\documentstyle[11pt,epsfig]{article}
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\begin{document}
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\title{\bf Considerazioni energetiche sui circuiti percorsi da corrente e legge di Faraday}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle

\section{Energia potenziale associata ad un circuito in un campo B}
Abbiamo gi\'a visto che l'energia potenziale meccanica di un circuito
percorso da corrente, immerso in un campo d'induzione magnetica B \'e
data da:
\
\begin{center}
\begin{equation}
W\:=-i\phi=-i\int_{S}\vec{B} \cdot \vec{ds} 
\end{equation}
\end{center}
dove $\vec{ds}$ \'e orientato secondo la regola della mano destra.

Quindi, dovendosi il circuito orientare fino a raggiungere una configurazione
di energia minima, esso si disporr\'a in modo tale che $\phi$ sia massimo,
cio\'e con $\vec{B}$ parallelo a $\vec{ds}$.
Poich\'e nel computo dell'energia occorre in realt\'a tener conto anche del
lavoro compiuto del generatore che mantiene costante la corrente, e poich\'e
tale lavoro, come si vedr\'a pi\'u avanti, risulta di segno opposto a quello 
fatto per spostare il circuito
e doppio di questo, \'e opportuno ridefinire l'energia meccanica come:
\begin{equation}
U\:=\:-W\:=\:i\:\int_{S}\vec{B} \cdot \vec{ds} 
\end{equation}
Se ora facciamo uso della definizione del potenziale vettore $\vec{A}$:
\[
\vec{B}\:=\:\vec{\nabla}\times \vec{A}
\]
avremo:
\begin{equation}
W\:=\:i\:\int_{S}\:\vec{\nabla}\times \vec{A}\cdot \vec{ds}\:=\:i\:\oint 
\vec{A} \cdot \vec{dl}
\end{equation}
dove l'integrale \'e effettuato lungo il contorno di S con la solita 
convenzione per il verso.
Ne segue ad esempio che l'energia di una piccola spira di area a \'e:
\begin{equation}
U\:=\:i\:\phi\:=\: i \: B \:a\:=\:\vec{m} \cdot \vec{B}
\end{equation}
con: $\vec{m}=i \:a\: \vec{n}$, dove $\vec{n}$ \'e il versore normale al
piano della spira ed $\vec{m}$ il momento magnetico della stessa.

\section{Energia d'interazione mutua tra circuiti percorsi da corrente}
L'energia che un circuito percorso da corrente ha nel campo B prodotto da
un'altro circuito, pu\'o esser calcolata facendo uso dell'espressione
del potenziale vettore $\vec{A}$ generato da uno dei due circuiti e di
quella dell'energia (4) che il secondo ha nel campo $\vec{A}$ generato dal primo:
\begin{equation}
U_{12}\:=\:\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\:i_{1}\:i_{2} \oint_{1} \oint_{2} 
\frac{\vec{dl_1} \cdot \vec{dl_2}}{r_{12}}
\end{equation}
Il coefficiente che moltiplica $i_{1} i_{2}$ in questa espressione \'e 
chiamato coefficiente di mutua induzione ed indicato con il simbolo $L_{12}$:
\begin{equation}
L_{12}\:=\:\frac{\mu_0}{4\pi}\: \oint_{1} \oint_{2} \frac{\vec{dl_1} 
\cdot \vec{dl_2}}{r_{12}}
\end{equation}
(formula di Neumann)

\'E evidente dalla simmetria del problema che $L_{12} = L_{21}$.

L'energia del sistema sar\'a quindi:
\begin{equation}
U_{12} \:=\: L_{12} \: i_{1} \: i_{2}
\end{equation}
Si pu\'o poi facilmente verificare che le unit\'a di misura del coefficiente
di mutua induzione sono quelle di una lunghezza moltiplicate per quelle della
permeabilit\'a magnetica del vuoto, cio\'e $[L] = [\mu_0 m] = [\Omega \cdot s] = [henry]$.

L'estensione dell'equazione ottenuta al caso di n circuiti \'e immediata:
\begin{equation}
U \:=\: \frac{1}{2} \: \sum_{j=1}^{n} \: \sum_{k=1}^{n} \: L_{jk} \: i_{j} \: 
i_{k}  \: \: (j \neq k)
\end{equation}
dove il fattore $\frac{1}{2}$ deriva dal fatto che nella somma ciascuna 
energia d'interazione \'e contata due volte.

