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\bibliographystyle{unsrt}
\begin{document}
\title{\bf Note sulla conducibilit\'a elettrica e termica nei metalli}
\author{\small }
\author{Anna Benini}
\date{Marzo 2002}
 
\maketitle
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\newcommand{\dfzdx}{\frac{\partial f_0}{\partial x}}
\newcommand{\dfzdv}{\frac{\partial f_0}{\partial v}}
\section{Conducibilit\'a e struttura microscopica nei metalli}

Questa relazione si propone di studiare la relazione tra le propriet\'a microscopiche dei 
metalli e la loro conducibilit\'a elettrica  e termica dovute alla presenza di elettroni liberi,
illustrando teorie successive fra la fine dell'Ottocento e la met\'a del Novecento.
Lo schema che seguiremo \'e il seguente:
\begin{itemize}
\item{Teoria di Drude}
\item{Metodo di Lorentz (Solo alcuni cenni e risultati)}
\item{Statistica di Fermi}
\item{Metodo di Lorentz applicato da Sommerfeld alla statistica di Fermi (cenni)}
\end{itemize}

La lezione \'e basata essenzialmente sul libro di Becker, ''Teoria della elettricit\'a''
Sansoni ed. scientifiche (Firenze) al quale si rimanda per approfondimenti.

Le prime due teorie presuppongono che la distribuzione della velocit\'a degli elettroni sia uguale a
quella di Maxwell-Boltzmann per le molecole di un gas perfetto:

\[
f(\vec{v})\:= \: A e^{-\beta v^2}
\]

con:  
\[
A= N\left(\frac{\beta}{\pi}\right)^{3/2}\:=\:N\left(m/2\pi kT\right)^{3/2}
\]

\[
\beta\:=\:\frac{m}{2kT}
\]
dove k \'e la costante di Boltzmann, T la temperatura assoluta e, nel nostro caso, $m$ \'e la
massa dell'elettrone.

\'E facile dimostrare le seguenti relazioni, valide per i valori medi:

\[
\overline{v^2}\:=\:\frac{3kT}{m}
\]
\[
\overline{|v_x|}\:=\:\sqrt{\frac{2kT}{\pi m}}
\]

\[
\overline{(\frac{1}{v})} \:=\: 2 \sqrt{\frac{m }{2 \pi k T}}
\]

\[
\overline{v}\:=\: 2 \overline{|v_x|}
\]


\section{Teoria di Drude}

Cnsideriamo un conduttore metallico. Schematizziamo gli ioni positivi come fissi nel reticolo 
cristallino, e gli elettroni di conduzione completamente liberi di muoversi. 
Sia N il numero di elettroni per $cm^3$. Questi, durante il loro moto di agitazione termica, interagiscono con il reticolo cristallino.
Supporremo che le interazioni siano solo dovute agli urti con gli ioni positivi e che sia 
possibile schematizzarle introducendo il concetto di cammino libero medio ($l$) degli elettroni.

All' interno del metallo gli elettroni si muovono con velocit\'a variabili. Definiamo una funzione 
$f(\vec{v})$ in modo tale che $f(\vec{v})d\vec{v}$ rappresenti il \emph{numero} di elettroni che, nell'unit\'a di volume del
materiale, hanno velocit\'a comprese  tra $\vec{v}$ e $\vec{v}+d\vec{v}$.

Chiaramente nel caso in cui sia presente un gradiente di temperatura, o nel caso di un materiale non 
omogeneo, la funzione f dipender\'a  dalla posizione $\vec{x}$ oltre che da v.

Si ha ovviamente:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}{f(\vec{v})d\vec{v}}\: = \:\int_{-\infty}^{+\infty} f(v_x,v_y,v_z) dv_x dv_y dv_z\:=\:N
\]
con N il numero di elettroni per unit\'a di volume. 

Fatta questa premessa, vediamo di calcolare la conducibilit\'a termica $\sigma_T$ e quella
elettrica $\sigma_e$ definite da:
\[
\sigma_e \vec{E} \:=\: \vec{J}
\]
\[
\sigma_T \frac{\partial T}{\partial x}\:=\:-W_x
\]

dove $\vec{J}$ \'e il vettore densit\'a di corrente, e dove $W_x$ rappresenta l'energia termica che attraversa nell'unit\'a di tempo una superficie unitaria perpendicolare alla direzione (x) del gradiente di temperatura.



