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\documentstyle[12pt,epsfig]{article}
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\textwidth=15cm
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\evensidemargin=-0.2in
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\bibliographystyle{unsrt}
\newcommand{\gnat}{\mbox{$\overline{w(t)^{2}}$}}
\begin{document}
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\title{\bf Misure sull'effetto Doppler acustico}
\author{\small }
\author{V. F.}
\date{}
 
\maketitle

Apparato sperimentale: due altoparlanti uguali fissati alle due estremit\'a di 
un'asta che ruota attorno ad un asse verticale passante per il suo centro.

Gli altoparlanti sono eccitati da un segnale sinusoidale la cui frequenza 
($f_0$) pu\'o essere fatta variare. I piani degli altoparlanti sono verticali.

A qualche metro di distanza dagli altoparlanti \'e posto un microfono, la cui 
uscita \'e collegata ad un oscilloscopio.

L'emissione dell'onda da parte degli altoparlanti ha luogo solo nel breve 
intervallo di tempo in cui l'asta che li fa ruotare viene ad essere 
perpendicolare alla congiungente l'asse di rotazione con il microfono.

In quel medesimo istante, un opportuno circuito genera un impulso elettrico
(segnale di trigger) che viene inviato all'ingresso di trigger 
dell'oscilloscopio.

Il microfono ''vede'' il segnale acustico emesso dall'altoparlante la cui
velocit\'a u \'e diretta verso di esso, ad una frequenza $f_1$ pi\'u elevata
di quella del generatore ($f_0$) e quello emesso dall'altoparlante che si 
allontana (con la medesima velocit\'a) ad una frequenza $f_2$ pi\'u bassa.

Sull'oscilloscopio si vedranno allora i ''battimenti'' tra le due onde.

\vspace{1 cm}

Misure effettuate sulla geometria e velocit\'a angolare del sistema:

Raggio (distanza altoparlante-asse di rotazione): $53.5 \pm 0.3~cm$

Giri/minuto: $42 \pm 1$, da cui: $f_r = 0.72 \pm 0.02~s^{-1}$

Velocit\'a: $u\:=\:2 \pi f_r R\:=\:2.41 \pm 0.068~m s^{-1}$

Effetto Doppler:

\[
f_1\:=\:\frac{f_0}{1-\frac{u}{v}}
\]

\[
f_2\:=\:\frac{f_0}{1+\frac{u}{v}}
\]

da cui:

\[
v\:=\:u\frac{f_1 f_2}{f_0}\frac{1}{f_1-f_2}
\]

Notiamo che il termine moltiplicativo:
\[
\frac{f_1 f_2}{f_0}
\]
differisce molto poco da $f_0$ (che \'e fissato in ogni misura). Ne segue che
l'errore sul risultato finale \'e essenzialmente determinato dall'errore
sul termine $f_1-f_2$.

Le misure sono state effettuate acquisendo la forma d'onda con un oscilloscopio
digitale (vedi ad esempio le figure~\ref{beats} e~\ref{beats1}) e calcolando poi 
la trasformata di Fourier. Una tipica trasformata
(spettro di frequenze) \'e quella mostrata in figura~\ref{double_peak}. Non si 
\'e tenuto conto degli errori sulla determinazione di $f_1$ ed $f_2$, che sono 
tutt'altro che trascurabili.

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=beats.eps,width=8.0 cm,height=8 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{beats}
\end{figure}


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=beats1.eps,width=8.0 cm,height=8 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{beats1}
\end{figure}


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=double_peak.eps,width=8.0 cm,height=8 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{double_peak}
\end{figure}


Prima serie di misure: frequenza con sorgente ferma:  
\begin{center}
$f_0=6500~Hz$.

\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline
$f_1$ & $f_2$ & $f_1-f_2$ & u (m/s) \\ \hline
 
6543 & 6448 & 95 & 327 \\
6543 & 6459 & 84 & 371 \\
6557 & 6442 & 115 & 271 \\
6541 & 6468 & 73 & 427 \\
6547 & 6462 & 85 & 367 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{1 cm}
Nuova serie di misure:

\begin{center}
$f_0=4717~Hz$.

\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline
$f_1$ & $f_2$ & $f_1-f_2$ & u (m/s) \\ \hline
4770 & 4695 & 75 & 303 \\
4773 & 4700 & 73 & 313 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
Conviene lavorare a frequenze pi\'u alte. Infatti la differenza $f_1-f_2$ 
aumenta all'aumentare della frequenza. 

Scegliamo:

\begin{center}
$f_0=9259~Hz$.

\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline
$f_1$ & $f_2$ & $f_1-f_2$ & u (m/s) \\ \hline
 
9301 & 9155 & 146 & 302 \\
9278 & 9165 & 113 & 390 \\
9287 & 9153 & 134 & 329 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}

\begin{center}
Media di tutte le misure: $340~m/s$
\end{center}


Il metodo adoperato non \'e molto preciso. L'errore \'e dominato dall'incertezza 
sulla misura di $f_1-f_2$ (che \'e pari a circa il 15%). 

Un metodo alternativo, intrinsecamente pi\'u preciso, \'e quello che consiste 
nel contare il numero di periodi dell'onda a frequenza $f_1+f_2$ presenti in un 
periodo dell'onda a frequenza $f_1-f_2$.

Infatti, il segnale rivelato dal microfono, nell'ipotesi di uguali ampiezze
emesse dai due altoparlanti, \'e dato da:

\[
A(t)\:=\:2 A_0 cos(2 \pi \frac{f_1+f_2}{2}t)\cdot cos(2 \pi \frac{f_1-f_2}{2}t)
\]

La durata di un battimento \'e:
\[
T_0\:=\:\frac{1}{f_1-f_2}
\]
Nel tempo $T_0$ il numero N di oscillazioni alla frequenza $(f_1+f_2)/2$ \'e
dato dal rapporto tra $T_0$ e $t_0$, dove:
\[
t_0\:=\:\frac{1}{f_1+f_2}
\]
Ne segue che:
\[
N\:=\:\frac{f_1+f_2}{f_1-f_2}
\]
Sostituendo a $f_1$ ed $f_2$ le loro espressioni, otteniamo:

\[
v\:=\: N \:u
\]
In una tipica misura si \'e ottenuto: $N=136 \pm 1$. Di qui si ha:

\[
v\:=\:(136 \pm 1)\cdot (2.41 \pm 0.068~m s^{-1})\:=\:(327 \pm 10)~m s^{-1}
\]
\end{document}
