\documentstyle[11pt,epsfig]{article}
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\textheight=25cm
\oddsidemargin=-0.2in
\evensidemargin=-0.2in
\topmargin=-1.6cm
\bibliographystyle{unsrt}
\title{Riflessione di un'onda al passaggio tra due mezzi di impedenze diverse}
\author{}
\date{}
\begin{document}

\maketitle
\vskip0.2truecm
Considereremo il caso di una corda tesa, anche se le considerazioni che faremo
si applicano ad un'onda che si propaga in un mezzo qualsiasi.

Si consideri una generica onda progressiva in una corda tesa avente densit\`a
lineare di massa $\mu_1$ e sia T la tensione agente lungo la corda. 
Sia $\psi(x-vt)$ la funzione che descrive l'onda, cio\'e lo spostamento 
trasversale dell'elemento di corda. L'onda si propaghi nel verso positivo
dell'asse x, con velocit\`a v.

Se la corda ad $x = \overline x$ \`e unita ad una seconda corda avente
una diversa densit\`a lineare di massa $\mu_2$ nascer\`a, in corrispondenza
alla giunzione, un'onda riflessa ed un'onda trasmessa. 
Ammettiamo che la corda avente densit\`a
lineare di massa $\mu_1$ sia a sinistra di quella avente densit\`a $\mu_2$
e che l'onda incidente viaggi da sinistra verso destra nella prima delle due.

Vediamo di trovare la relazione esistente, nel punto di giunzione,
tra l'onda incidente, l'onda riflessa e l'onda trasmessa 
che prosegue nella seconda corda.

Notiamo intanto che il modulo della tensione \`e, per piccole deformazioni,
costante lungo l'intera corda. La velocit\`a di propagazione dell'onda nei 
due tratti non sar\`a per\`o uguale, essendo:
\[
v\:=\:\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]
La velocit\`a nella corda di sinistra \`e quindi $\sqrt{T/\mu_1}$;
nella parte posta a destra \`e invece $\sqrt{T/\mu_2}$.

La componente verticale (lungo $\psi$) $F_{SD}$ della forza che l'elemento di 
corda posto a sinistra della giunzione esercita su quello posto a destra \`e 
pari alla tensione T moltiplicata per il seno dell'angolo $\theta$ che la corda 
forma con l'asse delle x e cambiata di segno. Per piccole deformazioni, cio\'e 
per piccoli angoli, potremo approssimare il seno con la tangente, ed esprimere 
poi questa come derivata di $\psi$ rispetto ad x. Con ci\`o avremo per la 
componente della forza:

\newcommand{\devx}{\frac{\partial \psi(x-vt)}{\partial x}}
\newcommand{\devt}{\frac{\partial \psi(x-vt)}{\partial t}}
\newcommand{\devincx}{\frac{\partial \psi_{i}(x-vt)}{\partial x}}
\newcommand{\ddevincx}{\frac{\partial \psi_{i}(x-vt)}{\partial x} |_{x = 
\overline x}}
\newcommand{\devinct}{\frac{\partial \psi_{i}(x-vt)}{\partial t}}
\newcommand{\ddevinct}{\frac{\partial \psi_{i}(x-vt)}{\partial t} |_{x = 
\overline x}}
\newcommand{\devriflx}{\frac{\partial \psi_{r}(x+vt)}{\partial x}}
\newcommand{\ddevriflx}{\frac{\partial \psi_{r}(x+vt)}{\partial x}|_{x = 
\overline x}}
\newcommand{\devriflt}{\frac{\partial \psi_{r}(x+vt)}{\partial t}}
\newcommand{\ddevriflt}{\frac{\partial \psi_{r}(x+vt)}{\partial t}|_{x = 
\overline x}}
\newcommand{\devtrasx}{\frac{\partial \psi_{t}(x-vt)}{\partial x}}
\newcommand{\ddevtrasx}{\frac{\partial \psi_{t}(x-vt)}{\partial x}|_{x = 
\overline x}}
\newcommand{\devtrasm}{\frac{\partial \psi_{t}(x-vt)}{\partial t}}
\newcommand{\ddevtrasm}{\frac{\partial \psi_{t}(x-vt)}{\partial t}|_{x = 
\overline x}}

