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\bibliographystyle{unsrt}
\begin{document}
\title{\bf Note sulla conducibilit\'a elettrica e termica nei metalli}
\author{\small }
\author{Anna Benini}
\date{Marzo 2002}
 
\maketitle

\section{Conducibilit\'a e struttura microscopica nei metalli}

Questa relazione si propone di studiare la relazione tra le propriet\'a microscopiche dei 
metalli e la loro conducibilit\'a elettrica  e termica dovute alla presenza di elettroni liberi,
illustrando teorie successive fra la fine dell'Ottocento e la met\'a del Novecento.
Lo schema seguito \'e:
\begin{itemize}
\item{Teoria di Drude}
\item{Metodo di Lorentz}
\item{Statistica di Fermi}
\item{Metodo di Lorentz applicato alla statistica di Fermi (Sommerfeld)}
\end{itemize}

La lezione \'e tratta essenzialmente dal libro di Becker, ''Teoria della elettricit\'a''
Sansoni ed. scientifiche (Firenze)

Le prime due teorie presuppongono che la distribuzione della velocit\'a degli elettroni sia 
quella di Maxwell per le molecole di un gas perfetto:

\[
f(\vec{v})\:= \: A e^{-\beta v^2}
\]

con:  
\[
A= N\left(\frac{\beta}{\pi}\right)^{3/2}\:=\:N\left(m/2\pi kT\right)^{3/2}
\]

\[
\beta\:=\:\frac{m}{2kT}
\]
dove k \'e la costante di Boltzmann, T la temperatura assoluta e, nel nostro caso, $m$ \'e la
massa dell'elettrone.

\'E facile dimostrare le seguenti relazioni, valide per i valori medi:

\[
\overline{v^2}\:=\:\frac{3kT}{m}
\]
\[
\overline{|v_x|}\:=\:\sqrt{\frac{2kT}{\pi m}}
\]

\[
\overline{(\frac{1}{v})} \:=\: \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m \pi}{2 k T}}
\]

\[
\overline{v}\:=\: 2 \overline{|v_x|}
\]


\section{Teoria di Drude}

Abbiamo un blocco di metallo. Schematizziamo gli ioni positivi come fissi nel reticolo 
cristallino, e gli elettroni di conduzione completamente liberi di muoversi. 
Sia N il numero di elettroni per $cm^3$. Questi, durante il loro moto di agitazione termica, interagiscono con il reticolo cristallino.
Supporremo che le interazioni siano solo dovute agli urti con gli ioni positivi e che sia 
possibile schematizzarle introducendo il concetto di cammino libero medio ($l$) degli elettroni.

All' interno del metallo gli elettroni si muovono con velocit\'a variabili. Definiamo una funzione f(v) in modo tale che f(v)dv rappresenti il \emph{numero} di elettroni che, nell'unit\'a di volume del
materiale, hanno velocit\'a comprese  tra v e v+dv.

Chiaramente nel caso in cui sia presente un gradiente di temperatura, o nel caso di un materiale non 
omogeneo la funzione f dipender\'a  dalla posizione $\vec{x}$ oltre che da v.

Si ha ovviamente:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}{f(v)dv}\: = \:N
\]
con N il numero di elettroni per unit\'a di volume. 

Fatta questa premessa, vediamo di calcolare la conducibilit\'a termica $\sigma_T$ e quella
elettrica $\sigma_e$ definite da:
\[
\sigma_e \vec{E} \:=\: \vec{J}
\]
\[
\sigma_T \frac{\partial T}{\partial x}\:=\:-W_x
\]

dove $\vec{J}$ \'e il vettore densit\'a di corrente, e dove $W_x$ rappresenta la potenza che attraversa una superficie unitaria perpendicolare alla direzione (x) del gradiente di temperatura.



