Misure sull’effetto Doppler acustico

V. F.

Apparato sperimentale: due altoparlanti uguali fissati alle due estremitá di un’asta che ruota attorno ad un asse verticale passante per il suo centro.

Gli altoparlanti sono eccitati da un segnale sinusoidale la cui frequenza (f_{0}) puó essere fatta variare. I piani degli altoparlanti sono verticali.

A qualche metro di distanza dagli altoparlanti é posto un microfono, la cui uscita é collegata ad un oscilloscopio.

L’emissione dell’onda da parte degli altoparlanti ha luogo solo nel breve intervallo di tempo in cui l’asta che li fa ruotare viene ad essere perpendicolare alla congiungente l’asse di rotazione con il microfono.

In quel medesimo istante, un opportuno circuito genera un impulso elettrico (segnale di trigger) che viene inviato all’ingresso di trigger dell’oscilloscopio.

Il microfono ”vede” il segnale acustico emesso dall’altoparlante la cui velocitá u é diretta verso di esso, ad una frequenza f_{1} piú elevata di quella del generatore (f_{0}) e quello emesso dall’altoparlante che si allontana (con la medesima velocitá) ad una frequenza f_{2} piú bassa.

Sull’oscilloscopio si vedranno allora i ”battimenti” tra le due onde.

Misure effettuate sulla geometria e velocitá angolare del sistema: Raggio (distanza altoparlante-asse di rotazione): 53.5 ± 0.3 cm Giri/minuto: 42 ± 1, da cui: f_{r} = 0.72 ± 0.02 s^{−1} Velocitá: u = 2πf_{r}R = 2.41 ± 0.068 ms^{−1} Effetto Doppler:

f_{1} = \frac{f_{0}}{1 − \frac{u}{v}}

f_{2} = \frac{f_{0}}{1 + \frac{u}{v}}

da cui:

v = u\frac{f_{1}f_{2}}{f_{0}} \frac{1}{f_{1} − f_{2}}

Notiamo che il termine moltiplicativo:

\frac{f_{1}f_{2}}{f_{0}}

differisce molto poco da f_{0} (che é fissato in ogni misura). Ne segue che l’errore sul risultato finale é essenzialmente determinato dall’errore sul termine f_{1} − f_{2}.

Figura 1:

Le misure sono state effettuate acquisendo la forma d’onda con un oscilloscopio digitale (vedi ad esempio le figure 1 e 2) e calcolando poi la trasformata di Fourier. Una tipica trasformata (spettro di frequenze) é quella mostrata in figura 3. Non si é tenuto conto degli errori sulla determinazione di f_{1} ed f_{2}, che sono tutt’altro che trascurabili.

Prima serie di misure: frequenza con sorgente ferma:

f_{0} = 6500 Hz.

\begin{matrix}f_{1} & f_{2} & f_{1} − f_{2} & u (m/s) \\ 6543 & 6448 & 95 & 327 \\ 6543 & 6459 & 84 & 371 \\ 6557 & 6442 & 115 & 271 \\ 6541 & 6468 & 73 & 427 \\ 6547 & 6462 & 85 & 367 \end{matrix}

Nuova serie di misure:

f_{0} = 4717 Hz.

\begin{matrix}f_{1} & f_{2} & f_{1} − f_{2} & u (m/s) \\ 4770 & 4695 & 75 & 303 \\ 4773 & 4700 & 73 & 313 \end{matrix}

Conviene lavorare a frequenze piú alte. Infatti la differenza f_{1} − f_{2} aumenta all’aumentare della frequenza.

Scegliamo:

Figura 2: Figura 3:

f_{0} = 9259 Hz.

\begin{matrix}f_{1} & f_{2} & f_{1} − f_{2} & u (m/s) \\ 9301 & 9155 & 146 & 302 \\ 9278 & 9165 & 113 & 390 \\ 9287 & 9153 & 134 & 329 \end{matrix}

Media di tutte le misure: 340 m/s

Il metodo adoperato non é molto preciso. L’errore é dominato dall’incertezza sulla misura di f_{1} − f_{2} (che é pari a circa il 15

Un metodo alternativo, intrinsecamente piú preciso, é quello che consiste nel contare il numero di periodi dell’onda a frequenza f_{1} + f_{2} presenti in un periodo dell’onda a frequenza f_{1} − f_{2}.

Infatti, il segnale rivelato dal microfono, nell’ipotesi di uguali ampiezze emesse dai due altoparlanti, é dato da:

A(t) = 2A_{0}cos(2π \frac{f_{1} + f_{2}}{2} t) · cos(2π \frac{f_{1} − f_{2}}{2} t)

La durata di un battimento é:

T_{0} = \frac{1}{f_{1} − f_{2}}

Nel tempo T_{0} il numero N di oscillazioni alla frequenza (f_{1}+f_{2})/2 é dato dal rapporto tra T_{0} e t_{0}, dove:

t_{0} = \frac{1}{f_{1} + f_{2}}

Ne segue che:

N = \frac{f_{1} + f_{2}}{f_{1} − f_{2}}

Sostituendo a f_{1} ed f_{2} le loro espressioni, otteniamo:

v = N u

In una tipica misura si é ottenuto: N = 136 ± 1. Di qui si ha:

v = (136 ± 1) · (2.41 ± 0.068 ms^{−1}) = (327 ± 10) ms^{−1}