 \[
 F_{SD}\:=\:-T \devx
 \]
 Ricordando che le derivate della funzione $\psi(x-vt)$ rispetto ad x e rispetto
 a t sono legate dalla relazione:
 \[
 \devx\:=\:-\frac{1}{v} \devt
 \]
 si trova:
 \[
 F_{SD}\:=\:\frac{T}{v} \devt\:=\:\sqrt{T \mu} \devt \:=\:Z \devt
 \]
 dove abbiamo introdotto l'\emph{impedenza caratteristica} Z della corda. 
Notando
 che la grandezza $\devt$ \`e la velocit\`a (trasversale) dell'elemento di 
corda,
 vediamo che Z \`e il coefficiente di proporzionalit\`a tra forza e velocit\`a.
 Esso \`e quindi analogo alla forza resistiva cha ha origine nella viscosit\`a
 di un mezzo, che \`e in molti casi proporzionale alla velocit\`a.

 Chiamando $\psi_{i}(x-vt)$, $\psi_{r}(x+vt)$ e $\psi_{t}(x-vt)$
 rispettivamente l'onda incidente, quella riflessa e quella trasmessa, avremo:

 \[
 \devincx\:=\:-\frac{1}{v_1} \devinct
 \]

 \[
 \devriflx\:=\:\frac{1}{v_1} \devriflt
 \]

 \[
 \devtrasx\:=\:-\frac{1}{v_2} \devtrasm
 \]

 Nel punto di raccordo tra i due mezzi la forza complessiva che la parte
 sinistra della corda esercita su quella posta a destra deve bilanciare
 quella che la parte posta a destra esercita sulla prima.

 La prima di tali forze \`e la somma del termine dovuto all'onda incidente
 e di quello dovuto all'onda riflessa:
 \[
 F_{SD}\:=\:-T_1 \devincx - T_1 \devriflx
 \]
 La seconda \`e:
 \[
 F_{DS}\:=\:T_2 \devtrasx
 \]

 Notiamo che questa volta il segno \`e positivo, poich\`e si tratta dell'azione
 che il tratto sinistro esercita su quello destro.

 Poich\`e nel punto di raccordo le forze debbono equilibrarsi, avremo:

 \[
  T_1 \ddevincx + T_1 \ddevriflx \:=\: T_2 \ddevtrasx
 \]
 Trasformiamo ora le derivate rispetto ad x in derivate rispetto al tempo. 
 Troveremo:

 \begin{equation}
 \frac{T}{v_1} \ddevinct\,-\,\frac{T}{v_1} \ddevriflt \:=\: \frac{T}{v_2} 
\ddevtrasm
 \end{equation}
 che, introducendo le impedenze caratteristiche $Z_1$ e $Z_2$ dei due tratti di 
 corda, diventa:


 \begin{equation}
 Z_1 \ddevinct\,-\,Z_1 \ddevriflt \:=\: Z_2 \ddevtrasm  \label{one}
 \end{equation}

 Dobbiamo ora tener conto del raccordo delle onde alla giunzione~: la somma 
 dell'onda incidente e di quella riflessa deve uguagliare l'onda 
 trasmessa in ogni istante~\footnote{Lo spostamento verticale dell'estremo 
destro della prima
 corda \`e descritto da $\psi_{i}+\psi_{r}$; quello dell'estremo sinistro
 della seconda da $\psi_{t}$ ma i due descrivono il medesimo spostamento}~:

 \begin{equation}
 \psi_{i}(\overline x,t) + \psi_{r}(\overline x,t)=\:\psi_{t}(\overline x,t)
 \end{equation}
 Derivando questa rispetto al tempo si ha:

 \begin{equation}
 \ddevinct + \ddevriflt \:=\: \ddevtrasm    \label{two}
 \end{equation}

 Dalle equazioni~\ref{one} e~\ref{two}, si ottiene:

 \begin{equation}
 Z_1 \ddevinct\,-\,Z_1 \ddevriflt \:=\:Z_2 \ddevinct + Z_2 \ddevriflt  
\label{three}
 \end{equation}

 da cui:

 \begin{equation}
 \ddevriflt \:=\: \ddevinct \:\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}  \label{four}
 \end{equation}

 Integrando infine questa, si ha:

 \begin{equation}
 \psi_{r}(\overline x,t)\:=\:\psi_{i}(\overline x,t)\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}
 \end{equation}

 La costante additiva presente nell'integrazione \`e stata posta a zero, 
poich\'e
 in assenza di onda incidente non pu\`o esservi onda riflessa.

