Compito di Fisica II

3 Luglio 2000

Esercizio I

Si consideri una sfera conduttrice di raggio R collegata a terra e fissa. Una carica q di massa m viene lanciata verso la sfera con velocitá v_{0} e con un parametro di impatto b > R (vedi figura 1) rispetto al centro della sfera.

Figure 1: Esercizio - I

1. si scriva la forza che agisce sulla carica;

2. si ricavi dalla forza una espressione per l’energia potenziale della particella;

3. si scrivano le equazioni di conservazione dell’energia e del momento angolare;

4. si calcoli la distanza di minimo avvicinamento tra la sfera e la particella;

5. Facoltativo si discuta il significato delle diverse soluzioni ottenute per la distanza minima;

6. Facoltativo come si modifica la soluzione del problema nel caso in cui la sfera é isolata e con carica costante Q_{0} ?

Esercizio II

L’effetto Doppler ha reso possibile la scoperta di stelle doppie tanto distanti da rendere impossibile la risoluzione dei due oggetti che le costituiscono mediante telescopi. Le linee spettrali di tali stelle, divengono periodicamente dei doppietti, il che ci dice che la luce proviene da due oggetti che ruotano attorno al loro centro di massa. Si supponga che il piano di rotazione formi un angolo di 0^{∘} con la retta congiungente il punto di osservazione con il centro del sistema binario e che le due stelle abbiano masse uguali. Nell’ipotesi di osservare uno splitting delle righe in doppietti massimo e pari a Δλ/λ = 1.2 10^{−4} ad intervalli di tempo Δt = 30 giorni, si calcoli:

1. la distanza 2R tra le due stelle del doppietto;

2. le loro masse.

Esercizio III

Un filo di lunghezza l e massa m, su cui è depositata una carica elettrica con densità lineare λ, è posto in rotazione attorno ad un asse z parallelo al filo, a distanza dall’asse z, a ≪ l, con una velocità angolare che varia linearmente tra 0 ed ω_{0} in un tempo T e poi resta costante (Figura 2). La direzione di rotazione del filo é in senso antiorario rispetto all’asse z. Un cilindretto non conduttore di raggio b ≪ a, il cui asse coincide con l’asse z, è libero di ruotare attorno al medesimo asse (con momento di inerzia I). Sulla superficie del cilindretto è distribuita uniformemente una carica Q.

Figure 2: Esercizio - III 1. Si supponga che il cilindretto ruoti con velocitá angolare ω′ e si determinino

il campo di induzione magnetica B⃗, ed il campo elettrico sull’asse z. (Suggerimento : un possibile metodo per il calcolo del campo magnetico generato dalla carica è l’utilizzo della formula che lega il campo elettrico E ed il campo B generato da una carica in moto : B⃗ = v⃗ × E⃗/c^{2});

2. si scriva il momento meccanico risentito dal cilindretto in funzione della velocitá ω′;

3. si determini l’andamento temporale di ω′ e la velocità angolare finale del cilindretto.

Soluzione Esercizio I

1. La forza F⃗ risentita dalla particella di massa m puó essere calcolata come la forza di interazione tra la carica q e la carica immagine q_{i} posta a distanza r_{i} dal centro della sfera (Figura 3). La carica immagine ha intensitá q_{i} = −Rq/r

Figure 3: Soluzione esercizio - I

e si trova ad una distanza r_{i} = R^{2}/r, dove r indica la distanza della particella q dal centro della sfera, quindi :

F⃗ = −\frac{1}{4πϵ_{0}} \frac{q_{i}q}{(r − r_{i})^{2}} r̂ = −\frac{Rq^{2}}{4πϵ_{0}} \frac{r}{(r^{2} − R^{2})^{2}} r̂ r > R

2. Quindi il potenziale U é dato da :

U = −\frac{Rq^{2}}{8πϵ_{0}} \frac{1}{(r^{2} − R^{2})} r > R

3. Le formule che esprimono la conservazione dell’energia e del momento angolare sono :

−\frac{Rq^{2}}{8πϵ_{0}} \frac{1}{(r^{2}−R^{2})} + \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}
mvrsenϕ = mv_{0}b

dove ϕ é l’angolo tra r⃗ e v⃗.

