\documentstyle[12pt,epsfig]{article}
\textwidth=15cm
\textheight=25cm
\baselineskip=2.5 cm
\oddsidemargin=-0.2in
\evensidemargin=-0.2in
\topmargin=-1.6cm
\bibliographystyle{unsrt}
\newcommand{\gnat}{\mbox{$\overline{w(t)^{2}}$}}
\newcommand{\Ene}{\mathcal{E}}
\begin{document}
%
% Look in the 'Windows' menu for the pictures window
% It's like the Scrapbook -- cut and paste pictures
%

\title{\bf Verifiche sperimentali della legge di Coulomb}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle

\section{Introduzione}
Si d\'a comunemente per scontato che la forza elettrica diminuisca all'aumentare della distanza come $1/r^2$. 
Tuttavia, gli esperimenti effettuati per verificare tale andamento avevano
una sensibilit\'a necessariamente limitata e ci si pu\'o quindi chiedere
se non esistano piccole, quasi impercettibili deviazioni della forza da tale andamento, finora non rilevate. \'E anche stato ipotizzato che deviazioni possano essere trovate in particolare condizioni fisiche, ad esempio a temperature vicine allo zero assoluto.
Inoltre dobbiamo tener conto del fatto che gli esperimenti effettuati in laboratorio verificano la legge su distanze dell'ordine delle decine di centimetri o al pi\'u di qualche metro. 
Nessuno pu\'o quindi garantire che, a distanze dell'ordine delle dimensioni atomiche o nucleari o, all'altro estremo, a distanze atronomiche, l'andamento verificato in laboratorio continui a descrivere correttamente i fenomeni fisici. 
In questa lezione ci occuperemo di alcune delle numerose verifiche
sperimentali che, da Cavendish in poi, sono state effettuate per verificare
la legge a distanze accessibili in laboratorio. 
Vediamo per cominciare quali siano stati, storicamente, gli esperimenti ed
i metodi seguiti per ricercare eventuali deviazioni della forza dall'andamento
che chiamiamo "Coulombiano".
\newline
Le misure effettuate da Coulomb mediante la bilancia di torsione 
\cite{kn:coulomb} sono in realt\'a state precedute da misure di
tipo diverso, potenzialmente pi\'u sensibili, effettuate da Cavendish.
Su tale tipo di misure, che sono state ripetute con precisione molto
spinta anche in tempi recenti, concentreremo ora la nostra attenzione.
\newline
Fin dal 1755 Benjamin Franklin not\'o che un tappo di sughero, immerso
in un contenitore d'argento elettricamente carico, non risentiva di alcuna
forza attrattiva da parte delle pareti del recipiente. Sappiamo che in
condizioni normali, in presenza di un campo elettrico, il tappo (dielettrico)
si polarizza e subisce una forza ad opera del campo; sembrava quindi che
all'interno del contenitore carico il campo elettrico fosse nullo. 
Franklin inform\'o di questo fatto, di cui non riusciva a trovare spiegazione, 
alcuni suoi colleghi, tra cui Joseph Priestley. Quest'ultimo ripet\'e 
l'esperimento e conferm\'o il risultato di Franklin. 
Qui Priestley ebbe la brillante idea di collegare l'assenza della forza 
elettrica dentro un contenitore carico, con l'analoga assenza di forza 
gravitazionale entro un guscio sferico massivo. Si sapeva infatti~\cite{kn:laplace} che
l'assenza di forza gravitazionale in tale circostanza era legata alla
dipendenza del campo gravitazionale dalla distanza come $1/r^2$.
Priestley riport\'o il risultato nel 1767 \cite{kn:priestley}. Da tale
osservazione di Priestley ebbero origine tutta una serie di esperimenti,
tra cui quello effettuato da Cavendish, miranti a verificare la
dipendenza come $1/r^2$ della forza elettrica dalla distanza r, attraverso
la verifica dell'assenza di campo elettrico all'interno di cavit\'a
praticate entro corpi conduttori. 
\newline
Due anni dopo il risultato di Priestley, lo scozzese John Robinson 
\cite{kn:priestley} effettu\'o
la prima determinazione sperimentale della legge, tramite un bilanciamento
della forza elettrica con quella gravitazionale agente su di una sfera.
Robinson ottenne un esponente di -2.06. Bench\'e il risultato di Robinson
sia precedente a quello di Cavendish, esso fu pubblicato solo nel 1806.
Il risultato di Cavendish, ottenuto nel 1773, non fu d'altronde reso
noto che un secolo pi\'u tardi, quando Maxwell lo descrisse nel suo
libro \cite{kn:maxwell}. 
\newline
L'apparato sperimentale utilizzato da Cavendish consisteva in un insieme
di due sfere conduttrici concentriche, collegate elettricamente da un sottile
filo conduttore che poteva essere rimosso nel corso della misura. Un'opportuno 
sistema consentiva di rivelare la presenza di una eventuale carica elettrica 
sulla sfera interna, quando una carica fosse stata impressa a quella esterna. 
Cavendish valut\'o sperimentalmente che tale
carica era inferiore ad $\frac{1}{60}$ della carica fornita alla sfera
esterna. Da tale risultato Cavendish dedusse che, se una eventuale deviazione
dalla legge $\frac{1}{r^2}$ fosse stata parametrizzata mediante un piccolo
numero $\epsilon$: $F \propto \frac{1}{r^{2-\epsilon}}$ allora questo 
parametro doveva essere, in modulo, inferiore a 0.02. 
\newline
Maxwell nel suo libro descrive in dettaglio
l'esperimento e discute poi una versione migliorata di questo, effettuata
al "Cavendish Laboratory", che forn\`i un limite superiore sul valore
assoluto della costante $\epsilon$ di $\frac{1}{21600}$. L'esperimento 
di Cavendish \'e stato poi ripetuto da numerosi altri autori, fino al 1985,
con tecniche via via migliorate e con sensibilit\'a sempre pi\'u spinte.
Il risultato pi\'u preciso ad oggi \'e $\epsilon < 10^{-16}$~\cite{kn:photon}.
\newline
Esamineremo nelle prossime sezioni gli esperimenti, a cominciare da quello
di Cavendish. Dovremo per\'o prima discutere gli aspetti matematici collegati
alla parametrizzazione adoperata per il campo.

