che:
\[
|\vec{k}|\:=\:k\:=\:\frac{\omega}{v}
\]
si trova ancora una volta:
\[
E\:=\:v B
\]
e, nel vuoto:
\[
E\:=\:c B
\]
\section{Onde elettromagnetiche nei mezzi materiali}

Consideriamo un mezzo caratterizzato da valori costanti della permeabilit\'a
magnetica relativa $\mu_r$, della costante dielettrica relativa $\epsilon_r$ e della conducibilt\'a
$\sigma$.
Ammettiamo inoltre che per tale mezzo valga la legge di Ohm: $\vec{J}=\sigma \vec{E}$ con J eventualmente complesso.
\newline \indent
Cerchiamo soluzioni di onda piana delle equazioni di Maxwell in tale mezzo, soluzioni che scriveremo nella forma:
\begin{equation}
\vec{E}\:=\:\vec{E_0} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)} \label{eq:one}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{H}\:=\:\vec{H_0} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)} \label{eq:two}
\end{equation}
Facciamo uso delle equazioni di Maxwell relative al mezzo considerato, ricordando che
\'e:
\[
\vec{B}\:=\:\mu_0 \mu_r \vec{H}\:=\:\mu \vec{H}
\]
\[
\vec{D}\:=\:\epsilon_r \epsilon_0 \vec{E}\:=\:\epsilon \vec{E}
\]

\begin{equation}
\nab \times \vec{H}\:=\:\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\:+\: \sigma \vec{E} \label{eq:three}
\end{equation}

\begin{equation}
\nab \times \vec{E}\:=\: -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\:=\:-\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \label{eq:four}
\end{equation}

Moltiplicando la prima delle due ultime equazioni vettorialmente da sinistra
per l'operatore $\nab$, avremo:
\[
\nab \times \nab \times \vec{H}\:=\:\nab \times [\epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\:+\: \sigma \vec{E}]
\]
e, ricordando l'identit\'a matematica:
\[
\nab \times \nab \times \vec{H}\:=\:-\nabla^2 \vec{H}\:+\:\nab(\nab \cdot \vec{H})
\]
la~(\ref{eq:three}) diventa:
\[
-\nabla^2 \vec{H}\:+\:\nab(\nab \cdot \vec{H})\:=\:\sigma \nab \times \vec{E}\:+\:\epsilon \nab \times \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\]
Ricordando ora che $\nab \cdot \vec{H} \:=\:0$ e che la derivata
$(\partial \vec{E})/\partial t$ per l'onda di frequenza angolare $\omega$
considerata \'e uguale a $-i \omega \vec{E}$, avremo:
\[
\nabla^2 \vec{H} \:+\:(\sigma - i\omega \epsilon) \nab \times \vec{E}\:=\:0
\]
Questa espressione pu\'o essere ridotta ad un'equazione nella sola variabile
$\vec{H}$ facendo uso della~(\ref{eq:four}):
\begin{equation}
\nabla^2 \vec{H} \:-\:(\sigma - i\omega \epsilon)\:\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}\:=\:0 \label{eq:5new}
\end{equation}

Scegliamo ora un sistema di assi cartesiani con l'asse x diretto lungo la direzione
di propagazione dell'onda.

Sostituendo ora al vettore $\vec{H}$ (che giace nel piano y-z) il suo modulo, alla 
derivata $\frac{\partial H}{\partial t}$ il termine $-i \omega H$, e ricordando che per l'onda piana che stiamo considerando le derivate rispetto ad y e rispetto a z sono nulle, otteniamo:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 H}{\partial x^2}\:+\:(i \omega \mu \sigma + \omega^2 \epsilon \mu) H \:=\:0
   \label{eq:6new}
\end{equation}