 Scriveremo quindi in generale la relazione tra onda riflessa ed onda incidente
 nel punto di giunzione nella forma:
 \[
 \psi_{r}(\overline x,t)\:=\:R\:\psi_{i}(\overline x,t)
 \]
 dove si \`e introdotto il \emph{coefficiente di riflessione} R:
 \[
 R\:=\:\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}
 \]

 L'onda trasmessa sar\`a ovviamente data da:

 \[
 \psi_{t}(\overline x,t)\:=\:\psi_{i}(\overline x,t)\:+\: \psi_{r}(\overline 
x,t)\:=\:\psi_{i}(\overline x,t)\frac{2 Z_1}{Z_1+Z_2}
 \]

 \begin{center}
 \bf Esempi:
 \end{center}
 \begin{description}
 \item[a]{Seconda corda avente densit\`a molto grande ($\mu_2 \gg \mu_1$ e 
quindi 
 $Z_2 \gg Z_1$).

 In tal caso troviamo R=-1 e quindi $\psi_{r}(\overline x,t)=-\psi{i}(\overline 
x,t)$. Questo \`e anche il
 caso di una corda fissata ad un sostegno rigido.}

 \item[b]{Seconda corda avente densit\`a molto piccola ($\mu_2 \ll \mu_1$ e 
 quindi $Z_2 \ll Z_1$).

 In tal caso troviamo R=+1 e quindi $\psi_{r}(\overline x,t)=+\psi_{i}(\overline 
x,t)$. Questo \`e il caso di una corda
 il cui estremo sia libero.}

 \item[c]{Seconda corda evente densit\`a pari ad un quarto della prima:
 \[
 \mu_2\:=\:\frac{1}{4} \mu_1
 \]
 Cio\`e:
 \[
 Z_2\:=\:\frac{1}{2}Z_1
 \]
 In tal caso:
 \[
 R\:=\:\frac{2 Z_2-Z_2}{2 Z_2 + Z_2}\:=\:\frac{1}{3}
 \]
 In tal caso l'ampiezza dell'onda riflessa \`e pari ad un terzo di quella
 dell'incidente.}
 \item[d]{Seconda corda avente densit\`a uguale a quella della prima. In tal
 caso si ha R=0 e non c'\`e onda riflessa. Si dice che in tal caso la corda
 \`e \emph{adattata} all'estremit\`a.}
 \end{description}
%
\section{Riflessione di onde su una corda tesa con estremi fissi o liberi}
\author{}
\date{}
\maketitle
\begin{large}
%\centerline{\bf Complemento alla seconda derivazione}
\end{large}
\vskip0.2truecm
Si consideri una generica onda progressiva in un mezzo di impedenza 
caratteristica $Z_1$, che si propaga nel verso positivo dell'asse x:
\begin{equation}
\psi_i(x,t) = A cos(kx - \omega t + \phi)
\end{equation}
e si supponga che in $x = L $ si trovi la superficie di separazione 
con un mezzo di impedenza $Z_2$. Nel caso in esame la superficie di
separazione sar\'a rappresentata dall'estremit\'a della corda.

Si \`e visto che in generale alla superficie di separazione 
onda riflessa ed onda incidente sono legate dalla relazione~:
\begin{equation}
\psi_r(L,t) = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2}\psi_i(L,t)
\end{equation}
inoltre l'onda riflessa ha stessa frequenza, qundi potremo scriverla come~:
\begin{equation}
\psi_r(x,t) = A' cos(kx - \omega t + \phi)
\end{equation}
dove $ A'$ viene determinato tenendo conto delle condizioni al contorno.
 
