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\documentclass[12pt]{article}
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\bibliographystyle{unsrt}
\newcommand{\gnat}{\mbox{$\overline{w(t)^{2}}$}}
\begin{document}
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\title{\bf Compito di Fisica II}
\author{\small }
\author{}
\date{3 Luglio 2000}
 
\maketitle

\centerline {\bf Esercizio I}
\vskip 1.5cm
Si consideri una sfera conduttrice di raggio $R$ collegata a terra e fissa. Una carica {\it q}
di massa {\it m} viene lanciata verso la sfera con velocit\'a $v_0$ e con un parametro di 
impatto $\it b > R$ (vedi figura 1) rispetto al centro della sfera.
\vskip 0.5cm
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\epsfig{file=f1.eps,width=0.7\textwidth}
\end{center}
\vskip1.5cm
\caption{Esercizio - I}
\end{figure}
\begin{enumerate}
\item si scriva la forza che agisce sulla carica;
\item si ricavi dalla forza una espressione per l'energia potenziale della particella;
\item si scrivano le equazioni di conservazione dell'energia e del momento angolare;
\item si calcoli la distanza di minimo avvicinamento tra la sfera e la particella;
\item {\bf Facoltativo} si discuta il significato delle diverse soluzioni
ottenute per la distanza minima;
\item {\bf Facoltativo} come si modifica la soluzione del problema nel caso in cui la 
sfera \'e isolata e con carica costante $Q_0$ ?
\end{enumerate}
\newpage
\centerline {\bf Esercizio II}
\vskip 1.5cm
L'effetto Doppler ha reso possibile la scoperta di stelle doppie tanto
distanti da rendere impossibile la risoluzione dei due oggetti che le
costituiscono mediante telescopi. Le linee spettrali di tali stelle,
divengono periodicamente dei doppietti, il che ci dice che la luce proviene
da due oggetti che ruotano attorno al loro centro di massa. Si supponga
che il piano di rotazione formi un angolo di $0^\circ$ con la 
retta congiungente il punto di osservazione con il centro del sistema binario e
che le due stelle abbiano masse uguali. Nell'ipotesi di osservare uno splitting delle righe
in doppietti massimo e pari a $\Delta \lambda/\lambda\:=\:1.2\:10^{-4}$ 
ad intervalli di tempo $\Delta t$ = 30 giorni, si calcoli:
\begin{enumerate}
\item la distanza 2R tra le due stelle del doppietto;
\item le loro masse.
\end{enumerate}
\centerline {\bf Esercizio III}
\vskip 1.5cm
Un filo di lunghezza {\it l} e massa {\it m}, su cui \`e depositata una carica elettrica
con densit\`a lineare $\lambda$, \`e posto in rotazione attorno ad un asse {\it z} parallelo 
al filo, a distanza dall'asse $z$, $ a \ll l$, con una velocit\`a angolare che varia linearmente tra 0 ed
$\omega _0 $ in un tempo $T$ e poi resta costante (Figura 2). La direzione di rotazione del
filo \'e in senso antiorario rispetto all'asse $z$. \\
Un cilindretto non conduttore di raggio $b \ll a$, il cui asse 
coincide con l'asse $z$, \`e libero di ruotare attorno al medesimo asse (con momento di 
inerzia {\it I}). Sulla superficie del cilindretto \`e distribuita uniformemente una carica $Q$.
\vskip 0.5cm
\begin{figure}[hb]
\begin{center}
\epsfig{file=f2.eps,width=0.5\textwidth}
\end{center}
\caption{Esercizio - III}
\end{figure}
\begin{enumerate}
\item Si supponga che il cilindretto ruoti con velocit\'a angolare $\omega'$ e si 
determinino il campo di induzione magnetica $\vec B$,  ed il campo elettrico sull'asse
{\it z}. \\ ({\it Suggerimento~: un possibile metodo per il calcolo del campo magnetico generato 
dalla carica \`e l'utilizzo della formula che lega il campo elettrico {\it E} ed il campo {\it B} 
generato da una carica in moto~: $\vec B = \vec v \times \vec E/c^2$});
\item si scriva il momento meccanico risentito dal cilindretto in funzione della velocit\'a 
$\omega'$;
\item si determini l'andamento temporale di $\omega'$ e la velocit\`a angolare finale del cilindretto.