Cerchiamo ora soluzioni di tale equazione del tipo di onda piana monocromatica
scritta sopra~(\ref{eq:two}):
\[
H(x)\:=\:H_0 e^{ikx}
\]
sostituendo tale espressione nell'equazione precedente, possiamo ricavare k:
\[
k\:=\:\sqrt{\epsilon \mu \omega^2+i\omega \mu \sigma}
\]
Ricordando poi le relazioni:
\[
\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r
\]
\[
\mu = \mu_0 \mu_r
\]
\[
c^2\:=\:\frac{1}{\epsilon_0 \mu_0}
\]
\[
k_0\:=\:\omega/c
\]
troviamo:
\[
k \:=\: \sqrt{\epsilon_0 \mu_0 \epsilon_r \mu_r \omega^2+i \omega \mu_0 \mu_r \sigma}\:=\:\sqrt{\frac{\epsilon_r \mu_r \omega^2}{c^2}+i \omega \sigma \frac{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}{\epsilon}}\:=
\]
\[=\: \sqrt{\frac{\epsilon_r \mu_r \omega^2}{c^2}+i \omega \sigma \frac{\epsilon_r \mu_r}{\epsilon c^2}}\:=\: \sqrt{\epsilon_r \mu_r}\sqrt{\frac{\omega^2}{c^2}+i\frac{\omega \sigma}{\epsilon c^2}}
\]
cio\'e:
\begin{equation}
k\:=\: \sqrt{\epsilon_r \mu_r} \sqrt{k_0^2+i k_0^2 \frac{\sigma}{\epsilon \omega}} \:=\: k_0 \: \sqrt{\mu_r \epsilon_r} \sqrt{1+i \frac{\sigma}{\omega \epsilon}} \label{eq:general}
\end{equation}
e per B abbiamo:
\[
B\:=\:\frac{E}{v}\:=\:\frac{k}{\omega}\:E
\]
Possono ora verificarsi tre casi distinti:
\begin{enumerate}
\item{dielettrici:  $\sigma$ \'e trascurabile}
\item{conduttori: $\sigma$ \'e molto grande}
\item{plasmi: $\sigma$ \'e immaginario}
\end{enumerate}
Esamineremo ora nell'ordine questi tre casi.

\section{Dielettrici}
L'equazione~(\ref{eq:general}) ottenuta nella precedente sezione, nel caso di
sostanze aventi conducibilit\'a molto basse, come appunto i dielettrici, diventa:
\[
k\:=\: k_0 \sqrt{\mu_r \epsilon_r}\:\approx \: k_0 \sqrt{\epsilon_r}
\]
poich\'e \'e $\mu_r\:\approx\: 1$ nel caso dei dielettrici.
Per la lunghezza d'onda ci\'o implica:
\[
\lambda\:=\: \lambda_0/\sqrt{\epsilon_r}\:=\: \lambda_0/n
\]
dove n \'e l'indice di rifrazione.
Notiamo qui che $\epsilon_r$ non \'e necessariamente reale, e quindi n sar\'a
in genere complesso. Si pu\'o poi vedere che esso, in generale, dipender\'a dalla frequenza
dell'onda monocromatica adoperata.

Per vederlo \'e sufficiente considerare un semplice modellino classico dell'atomo, in cui,
per effetto del campo $\vec{E}$ dell'onda la carica negativa associata all'insieme degli
elettroni subisce uno spostamento netto rispetto alla carica positiva del nucleo (polarizzazione
per deformazione). Se indichiamo con $\alpha_d$ la polarizzabilit\'a, il momento di dipolo
atomico sar\'a:
\[
\vec{p}\:=\:\alpha_d \vec{E}
\]
La deformazione atomica, descritta dal ''vettore spostamento'' delle cariche negative rispetto
al nucleo, sar\'a cio\'e proporzionale al campo.
Dal bilancio della forza deformante dovuta al campo ($\vec{F}=Ze\vec{E}_l$, con Z il numero atomico
ed $E_l$ il campo ''locale'') con la forza di richiamo elastica\footnote{Se indichiamo
con R il raggio atomico, \'e facile verificare che, nel modellino classico che stiamo analizzando, \'e: $k=\frac{(Ze)^2}{4 \pi R^2}$} ($-k \vec{r}$) che nasce a seguito
dello spostamento delle cariche, si otterrebbe, se il campo fosse costante:
\[
\vec{p}\:=\: Z e \vec{r}\:=\: \frac{(Ze)^2}{k} \vec{E}_l
\]
da cui:
\[
\alpha_d\:=\: \frac{(Ze)^2}{k}
\]

Se il campo $\vec{E}$ \'e variabile come nel caso del campo elettrico dell'onda:
\[
\vec{E}(t)\:=\:\vec{E}_{0l} e^{i \omega t}
\]
dove abbiamo indicato con $\vec{E}_{0l}$ il campo ''locale'', cio\'e l'ampiezza del campo 
effettivamente agente sulla singola molecola, il dipolo che nasce \'e oscillante. In tali
circostanze, come vedremo in seguito, esso irradia onde e.m. e perde energia. Tale effetto
pu\'o essere descritto introducendo l'equivalente di una forza dissipativa:
\[
-m \gamma \dot{\vec{r}}
\]
dove m \'e la massa dell'elettrone e $\gamma$ una costante che dipende dalla perdita d'energia
per unit\'a di tempo subita dall'elettrone.