Nel caso di una corda di lunghezza L, la presenza di una estremit\`a 
libera o di una  estremit\`a fissa \`e schematizzabile da $Z_2 = 0$ e $Z_2 = 
\infty$ rispettivamente. Quindi la relazione tra l'onda incidente e l'onda
riflessa nel punto di riflessione, nel caso di estremit\`a libera \`e~: 
\begin{equation}
\psi_i(L,t) = \psi_r(L,t)
\end{equation}
nel caso di estremit\`a fissa \`e~: 
\begin{equation}
\psi_i(L,t) = - \psi_r(L,t)
\end{equation}
\\
Discutiamo i seguenti casi per una corda di lunghezza L~: entrambe le 
estremit\`a libere, una estremit\'a libera ed una fissa, entrambe le
estremit\`a fisse. 
\vskip0.3truecm
\centerline{\bf Estremit\`a libere}
\vskip0.3truecm
Consideriamo un estremo della corda posto in $x = 0$ e l'altro in $x = L$.
Le relazioni tra onda incidente ed onda riflessa ai due estremi sono~:
\begin{eqnarray}
\psi_i(0,t) = \psi_r(0,t) \\
\psi_i(L,t) = \psi_r(L,t)
\end{eqnarray}
quindi abbiamo per $x = 0$~:
\begin{equation}
Acos( - \omega t + \phi) =  A'cos( + \omega t + \phi) = 
A'cos( - \omega t - \phi) 
\end{equation} 
da cui si ottiene~:
\begin{equation}
\phi = m \pi ~; ~A =  A' 
\end{equation}
con $m=0,1,2,3...$. Per $x = L$~:
\begin{equation}
cos(kL - \omega t + \phi) = cos(kL + \omega t + \phi) 
= cos(- kL - \omega t - \phi) 
\end{equation}
poich\'e la relazione deve essere valida per ogni $t$, si ha ~:
\begin{equation}
kL - \omega t + \phi = - kL - \omega t - \phi + 2n\pi
\end{equation}
e quindi~: 
\begin{equation}
2kL = 2n\pi - 2\phi = 2n\pi - 2m\pi
\end{equation}
poich\'e questa relazione \`e valida per ogni $m$ ed $n$ si ha~:
\begin{equation}
k = \frac{2n\pi}{L} 
\end{equation}
Tenendo conto di queste relazioni scriviamo la forma della perturbazione 
totale che si ha sulla corda~:
\begin{equation}
\psi_t = Acos( kx - \omega t + \phi) + Acos( kx + \omega t + \phi) = 2Acos(kx+ 
\phi)cos\omega t  
\end{equation}
sostituendo quindi i valori trovati per $\phi$ e $k$ si ottiene~:
\begin{equation}
\psi_t = \pm 2A cos \left (\frac{2n\pi}L{}x \right) cos(\omega t)
\end{equation}
si vede quindi che sia per $x=0$ che per $x = L$ l'onda presenta un ventre.
Il segno $+$ o $-$ dipende dalla scelta della fase $\phi$.
\vskip0.3truecm
\centerline{\bf Una estremit\`a libera ed una fissa}
\vskip0.3truecm
Consideriamo l'estremo della corda posto in $x=0$ fisso. 
La condizione ad $x = 0$ \'e~:
\begin{equation}
Acos( - \omega t + \phi) = - A' cos( + \omega t + \phi) 
\end{equation}
e quindi~:
\begin{equation}
2\phi = (2m + 1)\pi ; A = A'
\end{equation}
che deve essere valida per $m = 0,1,2,...$. La relazione 
tra l'onda riflessa e quella incidente in $x = L$ 
\`e uguale a quella del caso precedente della corda con 
entrambe le estremit\`a libere~:
\begin{equation}
2kL = 2n\pi - 2\phi
\end{equation}
sostituendo il valore di $\phi$ si ottiene~:
\begin{equation}
2kL = 2n\pi - (2m + 1)\pi 
\end{equation}
valida per tutti gli $m$ ed $n$ interi e positivi o nulli. Quindi si ottiene~:
\begin{equation}
k = \frac{(2n + 1)\pi }{2L}
\end{equation}
La perturbazione totale che percorre l'onda in questo caso si ottiene 
sostituendo i valori
di $k$ e $\phi$ nella forma dell'onda totale~:
\begin{equation}
\psi_t = 2A sin \left( \frac{(2n + 1)\pi }{2L} x \right ) cos(\omega t)
\end{equation}
quindi in $x = 0$ l'onda presenta un nodo ed in $x = L$ un ventre. 
\\
L'ultimo caso della corda con entrambi gli estremi fissi si ottiene facilmente 
in modo analogo.
\end{document}