$\vec{J}$ \'e dato da:
\begin{equation}
\vec{J}\:=\:\int_{-\infty}^{+\infty} e \vec{v} f(\vec{v}) d\vec{v}    \label{eq:jint}
\end{equation}


Per ci\'o che riguarda il flusso di energia $W_x$, l'unica differenza rispetto al caso elettrico \'e nel fatto che gli elettroni trasportano una  energia $E= mv^2/2$ anzich\'e una carica $e$. Si ha dunque:
\begin{equation}
W_x \: = \:  \frac{m}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} v_x v^2 f(\vec{v}) d\vec{v}  \label{eq:wint}
\end{equation}

Per calcolare $\vec{J}$ non \'e indispensabile far uso dell'espressione appena scritta. Basta pensare che \'e:
\begin{equation}
\vec{J}\:=\: e N \overline{\vec{v}} \label{eq:jdens}
\end{equation}
che, prendendo l'asse x nella direzione del campo, si scrive:
\begin{equation}
J_x\:=\:e N \overline{v_x}    \label{eq:jxcomp}
\end{equation}

dove i contributi dovuti alla velocit\'a termica si annullano ove si medi su molti elettroni mentre la velocit\'a ''ordinata'' (quella determinata dal campo elettrico) segue la legge lineare 
$v_x= a_x t$, con  $a_x=E_xe/m$  t \'e l'intervallo di tempo ($\tau$) che intercorre tra un urto ed
il successivo. Indicando con $l$ il cammino libero medio, cio\'e il tragitto coperto in media da un
elettrone tra due urti consecutivi, avremo allora:
\begin{equation}
\overline{v_x}\:=\:\frac{E_x e \tau}{2 m}   \label{eq:vxdrift}
\end{equation}
dove $\tau=\frac{l}{\overline{v}}$.

Si ha quindi:
\begin{equation}
J_x\:=\:\frac{e^2 \tau}{2 m} E_x\:=\:\frac{e^2 l}{2 m \overline{v} } E_x   \label{eq:jx}
\end{equation}
da cui infine:
\begin{equation}
\sigma_e \:=\:\frac{e^2 l N}{2 m} \overline{(\frac{1}{v})}  \label{eq:sigmae}
\end{equation}



Passiamo ora al calcolo della $\sigma_T$.

Confrontando le espressioni della corrente date sopra, si ha che il numero di elettroni che attraversa per unit\'a di tempo una superficie unitaria posta perpendicolarmente all'asse x \'e:

\[
\int_{-\infty}^{+\infty}v_x f(\vec{v})d\vec{v} =N \overline{v}_x 
\]

Qui non stiamo considerando un flusso di elettroni ordinato che attraversa 
la superficie in una sola direzione, ma il movimento disordinato dovuto all'agitazione 
termica, per cui il numero di elettroni che attraversa la superficie in ciascuno dei due
versi dell'asse x \'e mediamente lo stesso, ed \'e pari a $N/2 \overline{v}_x$. 
Non  \'e invece uguale l'energia trasportata,
se la temperatura ha un gradiente nella direzione dell'asse x. Infatti in tal caso gli
elettroni provenienti dalla regione a temperatura pi\'u elevata avranno mediamente un'energia
cinetica pi\'u elevata di quelli che provengono dalla regione a temperatura pi\'u bassa. 

Considerando il disegno di figura~\ref{t_grad}, e ricordando che la temperatura non \'e uniforme si ha
che il flusso netto di potenza, differenza delle energie trasportate per unit\'a di superficie

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=t_grad,width=6.0 cm,height=6 cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{t_grad}
\end{figure}

e di tempo nei due versi, \'a dato da:

\[
W\:=\:\frac{N \overline{v_x}}{2}\left(\frac{1}{2}m \overline{v^2}_B - \frac{1}{2}m \overline{v^2}_A\right)
\]

e, ricordando la distribuzione di Maxwell per cui $\overline{v^2}\:=\:3 kT/m$: 

\[
W\:=\:\frac{N \overline{v}_x}{4}\left(3kT_B-3kT_C\right)\:=\:-\frac{3}{4}N k \overline{v}_x \frac{\partial T}{\partial x} \cdot 2h
\]
                         
Resta da determinare h.