Nel caso di un singolo circuito avremo:
\begin{equation}
U\:=\:\frac{1}{2}\:L\:i^2
\end{equation}
Una volta noto U \'e poi possibile calcolare forze e momenti prendendo le
derivate (con segno (+)) di U rispetto alla variabile corrispondente.

L'energia associata ad una generica distribuzione di correnti nello spazio
pu\'o essere ottenuta attraverso un'ovvia generalizzazione della penultima
espressione scritta. Infatti, essendo l'energia del j-mo circuito data dal prodotto della 
corrente che vi flusce per il flusso del campo generato da tutti
i circuiti attraverso il medesimo:
\[
U_{j}\:=\:\Phi_{j}\:i_{j}
\]
ne segue che l'energia totale pu\'o essere espressa in termini dei flussi e
delle correnti come:
\begin{equation}
U\:=\:\ \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \Phi_{j}\:i_{j}
\end{equation}
dove:

\begin{equation}
\Phi_{j}\:=\sum_{k=1}^{n}\:L_{jk}\:i_{k}
\end{equation}
Facendo ora uso del teorema di Stokes e della definizione di $\vec{A}$:
\[
\Phi_{j} \:=\: \int_{S} \vec{B}\cdot \vec{ds}\:=\:\oint_{j}\vec{A}\cdot 
\vec{dl}
\]
si ottiene:
\begin{equation}
U\:=\:\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\oint_{j}\:i_{j}\vec{A}\cdot \vec{dl}
\end{equation}
Se le correnti non sono filiformi ma distribuite in determinati volumi, 
dovremo effettuare la sostituzione:
\[
i_{j}\:\vec{dl} \rightarrow \vec{J} d\tau
\]
dove $d\tau$ \'e l'elemento di volume.
In tal caso inoltre l'operazione di somma sulle correnti e di integrazione di
linea si riducono ad un'unica integrazione di volume, per cui:
\begin{equation}
U\:=\:\frac{1}{2}\int_{V} \vec{J} \cdot \vec{A} \: d\tau
\end{equation}
Essendo poi 
\begin{equation}
\vec{\nabla}\times \vec{B}=\mu_{0}\vec{J}
\end{equation}
questa diventa:
\begin{equation}
U \:=\: \frac{1}{2 \mu_{0}} \int_{V}\vec{\nabla}\times \vec{B} \cdot \vec{A} 
\: d\tau
\end{equation}
Ricordiamo ora la seguente propriet\'a dell'operatore $\vec {\nabla}$:
\[
\vec{\nabla} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) \:=\:\vec{B} \cdot(\vec{\nabla} 
\times \vec{A})\:-\:\vec{A}\cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B})
\]
per cui:
\[
\vec{A}\cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B})\:=\: \vec{B}\cdot (\vec{\nabla} 
\times \vec{A}) - \vec{\nabla} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})
\]
Sostituendo questa nell'espressione di U, avremo la differenza tra due
integrali, corrispondenti ai due termini che figurano a secondo membro
dell'ultima equazione scritta. Di questi, possiamo facilmente vedere che
l'ultimo si annulla. 

Infatti l'integrale di volume della divergenza che vi compare pu\'o essere 
trasformato nell'integrale di superficie di  $(\vec{A} \times \vec{B})$
esteso ad una superficie che pu\'o esser presa arbitrariamente grande.

 
Ora sappiamo che a distanza infinita, il potenziale vettore A va come 1/r 
mentre B va come $1/r^2$, mentre l'area della superficie cresce come $r^2$. 

Ne segue che l'integrale di $(\vec{A} \times \vec{B})$ andr\'a a zero 
come 1/r.
In definitiva rimane:
\begin{equation}
U \:=\: \frac{1}{2 \mu_{0}} \int_{V} \vec{B} \cdot (\vec{\nabla} \times 
\vec{A})\: d\tau \:=\:\frac{1}{2 \mu_{0}} \int_{V}\:B^2 d\tau
\end{equation}
Che \'e l'espressione dell'energia magnetica associata ad una generica 
configurazione di correnti che generano un campo d'induzione magnetica
$\vec{B}$.