\section{Formalismo matematico}

Ammettiamo che l'andamento in funzione della distanza r della forza elettrica 
tra due cariche unitarie possa esser descritto da una generica
funzione F(r). Sia U(r) il potenziale elettrostatico:
\[
U(r) \:=\: \int_{r}^{\infty} F(s) ds
\]
Definendo:
\[
f(r)\:=\:\int_{0}^{r}s U(s) ds
\]
si pu\'o allora dimostrare (vedasi appendice) che, se una carica Q
\'e distribuita uniformemente sulla superficie  di un sottile guscio 
sferico di raggio a, il potenziale ad una distanza b dal centro 
sar\'a dato, per un punto esterno al guscio, da:
\[
V\:=\: \frac{Q}{2ab}[f(b+a)-f(b-a)]
\] 
e, per un punto sul guscio:
\[
V\:=\: \frac{Q}{2a^2}f(2a)
\]
mentre per un punto all'interno del guscio:
\[
V\:=\: \frac{Q}{2ab}[f(a+b)-f(a-b)]
\]
Possiamo ora, facendo uso di questo risultato, determinare i potenziali
di due gusci sferici concentrici, di raggi a e b, con $a > b$. Indicando
con $V_a$ e $V_b$ i rispettivi potenziali e con $Q_a$ e $Q_b$ le cariche,
avremo:
\begin{equation}
V_a\:=\: \frac{Q_a}{2a^2} f(2a) + \frac{Q_b}{2ab}[f(a+b)-f(a-b)] \label{eq:va}
\end{equation}

\begin{equation}
V_b\:=\: \frac{Q_b}{2b^2} f(2b) + \frac{Q_a}{2ab}[f(a+b)-f(a-b)] \label{eq:vb}
\end{equation}
Come vedremo, sia nell'esperimento effettuato da Cavendish che in quello
ripetuto un secolo pi\`u tardi al Cavendish Laboratory, i due gusci sferici
erano inizialmente uniti insieme; cio\`e, nella prima fase dell'esperimento
era $V_a=V_b=V$. Dalle ultime due equazioni si pu\'o allora ricavare la
carica $Q_b$ posseduta dalla sfera interna:
\begin{equation}
Q_b\:=\:2 V b \frac{b f(2a) - a [f(a+b)-f(a-b)]}{f(2a) f(2b) - [f(a+b)-f(a-b)]^2} \label{eq:Qb}
\end{equation}
%In particolare, il potenziale indotto su di una sfera di raggio r da una 
%carica unitaria distribuita uniformemente su di una sfera concentrica, avente
%raggio $a > r$ \'e dato da:
%\begin{equation}
%\frac{V(r)-V(a)}{V(a)} \:=\: \frac{a}{r} [\frac{(f(a+r)-f(a-r)}{f(2a}] - 1 
%\label{eq:deltav}
%\end{equation}
%Seguendo Cavendish, ammettiamo ora che l'esponente nella legge di Coulomb
%non sia -2 ma $(-2+\epsilon)$, con $\epsilon \ll 1$. In tal caso, al primo
%ordine in $\epsilon$:
%\[
%U(r) \:=\: \frac{r^{-1+\epsilon}}{1-\epsilon}\:\approx\: r^{-
%1+\epsilon}(1+\epsilon)
%\]
%ed:
%\[f(r)\:=\:\int_{0}^{r}s U(s) ds \:=\: \int_{0}^{r} s s^{-1+\epsilon} 
%(1+\epsilon) ds \:=\: r^{1+\epsilon}\:\approx\:r(1+\epsilon \ln r)
%\]
%Segue allora dalla~\ref{eq:deltav} :
%\[
%\frac{V(r)-V(a)}{V(a)} \:=\: \frac{a}{r}[\frac{(a+r)(1+\epsilon \ln (a+r))-%(a-
%r)(1+\epsilon \ln (a-r))}{2a(1+\epsilon \ln (2a))}] -1
%
%Questa pu\'o essere trasformata per ottenere:
%\[
%\frac{V(r)-V(a)}{V(a)} \:=\: \frac{\frac{a \epsilon}{r} \ln \frac{a+r}{a-r}-
%\epsilon \ln \frac{4a^2}{a^2-r^2}}{2(1+\epsilon \ln (2a))}\:\approx \:
% \frac{1}{2}[\frac{a}{r} \ln \frac{a+r}{a-r} - \ln \frac{4a^2}{a^2-
%r^2}]\epsilon \:=\: \epsilon M(a,r)
%\]
%dove la funzione M(a,r) \'e dell'ordine dell'unit\'a, cos\'i che $\epsilon$ 
%\'e essenzialmente il rapporto tra la differenza di potenziale misurata %(V(r)-
%V(a)) e la tensione applicata V(a).
\section{L'esperimento di Cavendish}
Cominceremo con l'esaminare l'esperimento effettuato da Cavendish, cos\`i come
lo descrive Maxwell nel suo libro.
\newline
\emph{Cavendish fiss\'o una sfera conduttrice ad un supporto isolante, e poi due
semisfere conduttrici cave, munite di due manici di vetro, a due gabbie di
legno con un cardine in comune, in modo tale che le due semisfere, quando
le due gabbie di legno venivano fatte combaciare, venivano a formare un
unico guscio sferico isolato, concentrico con la sfera. Tra quest'ultima
e le due semisfere poteva poi essere stabilito un contatto elettrico
tramite un filo conduttore molto corto, a cui era fissato un filo di seta,
in modo tale che il filo conduttore poteva essere rimosso senza modificare
alcuna delle cariche sulle sfere.}
\newline
\emph{Mantenendo la sfera in contatto elettrico con le due semisfere, Cavendish
trasmise alle due semisfere una carica elettrica facendo uso di una bottiglia
di Leida, il cui potenziale era stato in precedenza misurato mediante
un elettrometro. Egli rimosse subito dopo il filo che teneva in contatto
elettrico le semisfere con la sfera (facendo uso del filo di seta) rimosse
le due semisfere e le fece scaricare (collegandole a massa). Infine verific\'o
la carica elettrica della sfera, utilizzando un secondo elettrometro. Questo
non indic\'o alcuna carica elettrica.}
\newline
Notiamo per inciso che, essendo in tale esperimento il guscio esterno
stato rimosso e portato a grande distanza dalla sfera, il potenziale della
sfera interna (che era quella di raggio minore, b) dopo l'allontanamento 
del guscio era, in virt\'u delle equazioni (\ref{eq:va}, \ref{eq:vb}), 
dato da $V_b=Q_b/2 b^2 f(2b)$ dove $Q_b$ \'e la carica acquistata dalla
sfera interna, data dalla~\ref{eq:Qb}.
\newline
\emph{Cavendish successivamente comunic\'o alla sfera una frazione nota della carica inizialmente trasmessa alle semisfere e misur\'o nuovamente 
la carica  posseduta dalla sfera, mediante l'elettrometro.}
\newline
\emph{Trov\'o cos\'i che la carica acquistata dalla sfera nella prima
parte dell'esperimento
era inferiore ad 1/60 della carica dell'intero apparato poich\'e, se fosse
stata superiore, sarebbe stata rivelata dall'elettrometro.}
\newline
Seguendo Cavendish, ammettiamo ora che l'esponente nella legge di Coulomb non sia -2 ma $(-2+\epsilon)$, con $\epsilon \ll 1$. 
In tal caso, al primo ordine in $\epsilon$ il potenziale sar\'a dato da:
\[
U(r) \:=\: \frac{r^{-1+\epsilon}}{1-\epsilon}\:\approx\: r^{-
1+\epsilon}(1+\epsilon)
\]
ed:
\[f(r)\:=\:\int_{0}^{r}s U(s) ds \:=\: \int_{0}^{r} s s^{-1+\epsilon} 
(1+\epsilon) ds \:=\: r^{1+\epsilon}\:\approx\:r(1+\epsilon \ln r)
\]
dove l'ultimo passaggio \'e ottenuto sviluppando in serie di Taylor
il termine $r^{1+\epsilon}$.
Segue allora che il potenziale della sfera nella seconda
parte dell'esperimento (cio\'e dopo l'allontanamento delle semisfere) \'e
dato da:
\begin{equation}
V_b\:=\:\frac{1}{2} \frac{a}{a-b} V \epsilon [\ln \frac{4a^2}{a^2 -b^2} 
  -  \frac{a}{b}
 \ln \frac{a+b}{a-b}] \label{eq:vvb}
\end{equation}
dove si \'e fatto uso dell'equazione~\ref{eq:vb} con $Q_a=0$
e della~\ref{eq:Qb}.
Dalla~\ref{eq:vvb}  \'e poi possibile determinare $\epsilon$ a partire dai risultati dell'esperimento. Come si \'e gi\'a detto, ci\'o porta a $\epsilon < 1/21600$.