Gli elettroni che attraversano  la superficie in un determinato punto devono aver subito il loro ultimo urto entro una semisfera centrata nel punto, e di raggio uguale al libero cammino medio l.
Calcolando il valor medio della distanza dei punti della semisfera dalla superficie in considerazione si trova che h deve essere pari a $\frac{2}{3}l$.
Sostituendo e ricordando che $\overline{v}_x=\frac{1}{2}\overline{v}$ si ottiene:
 
\[
W\:=\:-\frac{3}{2}N k \overline{v}_x \frac{2}{3} l\:=\:-\frac{N k}{2}\overline{v}\frac{\partial T}{\partial x}\:=
\]
\[
=-\frac{N k l}{2} \overline{v} \frac{\partial T}{\partial x}
\] 

 
E quindi per il rapporto delle conducibilit\'a si ottiene:

\begin{equation}
\frac{\sigma_T}{\sigma_e}\:=\:\frac{m k}{e^2} \frac{\overline{v}}{\overline(1/v)}\:=\:\frac{m k \overline{v^2}}{e^2}\:=\:\frac{3 k^2}{e^2} T
\end{equation}
    
  

La ragione per cui questo rapporto \'e importante \'e nel fatto che si era trovato che esso
era costante per tutti i metalli (legge di Wiedemann-Franz) ed esisteva quindi un interesse 
teorico a comprendere il motivo di questa regolarit\'a.

\section{Metodo di Lorentz}

Abbiamo fin qui implicitamente supposto che la presenza del campo non alterasse la 
funzione di distribuzione delle velocit\'a $f(\vec{x},\vec{v})$ (dipendente in generale anche
dalla posizione $\vec{x}$) degli elettroni.

Per ottenere la forma di tale funzione nel caso generale in cui sia presente un campo
e/o una disomogeneit\'a (quale ad esempio quella causata da un gradiente di temparatura)
adotteremo un metodo perturbativo, in cui l'effetto del campo \'e quello di introdurre
un termine aggiuntivo, lineare nella velocit\'a, al termine $f_0(\vec{x},\vec{v})$, che
rappresenta la distribuzione in assenza del campo. 
\newcommand{\xdot}{\dot{x}}
\newcommand{\ydot}{\dot{y}}
\newcommand{\zdot}{\dot{z}}
\newcommand{\xvec}{\vec{x}}
\newcommand{\vvec}{\vec{v}}
\newcommand{\dxvec}{d\vec{x}}
\newcommand{\dvvec}{d\vec{v}}
\newcommand{\dfdx}{\frac{\partial f}{\partial x}}
\newcommand{\dfdy}{\frac{\partial f}{\partial y}}
\newcommand{\dfdz}{\frac{\partial f}{\partial z}}
Scriveremo cio\'e:
\begin{equation}
f(\vec{x},\vec{v}) \:=\: f_0(\vec{x},\vec{v})\:+\:\xdot \chi(\overline{x},\overline{v})
\end{equation}
dove la funzione $\chi(\vec{x},\vec{v})$ dovr\'a essere determinata in modo che la distribuzione risulti stazionaria.

Divideremo questa sezione in tre parti:

\begin{itemize}
\item Ricerca della funzione f per via variazionale
\item Calcolo della conducibilit\'a elettrica 
\item Calcolo della conducibilit\'a termica
\end{itemize}

\subsection{Ricerca della funzione f}

Perch\'e la f sia stazionaria, la sua variazione deve esser nulla.
La funzione cambia in maniera continua perch\'e gli elettroni si spostano e accelerano in 
direzione x, e in maniera discontinua per via degli urti: suddivideremo quindi la 
variazione temporale della funzione f, in un intervallino di tempo $\Delta t$, 
nella somma di due termini, il primo dei quali ($\Delta f_U$) descriver\'a il contributo
degli urti ed il secondo ($\Delta f_T$) quello della traslazione. Scriveremo cio\'e:

\begin{equation}
\Delta f \:=\: \Delta f_T + \Delta_U  \label{eq:delta}
\end{equation}