\end{enumerate}
\newpage
\centerline{\bf Soluzione}
\centerline {\bf Esercizio I}
\vskip 1.5cm
\begin{enumerate}
\item
La forza $\vec F$ risentita dalla particella di massa {\it m} pu\'o essere 
calcolata come la forza di interazione tra la carica $q$ e la carica immagine $q_i$ 
posta a distanza $r_i$ dal centro della sfera (Figura 3).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\epsfig{file=f3.eps,width=0.7\textwidth}
\end{center}
\caption{Soluzione esercizio - I}
\end{figure}
La carica immagine ha intensit\'a $q_i = - Rq/r$ e si trova ad una distanza $r_i = R^2/r$,
dove r indica la distanza della particella $q$ dal centro della sfera, quindi~:
\begin{eqnarray}\nonumber
\vec F = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_i q}{(r - r_i)^2} \hat r = -\frac{Rq^2}{4\pi\epsilon_0}
\frac{r}{(r^2 - R^2)^2} \hat r ~~~~~r > R
\nonumber\end{eqnarray}
 \item
Quindi il potenziale $U$ \'e dato da~:
\begin{eqnarray}\nonumber
U = -\frac{Rq^2}{8\pi\epsilon_0}\frac{1}{(r^2 - R^2)} ~~~~ r > R
\nonumber\end{eqnarray}
\item
Le formule che esprimono la conservazione dell'energia e del momento angolare sono~:
\begin{eqnarray}\nonumber
& -\frac{Rq^2}{8\pi\epsilon_0}\frac{1}{(r^2 - R^2)} + \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 \\
& mvrsen\phi = mv_0b
\nonumber\end{eqnarray}
dove $\phi$ \'e l'angolo tra $\vec r $ e $\vec v$.
\item
La minima distanza dal centro della sfera si ottiene quando la componente della velocit\'a 
parallela ad $\hat r$ \'e nulla cio\'e quando $\theta = \pi / 2$ per cui si ottiene~:
\begin{eqnarray}\nonumber
v =\frac {v_0b}{d} ~~~\Rightarrow~~~ -\frac{Rq^2}{8\pi\epsilon_0}\frac{1}{(d^2 - R^2)} 
+ \frac{1}{2} m 
\bigl(\frac {v_0b}{d}\bigr)^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 
\nonumber\end{eqnarray}
Risolvendo l'equazione di secondo grado in $d^2$ si ottiene~:
\begin{eqnarray}\nonumber
d^2 = \frac{-\frac{Rq^2}{8\pi\epsilon_0} + \frac{1}{2} m v_0^2(b^2 + R^2) \pm 
\sqrt{( \frac{Rq^2}{8\pi\epsilon_0} + \frac{1}{2} m v_0^2(b^2 + R^2))^2 - m^2v_0^4b^2R^2}}{mv_0^2}
\nonumber\end{eqnarray}
\item
In questo modo si ottengono quattro soluzioni per $d$~:~$d_1, d_2, -d_1, -d_2$. Le equazioni
utilizzate sono simmetriche per $\pm r$ ma nel sistema di riferimento utilizzato $r > 0$ e quindi
le due soluzioni negative non hanno significato fisico. Le soluzioni $d_1$ e $d_2$ sono una 
maggiore ed una minore di $R$. La soluzione maggiore di $R$ \'e la soluzione del problema considerato
mentre quella minore \'e soluzione al problema simmetrico in cui la carica lanciata \'e interna
al conduttore e si avvicina alla sua superficie interna. 
\item 
Se il conduttore \'e a carica costante $Q_0$ si deve aggiungere alla forza $\vec F$, 
e quindi al potenziale, 
il contributo di una carica immagine $q'$ posta al centro della sfera e tale che  
$q_i + q' = Q_0$.
\end{enumerate}
\centerline{\bf Esercizio II}
\vskip 1.5cm
\begin{enumerate}
\item
Il massimo della separazione spettrale si verifica due volte per ogni periodo di rotazione del
sistema binario quando le due stelle hanno velocit\'a allineate alla congiungente tra il centro
del sistema binario ed il punto di osservazione, quindi $v = \pi R/\Delta t$. 