\section{L'esperimento effettuato al Cavendish Laboratory}
Come si \'e accennato l'esperimento fu ripetuto all'incirca un secolo
pi\'u tardi al Cavendish Laboratory, introducendo un certo numero
di ingegnosi accorgimenti che migliorarono considerevolmente
la precisione della misura.
Fra questi notiamo:
\begin{itemize}
\item{le semisfere erano tenute in posizione fissa attorno alla sfera. Anzich\'e
esser rimosse per misurare la carica (o il potenziale) della sfera, esse
venivano scaricate collegandole a massa}
\item{la carica eventualmente acquistata dalla sfera interna veniva misurata
introducendo uno dei due terminali dell'elettrometro in un piccolo foro
esistente in una delle semisfere; attraverso il medesimo foro passava
il corto filo conduttore che teneva, nella fase inziale, in contatto
elettrico le semisfere e la sfera}
\item{l'elettrometro adoperato (elettrometro a quadranti di Thomson) aveva
una sensibilit\'a maggiore di quello adoperato da Cavendish; inoltre l'involucro dell'elettrometro ed uno degli elettrodi erano tenuti collegati
a massa durante l'intera misura, mentre l'altro elettrodo era anch'esso tenuto collegato a massa fino al momento in cui il guscio esterno veniva scaricato}
\item{la calibrazione del sistema non era pi\`u effettuata dando
una carica nota alla sfera, ma utilizzando un sferetta (di bronzo) 
posta ad una certa distanza d dal sistema. Questa era inizialmente
caricata per induzione dalla carica posta sulle semisfere e poi,
nella fase finale dell'esperienza, si operava in modo che, sempre per induzione, essa modificasse il potenziale della sfera interna, 
come vedremo meglio in seguito}
\newline
\end{itemize}
Le operazioni eseguite erano:
\vspace{0.4 cm}
\begin{enumerate}

\item{ il guscio esterno veniva caricato (indicheremo con Q la sua carica e con a il suo raggio) mettendolo in contatto elettrico 
con una bottiglia di Leida. 
Il suo potenziale veniva quindi ad essere: $V_g=Q/(4 \pi \epsilon_0 a)$}

\item{la sferetta di bronzo veniva collegata a massa. 
Se indichiamo con $V_p$ il suo potenziale prima del collegamento 
($V_p = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 d}$) dove d \'e la distanza 
della sferetta dal centro della sfera S e dove si ammette un forza Coulombiana, dopo il collegamento a massa avremo:
\[
0 = V'_p = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 d}\:+\:\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r_p}
\] 
dove con q abbiamo indicato la carica acquistata dalla sferetta dopo
il collegamento a massa e 
con $r_p$  il suo raggio. Da tale relazione possiamo ricavare q: 
$q=-Q \frac{r_p}{d}$. 

Se il campo differisse da quello Coulombiano e parametrizzassimo tale deviazione come $E \propto r^{-2+\epsilon}$ 
avremmo: $V \propto r_p^{(-1+\epsilon)}/(1-\epsilon)$ e per q troveremmo un valore poco diverso: $\overline{q} = -Q \frac{r_p}{d}^{1-\epsilon}$.