L'equazione del moto diventa allora:
\[
m \ddot{\vec{r}}\:=\:-k \vec{r} - m \gamma \dot{\vec{r}} +Z e \vec{E}_{0l} e^{i \omega t}
\]
cio\'e:
\[
\ddot{\vec{r}}+ \gamma \dot{\vec{r}} + \omega_0^2 \vec{r}\:=\:\frac{Ze}{m} \vec{E}_{0l} e^{i \omega t}
\]
dove si \'e posto:
\[
\omega_0^2\:=\:\frac{k}{m}
\]

La soluzione di questa equazione \'e del tipo:
\[
\vec{r}(t)\:=\:\vec{R}_0 e^{i \omega t}
\]
Sostituendo si ottiene con facili passaggi:
\[
\vec{R}_0\:=\:\frac{Ze}{m \left[\omega_0^2 - \omega^2 + i \gamma \omega \right]} \vec{E}_{0l}
\]
La polarizzabilit\'a $\alpha_d$ \'e il rapporto tra il momento di dipolo ($Z e r(t)$) ed il campo
$E_l(t)$, cio\'e:
\[
\alpha_d\:=\:\frac{(Ze)^2}{m \left[\omega_0^2 - \omega^2 + i \gamma \omega \right]}
\]
Vediamo che ora la polarizzabilit\'a \'e complessa. Possiamo scriverla nella forma:
\[
\alpha_d\:=\:|\alpha_d|e^{i \delta}
\]
con:
\[
|\alpha_d|\:=\: \frac{(Ze)^2}{m \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2 }}
\]
e:
\[
\tan \alpha_d\:=\:\frac{\gamma \omega}{\omega_0^2 - \omega^2}
\]
 
Vediamo che per $\omega=0$ (campo elettrico statico) ritroviamo il risultato gi\'a noto dall'elettrostatica:
\[
\alpha_d\:=\:|\alpha_d|\:=\:\frac{(Ze)^2}{m \omega_0^2}
\]
e $\delta=0$.

Risultando, nel nostro caso di un'onda sinusoidale, complessa la polarizzabilit\'a $\alpha_d$, segue
che il momento di dipolo elettrico $\vec{p}$ e quindi la polarizzazione $\vec{P}$ saranno sfasati
rispetto al campo. Se consideriamo ora il caso di un liquido denso, la costante dielettrica
relativa pu\'o esser ottenuta facendo uso della formula di Clausius-Mossotti. Cio\'e:

\[
\epsilon_r\:=\:\chi +1\:=\:\frac{N \alpha_d}{\epsilon_0 - N \alpha_d/3}+1\:=\:\frac{1 + 2 N \alpha_d/3\epsilon_0}{1-N \alpha_d/3 \epsilon_0}
\]
dove N \'e il numero di atomi per unit\'a di volume.

Ora $\epsilon_r$ \'e una grandezza complessa. Ne segue che sar\'a complesso l'indice di rifrazione $n = \sqrt{\epsilon_r}$. 

Esso sar\'a dato da:
\begin{equation}
n\:=\:\sqrt{\frac{1 + 2 N \alpha_d/3\epsilon_0}{1-N \alpha_d/3 \epsilon_0}}\:\equiv \:n_1 + i n_2  \label{complex_n}
\end{equation}
Vediamo ora cosa ci\'o implichi per il campo elettrico associato all'onda. Questo sar\'a dato da:
\[
\vec{E}\:=\:\vec{E}_0 e^{i \omega(t-x/v)}\:=\:\vec{E}_0 e^{i \omega(t - \frac{n}{c}x)}\:=
\]
\[
=\vec{E}_0 e^{i \omega \left[t - \frac{(n_1 - i n_2)x}{c}\right]}\:=\:\vec{E}_0 e^{-\omega n_2 x/c} \,
e^{i \omega(t - n_1 x/c)}
\]
Questa rappresenta un'onda che si propaga con velocit\'a $v=c/n_1$ e la cui ampiezza subisce un'attenuazione
esponenziale, cio\'e:
\[
\vec{E}'_0 \:=\:\vec{E}_0 e^{- \omega n_2 x/c}\:=\: \vec{E}_0 e^{-\beta x}
\]
La grandezza $\beta=\omega n_2/c$ rappresenta il \emph{coefficiente di assorbimento} dell'onda 
alla frequenza $f = \omega/2\pi$. L'inverso di $\beta$, cio\'e la grandezza $d=c/(\omega n_2)$
\'e noto come \emph{lunghezza d'attenuazione}. Questa \'e la distanza nel dielettrico alla quale
l'ampiezza del campo elettrico si \'e ridotta di un fattore $e$.