$\vec{J}$ \'e dato da:
\begin{equation}
\vec{J}\:=\:\int_{-\infty}^{+\infty} e \vec{v} f(\vec{v}) d\vec{v}    \label{eq:jint}
\end{equation}


Per ci\'o che riguarda il flusso di energia $W_x$, l'unica differenza rispetto al caso elettrico \'e nel fatto che gli elettroni trasportano una  energia $E= mv^2/2$ anzich\'e una carica $e$. Si ha dunque:
\begin{equation}
W_x \: = \:  \frac{m}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} v_x v^2 f(\vec{v}) d\vec{v}  \label{eq:wint}
\end{equation}

Per calcolare $\vec{J}$ non \'e indispensabile far uso dell'espressione appena scritta. Basta ricordare che \'e:
\begin{equation}
\vec{J}\:=\: e N \vec{v} \label{eq:jdens}
\end{equation}
che, prendendo l'asse x nella direzione del campo, si scrive:
\begin{equation}
J_x\:=\:e N \overline{v}_x \:=\:e N \overline{v^t}_x +  e N \overline{v^d}_x   \label{eq:jxcomp}
\end{equation}
dove abbiamo separato la velocit\'a nella somma del termine legato al moto di agitazione termica
($v^t$) e di quello legato al moto di drift ($v^d$).

Notiamo che il contributo dovuto alla velocit\'a termica si annulla mediando su molti elettroni, mentre la velocit\'a ''ordinata'' (quella determinata dal campo elettrico) segue la legge lineare 
$v_x= a_x t$, con  $a_x=E_xe/m$. Indicheremo con $\tau$ l'intervallo di tempo medio che intercorre 
tra un urto ed il successivo. Indicando con $l$ il cammino libero medio, cio\'e il tragitto coperto in media da un
elettrone tra due urti consecutivi, avremo allora:
\begin{equation}
\overline{v}_x\:=\:\frac{E_x e \tau}{2 m}   \label{eq:vxdrift}
\end{equation}
dove $\tau=\frac{l}{\overline{v}}$.

Si ha quindi:
\begin{equation}
J_x\:=\:\frac{e^2 \tau}{2 m} E_x\:=\:\frac{e^2 l}{2 m \overline{v} } E_x   \label{eq:jx}
\end{equation}
da cui infine:
\begin{equation}
\sigma_e \:=\:\frac{e^2 l N}{2 m} \overline{(\frac{1}{v})}  \label{eq:sigmae}
\end{equation}



Passiamo ora al calcolo della $\sigma_T$.

Esaminando le espressioni della corrente date sopra, si vede che il numero di elettroni che attraversa per unit\'a di tempo una superficie unitaria posta perpendicolarmente all'asse x \'e:

\[
\int_{-\infty}^{+\infty}v_x f(\vec{v})d\vec{v} =N \overline{v}_x 
\]

Qui non stiamo considerando un flusso di elettroni ordinato che attraversa 
la superficie in una sola direzione, ma il movimento disordinato dovuto all'agitazione 
termica, per cui il numero di elettroni che attraversa la superficie in ciascuno dei due
versi dell'asse x \'e mediamente lo stesso, ed \'e pari a $(N/2) \overline{v}_x$. 
Non  \'e invece uguale l'energia trasportata,
se la temperatura ha un gradiente nella direzione dell'asse x. Infatti in tal caso gli
elettroni provenienti dalla regione a temperatura pi\'u elevata avranno mediamente un'energia
cinetica pi\'u elevata di quelli che provengono dalla regione a temperatura pi\'u bassa. 

Considerando il disegno di figura~\ref{t_grad}, e ricordando che la temperatura non \'e uniforme si ha
che il flusso netto di potenza, differenza delle energie trasportate per unit\'a di superficie
e di tempo.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=t_grad,width=6.0 cm,height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{t_grad}
\end{figure}

e di tempo nei due versi, \'a dato da:

\[
W\:=\:\frac{N \overline{v}_x}{2}\left(\frac{1}{2}m \overline{v^2}_B - \frac{1}{2}m \overline{v^2}_C\right)
\]
dove abbiamo indicato con $\overline{v^2}_B$ la velocit\'a quadratica media degli elettroni nella zona
B ed analogamente nella zona C.
Ricordando la distribuzione di Maxwell-Boltzmann per cui $\overline{v^2}\:=\:3 kT/m$: 

\[
W\:=\:\frac{N \overline{v}_x}{4}\left(3kT_B-3kT_C\right)\:=\:-\frac{3}{4}N k \overline{v}_x \frac{\partial T}{\partial x} \cdot 2h
\]
                         
Resta da determinare h.