4. La minima distanza dal centro della sfera si ottiene quando la componente della velocitá parallela ad r̂ é nulla cioé quando θ = π/2 per cui si ottiene :

v = \frac{v_{0}b}{d} ⇒ − \frac{Rq^{2}}{8πϵ_{0}} \frac{1}{(d^{2} − R^{2})} + \frac{1}{2}m(\frac{v_{0}b}{d})^{2} = \frac{1}{2}mv_{0}^{2}

Risolvendo l’equazione di secondo grado in d^{2} si ottiene :

d^{2} = \frac{−\frac{Rq^{2}}{8πϵ_{0}} + \frac{1}{2}mv_{0}^{2}(b^{2} + R^{2}) ± \sqrt{(\frac{Rq^{2}}{8πϵ_{0}} + \frac{1}{2}mv_{0}^{2}(b^{2} + R^{2}))^{2} − m^{2}v_{0}^{4}b^{2}R^{2}}}{mv_{0}^{2}}

5. In questo modo si ottengono quattro soluzioni per d : d_{1}, d_{2}, −d_{1}, −d_{2}. Le equazioni utilizzate sono simmetriche per ±r ma nel sistema di riferimento utilizzato r > 0 e quindi le due soluzioni negative non hanno significato fisico. Le soluzioni d_{1} e d_{2} sono una maggiore ed una minore di R. La soluzione maggiore di R é la soluzione del problema considerato mentre quella minore é soluzione al problema simmetrico in cui la carica lanciata é interna al conduttore e si avvicina alla sua superficie interna.

6. Se il conduttore é a carica costante Q_{0} si deve aggiungere alla forza F⃗, e quindi al potenziale, il contributo di una carica immagine q′ posta al centro della sfera e tale che q_{i} + q′ = Q_{0}.

Esercizio II

1. Il massimo della separazione spettrale si verifica due volte per ogni periodo di rotazione del sistema binario quando le due stelle hanno velocitá allineate alla congiungente tra il centro del sistema binario ed il punto di osservazione, quindi v = πR/Δt. Se la luce emessa dalle stelle ha lunghezza d’onda λ il massimo ed il minimo della lunghezza d’onda ricevuta sará :

λ_{min} = \frac{c}{c + v} λ_{max} = \frac{c}{c − v}  ⇒  \frac{Δλ}{λ} ≃ \frac{2v}{c}
⇒  R = \frac{δλ}{λ} \frac{cΔt}{2π} = 14.8 10^{9} m

2. Poiché le masse delle stelle sono uguali, indicando con m_{r} la massa ridotta pari a m_{r} = 1/2m la prima equazione cardinale puó essere scritta come :

m_{r}ω^{2}R = \frac{m^{2}G}{4R^{2}} ⇒ m = 2\frac{ω^{2}R^{3}}{T^{2}G} = 1.43 10^{29} Kg

Esercizio III

1. La velocitá angolare del filo é :

ω(t) = αt per t ≤ T
ω(t) = ω_{0} per t ≥ T

quindi :

θ(t) = αt^{2}/2 per t ≤ T
θ(t) = ω_{0}(t − T/2) per t ≥ T

Il campo elettrico E⃗ generato dal filo lungo l’asse z é dato da :

E⃗ = −\frac{λ}{2πϵ_{0}a}r̂

dove :

r⃗ = a(cosθ(t)î + senθ(t)ĵ)

Per calcolare il campo B⃗ generato dal filo utilizzo l’equazione suggerita nel testo :

B⃗ = \frac{v⃗ × E⃗}{c^{2}} = ϵ_{0}μ_{0}ω(t)a\frac{λ}{2πϵ_{0}a}k̂ = \frac{μ_{0}λω(t)}{2π}k̂

Se il cilindretto é in rotazione con velocitá angolare ω′ esso genera un campo magnetico B⃗′ che contribuisce al campo magnetico lungo l’asse z. Questo contributo si puó calcolare utilizzando la formula di un solenoide infinito percorso da corrente :

B⃗′ = μ_{0}nik̂

dove ni nel nostro caso vale : ni = Q/(T L) = λ′ω′/(2π).

2. Durante l’accelerazione del filo B⃗ varia poiché variano ω ed ω′ e quindi alla superficie del cilindretto ci sará un campo elettrico indotto dato da :

2πbE = −\frac{dΦ}{dt} = −πb^{2} \frac{dB}{dt} ⇒ E = −\frac{1}{2}b\frac{dB}{dt}
E = −\frac{μ_{0}b}{4π}[λ\frac{dω}{dt} + λ′ \frac{dω′}{dt}]

Il momento meccanico applicato al cilindro é :

M⃗ = bQEk̂ ⇒ M = −\frac{μ_{0}Qb^{2}}{4π} [λ\frac{dω}{dt} + λ′ \frac{dω′}{dt}]

Posto dω/dt = α, l’equazione di moto del cilindretto é data da :

I \frac{dω′}{dt} + \frac{μ_{0}Qb^{2}}{4π} [λα + λ′ \frac{dω′}{dt}] = 0 ⇒ [I + \frac{μ_{0}Qb^{2}λ′}{4π}]\frac{dω′}{dt} = −\frac{μ_{0}Qb^{2}λ}{4π}α
⇒ ω′(t) = −\frac{μ_{0}Qb^{2}λ}{4πI+μ_{0}Q^{2}b^{2}λ′} ω(t)

e quindi la velocitá angolare finale é data da :

ω′_{fin} = −\frac{μ_{0}Qb^{2}λl}{4πIl + μ_{0}Q^{2}b^{2}} ω_{0}