\section{Calcolo dei coefficienti d'induzione}
Nel calcolo, anzich\'e far uso della definizione, formula (6), \'e spesso
pi\'u agevole far ricorso alla relazione che esprime il flusso in funzione
delle correnti:
\begin{equation}
\Phi_{j}\:=\sum_{k=1}^{n}\:L_{jk}\:i_{k}
\end{equation}
Un esempio molto semplice \'e quello di un solenoide, avente n spire
per unit\'a di lunghezza, in cui quest'ultima sia molto maggiore del
raggio, ed attorno al quale (nella zona centrale) siano avvolte m spire.
Vediamo di calcolare il coefficiente di mutua induzione tra i due
circuiti. Il campo dentro il solenoide (nella parte lontana dai bordi)
\'e uniforme, parallelo all'asse del solenoide e vale:
\begin{equation}
B\:=\:\mu_0 \:n \:i
\end{equation}
Il flusso di B attraverso ciascuna spira dell'avvolgimento \'e:
\[
\Phi \:=\:\mu_0 \:n \:i\: A
\]
dove A indica l'area della sezione del solenoide.
Il flusso attraverso le m spire dell'avvolgimento \'e:
\[
\Phi\:=\:(\mu_0 \:n \:m \:A)\:i
\]
e quindi:
\begin{equation}
L \:=\: L_{12} \:=\: L_{21}\: = \: \mu_0 \:n \:m\:A
\end{equation}

\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=toro.eps,width=8 cm,height=6 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{fig1}
\end{figure}

Consideriamo come secondo esempio un toroide (solenoide circolare) come quello
mostrato in figura. Sia a il raggio del solenoide e b quello dell'intero 
toroide. Sia n il numero di spire di cui \'e costituito il toroide ed 
ammettiamo che attorno ad esso sia presente un avvolgimento contenente m 
spire. Calcoliamo il coefficiente di mutua induzione tra i due.
Consideriamo una circonferenza con centro sull'asse del toroide, giacente in
un piano perpendicolare a tale asse e passante per i punti P e P' indicati.
Il raggio di tale circonferenza \'e: $R=b-r cos(\theta)$. Il campo B sar\'a, 
per motivi di simmetria, diretto tangenzialmente a tale circonferenza ed 
uguale in tutti i punti di essa. La circuitazione di B lungo tale 
circonferenza vale:
\[
2 \pi R B \: = \: 2 \pi (b-r cos(\theta))\:B \:=\:\mu_0 n \:i
\]
dove i \'e la corrente nel solenoide. Ne segue:
\begin{equation}
B\:=\: \frac{\mu_0 n i}{2 \pi (b - r cos(\theta))}
\end{equation}
ed il flusso attraverso la sezione del solenoide sar\'a:
\[
\Phi(B) \:=\: \frac{\mu_0 n i}{2 \pi}\: 2 \int_{0}^{a}r dr \int_{0}^{\pi} 
\frac{d \theta}{(b - r cos(\theta))}= \mu_0 n i (b - \sqrt{b^2 -a^2})
\]
Il flusso attraverso le m spire dell'avvolgimento esterno sar\'a allora:
\[
\Phi_m \:=\: \mu_0 n m (b - \sqrt{b^2 -a^2})\:i
\]
ed il coefficiente di mutua induzione cercato:
\begin{equation}
L \:=\: \mu_0 n m (b - \sqrt{b^2 -a^2})
\end{equation}
Il coefficente di autoinduzione del toroide sar\'a poi ovviamente:
\begin{equation}
M \:=\: \mu_0 n^2 (b - \sqrt{b^2 -a^2})
\end{equation}
Se $b \gg a$ , possiamo sviluppare la parentesi nelle precedenti espressioni,
trascurando termini $\frac{a^2}{b^2}$:
\[
b - \sqrt{b^2 -a^2} \approx \frac{a^2}{2b}
\]
con che avremo:
\begin{equation}
M \:=\: \frac{\mu_0 n^2}{2 \pi}\frac{A}{b}\:=\:\frac{\mu_0 n^2 A}{l}
\end{equation}
dove A \'e l'area della sezione del solenoide ed l la lunghezza della sua
circonferenza centrale.
\section{Leggi di Faraday}