Gli elettroni che attraversano  la superficie in un determinato punto devono aver subito il loro ultimo urto entro una semisfera centrata nel punto e di raggio uguale al libero cammino medio l.
Calcolando il valor medio della distanza dei punti della semisfera dalla superficie in considerazione si trova che h deve essere pari a $\frac{2}{3}l$.
Sostituendo e ricordando che $\overline{v}_x=\frac{1}{2}\overline{v}$ si ottiene:
 
\[
W\:=\:-\frac{3}{2}N k \overline{v}_x \frac{2}{3} l\,\frac{\partial T}{\partial x}\:=\:-\frac{N k l}{2}\overline{v}\frac{\partial T}{\partial x}\:=
\]
da cui segue per la conducibilit\'a termica:
\begin{equation}
\sigma_T\:=\:\frac{Nk l \overline{v}}{2}      \label{sigmatt}
\end{equation}

 
E quindi per il rapporto delle conducibilit\'a si ottiene:

\begin{equation}
\frac{\sigma_T}{\sigma_e}\:=\:\frac{m k}{e^2} \frac{\overline{v}}{\overline(1/v)}\:=\:\frac{m k \overline{v^2}}{e^2}   \label{wiedemann1}
\end{equation}

e, facendo uso della relazione:
\[
\overline{v^2}\:=\:\frac{3 k T}{m}
\]
si ha:
\begin{equation}
\frac{\sigma_T}{\sigma_e}\:=\:\frac{3 k^2}{e^2} T   \label{sigmat_1}
\end{equation}
  

La ragione per cui questo rapporto \'e importante \'e nel fatto che si era trovato che esso
era costante per tutti i metalli (legge di Wiedemann-Franz) ed esisteva quindi un interesse 
teorico a comprendere il motivo di questa regolarit\'a.

\section{Metodo di Lorentz}

Abbiamo fin qui implicitamente supposto che la presenza del campo non alterasse la 
funzione di distribuzione delle velocit\'a $f(\vec{x},\vec{v})$ (dipendente in generale anche
dalla posizione $\vec{x}$) degli elettroni.

Per ottenere la forma di tale funzione nel caso generale in cui sia presente un campo elettrico
e/o una disomogeneit\'a (quale ad esempio quella causata da un gradiente di temperatura)
Lorentz fece ricorso ad un metodo perturbativo, in cui l'effetto del campo era quello di introdurre
un termine aggiuntivo, lineare nella componente della velocit\'a parallela alla direzione del
campo (asse x), al termine $f_0(x,v)$, che rappresenta la distribuzione in assenza del campo:

\begin{equation}
f(x,v) \:=\: f_0(x,v) \: + \: \xdot \chi(x,v)
\end{equation}
dove $f_0$ rappresenta la funzione di distribuzione delle velocit\'a che avremmo in assenza del campo
e la funzione $\chi(x,v)$ \'e determinata in modo che la distribuzione risulti stazionaria.

\'E importante notare che il termine $f_0$ non contribuisce n\'e alla conducibilit\'a elettrica n\'e
a quella termica, che sono determinate solo dalla $\chi$. Come per\'o vedremo, a sua volta la
funzione $\chi$ dipende dalla parte ''non-perturbata'' $f_0$.

Del metodo di Lorentz daremo qui solo alcuni brevi cenni e riassumeremo i risultati per ci\'o
che concerne la conducibilit\'a elettrica e termica.

Il risultato dato da Lorentz per la funzione $\chi$ \'e:
\[
\chi(x,v)\:=\:-\frac{l}{v}\left(\dfzdx + \frac{X}{v}\dfzdv\right)
\]
dove:
\[
X\:\equiv \:\frac{e}{m}E_x
\]

La densit\'a di corrente $J$ ed il flusso di calore $W$ possono esser calcolati a partire
da tale funzione $\chi$:

\[
J\:=\:e \int \int \int v_x^2 \chi dv_x dv_y dv_z
\]

\[
W\:=\:\frac{m}{2} \int \int \int v^2 v_x^2 \chi  dv_x dv_y dv_z
\]
Si trova, dopo laboriosi calcoli:
\begin{equation}
j\:=\:\frac{2}{3}\frac{e^2 l N}{m}\overline{\left(\frac{1}{v}\right)} E_x \label{lorentzj}
\end{equation}
Questa differisce dalla~\ref{eq:jx} per il fatto che il fattore numerico $1/2$ che figurava
in quell'espressione \'e ora $2/3$.