Nell'esperimento effettuato q risult\`o essere circa -1/54 di Q}

\item{il filo di comunicazione tra la sfera ed il guscio veniva rimosso utilizzando il filo di seta. Indicheremo con $Q_g$ la carica posseduta dal guscio e con $Q_s$ quella della sfera (con $Q=Q_g+Q_s$)}

\item{il guscio veniva collegato a massa. 
Ora il potenziale del guscio verr\'a ad essere nullo, cio\'e:
\[ 
0\:=\:V'_g\:=\:\frac{Q_s+Q'_g}{4 \pi \epsilon_0 a} \:+\:\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 d}
\] 
dove abbiamo indicato con $Q'_g$ la nuova carica posseduta dal guscio dopo il collegamento a massa. Si valut\'o che questa fosse circa -1/9 della carica q posseduta dalla pallina di bronzo. Quindi: 
$Q'_g \approx \frac{1}{9 \times 54} Q = \frac{1}{486} Q$
Notiamo che, non essendovi pi\'u il collegamento elettrico tra sfera e guscio, $Q_s$ non pu\'o esser cambiato}

\item{a questo punto, l'elettrodo di prova veniva disconnesso dalla massa e, facendolo passare attraverso il forellino prima occupato dal filo, messo in contatto con la sfera. L'elettrometro non indicava alcuna deflessione. Ci\'o indica che la carica elettrica $Q_s$ posseduta dalla sfera \'e nulla, entro la precisione della misura. A questo punto \'e opportuno chiedersi quale sarebbe
stata la deflessione indicata dall'elettrometro in presenza di una
deviazione dalla legge $1/r^2$. A tale scopo \'e opportuno tornare alle
equazioni~\ref{eq:va} ed~\ref{eq:vb}. Poich\'e ora la sfera esterna \'e
collegata a massa, $V_a = 0$ e le equazioni, facendo uso del valore di 
$Q_b$ calcolato (la carica della sfera interna non pu\'o esser cambiata), 
ci danno:
\begin{equation}
V_b = V\left[1-\frac{a}{b} \frac{f(a+b)-f(a-b)}{f(2a)}\right] \label{eq:five}
\end{equation}
Usando per f(r) la medesima parametrizzazione adoperata nella sezione precedente, troveremo ora:
\begin{equation}
V_b = \frac{1}{2} V \epsilon [\ln \frac{4a^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{b}\ln \frac{a+b}{a-b}] \label{eq:cavendish}
\end{equation}
Facendo uso di tale espressione \'e possibile determinare $\epsilon$ a partire
dai risultati della misura.
\newline
In base alla relazione~\ref{eq:cavendish} e facendo uso dei dati sperimentali,
la deflessione misurata avrebbe dovuto essere proporzionale a:
\[
V_b=-0.1478 \epsilon V
\]
dove V era la tensione applicata inizialmente al guscio.}

\item{Occorre ora valutare la sensibilit\'a dell'apparato, cio\'e chiedersi:
quale potrebbe essere il massimo valore della carica posseduta dalla sfera,
non rivelabile con la precisione dell'elettrometro adoperato ? Nell'esperimento di Cavendish ci\'o veniva fatto, una volta allontanate le semisfere, comunicando alla sfera una carica nota. Tale procedimento introduce per\'o delle incertezze, poich\'e la carica comunicata alla sfera non \'e misurabile con grande precisione, ma anche perch\'e il processo di allontanamento delle semisfere dalla sfera pu\'o introdurre delle modifiche nello stato elettrico della sfera. Nel nuovo esperimento, per liberarsi di tali incertezze, si fece ricorso ad un nuovo metodo. Si disconnesse il guscio
dal collegamento di massa e si colleg\'o nuovamente la sferetta di bronzo a
massa. Notiamo che con tale operazione il potenziale della sferetta (che
\'e carica negativamente) subisce un incremento (va al potenziale di massa)
e ci\'o causa un aumento del potenziale del sistema semisfere-sfera. Tale
potenziale pu\'o ora essere misurato attraverso l'elettrometro collegato
alla sfera interna. Si trov\'o in effetti una deflessione positiva dell'elettrometro, D. Tale deflessione \'e una misura del potenziale della
sfera dopo l'ultima operazione che, come si pu\'o far vedere, \'e dato da:
$V'_s = Q'_s/(4 \pi \epsilon_0 a)$ che \'e circa 1/486 di V.
In altri termini, per la deflessione osservata nella prima parte dell'esperimento si trova:
\[
0.1478 \epsilon V < D_{min}
\]
dove $D_{min}$ \'e la minima deflessione osservabile;
\newline
e per quella osservata nella misura di calibrazione:
\[
1/486 V = D
\]
dividendo membro a membro si trova:
\[
\frac{0.1478 \epsilon V}{1/486 V} < \frac{D_{min}}{D}
\]
cio\'e:
\[
\epsilon < \frac{1}{72} \frac{D_{min}}{D}
\]
Nell'esperimento, D era sempre maggiore di 300 volte $D_{min}$, per cui:
\[
\epsilon < \frac{1}{72 \times 300} = \frac{1}{21600}
\]
}
\end{enumerate}
Notiamo che il risultato finale non dipende dalla conoscenza di V, cio\'e della carica impressa inizialmente al guscio sferico.