In un generico circuito, in una zona di spazio dove sia presente un campo
d'induzione magnetica B, se il flusso del campo attraverso il circuito subisce, per un qualsivoglia motivo, una variazione nel corso del tempo, nasce
una forza elettromotrice e, se il circuito \'e chiuso su se stesso, fluisce una corrente. La variazione del flusso di B pu\'o esser dovuta a:
\begin{itemize}
\item [(a)]{uno spostamento del circuito, in una zona di campo disuniforme}
\item [(b)]{uno spostamento delle sorgenti del campo}
\item [(c)]{una variazione temporale dell'intensit\'a del campo}.
\end{itemize}
In formule, la legge di Faraday \'e espressa da:
\begin{equation}
\epsilon = - \frac{d\Phi(\vec{B})}{dt}
\end{equation}
o anche, nel caso di un circuito chiuso su se stesso, avente una resistenza R:
\begin{equation}
i = - \frac{1}{R} \frac{d\Phi(\vec{B})}{dt}
\end{equation}
dove i \'e la corrente che fluisce nel circuito.
Possiamo, partendo dalle equazione date in precedenza, che esprimono
l'energia di un insieme di circuiti percorsi da correnti, ricavare il primo
di questi risultati, nel caso di circuiti rigidi in posizioni fisse. Se
in tale sistema le correnti in alcuni dei circuti subiscono delle variazioni, varier\'a il campo B da essi generato e ci\'o modificher\'a il flusso di B attraverso i rimanenti circuiti. Essendo i circuiti rigidi ed in posizioni
fisse, il lavoro meccanico fatto sar\'a nullo e la variazione complessiva
di energia del sistema dovr\'a essere controbilanciata dal lavoro fatto
dalle forze elettromotrici che nascono nei circuiti. Ricordiamo l'espressione
dell'energia di un sistema di circuiti:
\[
U \:=\: \frac{1}{2} \: \sum_{j=1}^{n} \: \sum_{k=1}^{n} \: L_{jk} \: i_{j} \: 
i_{k}
\]
Se la corrente nel j-mo circuito varia di $\delta i_{j}$ la corrispondente variazione dell'energia U sar\'a:
\begin{equation}
\delta U \:=\: \sum_{k=1}^{n} i_{k} \sum_{j=1}^{n} L_{jk} \delta i_{j}
\end{equation}
Il motivo per cui il fattore $\frac{1}{2}$ non \'e pi\'u presente, pu\'o
esser facilmente compreso scrivendo il differenziale di U per il caso di
solo due circuiti:
\begin{equation}
U = \frac{1}{2} [i_1 L_{11} i_1 + i_1 L_{12} i_2 + i_2 L_{22} i_2 +
 i_2 L_{21} i_1]
\end{equation}
da cui:


\[
\delta U=
\] 
\[
\frac{1}{2} [i_1 L_{11} \delta i_1 + \delta i_1 L_{11} i_1 +
i_1 L_{12} \delta i_{2} + \delta i_{1} L_{12} i_{2} + 
\]
\[+ i_{2} L_{22} \delta i_2 + \delta i_2 L_{22} i_2 + 
i_2 L_{21} \delta i_1 + \delta i_2 L_{21} i_1]=
\]
\[
 =[i_1 L_{11} \delta i_1 + i_1 L_{12} \delta i_{2} + i_2 L_{21} \delta i_1 +
 i_{2} L{22} \delta i_2]
\]

\vspace{0.3cm}

che pu\'o essere scritta nella forma:
\begin{equation}
\delta U \:=\: \sum_{k=1}^{n} i_{k} \sum_{j=1}^{n} L_{jk} \delta i_{j}
\end{equation}
Il flusso attraverso il k-mo circuito \'e dato da:
\[
\phi_k \:=\: \sum_{j=1}^{n} L_{jk} i_{j}
\]
e la variazione di tale flusso, conseguente alla variazione delle correnti:
\[
\delta \phi_k \:=\: \sum_{j=1}^{n} L_{jk} \delta i_{j}
\]
La variazione di energia pu\'o quindi essere espressa come:
\[
\delta U\:=\: \sum_{k=1}^{n} i_{k} \delta \phi_k
\]
Se indichiamo con dt l'intervallo di tempo infinitesimo in cui tale variazione
ha luogo, avremo:
\[
\frac{\partial U}{\partial t}\:=\: \sum_{k=1}^{n} i_{k} \frac{\partial \phi_k}{\partial t}
\]
Poich\'e i circuiti sono fermi, il lavoro meccanico sar\'a nullo e quindi per la conservazione dell'energia l'ultima espressione dovr\'a  eguagliare l'energia spesa per unit\'a di tempo dalle forze elettriche. Se indichiamo
con $\epsilon_k$ la forza elettromotrice indotta nel k-mo circuito, il lavoro
per unit\'a di tempo fatto da questa \'e $\epsilon_k i_k$ e quindi:


\[
\sum_{k=1}^{n} i_k \frac{\partial \phi_k}{\partial t} \:=\: -\sum_{k=1}^{n}\epsilon_k i_k
\]

essendo poi le correnti nei vari circuiti indipendenti l'una dall'altra, dovranno essere uguali i termini corrispondenti nelle somme a primo ed
a secondo membro:
\begin{equation}
\epsilon_k \:=\: -\frac{\partial \phi_k}{\partial t}
\end{equation}
Naturalmente dovranno essere anche presenti delle batterie o generatori
di forze elettromotrici addizionali $\epsilon'_k$ che manterranno
le correnti $i_k$ nei vari circuiti e che dissiperanno energia al rate
$\epsilon'_k i_k$, ma in aggiunta a queste avremo la forza
elettromotrice $\epsilon_k$ che \'e prodotta dalla conversione di energia
magnetica in energia elettrica.
Possiamo esprimere la forza elettromotrice indotta in termini delle
correnti e dei coefficienti di mutua induzione, anziche in termini dei
flussi del campo. A tale scopo \'e sufficiente ricordare le equazioni
che danno il flusso in termini dei coefficienti di mutua induzione:

\[
\phi_k = \sum_{j=1}^{n} L_{jk} i_j
\]

dalle quali si ottiene subito:
\begin{equation}
\epsilon_k\:=\:- \sum_{j=1}^{n}L_{jk} \frac{di_j}{dt}
\end{equation}
Nell'ultima equazione abbiamo usato il simbolo della derivata totale al
posto di quella parziale, poich\'e far uso dei coefficenti di induzione
vuol dire ammettere che i circuiti siano in quiete l'uno rispetto all'altro
e che l'unica dipendenza dal tempo sia quella delle correnti. 
Nel caso di un singolo circuito avente un coefficiente di autoinduzione L,
una variazione di corrente dar\'a luogo ad una forza elettromotrice (di
verso tale da opporsi alla variazione) data da:
\begin{equation}
\epsilon = -L \frac{di}{dt}
\end{equation}


Passiamo ora a considerare il caso (a) elencato sopra, in cui i 
circuiti si
muovano in una zona di campo non uniforme. Esaminiamo per semplicit\'a
il caso di una singola spira di forma generica, avente resistenza R, ed
in cui un generatore di forza elettromotrice $\epsilon' $ faccia
circolare una corrente i. L'energia della spira, immersa nel campo B,
sar\'a:
\[
U=i \Phi
\]
Ammettiamo ora che la spira venga spostata di un tratto infinitesimo in
un tempo infinitesimo dt. Il lavoro fatto nel corso dello spostamento
\'e pari a $\mathcal{L}$ = $ i d\Phi$
Il calore sviluppato nella spira per effetto Joule \'e:
\[W = R i^2 dt
\]
mentre il lavoro totale fatto dal generatore:
\[
\mathcal{L} \mathrm{ } \:=\:\epsilon \:i \: dt
\]
Il bilancio energetico risulta in:
\begin{equation}
\epsilon \: i\: dt \:=\: R \:i^2 \:dt\:+\:i\: d\Phi
\end{equation}
da cui si ottiene poi:
\begin{equation}
i \:=\: \frac{\epsilon - \frac{d\Phi}{dt}}{R}
\end{equation}
Quindi la corrente nella spira \'e determinata non soltanto dalla f.e.m. del
generatore, ma contiene anche il termine $-\frac{d\Phi}{dt}$. 

Se $\epsilon$ fosse nullo, avremmo una corrente:
\begin{equation}
i \:=\: - \frac{1}{R} \frac{d\Phi}{dt}
\end{equation}
il che mostra che la soluzione i=0 della (31) non sarebbe fisicamente
accettabile, poich\'e la corrente i \'e sicuramente $\neq 0$ per $\epsilon = 0$. Quest'ultima derivazione della legge di Faraday per un circuito in
movimento in una zona di spazio ove sia presente un campo d'induzione
magnetica \'e dovuta ad Helmholtz (1821-1894).