Il termine  
\[
\overline{\left(\frac{1}{v}\right)}
\]
che figura nella~\ref{lorentzj} pu\'o esser facilmente calcolato a partire dalla distribuzione
di Maxwell-Boltzmann:

\[
\overline{\left(\frac{1}{v}\right)} \:=\: \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3/2} 4 \pi \int_0^\infty e^{-\frac{m v^2}{2 k T}} v dv \:=\: 2 \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}}
\]
Ne segue per la conducibilt\'a elettrica:
\[
\sigma_e \:=\:\frac{4}{3}\frac{e^2 l N}{\sqrt{2 \pi m k T}}
\]

Per il flusso di calore si trova:
\begin{equation}
W\:=\:-\frac{8}{3}\frac{l N k^2 T}{\sqrt{2 \pi m k T}} \frac{dT}{dx}  \label{lorentzw}
\end{equation}

Da cui si ottiene per la conducibilit\'a termica:
\begin{equation}
\sigma_T\:=\:\frac{8}{3}\frac{l N k^2 T}{\sqrt{2 \pi m k T}}  \label{lorentzst}
\end{equation}

Dal rapporto delle conducibilit\'a si ottiene poi, per l'analogo della~\ref{wiedemann1} (legge
di Wiedemann e Franz):
\begin{equation}
\frac{\sigma_T}{\sigma_e}\:=\:2 \frac{k^2}{e^2} T   \label{wiedemann2}
\end{equation}

Cio\'e un'espressione identica alla~\ref{sigmat_1} se non per il fatto che il fattore 3 in quell'equazione \'e ora diventato 2. Notiamo che il fattore 3 \'e in miglior accordo con i dati
sperimentali di quanto non lo sia il risultato appena fornito. Tuttavia, come ormai ben noto,
entrambi i risultati sono errati, poich\'e \'e inappropriato, come vedremo tra poco, applicare
la statistica di Maxwell-Boltzmann agli elettroni in un metallo.
                                     
Cercheremo ora di dare un'idea del perch\'e la distribuzione classica non funzioni e di 
proporre un'alternativa plausibile.





\section{Statistica di Fermi applicata ai metalli}



Per il principio di esclusione di Pauli due elettroni non posssono avere tutti i numeri 
quantici uguali.
Questo nell'atomo porta ad avere una distribuzione su livelli energetici con energia media 
pi\'u alta di quella che ci si potrebbe aspettare classicamente. In un blocco di metallo
accade qualcosa di analogo, anche se su scala assai diversa.
Nel caso dell'atomo immaginiamo di esaminare tutte le orbite permesse e di ordinare le loro 
energie in modo crescente  $E_1 \cdots E_N$.

Ognuno di questi livelli energetici può essere occupato da un solo elettrone, cosicch\'e se ci sono N 
elettroni, nello stato di minima energia saranno occupati i primi N livelli e l'energia totale 
sar\'a  $\sum_{i=1}^{N}E_i$  .

Se immaginiamo di avere un elevatissimo numero di atomi, come nel caso di un blocco di metallo, 
la distribuzione dei livelli energetici non \'e pi\'u discreta, ma continua.
Anzich\'e dire di avere una celletta per un determinato valore di energia, si definisce una 
funzione  $Z(E)$ che rappresenta il numero di celle disponibili con energie comprese tra  $E$  ed
$E+dE$.

Qui si pu\'o cominciare a comprendere l'origine del problema nella distribuzione di 
Maxwell-Boltzmann: se troppi elettroni si addensano attorno ad un certo valore di energia rispetto ai posti disponibili, nella statistica di Fermi essi sono costretti a ripiegare su valori di energia 
differenti, mentre nel caso della distribuzione di Maxwell-Boltzmann le celle sono in numero infinito  
ed il problema non si pone.
Poich\'e adesso gli elementi che si giocano l'equilibrio sono sia la distribuzione statistica che 
l'impossibilit\'a per gli elettroni di occupare contemporaneamente la stessa cella, possiamo 
definire un indice di occupazione medio $w(E)$ relativo ad una cella di energia E.
Tale indice rappresenta il numero di elettroni che \emph{mediamente} occupa tale cella.