\section{L'esperimento di Plimpton e Lawton}
L'esperimento di Cavendish, ripetuto poi da Maxwell, era limitato in sensibilit\'a da due effetti. Il primo di questi era legato al fatto che una eventuale carica acquistata dalla sfera interna avrebbe avuto una durata
necessariamente piccola, a causa della "ionizzazione spontanea". Il secondo, pi\'u serio del primo, era costituito dal potenziale di contatto tra elettrodi
e sfera, che limitava la minima tensione rivelabile a circa 0.001 Volt.
\newline \indent
Per tali motivi, un nuovo esperimento fu effettuato nel 1936 da S.J. Plimpton e W.E. Lawton\cite{kn:plimpton}. In tale esperimento la misura del potenziale della sfera interna era effettuata in modo continuo, via via che si modificava
il potenziale della sfera esterna. Il voltmetro era quindi tenuto costantemente in contatto con la sfera interna. A tale scopo, esso era posto all'$\emph interno$ della sfera esterna. La lettura del voltmetro veniva effettuata otticamente dall'esterno. Lo schema dell'apparato utilizzato \'e mostrato in figura~\ref{fig1}.
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=plim1.eps,width=14 cm,height=6 
cm,angle=0.5}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{fig1}
\end{figure}
Il telescopio mostrato in figura viene adoperato per leggere, facendo uso di uno specchio, attraverso un foro praticato nella sfera esterna A, l'indicazione del voltmetro collegato alla sfera interna B. Quest'ultima \'e in realt\'a una semisfera, chiusa ad un'estremit\'a dall'involucro del voltmetro. Gli autori hanno dimostrato che questa modifica della geometria non
altera le formule utilizzate per analizzare l'esperimento di Cavendish. Dando cio\'e alla sfera esterna un potenziale V, la differenza di potenziale tra questa e quella interna sar\'a data dall'espressione~\ref{eq:cavendish} con
il segno cambiato. Indicando con n il rapporto a/b dei raggi, tale differenza di potenziale pu\'o essere scritta nella forma:
\begin{equation}
\epsilon V\:F(a,b)\:=\:\epsilon V \:\left[\frac{n}{2}\ln\frac{n+1}{n-1}\:-\:\frac{1}{2}\ln \frac{4n^2}{n^2-1}\right] \label{eq:vnew}
\end{equation}
La presenza del foro nella sfera esterna avrebbe alterato il risultato. Per questo il foro era chiuso da un sottile cerchietto di vetro e, nella cavit\'a restante nel metallo al di sopra del vetro, veniva posta una soluzione di sale
in acqua, tale quindi da garantire la continuit\'a della superficie conduttrice. 
\newline \indent
La tensione applicata alla sfera esterna veniva fatta variare in modo sinusoidale, con una frequenza di circa 2 Hz, che era anche la frequenza propria del voltmetro adoperato. In tal modo, un eventuale segnale avrebbe dato luogo ad una risonanza nella risposta del voltmetro, in corrispondenza alla frequenza propria di questo. 
Il rumore termico, che ha invece uno spettro piatto in frequenza, non avrebbe potuto dar luogo ad un segnale apprezzabile. Tale sistema consentiva quindi di ridurre fortemente l'effetto del rumore termico nella risposta del voltmetro.
\newline \indent
La calibrazione del sistema, cio\'e la risposta ad un segnale di tensione noto, applicato tra la sfera esterna e quella interna, veniva effettuata facendo uso dello schema indicato in figura~\ref{fig2}. La sfera esterna
veniva messa a massa ed una frazione nota $r/(r+R)$ della tensione sinusoidale veniva applicata alla sfera interna. Nella misura l'ampiezza del segnale di tensione applicato era tipicamente di 3000 V. La lettura del voltmetro dava consistentemente risultati di circa $1 \mu V$. 
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=plim2.eps,width=13.5 cm,height=8
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{fig2}
\end{figure}
Nell'esperimento i raggi a e b erano rispettivamente di 2.5 piedi e 2.0 piedi
(76.2 cm e 60.96 cm), per cui n=1.25 e F(a,b)=0.169. La disuguaglianza:
\[
\epsilon \: V \:F(a,b) \: < \:v
\]
con V=3000 Volt e $v=10^{-6}$ Volt, ci da:
\[
\epsilon \: < \: \frac{10^{-6}}{3000 \cdot 0.169} \: \approx 2 \: 10^{-9}
\]
Come vediamo, questo risultato rappresent\'o un miglioramento di circa 5 ordini di grandezza rispetto a quello di Maxwell; ma sopratutto esso svilupp\'o una nuova tecnica sperimentale nella verifica della legge di Coulomb, suscettibile di ulteriori miglioramenti, che in effetti si ebbero agli inizi degli anni '70. Di tali ulteriori sviluppi ci occuperemo nelle prossime sezioni.