Se la luce emessa dalle stelle ha lunghezza 
d'onda $\lambda$  il massimo ed il minimo della lunghezza d'onda ricevuta sar\'a~:
\begin{eqnarray}\nonumber
\lambda_{min} = \frac{c}{c+v} ~~~
\lambda_{max} = \frac{c}{c-v} & ~~~\Rightarrow~~~ &
\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \simeq \frac{2v}{c} \\ 
& \Rightarrow~~~ & R = \frac{\delta \lambda}{\lambda} \frac{c \Delta t}{2\pi} = 14.8 \:10^9~m
\nonumber\end{eqnarray}
\item
Poich\'e le masse delle stelle sono uguali, indicando con $m_r$ la 
massa ridotta pari a $m_r = 1/2 m$ la prima equazione cardinale pu\'o essere
scritta come~:
\begin{eqnarray}\nonumber
m_r\omega^2 R = \frac{m^2 G}{4R^2} ~~~\Rightarrow~~~ m = 2 \frac{\omega^2R^3}{T^2G} = 1.43 \:10^{29}~Kg
\nonumber\end{eqnarray}
\end{enumerate} 
\centerline {\bf Esercizio III}
\vskip 1.5cm
\begin{enumerate}
\item
La velocit\'a angolare del filo \'e~:
\begin{eqnarray}\nonumber
\omega(t) = \alpha t ~per~t\leq T \\
\omega(t) = \omega_0 ~per~t\geq T
\nonumber\end{eqnarray}
quindi~:
\begin{eqnarray}\nonumber
\theta(t) & = &  \alpha t^2/2~per~t\leq T \\
\theta(t) & = & \omega_0(t-T/2) ~per~t\geq T
\nonumber\end{eqnarray}
Il campo elettrico $\vec E $ generato dal filo lungo l'asse z \'e dato da~:
\begin{eqnarray}\nonumber
\vec E & = & -\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 a} \hat r
\nonumber\end{eqnarray}
dove~:
\begin{eqnarray}\nonumber
\vec r & = & a(cos\theta(t)\hat i + sen\theta(t)\hat j) \\
\nonumber\end{eqnarray}
Per calcolare il campo $\vec B$ generato dal filo utilizzo l'equazione suggerita nel
testo~:
\begin{eqnarray}\nonumber
\vec B = \frac{\vec v \times \vec E}{c^2} = 
\epsilon_0 \mu_0 \omega(t) a \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 a} \hat k = 
\frac{\mu_0 \lambda \omega(t)}{2\pi} \hat k 
\nonumber\end{eqnarray}
Se il cilindretto \'e in rotazione con velocit\'a angolare $\omega'$ esso genera un 
campo magnetico $\vec{B'}$ che contribuisce al campo magnetico lungo l'asse $z$. Questo
contributo si pu\'o calcolare utilizzando la formula di un solenoide infinito percorso
da corrente~:
\begin{eqnarray}\nonumber
\vec{B'} = \mu_0 ni  \hat k
\nonumber\end{eqnarray}
dove {\it ni} nel nostro caso vale~: $ ni = Q/(TL) = \lambda' \omega' / (2\pi)$.
\item
Durante l'accelerazione del filo $\vec B$ varia poich\'e variano $\omega$ ed $\omega'$ e 
quindi alla superficie del cilindretto ci sar\'a un campo elettrico indotto dato da~:
\begin{eqnarray}\nonumber
2\pi bE & = & - \frac{d\Phi}{dt} = - \pi b^2 \frac{dB}{dt} ~~~\Rightarrow~~~ 
E = -\frac{1}{2} b \frac{dB}{dt} \\
E & = & - \frac{\mu_0 b}{4\pi} \bigl\lbrack \lambda \frac{d\omega}{dt} + \lambda' 
\frac{d\omega'}{dt} \bigr\rbrack
\nonumber\end{eqnarray}
Il momento meccanico applicato al cilindro \'e~:
\begin{eqnarray}\nonumber
\vec M = bQE\hat k ~~~\Rightarrow~~~ M = - \frac{\mu_0 Q b^2}{4 \pi} \lbrack  
\lambda \frac{d\omega}{dt} + \lambda' \frac{d\omega'}{dt} \rbrack
\nonumber\end{eqnarray}
Posto $d\omega/dt = \alpha $, l'equazione di moto del cilindretto \'e data da~:
\begin{eqnarray}\nonumber
& I \frac{d\omega'}{dt} +  \frac{\mu_0 Q b^2}{4 \pi} \lbrack 
\lambda \alpha + \lambda' \frac{d\omega'}{dt} \rbrack = 0 ~~~\Rightarrow~~~ 
\lbrack I +  \frac{\mu_0 Q b^2 \lambda'}{4 \pi} \rbrack \frac{d\omega'}{dt} = 
 - \frac{\mu_0 Q b^2 \lambda}{4 \pi} \alpha \\ & \Rightarrow~~~ 
\omega'(t) = - \frac{\mu_0 Q b^2 \lambda }{4\pi I + \mu_0Q^2b^2 \lambda'}\omega(t) 
\nonumber\end{eqnarray}
e quindi la velocit\'a angolare finale \'e data da~:
\begin{eqnarray}\nonumber
\omega'_{fin} = - \frac{\mu_0 Q b^2 \lambda l }{4\pi Il + \mu_0Q^2b^2}\omega_0\nonumber
\end{eqnarray}
\end{enumerate}
\end{document}