Per dare un'idea, se E \'e molto alta o molto bassa rispetto all'energia media, $w(E)$ sar\'a 
molto piccolo, se E \'e prossima all'energia media, $w(E)$ tender\'a ad 1.
La grandezza $w(E)Z(E)dE$ rappresenta il numero di elettroni di energia compresa nell'intervallo
$E,E+dE$, e l'energia totale sar\'a:

\[
\int_{0}^{+\infty} E w(E)Z(E) dE
\]
 
Come curiosit\'a notiamo che nel caso dell'atomo, se fossimo nella configurazione di energia minima  
(ovvero allo zero assoluto) si avrebbe che $w=1$ per $E<K$, con K tale che:
\[
\int_{0}^{K} Z(E)dE = N
\]
dove N \'e il numero di elettroni presenti, e $w=0$ per $E>K$.


Poich\'e ad una certa energia corrisponde una determinata velocit\'a, la distribuzione in
velocit\'a degli elettroni \'e in corrispondenza biunivoca con la distribuzione in energia 
e questa a sua volta sar\'a nota una volta determinata la distribuzione delle energie  $Z(E)$ 
e la corrispondente probabilit\'a di occupazione.

\subsection{Distribuzione delle energie}

Ricordiamo che lo spazio delle fasi \'e uno spazio a 2k dimensioni con k il numero dei gradi di 
libert\'a del sistema.

Consideriamo un elettrone come un corpo a tre gradi di libert\'a, per cui la sua fase \'e 
identificata dalle sei componenti di ($\vec{x},\vec{p}$) dove con $\vec{p}$ indichiamo l'impulso
dell'elettrone.

Per volume nell spazio delle fasi si intende la grandezza $d\vec{x} d\vec{p}$ , esattamente come si farebbe in uno spazio a 6 dimensioni fissata una base.

Adesso cerchiamo di sfruttare questo concetto per determinare Z(E).
Se si sceglie una porzione di spazio definita da $V=dxdydz$, e dalla condizione che il 
modulo della quantit\'a di moto sia minore di p, il volume totale della porzione considerata \'e 
il prodotto dei due volumi, ovvero:                    
\[
\Phi\:=\:\frac{4 \pi}{3} V p^3
\]

Abbiamo detto che la statistica di Maxwell-Boltzmann non funziona perch\'e in meccanica 
quantistica entra in gioco il principio di esclusione di Pauli. Nello spazio delle fasi tale
principo implica che una cella di volume $h^3$ pu\'o contenere al massimo due elettroni (con spin 
opposti).
Infatti il principio di indeterminazione, nell'asserire che $\Delta x \Delta p_x \ge h$  (con analoghe
relazioni per le componenti y e z), dice che se due particelle nello spazio delle fasi sono pi\'u 
vicine tra loro di $\Delta \vec{x} \Delta \vec{p}$ esse saranno indistinguibili in base alla posizione 
e quantit\'a di moto, quindi per il principio di esclusione di Pauli non possono occupare la 
stessa cella nello spazio delle fasi a meno che non abbiano spin opposto (altrimenti 
avrebbero tutti i numeri quantici uguali).
Ne segue che in una cella dello spazio delle fasi, di volume $h^3$ possono esservi al massimo
due elettroni.

Poich\'e il volume totale \'e:
\[
\Phi\:=\:= \frac{4 \pi}{3} V p^3
\]
nel volume spaziale V e per impulsi inferiori a $p$ il numero totale di celle \'e:
\[
\frac{\Phi}{h^3}\:=\:\frac{4 \pi}{3} \frac{V p^3}{h^3}
\]
Ricordando ora che (non relativisticamente) \'e:
\[
E=\frac{p^2}{2m}
\]
Si trova per il numero totale di celle con energia minore di E:
\[
\frac{\Phi}{h^3}\: = \:\frac{4 \pi}{3} \frac{V}{h^3} \left(2 m E\right)^{3/2} 
\]

In ciascuna di tali celle pu\'o esservi al pi\'u due elettroni.

Per trovare poi il numero di celle di energia compresa tra $E$ ed $E+dE$ differenziamo l'espressione
ottenuta  ed otteniamo:

\[
Z(E) dE \: = \: 4 \pi \frac{V}{h^3} (2m)^{3/2} E^{1/2} dE
\]


Ci rimane da calcolare l'indice di occupazione delle celle.