Il termine $\Delta f_T$  non \'e altro che la variazione temporale di una funzione di pi\'u
variabili, poich\'e le accelerazioni e gli spostamenti sono continui:

\begin{equation}
\frac{df}{dt}\:=\:\frac{\partial f}{\partial x} \xdot + \frac{\partial f}{\partial y} \ydot + \frac{\partial f}{\partial z} \zdot + \frac{\partial f}{\partial \xdot} a
\end{equation}

In questa equazione a \'e l'accelerazione dovuta al campo elettrico, $a=Ee/m$ ed inoltre
le variazioni rispetto a $\ydot$ e $\zdot$ sono nulle poich\'e \'e nulla l'accelerazione in tali direzioni).

Valutiamo adesso il contributo degli urti. A tale scopo, prendiamo in considerazione 
un punto ($\xvec,\vvec$) nello spazio delle fasi: se un elettrone inizialmente presente nell'elemento 
$(\xvec, \xvec + \dxvec),(\vvec, \vvec+\dvvec)$ subisce una collisione, la funzione $f(\xvec,\vvec)$ diminuisce di uno; se un elettrone inzialmente esterno a tale elemento di volume nello spazio
delle fasi subisce una collisione, esso pu\'o modificare la propria velocit\'a in modo che
questa venga a cadere nell'elemento di volume considerato. In tal caso la funzione aumenter\'a di
1. 

Notiamo che gli urti dovuti alla parte isotropa della velocit\'a (cio\'e al termine $f_0(\vec{x},\vec{v})$) non causano in media alcuna variazione nella funzione, non essendoci alcuna ragione per cui debbano privilegiare un elemento di volume  rispetto ad un altro; contribuiscono solo gli urti dovuti alla componente 
perturbativa $\xdot \chi(\overline{x},\overline{v})$.
Se (l/v) \'e l'intervallo di tempo medio tra due urti, in un secondo vi saranno in media (v/l) urti per 
ogni elettrone; per conoscere il numero totale di urti che hanno luogo nell'elemento $(\xvec, \xvec + \dxvec),(\vvec, \vvec+\dvvec)$, dovremo moltiplicare il numero di urti mediamente subito da un
elettrone per il numero di elettroni contenuti nel volumetto considerato (o meglio, per il contributo che
a tale numero da la componente perturbativa). Esso \'e uguale a $\xdot \chi(\overline{x},\overline{v})$. In altri termini, il contributo alla variazione della funzione $f_U$ nell'intervallo di tempo $\Delta t$ \'e
dato da:
\begin{equation}
\Delta f_U\:=\: -\frac{v/l} \xdot \chi
\end{equation} 

 
Dalla~\ref{eq:delta} otteniamo allora:

\[
-\frac{v}{l} \xdot \chi \:=\: \xdot \dfdx + a 
\]
      (Ricordando che  f   =   f , e che f  \'e 
                                                                                             isotropa)  

?= - (l/v)(   f  + a   f     )
                   x     v   v



Calcolo di ?.
Sappiamo gi\'a che  j= e  x (f +x?  )dv.
Se non avessi alcun campo, si avrebbe   j=e  xf  dv=0 => nel nostro caso
  
j= e  x  ?dv     
=e  x v dv d?              Trattando dv come uno dei soliti elementi di volume e passando in                
                                       polari con  dv= v  dv  d?
??dipende solo da v : resta da trovare   x d?    
Per la simmetria sferica dei gusci su cui sto integrando, deve  essere  
 
  x d?   =  y  d?      =    z  d?    =1/3  v  d?  =4? v /3                                             

=>  j=4 ??e/3   v  ? dv

Per la corrente possiamo supporre il materiale omogeneo, =>  ?= - a l  f
                                                                                                  v   v

j= -e4?/3  a l v  f  /  v  = 0 + 2 l e4?/3  f  v eE/m dv
Notando che  <1/v>=  1/N  1/v f (v)4? v  dv    (Anche qui, sfruttando la simmetria sferica   
                                                                    di f (v), integro solo sul raggio per
                                                                     trovare il numero di e- con velocit\'a v)
j=2e  l E N <1/v> /3m


=4e  l  N/(3  2?mkT)

calcolo di ?