 
Vediamo quindi che lungo il circuito agisce una forza elettromotrice, la quale
si somma a quella gi\'a esistente $\epsilon'$. Cio\'e lungo il percorso della spira agisce un campo elettrico la cui circuitazione non \'e nulla. In altri termini, se abbiamo un circuito in movimento in una zona di spazio in cui esiste un campo d'induzione magnetica, l'integrale di linea del campo elettrico lungo il circuito non \'e nullo; il campo che nasce non \'e pi\'u conservativo.

Passiamo, per completezza, ad esaminare il medesimo problema tenendo conto
della forza di Lorentz:
\[
\vec{F} = q \vec{u} \times \vec{B}
\]
dove $\vec{u}$ \'e la velocit\'a di trascinamento, cio\'e quella con cui con cui il conduttore si muove.
Per il nostro circuito in moto nel campo B, questa equivale ad un campo
elettrico:
\[
\vec{E'} = \vec{u} \times \vec{B}
\]
Tale campo dar\'a luogo ad una corrente elettrica nel circuito che,
in virt\'u della legge di Lenz, sar\'a tale da opporsi alla variazione
di flusso e quindi da opporsi al moto del conduttore.
A tale forza si da il nome di reazione elettromagnetica.
Bench\'e la forza elettromotrice che d\'a luogo a tale corrente  abbia
origine nel moto della cariche nel campo B, possiamo considerarla della
stessa natura di quella dovuta alla variazione di flusso. Per il teorema di
Stokes avremo:
\[ \epsilon' = \oint \vec{E'} \cdot \vec{dl} \:=\: \oint(\vec{u} \times \vec{B}) \cdot \vec{dl} \:=\: \int_{S} \vec{[\nabla} \times (\vec{u} \times \vec{B})] \cdot \vec{ds}
\]
dove la superficie d'integrazione \'e delimitata dal cammino d'integrazione,
che giace interamente al conduttore. La forza elettromotrice totale, prodotta
sia dalla variazione del flusso che dal moto del conduttore pu\'o allora
essere espressa da:
\begin{equation}
\vec{\nabla} \times \vec{E} \:=\: -[\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \:-\:\vec{\nabla} \times (\vec{u} \times \vec{B})]
\end{equation}
Il membro a destra di tale equazione pu\'o esser considerato la derivata
totale cambiata di segno di $\vec{B}$ rispetto a t per un conduttore
rigido (che \'e il caso che si incontra pi\'u di frequente).
Ricordiamo infatti che $\vec{u}$ non dipende dalle coordinate spaziali e che
inoltre \'e $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$. Da ci\'o e da una nota identit\'a vettoriale segue che il termine $\vec{\nabla} \times (\vec{u}       \times \vec{B})$, pu\'o essere scritto come:
\[
\vec{\nabla} \times (\vec{u} \times \vec{B}) \:=\: (\vec{B} \cdot \vec{\nabla}) \vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{\nabla})\vec{B} + \vec{u} (\vec{\nabla} \cdot \vec{B}) - \vec{B}(\vec{\nabla} \cdot \vec{u}) \:=
\]


\[
= -(\vec{u} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}
\]
La componente x di questo vettore cambiato di segno, cio\'e la componente x
di $- \vec{\nabla} \times (\vec{u} \times \vec{B})$, \'e :
\[
\frac{\partial B_x}{\partial x} u_{x}+ \frac{\partial B_x}{\partial y} u_{y}
 + \frac{\partial B_x}{\partial z} u_{z}
\]
con espressioni analoghe per le altre componenti. Ma, se a tale espressione
sommiamo ora la derivata parziale $\frac{\partial B_x}{\partial t}$ troviamo
la derivata totale $\frac{d B_x}{dt}$. Tenendo conto anche delle componenti
y e z, avremo in definitiva:
\begin{equation}
\vec{\nabla} \times \vec{E} \:=\: -\frac{d\vec{B}}{dt}
\end{equation}
o anche, tenendo conto della definizione del potenziale vettore $\vec{A}$:
\begin{equation}
\vec{E} \:=\: - \frac{d\vec{A}}{dt}
\end{equation}
Cio\'e il campo elettrico che nasce per l'effetto combinato di una variazione
del flusso e del movimento del conduttore nel campo \'e la derivata
totale del potenziale vettore rispetto al tempo.
Integrando la penultima espressione scritta su di una generica superficie
che delimita il circuito, vediamo
poi che la forza elettromotrice \'e pari alla derivata del flusso di $\vec{B}$
rispetto al tempo.








\end{document}