Sia la parte reale $n_1$ dell'indice di rifrazione complesso $n$ che la parte immaginaria $n_2$
sono funzioni della frequenza angolare $\omega$. Se la quantit\'a $N |\alpha_d|/\epsilon_0$ \'e
molto minore dell'unit\'a, l'espressione~(\ref{complex_n}) pu\'o essere sviluppata al primo
ordine in tale variabile, ottenendo:
\[
n\:\approx \:1 + \frac{N \alpha_d}{2 \epsilon_0}
\]
cio\'e:

\[
n_1\:=\:Re(n)\:=\:1 + \frac{N (Ze)^2}{2 \epsilon_0 m}\,\frac{\omega_0^2 - \omega^2}{(\omega_0^2 - 
\omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}
\]
\[
n_2\:=\:- Im(n)\:=\:\frac{N (Ze)^2}{2 \epsilon_0 m}\, \frac{\gamma \omega}{(\omega_0^2 - 
\omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}
\]
L'andamento in funzione di $\omega$, di $n_1$ ed $n_2$ quale predetto da queste relazioni, \'e
mostrato in figura~\ref{refraction_complex}. Si vede che la parte reale dell'indice di rifrazione, $n_1$,
passa da valori maggiori di 1 a valori minori di 1 quando la pulsazione $\omega$ passa per
la risonanza $\omega_0$. La regione in cui tale transizione avviene \'e nota come \emph{regione
della dispersione anomala}. Si dicono invece \emph{di dispersione normale} le regioni in cui
$n_1$ ha un andamento crescente. Notiamo che, quando $n_1$ diviene minore di 1, la velocit\'a
\emph{di fase} dell'onda nel mezzo:
\[
v\:=\:\frac{c}{n_1}
\]
diviene maggiore di 1. Ci\'o non costituisce una violazione del principio su cui si basa la
relativit\'a, poich\'e alla velocit\'a di fase non \'e associato alcun trasporto di informazione.

In corrispondenza alla frequenza angolare $\omega_0$ la parte immaginaria $n_2$, e quindi il
coefficiente di assorbimento $\beta$ passa per un massimo, come si vede nella medesima figura.

Il modellino classico descritto, pur dando risultati in ragionevole accordo qualitativo con
i dati sperimentali, \'e stato superato con l'avvento della meccanica quantistica. Esso 
costituisce tuttavia un utile meccanismo quando ci si voglia fare un'idea intuitiva del
comportamento delle onde elettromagnetiche in un dielettrico.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=refraction_complex.eps,width=8 cm,height=10 cm}}
  \end{center}
\caption{ }
\protect\label{refraction_complex}
\end{figure}



\section{Conduttori}
Nel caso dei conduttori, come vedremo, \'e possibile in molti casi trascurare
nell'equazione~(\ref{eq:general}) il termine costante (1) rispetto all'altro.
Ci\'o accade se:
\[
\frac{\sigma}{\omega \epsilon} \gg 1
\]
Possiamo vedere che ci\'o equivale a richiedere che nell'equazione di Maxwell~(\ref{eq:three})
che d\'a il rotore di H, il termine di corrente di spostamento sia trascurabile
rispetto a quello di conduzione. Infatti il rapporto dei due termini vale:
\[
\frac{J_d}{J}\:=\: \frac{\epsilon \partial E/\partial t}{\sigma E}
\]
che per un segnale sinusoidale: $E=E_0 exp(i \omega t)$ vale:
\[
\frac{J_d}{J}\:=\: \frac{\epsilon \omega E}{\sigma E}\:=\: \frac{\epsilon \omega}{\sigma}
\]
Ad esempio, per il rame ad una frequenza $f=10^{16} s^{-1}$ avremo:
\[
\sigma = 5.8 \; 10^7\: S/m
\]
\[
\epsilon\:=\:\epsilon_0\:=\:8.85\;10^{-12}
\]
\[
\frac{J_d}{J}\:=\:\frac{8.85\:10^{-12}
\:10^{16}\:\:6.28}{5.8\:10^7}\: \approx \: 0.01
\]
Cio\'e la corrente di spostamento contribuisce per circa $1 \%$ per frequenze
di $10^{16} s^{-1}$ ed ancor meno a frequenze pi\'u basse. 
\newline \indent
Nelle ipotesi fatte, dall'equazione~(\ref{eq:general}) otteniamo:
\[
k=k_0 \sqrt{\epsilon_r \mu_r \frac{\sigma}{\omega\epsilon}} \: \sqrt{i}\:=\: k_0 \sqrt{\frac{\sigma \mu_r}{\omega \epsilon_0}} \:\frac{1+i}{\sqrt{2}}
\]
Facendo poi uso della relazione: $k_0 \:=\: \frac{\omega}{c}$ da questa si ottiene con facili passaggi:
\[
k\:=\:\sqrt{\omega \sigma \mu} \: \frac{1+i}{\sqrt{2}}
\]
Sostituendo tale espressione di k nell'equazione dell'onda piana:
\[
e^{i(kx-\omega t)}\;=\;e^{-i( \omega t)} e^{i\sqrt{\frac{\omega \sigma \mu}{2}}\:x}\;e^{-\sqrt{\frac{\omega \sigma \mu}{2}}\:x}
\]
Ponendo poi:
\[
\delta\:=\:\sqrt{\frac{2}{\omega \sigma \mu}}
\]
l'equazione dell'onda nel conduttore diventa:

\begin{equation}
e^{i(\frac{x}{\delta}-\omega t)}\;e^{-\frac{x}{\delta}}  \label{onda_nel_conduttore}
\end{equation}

cio\'e abbiamo un'onda piana, avente modulo del vettore d'onda uguale a $1/\delta$ e che si attenua di un fattore e=2.718 dopo una lunghezza $x=\delta$.
\newline \indent
Consideriamo come primo esempio quello del rame, per il quale $\sigma = 5.8\;10^7 Siemens/m$ e $\mu_r \approx 1$. Ad una frequenza di 60 Hz troviamo:
\[
\delta \:=\:\sqrt{\frac{2}{\omega \sigma \mu}}\:=\: \sqrt{\frac{2}{377 \cdot 5.8\:10^7 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7}}}\:=\:0.85 \:cm
\]
vediamo quindi che un'onda avente una frequenza di 60 Hz \'e attenuata di un
fattore e=2.718 dopo una profondit\'a di 8.5 mm. Frequenze pi\'u alte sono attenuate
ancora di pi\'u. A 60 MHz il campo \'e ridotto a meno dell'$1\%$ ad una profondit\'a di 0.05~mm.
\newline \indent
Osserviamo per inciso che il fenomeno ha un analogo nella conduzione del
calore (che \'e descritta da un'analoga equazione differenziale). In tal caso si nota che le variazioni diurne (alta frequenza) di temperatura non sono apprezzabili sottoterra  quanto lo sono le variazioni stagionali (bassa frequenza).
\newline \indent
Come il campo, cos\'i la corrente, ad alte frequenze, \'e limitata ad
un sottile strato superficiale, tanto pi\'u sottile quanto pi\'u \'e
elevata la frequenza (effetto pelle). Ci\'o porta ad una effettiva riduzione della sezione utile dei conduttori e ad un aumento della resistenza.
\newline \indent
Se il materiale \'e ferromagnetico, il parametro $\mu$ che compare nell'espressione di $\delta$ diverr\'a $\mu_r$ volte pi\'u grande
e l'effetto sar\'a ulteriormente accentuato.
\newline \indent
Notiamo ancora che la grandezza $\delta$, come \'e evidente dalla~(\ref{onda_nel_conduttore}) 
\'e legata alla lunghezza d'onda nel mezzo dalla relazione:
\[
\frac{2 \pi}{\lambda}\:=\:\frac{1}{\delta}
\]
da cui, nell'esempio appena considerato, si trova:
\[
\lambda\:=\:5.34 \:cm
\]
mentre la lunghezza d'onda nel vuoto era:
\[
\lambda_0\:=\:\frac{c}{f}\:\approx\:5\,10^6\;m
\]
Nel caso di un conduttore atipico come l'acqua del mare, con $\sigma=5 \:S/m$ ed alla medesima frequenza, troviamo per la lunghezza d'attenuazione:
\[
\delta\:=\:29 m
\]