Adesso il materiale non \'e omogeneo dal punto di vista della temperatura, per cui 
f =f (x,v)  e    f/  x  non \'e  più nulla.
Abbiamo visto che j dipende da ??quindi si genera una j non nulla se  f  /  x=0,
ameno che un campo si generi nel materiale per annullare la corrente come in pratica 
succede.

Si tratta di trovare la?? per cui questo \'e vero, ovvero devono essere  soddisfatte le due 
equazioni

j=  e v  (  f   +  av   f    ) dv  =0
               x             v
? = - l/v ( dA  -Av  d? - 2Aa??exp(-?v ??
                dx         dx 


Si ricava a dalla prima, si sostituisce nella secondae dalla ??,mettendola nell'integrale 
W= 2??m/3   v ? dv, 
si trova W=8 l  NTk      T
                 3  2?mkT   x

Da cui il sospirato rapporto

? =  2k  T 
?      e   

Peccato che il coefficiente 2 non torni minimamente con i dati sperimentali.










Il problema sta nel fatto che gli elettroni non seguono in realt\'a la distribuzione di 
Maxwell.
Cercheremo ora di dare un'idea del perch\'e la distribuzione classica non funzioni e di 
proporre un'alternativa plausibile.





Statistica di Fermi



Per il principio di esclusione di Pauli due elettroni non posssono avere tutti i numeri 
quantici uguali.
Questo nell'atomo porta ad avere una distribuzione su livelli energetici con energia media 
più alta di quella che ci si potrebbe aspettare classicamente: cercheremo di trovare un 
parallelo per un blocco di metallo.
Nel caso dell'atomo immaginiamo di prendere tutte le orbite permesse e di ordinare le loro 
energie in modo crescente  E.......E.
Ognuna di queste energie può essere presa da un solo elettrone, cosicch\'e se ci sono N 
elettroni allo stato di minima energia saranno occupati i primi N posti e l'energia totale 
sar\'a    E  .

Se immaginiamo di avere moltissimi atomi come nel caso di un blocco di metallo,la 
distribuzione di celle di energia (se avete qualche termine migliore da proporre....)
non \'e più discreta, ma continua.
Anzich\'e dire di avere una celletta per un determinato valore di energia, definiamo una 
funzione  
Z(E) = n° di celle disponibili con energie comprese tra  E  e E+dE.
qui si può cominciare a capire dove sta il problema nella distribuzione di Maxwell:se troppi 
elettroni si addensano attorno ad un certo valore di energia rispetto ai posti disponibili, 
nella statistica di Fermi sono costretti a ripiegare su valori di energia differenti, mentre per 
Maxwell le celle erano infinite  e il problema non si poneva.
Poich\'e adesso gli elementi che si giocano l'equilibrio sono sia la distribuzione statistica che 
l'impossibilit\'a per gli elettroni ad occupare contemporaneamente la stessa cella, possiamo 
definire come w(E) l'indice di occupazione medio di una cella che si trova ad energia E.
Per dare un'idea, se E \'e molto alta o molto bassa rispetto all'energia media le w(E) sar\'a 
molto basso, se ci \'e vicino tender\'a a 1.
Quindi w(E)Z(E) rappresenta il numero di elettroni di energia E,
e la loro energia totale sar\'a  
   
         E w(E)Z(E)dE 
Curiosit\'a: come nel caso dell'atomo, se fossimo alla configurazione di energia minima  
(ovvero allo zero assoluto) si avrebbe che w=1 per E < K,  
con K tale che   
                           Z(E)dE =N         (numero di e- presenti)
e w=0 per E>K.