\section{L'esperimento di Bartlett, Goldhagen e Phillips}
Nell'esperimento di Plimpton e Lawton un potenziale variabile in modo sinusoidale era applicato alla sfera esterna ed il segnale cercato era una differenza di potenziale tra la sfera esterna e quella interna. Tale procedimento era l'equivalente di quello adoperato da Cavendish, di allontanare le due sfere una volta caricata quella esterna.
\newline \indent
Indicando anche ora con a e b i raggi delle due sfere (con $a > b$), 
un valore di $\epsilon$ diverso da zero implicherebbe un valore non nullo di:
\[
\frac{V(b)-V(a)}{V(a)} \:= \: \epsilon \: M(a,b)
\]
con:
\[
M(a,b)\:=\:\frac{1}{2}\left[ \frac{a}{b} \: \ln \frac{a+b}{a-b}\:-\: \ln \frac{4a^2}{a^2-r^2} \right]
\]
Notiamo che M(a,b) \'e un numero dell'ordine dell'unit\'a, quindi $\epsilon$ \'e essenzialmente il rapporto tra la differenza di potenziale misurata e la tensione applicata V(a).
\newline \indent
Nell'esperimento di Bartlett et al.~\cite{kn:bartlett}, pubblicato nel 1970, la struttura adoperata consisteva di cinque sfere concentriche. Alle due pi\'u esterne veniva applicata una differenza di potenziale alternata mentre il segnale cercato era una differenza di potenziale, in fase con la prima, tra le due sfere pi\'u interne. La sfera intermedia serviva da schermo tra i due gruppi. La tabella fornisce le caratteristiche geometriche delle sfere.
\[
\begin{tabular}{|l|l|c|c|}   \hline \hline
\emph{Numero sfera} & \emph{Materiale} & \emph{diametro medio (m)} & \emph{spessore (cm)} \\ \hline
4 & alluminio & 2.96 & 0.06 \\ \hline
3 & acciaio & 1.10 & 5 \\ \hline
S & rame & 1.00 & 0.19 \\ \hline
2 & alluminio & 0.91 & 0.17 \\ \hline
1 & alluminio & 0.76 & 0.14 \\
\hline \hline
\end{tabular}
\]
Lo scopo di questa geometria era quello di ridurre il rumore elettronico presente all'ingresso dell'amplificatore adoperato per la rivelazione del segnale. Infatti le due sfere interne costituiscono un condensatore che, nella configurazione adoperata risulta in parallelo tra i terminali d'ingresso dell'amplificatore. Tale condensatore costituisce un corto circuito per il
segnale di rumore che, avendo uno spettro di frequenze piatto, ha componenti
a tutte le frequenze. Pi\'u precisamente, l'impedenza offerta dal condensatore va come l'inverso della frequenza ed \'e quindi molto bassa alle alte frequenze. Il segnale cercato ha invece la frequenza della tensione sinusoidale applicata. 
\newline \indent
Si pu\'o dimostrare che, con la geometria adoperata, si ha la seguente relazione tra le differenze di potenziale:
\begin{equation}
\frac{V_2-V_1}{V_3-V_4}\:=\:\epsilon \left[ \frac{r_4}{r_4-r_3}\:(M(r_3,r_2)-M(r_3,r_1))\:-\:\frac{r_3}{r_4-r_3}(M(r_4,r_2)-M(r_4,r_1))\right] \label{eq:new}
\end{equation}
dove $r_1, r_2, r_3, r_4$ sono i raggi delle quattro sfere indicate nella
tabella e $V_1, V_2, V_3, V_4$ i rispettivi potenziali.
La funzione M(a,b) \'e la stessa data pi\'u su. Con i dati numerici scelti nell'esperimento, il coefficiente di $\epsilon$ a secondo membro di questa
equazione vale -0.077.
\newline \indent
Come accennato, la misura della differenza di potenziale $V_2-V_1$ veniva effettuata $\emph in fase$ con quella applicata $V_3-V_4$ (utilizzando un amplificatore ad aggancio di fase o "lock-in amplifier"). Per effettuare
la misura in fase occorre che un segnale in fase con quello della tensione
applicata sia trasmesso all'amplificatore, che nell'esperimento era posto
dentro la sfera pi\'u interna. Per evitare complicazioni connesse con il
passaggio di cavi e segnali elettrici, si fece ricorso ad un segnale luminoso modulato. Questo
era generato da una lampada al neon, modulata dallo stesso segnale adoperato
per modulare l'alta tensione applicata alle sfere (3-4). Il pennello luminoso
passava attraverso forellini praticati nelle sfere ed andava a colpire un
fotodiodo posto in prossimit\'a dell'amplificatore ad aggancio di fase. Il segnale all'uscita del fotodiodo veniva poi inviato all'ingresso dell'amplificatore.
\newline \indent
La calibrazione del sistema era effettuata facendo si che una frazione nota
$(10^{-12})$ del segnale di alta tensione applicato alle sfere (3-4) fosse
trasmesso alle sfere (1-2). Dati furono presi a due frequenze: 250 Hz (con un'ampiezza rms di tensione di 70 kV) e 2500 Hz (con un'ampiezza rms di tensione di 40 kV). Dai dati si trov\'o:
\[
|\frac{V_2-V_1}{V_3-V_4}|\leq \frac{0.4 \:nV}{40\:kV}\:=\:10^{-14}
\]
da cui, facendo uso della~\ref{eq:new} si ottenne poi:
\[
|\epsilon| \leq 1.3\:10^{-13}
\]
un risultato quattro ordini di grandezza migliore di quello di Plimpton e Lawton.
\section{L'esperimento di Williams, Faller e Hill}
Il tentativo di rivelare una possibile deviazione della legge di Coulomb dall'andamento $1/r^2$ fu proseguito da E.R. Williams, J.E. Faller e H.A. Hill\cite{kn:bartlett}, che nel 1971 pubblicarono un risultato tre ordini di grandezza migliore di quello ottenuto da Bartlett et al. l'anno precedente. 
L'apparato utilizzato, mostrato in figura~\ref{fig3}
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=wilm1.eps,width=8 cm,height=14.5 
cm,angle=0.5}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{fig3}
\end{figure}
era molto simile a quello adoperato da Bartlett e, come questo, consisteva di
cinque gusci conduttori concentrici, approssimativamente sferici (erano degli icosaedri). Il segnale, ad una frequenza di 4 Mhz, era applicato al circuito oscillante LC, dove L \'e un'induttanza e C la capacit\'a costituita dai due
gusci pi\'u esterni (4-5). Il segnale \'e prelevato ai capi dell'induttanza
posta tra i gusci pi\'u interni (1-2), facendo uso anche qui di un amplificatore ad aggancio di fase. Il segnale di fase, prelevato ai
capi dei due gusci pi\'u esterni, \'e trasmesso all'interno del guscio 1, dove
\'e posto l'amplificatore, sotto forma di segnale luminoso trasmesso da una fibra ottica accoppiata ad un fotomoltiplicatore. Il segnale di fase \'e inoltre ritardato in modo continuo, ad un rate di 720 gradi/ora $(\phi'=\omega' t$ prima di essere inviato all'amplificatore. In tal modo si