Conviene esaminare anche il rapporto tra il vettore elettrico e quello magnetico nel materiale.  Dall'equazione di Maxwell per il rotore di E:
\[
\nab \times \vec{E}\:=\: -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\]
facendo uso dell'onda piana data dalle equazioni~(\ref{eq:one}) e~(\ref{eq:two}),
troviamo:
\[
\nab \times \vec{E}\:=\:\nab \times(\vec{E_0} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)})\:=\:-\vec{E_0}\times \nab e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)}\:=
\]
\[
=\:-i \vec{E_0}\times \vec{k} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t)}\:=\:i\:\vec{k}\times\vec{E}
\]
che deve essere uguale a:
\[
-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\:=\:i \omega \vec{B}
\]
per cui, in definitiva avremo:
\[
\vec{k}\times \vec{E}\:=\:\omega \:\vec{B}\:=\:\omega \mu \vec{H}
\]
Vediamo quindi che anche nel mezzo i vettori $\vec{E}$, $\vec{H}$ ed
il vettore d'onda $\vec{k}$ formano una terna ortogonale.
Il rapporto tra i moduli di E e di B \'e pari a $\omega/k$ che, come si
pu\'o facilmente vedere, vale:
\[
\frac{E}{B}\:=\:\sqrt{\frac{\omega}{\sigma \mu}}
\]
ed \'e anche uguale alla velocit\'a (di fase) di propagazione della radiazione nel mezzo. Nel caso del rame ad una fequenza di 1 MHz troveremmo un rapporto pari a circa 300 m/s. Nel vuoto, alla medesima frequenza, troveremmo un valore
pari a c~=~$3\:10^8 m/s$. Vediamo quindi che nel mezzo considerato, ad 1 MHz,
il campo elettrico \'e ridotto di un fattore $10^6$, se rapportato al campo
B, rispetto all'analogo valore nel vuoto. Il rapporto tra l'energia magnetica
e l'energia elettrica sar\'a:
\[
R\:=\:\frac{B^2/2\mu}{\epsilon E^2/2}\:=\:\frac{\sigma}{\omega \epsilon}\:\approx \:10^{12}
\]
cio\'e l'energia \'e quasi interamente magnetica.

\section{Plasmi}
Un plasma \'e un gas ionizzato ed elettricamente neutro: elettroni e nuclei non sono pi\'u legati. Ci\'o accade ad esempio a temperature estremamente elevate, o in presenza di intense sorgenti ionizzanti~\cite{kn:sivuchin}. \'E un plasma ad esempio una scintilla, cos\'i come lo \'e in larga misura una stella. 
Un plasma (debolmente ionizzato) \'e la ionosfera, cio\'e la zona esterna dell'atmosfera terrestre,
situata ad altezze comprese tra circa 100 e 400 km, ionizzata per effetto della radiazione solare.


In un plasma accade che la corrente segua il campo elettrico dell'onda con
un'anticipo di fase pari a $\pi/2$; cio\'e la conducibilit\'a $\sigma$ \'e
immaginaria. Vediamo come ci\'o accada.


Consideriamo al solito il caso di un'onda piana, diretta lungo un asse (asse z) e sia il campo elettrico diretto lungo l'asse y. Il campo elettrico dell'onda sia descritto da:
\[
E\:=\:E_0 e^{i(kz-\omega t)}
\]
La velocit\'a raggiunta al tempo t da un elettrone investito dall'onda sar\'a:
\[
v\:=\:\int{a\:dt}\:=\:\int{\frac{e\:E}{m_e}\:dt}\:=\:\frac{e\:E_0}{m_e}\:\int{e^{i(kz-\omega t)}\:dt}\:=
\]
\[
=-\frac{e \: E_0}{i\omega m_e} \: e^{i(kz-\omega t)}\:=\:-\frac{e\:E}{i\omega m_e}
\]
dove con e ed $m_e$ abbiamo indicato la carica e la massa dell'elettrone.


Segue poi per la densit\'a di corrente $J=\rho v$:
\[
J\:=\:e\:N\:\frac{ieE}{\omega m_e}
\]
dove N \'e il numero di elettroni per unit\'a di volume.
Si vede quindi che la conducibilit\'a \'e data da:
\[
\sigma\:=\: \frac{J}{E} \:=\: \frac{iNe^2}{\omega m_e}
\]
che \'e immaginaria, come anticipato.