Poich\'e ad una certa energia corrisponde una determinata velocit\'aavere una distribuzione 
degli elettroni in funzione della velocit\'a \'e equivalente a trovare la distribuzione dellle 
energie  Z(E) e la corrispondente probabilit\'a di occupazione.

Distribuzione delle energie

Ricordiamo che lo spazio delle fasi \'e uno spazio a 2k dimensioni con k numero dei gradi di 
libert\'a del sistrema.
Consideriamo un elettrone come un corpo a tre gradi di libert\'a, per cui la sua fase \'e 
identificata dalle sei componenti di (x,v).
Per volume nell spazio delle fasi si intende     dx dp , esattamente come si farebbe in uno 
spazio a 6 dimensioni fissata una base.
Adesso cerchiamo di sfruttare questo concetto per determinare Z(E).
Se scelgo ua porzione di spazio determinata da V=   dxdydz, e dalla condizione che il 
modulo della quantit\'a di moto sia minore di p, il volume totale della porzione considerata \'e 
il prodotto dei due volumi, ovvero                    
?= V p  4? /3
Abbiamo detto che la statistica di Maxwll-Boltzmann non funziona perch\'e in quantistica 
entra in gioco il principio di esclusione di Pauli: nello spazio delle fasi può essere 
riformulato dicendo che una cella di volume h può contenere al massimo 2 elettroni di spin 
opposto.
Infatti il principio di indeterminazione, nel dire che ?x ?p > h  (ovviamente vale anche 
per le componenti y e z), dice che se due particelle nello spazio delle fasi sono più vicine 
tra loro di  ?x ?p=h per tutte le componenti risultano indistinguibili in base alla posizione 
e quantit\'a di moto, quindi per il principio di esclusione di Pauli non possono occupare la 
stessa cella nello spazio delle fasi a meno che non abbiano spin opposto (altrimenti 
avrebbero tutti i numeri quantici uguali...)     
Poich\'e le componenti x,y,z sono tre, si ha che possono stare al massimo due elettroni in 
una cella di volume h . 
Poich\'e il volume totale \'e ?= V p  4? /3, il numero di celle \'e ?? h = V p  4? /3 h;
Ricordando che si ha
 E=p /2m,             =>         ?? h = V (2mE)  4? /3 h;
 per trovare il numero di elettroni che possono stare a quel determinato livello di energia 
basta moltiplicare per due.
Per trovare poi il numero di e- di energia compresa tra E e E+dE differenziamo l'espressioe 
e otteniamo
Z(E)dE= V (2m)  E  4?? h

Indice di occupazione delle celle


In assenza di campi o altre perturbazoni esterne gli elettroni si spostano da una cella di 
energia all'altra attraverso urti elastici del tipo

E + E  <--> E + E

all'equilibrio il numero di urti che fanno passare gli elettroi da una parte all'altra devono 
bilanciarsi. Sia S il numero degli urti nella prima direzione e S di quelli nell'altra drezione.
Considerazione1  S   w(E ) w(E )
                                S     w(E ) w(E ) 
Considerazione2   S=0  se w(E  )  o  w(E  ) =, perch\'e non c'\'e più posto nelle celle di 
energia E  o E.

Si ha quindi 
S  = C w(E  ) w(E  ) (1- w(E  ))(1- w(E  ))
S  = C w(E  ) w(E  ) (1- w(E  ))(1- w(E  ))

Perch\'e all'equilibrio si bilancino deve essere  S=S
cio\'e



                                                                         (Gli urti sono elastici)











Da questa distribuzione, finalmente,  Sommerfeld seguendo il metodo di Lorentz ha 
ricavato il coefficiente 'giusto', che essendo  ??/ 3 , molto simile a 3, spiega perch\'e la 
teoria di Drude desse risultati così vicini ai dati sperimentali.


\end{document}

















1