si ha un'ulteriore riduzione del rumore, poich\'e il segnale cercato deve 
presentarsi in corrispondenza al valore corretto del ritardo di fase. Il rumore sar\'a invece presente in corrispondenza a tutti i valori del ritardo
di fase.
\newline \indent
L'uscita dell'amplificatore ad aggancio di fase \'e filtrato, inviato ad un convertitore tensione-frequenza e trasmesso all'esterno del sistema attraverso
una seconda fibra ottica. Il segnale (di frequenza) all'uscita della fibra \'e poi convertito nuovamente in un segnale digitale facendo uso di un contatore. 
La calibrazione del sistema era effettuata anche in questo caso inviando un
segnale di ampiezza nota all'interno del sistema, fino all'amplificatore. A tale scopo si faceva uso di una seconda fibra ottica.
\newline \indent
Il grafico a sinistra in figura~\ref{fig4} mostra l'andamento del segnale all'uscita dell'amplificatore ad aggancio di fase in funzione della fase $\omega' t$, quando un segnale di calibrazione di circa $4\:10^{-10}$~Volt \'e applicato tra i gusci interni (1-2). Si vede chiaramente l'incremento del segnale in
corrispondenza di valori della fase che differiscono tra loro di $2 \pi$.
\newline \indent
Il grafico a destra in figura~\ref{fig4} mostra il risultato finale dell'esperimento. Ciascuno dei punti sperimentali \'e la media di 120 misure indipendenti. Come si nota, non 
c'\'e alcuna evidenza di un andamento sinusoidale analogo a quello mostrato
nella parte sinistra della figura. La curva sovrapposta ai dati sperimentali rappresenta un fit ai dati mediante una sinusoide avente frequenza angolare
$\omega'$. Il risultato dell'esperimento, espresso come deviazione dalla
legge di Coulomb tramite la parametrizzazione usata in precedenza, \'e:
\[
\epsilon \:=\: (2.7 \pm 3.1)\:10^{-16}
\]
\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=wilm2.eps,width=14 cm,height=6 
cm,angle=-0.5}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{fig4}
\end{figure}
\section{Legge di Coulomb e massa del fotone}
Si \'e visto come una possibile deviazione dalla forma $1/r^2$ della legge
di Coulomb sia stata, fin dai tempi di Maxwell, parametrizzata introducendo
il parametro $\epsilon$. Un parametro fisicamente pi\'u significativo, legato
alla medesima deviazione dalla legge di Coulomb \'e quello che \'e noto
come "massa del fotone". Vediamo quale sia il ruolo di tale parametro in
elettrostatica. 
\newline \indent
Consideriamo un'onda elettromagnetica ed esaminiamo l'andamento spazio-temporale del campo elettrico associato:
\[
\vec{E}\:=\:\vec{E_0} e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)}
\]
dove $\vec{k}$ \'e il vettore d'onda, il cui modulo vale:
\[
k\:=\:\frac{2 \pi}{\lambda}
\]
Inoltre \'e:
\[
\omega \:=\:2 \pi \nu \:\:\:;\:\:\:\lambda\:=\:c/\nu
\]
per cui:
\[
k\:=\:\frac{2 \pi \nu}{c}
\]
e quindi:
\[
(\frac{\omega}{c})^2\:-\:k^2\:=\:0
\]
Il fatto che tale grandezza sia nulla \'e legato al fatto che i segnali elettromagnetici (i fotoni) si propagano alla velocit\'a della luce c. In
effetti, seguendo De~Broglie, possiamo associare al fotone di frequenza
angolare $\omega$ e lunghezza d'onda $\lambda$, un'energia ed una quantit\'a di moto dati da:
\[
\Ene \: = \: h \nu
\]
\[
P \: = \: h/ \lambda
\]
dove h \'e la costante di Planck. La massa relativistica di una particella
\'e data da:
\[
m^2\:=\:(\frac{\Ene}{c})^2\:-\:P^2
\]
e, nel nostro caso, avremo:
\[
m^2\:=\:h^2\:\left[\frac{\nu^2}{c^2}-\frac{1}{\lambda^2}\right]\:=\:\frac{h^2}{4 \pi^2}\:\left[\frac{\omega^2}{c^2}\:-\:k^2\right]\:=\:0
\]
Se ammettiamo ora che $m^2$ sia piccolo ma non nullo, la relazione tra k ed $\omega$ diventa:
\[
\frac{\omega^2}{c^2}\:=\:k^2+\frac{m^2}{\hbar^2}
\]
con:
\[
\hbar\:=\:\frac{h}{2 \pi}
\]
ponendo poi:
\[
\frac{m^2}{\hbar^2}\:=\:\mu^2
\]
questa diventa:
\[
\frac{\omega^2}{c^2}\:=\:k^2\:+\:\mu^2
\]
\[
\omega\:=\:c\:\sqrt{k^2+\mu^2}
\]
La velocit\'a della particella sar\'a ora:
\[
v_g\:=\:\frac{d\omega}{dk}\:=\:c \:\frac{k}{\sqrt{k^2+\mu^2}}\:=\:\frac{c\sqrt{\omega^2-\mu^2 c^2}}{\omega}
\]
Nel caso statico ($\omega=0$), avremo:
\[
k^2\:=\:-\mu^2
\]
cio\'e:
\[
|k|\:=\:i \mu
\]
e l'quazione d'onda diventa:
\[
e^{i(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t)} \rightarrow e^{-|\mu|r}
\]
il che implica un decadimento esponenziale del campo statico, con un range
pari a $1/\mu$. Nel caso di una carica puntiforme il campo andr\'a quindi come
\[
\frac{e^{-\mu r}}{r^2}
\]
ed il potenziale come:
\[
\frac{1}{r}\:e^{-\mu r}
\]
Possiamo ancora verificare, passando a coordinate polari, che l'equazione
di Laplace diventa ora:
\[
\nabla^2 V\:=\: \frac{1}{r^2}( \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial V}{\partial r})) \: = \: \frac{1}{r^2}( \frac{\partial}{\partial r}\left[-(1+\mu r) e^{-\mu r}\right] \: = \: \frac{1}{r^2}\left[ \mu^2 r e^{-\mu r} \right] \: = \: \frac{\mu^2}{r}\:e^{-\mu r}\:=\:\mu^2 V
\]
cio\'e
\[
\nabla^2 V - \mu^2 V \:=\: 0
\]
A partire da tale risultato si pu\'o far vedere~cite{kn:gold} che, indicando con $V_a e V_b$ i potenziali di due gusci sferici concentrici di raggi a e b,
la differenza $\Delta V = |V_a - V_b|$ \'e data da:
\[
\frac{|V_a - V_b|}{V_a}\:=\:\frac{\Delta V}{V}\:=\:\frac{1}{6}\mu^2 \:(a^2-b^2)
\]
dove, nell'esperimento di Plimpton e Lawton il membro di sinistra vale:
\[
\frac{\Delta V}{V}\:<\: 3\:10^{-10}
\]
essendo poi a=2.5' e b=2.0', si ottiene:
\[
\mu^2\:<\:9.56\:10^{-13}\:\:cm^{-2}
\]
ovvero:
\[
\mu \:<\: 10^{-6}\:\:cm^{-1}
\]
In fisica, energie e masse si misurano in elettron-volt (eV), dove:
\[
1 eV\:=\:50.7\:10^3\:cm^{-1}
\]
\[
1\:cm^{-1}\:=\:1.973\:10^{-5}\:eV
\]
Si ha quindi:
\[
\mu \:<\: 1.93\: 10^{-11}\:eV
\]
Per confronto, si pensi che la massa dell'elettrone \'e circa 511 eV.
Un ulteriore esperimento, effettuato nel 1985, ha verificato la validit\'a della legge di Coulomb a basse temperature (1.36 K). Senza entrare nei
dettagli di tale esperimento, che f\'u analizzato in termini del parametro
$\mu$, ci limiteremo a menzionare il limite da esso ottenuto:
\[
\mu \:<\:(9.0\pm 8.1) \:10^{-10}\:eV
\]