Ricordiamo ora la relazione~(\ref{eq:general}):
\[
k\:=\: k_0 \: \sqrt{\mu_r \epsilon_r} \sqrt{1+i \frac{\sigma}{\omega \epsilon}}
\]
Possiamo ammettere che in tale espressione sia $\mu_r$ che $\epsilon_r$ valgano 1, trattandosi di gas a bassa densit\'a.
Sostituendo allora l'espressione trovata per la conducibilit\'a, troviamo:
\[
k\:=\:k_0\sqrt{1\:-\:\frac{N e^2}{\omega^2 m_e \epsilon_0}}
\]
Introduciamo ora la $\emph frequenza \;di \;plasma \;\omega_P$:
\[
\omega_P^2\:=\:\frac{N e^2}{m_e \epsilon_0}
\]
per scrivere il numero d'onda k nella forma semplificata:
\[
k\:=\:k_0\:\sqrt{1-\frac{\omega_P^2}{\omega^2}}
\]
Notiamo che la frequenza di plasma \'e determinata essenzialmente dalla densit\'a N di elettroni nel plasma, essendo gli altri parametri che
intervengono nella definizione delle costanti universali. Ad esempio, nel caso della ionosfera terrestre, la densit\'a di elettroni varia tra circa  $10^{12}$ e $10^{13}$ per $m^3$, il che implica valori di $\omega_P$
compresi tra $5.6\:10^{7}$ e $1.8\:10^{8}$~rad/s, cio\'e valori della variabile $f_P\:=\:\omega_P/2\pi$ compresi tra $8.9\:10^6$  e $2.8\:10^7 s^{-1}$.

Ora possono verificarsi tre casi, a seconda del valore relativo di $\omega$ e di $\omega_P$.


a) $\omega\:<\:\omega_P$
\newline \indent
In tal caso il radicando \'e negativo, e k immaginario. Ne segue che l'andamento spaziale dell'ampiezza del campo elettrico sar\'a del tipo:
\[
E\:=\:E_0\:e^{-|k|}
\]
Ci\'o implica una rapida attenuazione dell'onda che entra nella zona occupata
dal plasma. Di fatto l'onda sar\'a riflessa quasi totalmente (visto che nel
meccanismo esaminato non intervengono, in prima approssimazione, fenomeni
dissipativi). \'E quel che accade nelle trasmissioni radio in AM, dove
si lavora con frequenze tipiche inferiori a qualche MHz.  Si \'e visto infatti che le frequenze di plasma nella ionosfera sono dell'ordine di 10 Mhz. Tale fenomeno consente trasmissioni radio, in tale range di frequenze, a gandi distanze.
Che l'onda non perda
energia nel plasma \'e ovvio anche se si pensa che l'energia dissipata
per unit\'a di tempo ed unit\'a di volume \'e: $\vec{E}\cdot \vec{J}$ e che
$\vec{J}\:=\:\sigma \vec{E}$, con $\sigma$ immaginario, il che implica 
un'energia dissipata nulla.
\newline \indent
b) $\omega\:=\:\omega_P$
\newline
In tal caso avremo $k=0$ cio\'e una lunghezza d'onda infinitamente lunga nel
plasma.
\newline \indent
c) $\omega\:>\:\omega_P$
\newline
In tal caso k \'e reale e minore di $k_0$. Ci\'o implica una lunghezza d'onda
nel plasma (e quindi una velocit\'a di fase) maggiore di quella nel vuoto.

Notiamo che, fissato N, l'indice di rifrazione n tende ad 1 per $\omega \gg \omega_p$. Se invece fissiamo $\omega$ (ad un valore maggiore di $\omega_p$),
n diminuisce all'aumentare di N, cio\'e della densit\'a elettronica. Numericamente troviamo:
\[
\omega_p\:=\:56.415\:\sqrt{N}
\]
\[
n\:=\:\sqrt{1-3182.7\:N/\omega^2}
\]
Per $\omega<\omega_p$ l'onda \'e riflessa qualunque sia l'angolo d'incidenza.
\newline
Se invece $\omega >\omega_p$, n \'e reale e minore di 1 ed avremo quindi, indicando con $i$ l'angolo d'incidenza dell'onda sulla superficie del plasma e con $r$ l'angolo di rifrazione:
\[
\sin i\:=\: n\:\sin r
\]
con $n<1$; da cui:
\[
\sin i_{max}\:=\:n\:=\:\sqrt{1-\frac{Ne^2}{m_e \epsilon_0 \omega^2}}
\]
e quindi anche:
\[
\cos i_{max}\:=\:\sqrt{\frac{Ne^2}{m_e \epsilon_0 \omega^2}}
\]

La parte dell'atmosfera situata ad altezze superiori a circa 60 km
\'e interessata da fenomeni rilevanti per la fisica dei plasmi e per le
trasmissioni radio.
 