In assenza di campi o altre perturbazoni esterne gli elettroni si spostano da una cella di 
energia all'altra attraverso urti elastici del tipo
\begin{equation}
E_1 + E_2 \Longleftrightarrow E'_1 + E'_2     \label{bilancio}
\end{equation}

all'equilibrio il numero di urti che fanno passare gli elettroni da una parte all'altra in questa
equazione deve essere bilanciato. Sia S il numero degli urti nella direzione sinistra-destra ed S' il
numero di quelli nella direzione opposta.
Ovviamente S dovr\'a essere proporzionale al numero $w(E_1)$ di elettroni aventi energia $E_1$
nonch\'e al numero $w(E_2)$:
\[
S \simeq w(E_1) w(E_2)
\]
Analogamente:
\[
S' \simeq w(E'_1) w(E'_2)
\]
Queste relazioni sono valide sia nel caso classico che in quello quantistico. In quest'ultimo
caso per\'o notiamo che la funzione $w(E)$ pu\'o al massimo valere 1 e che, qualora sia uguale ad 1 $w(E'_1)$ o $w(E'_2)$, la S deve annullarsi, essendo in tal caso l'indice d'occupazione relativo
ad uno dei due termini a secondo membro della~\ref{bilancio} gi\'a massimo.

Si ha quindi:
\[
S\:=\:C w(E_1) w(E_2) (1- w(E'_1))(1- w(E'_2))
\]
\[
S'\:=\:C' w(E'_1) w(E'_2) (1- w(E_1))(1- w(E_2))
\]
Si pu\'o dimostrare inoltre che $C=C'$.
Perch\'e all'equilibrio si abbia un bilanciamento, deve essere  S=S'. Si ottiene allora:
\[
\left(\frac{1}{w(E'_1)}-1\right) \left(\frac{1}{w(E'_2)}-1\right) \:=\: \left(\frac{1}{w(E_1)}-1\right) \left(\frac{1}{w(E_2)}-1\right)
\]
Che, ponendo:
\[
F(E)\equiv \left(\frac{1}{w(E)}-1\right)
\]
Potremo scrivere nella forma:
\[
F(E_1) F(E_2)\:=\:F(E'_1) F(E'_2)
\]
Poich\'e deve inoltre conservarsi l'energia, cio\'e:
\[
E_1 + E_2 \:=\:E'_1 + E'_2
\]
si ha che se $E_1$ aumenta di X ($E'_1=E_1+X$), $E_2$ deve diminuire della medesima
quantit\'a: ($E'_2=E_2-X$) e viceversa. Con ci\'o, l'ultima equazione diventa:

\[
F(E_1) F(E_2)\:=\:F(E_1+X) F(E_2-X)
\]
Derivando primo e secondo membro di questa equazione rispetto ad X e ponendo poi $X=0$,
troviamo:
\[
\frac{dF(E_1)}{dE_1} F(E_2) - \frac{dF(E_2)}{dE_2} F(E_1)\:=\:0
\]
Cio\'e, ponendo:
\[
F'(E)=\frac{dF(E)}{dE}
\]

\[
\frac{F'(E_1)}{F(E_1)}\:=\: \frac{F'(E_2)}{F(E_2)}
\]
che deve essere soddisfatta per tutti i valori di $E_1$ ed $E_2$. Ne segue per la funzione F(E):
\[
\frac{F'(E)}{F(E)}\:=\:costante
\]
Integrando:
\[
F(E)\:=\:A e^{\beta E}
\]
Per la funzione w(E) si ha allora:
\[
\left(\frac{1}{w(E)}-1\right)\:=\:A e^{\beta E}
\]
per cui:
\[
w(E)\:=\:\frac{1}{Ae^{\beta E} + 1}
\]
La funzione di distribuzione dell'energia dell'elettrone si ottiene ora moltiplicando per la
w(E) la funzione Z(E):
\[
Z(E)\: = \: 4 \pi \frac{V}{h^3} (2m)^{3/2} E^{1/2}
\]

Si ottiene:
\[
G(E)\:=\:4 \pi \frac{V}{h^3} (2m)^{3/2} E^{1/2} \frac{1}{Ae^{\beta E} + 1}
\]
Da questa distribuzione Sommerfeld, seguendo il metodo di Lorentz ha ricavato il valore corretto del
coefficiente ($\pi^3/3$), che essendo prossimo al valore 3, spiega perch\'e la teoria di Drude desse risultati in buon accordo con i dati sperimentali.


\end{document}

















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