\documentstyle[11pt,epsfig]{article}
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\bibliographystyle{unsrt}
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%\newcommand{\work}{$\mathcal{L}$}
\begin{document}
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%
\title{Riflessione di onde su una corda tesa con estremi fissi o liberi}
\author{}
\date{}
\maketitle
\begin{large}
\end{large}
\vskip0.2truecm
Si consideri una generica onda progressiva in un mezzo di impedenza 
caratteristica $Z_1$ che si propaga nel verso positivo dell'asse $x$~:
\begin{equation}
\psi_i(x,t) = A cos(kx - \omega t + \phi)
\end{equation}
e si supponga che in $x = x_1 $ si trovi la superficie di separazione 
con un mezzo di impedenza $Z_2$. 
Si \`e visto che alla superficie di separazione 
onda riflessa e onda incidente sono legate dalla seguente relazione~:
\begin{equation}
\psi_r(x_1,t) = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2}\psi_i(x_1,t)
\end{equation}
inoltre l'onda riflessa ha stessa frequenza di quella incidente, 
quindi potremo scriverla come~:
\begin{equation}
\psi_r(x,t) = A' cos(kx + \omega t + \phi) 
\end{equation}
dove $ A'$ viene determinato tenendo conto delle condizioni al
contorno.
\\
Nel caso di una corda di lunghezza $L$, la 
presenza di una estremit\`a libera
o di una  estremit\`a fissa \`e schematizzabile da $Z_2 = 0$ e $Z_2 = \infty$
rispettivamente. Quindi la relazione tra l'onda incidente e l'onda
riflessa nel punto di riflessione, nel caso di estremit\`a libera \`e~: 
\begin{equation}
\psi_i(L,t) = \psi_r(L,t)
\end{equation}
nel caso di estremit\`a fissa \`e~: 
\begin{equation}
\psi_i(L,t) = - \psi_r(L,t)
\end{equation}
\\
Discutiamo i seguenti casi per una corda di lunghezza L~: entrambe le 
estremit\`a libere, una estremit\'a libera ed una fissa, entrambe le
estremit\`a fisse. 
\vskip0.3truecm
\centerline{\bf Estremit\`a libere}
\vskip0.3truecm
Consideriamo un estremo della corda posto in $x = 0$ e l'altro in $x = L$.
Se ipotizziamo di sollecitare la corda con una perturbazione armonica
di velocit\'a angolare $\omega$ e ampiezza $A$, la riflessione agli 
estremi della corda far\'a si che 
su di essa siano presenti due onde una che si propaga nel verso
positivo dell'asse $x$ ($\psi_+$) ed una che si propaga nel verso
negativo ($\psi_-$) di stessa frequenza e ampiezza~:
\begin{eqnarray}
\psi_+(x,t) = Acos(kx - \omega t + \phi) \\
\psi_-(x,t) = Acos(kx + \omega t + \phi)
\end{eqnarray}
Le relazioni tra le due onde ai due estremi sono~:
\begin{eqnarray}
\psi_+(0,t) = \psi_-(0,t) \\
\psi_+(L,t) = \psi_-(L,t)
\end{eqnarray}
quindi abbiamo per $x = 0$~:
\begin{equation}
cos( - \omega t + \phi) = cos( + \omega t + \phi) = 
cos( - \omega t - \phi) 
\end{equation} 
da cui si ottiene~:
\begin{equation}
\phi = m \pi ~
\end{equation}
con $m=0,1,2,3...$. Per $x = L$~:
\begin{equation}
cos(kL - \omega t + \phi) = cos(kL + \omega t + \phi) 
= cos(- kL - \omega t - \phi) 
\end{equation}
poich\'e la relazione deve essere valida per ogni $t$, si ha ~:
\begin{equation}
kL - \omega t + \phi = - kL - \omega t - \phi + 2n\pi
\end{equation}
e quindi~: 
\begin{equation}
2kL = 2n\pi - 2\phi = 2n\pi - 2m\pi
\end{equation}
poich\'e questa relazione \`e valida per ogni $m$ ed $n$ si ha~:
\begin{equation}
k = \frac{2n\pi}{L} 
\end{equation}
Tenendo conto di queste relazioni scriviamo la forma della perturbazione 
totale che si ha sulla corda~:
\begin{equation}
\psi_t = Acos( kx - \omega t + \phi) + Acos( kx + \omega t + \phi) = 2Acos(kx+ \phi)cos\omega t  
\end{equation}
sostituendo quindi i valori trovati per $\phi$ e $k$ si ottiene~:
\begin{equation}
\psi_t = \pm 2A cos \left (\frac{2n\pi}L{}x \right) cos(\omega t)
\end{equation}
si vede quindi che sia per $x=0$ che per $x = L$ l'onda presenta un ventre.
Il segno $+$ o $-$ dipende dalla scelta della fase $\phi$.
\vskip0.3truecm
\centerline{\bf Una estremit\`a libera ed una fissa}
\vskip0.3truecm
Consideriamo l'estremo della corda posto in $x=0$ fisso. Le condizioni
al contorno da imporre in questo caso sono~:
\begin{eqnarray}
\psi_+(0,t) = - \psi_-(0,t) \\
\psi_+(L,t) = \psi_-(L,t)
\end{eqnarray}
La condizione ad $x = 0$ \'e~:
\begin{equation}
cos( - \omega t + \phi) = - cos( + \omega t + \phi) 
\end{equation}
e quindi~:
\begin{equation}
2\phi = (2m + 1)\pi 
\end{equation}
che deve essere valida per $m = 0,1,2,...$. La relazione 
tra l'onda progressiva e l'onda regressiva in $x = L$ 
\`e uguale a quella del caso precedente della corda con 
entrambe le estremit\`a libere~:
\begin{equation}
2kL = 2n\pi - 2\phi
\end{equation}
sostituendo il valore di $\phi$ si ottiene~:
\begin{equation}
2kL = 2n\pi - (2m + 1)\pi 
\end{equation}
valida per tutti gli $m$ ed $n$ interi e positivi o nulli. Quindi si ottiene~:
\begin{equation}
k = \frac{(2n + 1)\pi }{2L}
\end{equation}
La perturbazione totale che percorre l'onda in questo caso si ottiene sostituendo i valori
di $k$ e $\phi$ nella forma dell'onda totale~:
\begin{equation}
\psi_t = 2A sin \left( \frac{(2n + 1)\pi }{2L} x \right ) cos(\omega t)
\end{equation}
quindi in $x = 0$ l'onda presenta un nodo ed in $x = L$ un ventre. 
\\
L'ultimo caso della corda con entrambi gli estremi fissi si ottiene facilmente in modo analogo.
\end{document}