Infatti, la parte esterna dell'atmosfera terrestre \'e investita dalla radiazione solare con una intensit\'a (potenza per unit\'a di superficie) di circa 1370~$Watt/m^2$ (tale valore \'e noto come la "costante solare"). Tale radiazione copre un'ampio spettro di frequenze, che va dalle onde radio, all'infrasso ed arriva fino all'ultravioletto (uv). La radiazione
uv, e quella a frequenze ancora pi\'u elevate, ha un'energia sufficiente a ionizzare le molecole di gas incontrate. Nelle parti pi\'u esterne dell'atmosfera l'intensit\'a della radiazione \'e molto elevata, ma la densit\'a del gas \'e ridotta, quindi la ionizzazione non \'e molto elevata. Via via che l'altezza diminuisce,  la densit\'a dei gas aumenta e quindi
aumenta anche la ionizzazione. Tuttavia tale aumento \'e compensato da un parallelo aumento della ricombinazione tra ioni ed elettroni, dovuto all'aumento della densit\'a e quindi ad una diminuzione del cammino libero medio degli elettroni tra una collisione e la successiva. La densit\'a del plasma ad una data altezza \'e quindi determinata dal bilanciamento tra i processi di ionizzazione e ricombinazione.
\newline \indent
Ad altezze ancora minori, la densit\'a di atomi e molecole aumenta ulteriormente, ma in parallelo diminuisce l'intensit\'a della radiazione che vi arriva, a causa dell'assorbimento negli strati pi\'u alti dell'atmosfera. Si raggiunge infine un punto in cui  la ridotta intensit\'a della radiazione, la maggiore densit\'a del gas e l'accresciuto rate di ricombinazione si fanno equilibrio, e la densit\'a del plasma comincia a diminuire con il diminuire dell'altezza. Si formano cos\'i della fascie, situate a varie altezze, cui corrispondono densit\'a ioniche diverse. Queste fasce vanno sotto il nome di "strati di Heaviside" e, a seconda della relativa densit\'a di ionizzazione, sono classificati con le sigle "D", "E", "F1", "F2" e "G".
\newline \indent
Lo strato D si estende da 60 a 90 km di altezza. Esso fu scoperto casualmente, quando ci si rese conto che emissioni radio dall'europa potevano esser rivelate negli Stati Uniti. Ci si rese allora conto che doveva esistere una qualche "riflessione".
Fu appunto Oliver Heaviside ( e simultaneamente l'ingegnere elettronico americano Arthur Kennelly) a postulare l'esistenza di uno strato riflettente situato nella stratosfera. 
\newline \indent
Nel 1912 uno degli ex assistenti di Marconi, William Eccles, che aveva collaborato con Marconi alla preparazione della prima trasmissione radio intercontinentale, elabor\'o la teoria che spiegava come uno strato di gas ionizzato potesse svolgere tale ruolo.
Nel 1924 Edward Appleton dimostr\'o la fondatezza di tale teoria, quando egli scopr\'i la ionosfera.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ion.eps,width=8 cm,height=10 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{}
\end{figure}
Lo strato E \'e quello cui corrisponde la riflessione di onde corte. Esso si estende da 90 a 140 km di altezza.
Gli strati F1 ed F2 sono quelli dove la densit\'a di ioni \'e maggiore. Essi si estendono da 140 a 1000 km.  Il massimo della densit\'a ionica \'e raggiunto ad altezze comprese tra 200 e 500 km, dove la densit\'a varia tra 
$4 \:10^{10}$ e $4 \:10^{12}$ $m^{-3}$, che corrisponde a valori della frequenza di plasma $\omega_p$ compresi tra 1.8 e 18~MHz.
La figura mostra l'andamento della densit\'a ionica in funzione dell'altezza.
Le onde radio sono totalmente riflesse per frequenze inferiori alla frequenza di plasma (o frequenza critica). La riflessione pu\'o anche aver luogo per
frequenze pi\'u elevate, se le onde incidono sulla ionosfera a grandi angoli.
Ovviamente, le tasmissioni radio a lunga distanza sulla Terra debbono far uso
di frequenze inferiori a quella critica, mentre la radioastronomia e le comunicazioni via satellite possono essere effettuate solo a frequenze tali
da riuscire ad attraversare la ionosfera.


\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{kn:sivuchin} Per una discussione pi\'u approfondita delle propriet\'a dei plasmi, di quel che non sia possibile qu\'i, si veda a pag. 554 del volume 3 (Elettricit\'a) di D. V. Sivuchin.
\end{thebibliography}
\end{document}