\section{Sommario e conclusioni}
Le verifiche sperimentali della legge di Coulomb che abbiamo descritto, sono proseguite negli anni successivi ed hanno migliorato ulteriormente i limiti
sul parametro $\epsilon$. Notiamo per inciso come il miglioramento in sensibilit\'a degli esperimenti abbia seguito lo sviluppo di nuovi metodi e tecniche di laboratorio: amplificatori ad aggancio di fase, fibre ottiche, elettronica a basso rumore etc. Come accennato nella sezione precedente, le  misure pi\'u recenti hanno per\'o concentrato l'attenzione su quella che \'e considerata una manifestazione indiretta della deviazione: la
presenza di una massa diversa da zero del fotone che, in elettrodinamica
quantistica, rappresenta il $\emph mediatore$ della forza elettromagnetica.
In altre parole, secondo l'elettrodinamica quantistica, una deviazione della
legge di Coulomb dall'andamento $1/r^2$ sarebbe evidenza di una massa diversa
da zero del fotone. Per tale motivo tutti gli esperimenti pi\'u moderni sono
stati analizzati in termini della massa $\mu$ del fotone.
\newline \indent
Il grafico che segue mostra l'andamento, in funzione del tempo (misurato in anni) del limite sul parametro $\epsilon$.

\section{Appendice}
Sia F(r) la forza elettrica tra due cariche unitarie. Possiamo allora definire
il potenziale U(r):

\[
U(r)\:=\:\int_{r}^{\infty} F(s) ds
\]
Definendo poi la funzione:
\[
f(r)\:=\:\int_{0}^{r} s U(s) ds
\]
avremo:
\[
\frac{df}{dr}\:=\:f'(r)\:=\:r U(r)
\]
Sia ora Q una carica distribuita in modo uniforme sulla superficie di un 
sottile guscio sferico di raggio a. Indichiamo con $\sigma$ la densit\'a 
superficiale di carica:
\[
Q\:=\: 4 \pi a^2 \sigma
\]
,con b la distanza di un generico punto P dal centro O del guscio sferico e 
con R la distanza di P dal generico punto del guscio. Adottiamo un sistema di
coordinate polari con origine nel punto O e con asse z la direzione del
segmento $\overline{OP}$; avremo:
\begin{equation}
R^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos \theta \label{eq:rsquared}
\end{equation}
La carica posseduta da un elemento di superficie del guscio sferico sar\'a:
\[
dq = \sigma a^2 sin\theta d\theta d\phi
\]
ed il potenziale che essa genera nel punto P:
\[
 \sigma a^2 sin\theta d\theta d\phi U(R)\:=\: \sigma a^2 sin\theta 
 d\theta d\phi \frac{f'(R)}{R}
\]
Integrando questa rispetto a $\phi$ tra 0 e $2 \pi$, si ha:
\begin{equation}
2 \pi \sigma a^2 sin\theta \frac{f'(R)}{R} d\theta \label{eq:dv}
\end{equation}
che deve ancora essere integrata rispetto a $\theta$. Per far ci\'o conviene
differenziare la~\ref{eq:rsquared}:
\[ 
R dR \:=\: a b sin\theta d\theta
\]
da cui:
\[
\frac{sin\theta d\theta} {R }\:=\:\frac{dR}{ab}
\]
sostituendo questa nella~\ref{eq:dv}:
\[
2 \pi \sigma a^2 \frac{dR}{ab} f'(R)\:=\:2 \pi \sigma \frac{a}{b} f'(R) dR
\]
il cui integrale rispetto a $\theta$ \'e:
\[
V\:=\: 2 \pi \sigma \frac{a}{b} [f(R_1)-f(R_2)]
\]
dove $R_1$ \'e il massimo valore che R pu\'o assumere (cio\'e a+b) ed $R_2$ 
\'e il minimo valore, che \'e (b-a) se il punto P \'e esterno al guscio ed
\'e (a-b) se il punto P \'e interno al guscio.
\newline
In termini della carica totale Q del guscio, per un punto esterno al guscio
questa diventa:
\[
V\:=\: \frac{Q}{2ab}[f(b+a)-f(b-a)]
\]
e, per un punto sul guscio:
\[
V\:=\: \frac{Q}{2a^2}f(2a)
\]
Mentre per un punto all'interno del guscio:
\[
V\:=\: \frac{Q}{2ab}[f(a+b)-f(a-b)]
\]

\newcommand{\Wiley}{John Wiley \& Sons\ }
\newcommand{\PH}{Prentice Hall\ }

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{kn:coulomb} A. Coulomb "Memoires de l'Academie Royale des Sciences"
, Volume del 1785, pag. 569
\bibitem{kn:priestley} J. Priestley "The History and Present State
of Electricity with Original Experiments" (Londra, 1767) Vol. 2, Parte VIII,
Sezione XVI, Sub. XV. La terza edizione \'e stata ristampata da Johnson
Reprint Corp., New York (1966). Vedere Vol. II, p. 374
\bibitem{kn:robinson} J. Robinson, 1803; articolo su "Electricity" nella
Encyclopaedia Britannica (Thompson Boner, Parliament Square, Edinburgh),
$3^a$ edizione, Vol. 19, Supp. Vol I, page 558. Vedere anche pagine 578-580.
\bibitem{kn:maxwell} J.C. Maxwell "A treatise on Electricity and Magnetism";
(Oxford University Press) Vol. I, $3^a$ edizione del 1891. Ristampato da
Clarendon Press - Oxford; pag. 80.
\bibitem{kn:laplace} Laplace f\`u il primo a dimostrare che nessuna funzione
della distanza eccetto quella dell'inverso del quadrato, soddisfa la condizione che un guscio sferico di massa non eserciti alcuna forza al
proprio interno. Laplace Mec. Cel. I. 2.
\bibitem{kn:photon} Andrebbe per completezza aggiunto che, in elettrodinamica
quantistica, la deviazione dal valore -2 dell'esponente nella legge di 
Coulomb \'e legata ad una eventuale massa del fotone. Gli esperimenti
che hanno posto dei limiti superiori sulla massa del fotone verificano
implicitamente eventuali deviazioni dalla legge di forza di Coulomb; questi
hanno sensibilit\'a considerevolmente maggiori di quelli che cercano di
verificare direttamente la validit\'a della legge di Coulomb. Di ci\'o discuteremo pi\'u avanti.
\bibitem{kn:plimpton} S.J. Plimpton e W.E. Lawton; Physical Review 50, 1066, 1936
\bibitem{kn:bartlett} D.F. Bartlett, P.E. Goldhagen e E.A. Phillips; Physical Review D2, 483, 1970
\bibitem{kn:williams} E.R. Williams, J.E. Faller e H.A. Hill; Physical Review Letters, 26, 721, 1971
\bibitem{kn:gold} A. S. Goldhaber e M.M. Nieto; Reviews of Modern Physics, 43, 277, 1971
\end{thebibliography}


\tableofcontents

%
%\begin{listoftables}
%\end{listoftables}

\end{document}


