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\begin{document}
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\title{\bf Generazione di onde elettromagnetiche}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle

\section{Potenziali elettrodinamici}
Ammettiamo di essere in un mezzo omogeneo ed isotropo, caratterizzato
da una costante dielettrica $\epsilon$ e da una permeabilit\'a
magnetica $\mu$. Nel vuoto ci limiteremo a sostituire a $\mu$ ed $\epsilon$ rispettivamente  $\mu_0$ ed $\epsilon_0$. 
Le equazioni di Maxwell, in presenza di densit\'a di carica $\rho$ e di
corrente $J$:
\begin{equation}
\vec{\nabla} \cdot \vec{E}\:=\:\rho/\epsilon
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{\nabla} \cdot \vec{B}\:=\: 0
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{\nabla} \times \vec{E}\:=\:-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{\nabla} \times \vec{B} \:=\: \mu \: \vec{J}+\epsilon \mu \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\end{equation}
costituiscono un insieme di 8 equazioni differenziali nelle
6 incognite, costituite dalle componenti dei campi $\vec{E}$ e $\vec{B}$.
Facendo uso dell'equazione di continuit\'a:
\[
\vec{\nabla}\cdot \vec{J}\:+\:\frac{\partial \rho}{\partial t}\:=\:0
\]
si pu\'o dimostrare che queste equazioni non sono indipendenti, ma che le prime due possono essere derivate dalle altre. In tal modo ci si riduce
a sei equazioni scalari nelle sei incognite costituite dalle componenti
dei campi E e B. Tali equazioni presentano tuttavia alcuni inconvenienti.
In primo luogo esse non contengono le funzioni incognite (le componenti
dei campi) in modo separato. Tutte le equazioni coinvolgono pi\'u funzioni
incognite. Il secondo inconveniente \'e collegato alla formulazione
relativistica dell'elettromagnetismo, che richiede l'utilizzo di
funzioni, legate ai campi fisici E e B, che manifestino la covarianza
relativistica della teoria, cio\'e di quadrivettori.
\newline \indent
Tali funzioni esistono, e vanno sotto il nome di potenziali elettrodinamici.
Questi sono un'ovvia estensione dei potenziali $\vec{A}$ e $V$ gi\'a incontrati in elettrostatica e magnetostatica. Un ulteriore vantaggio
di tali nuove funzioni \'e nel fatto che attraverso di esse \'e
possibile trasformare le sei equazioni di Maxwell, in quattro
equazioni differenziali (del secondo ordine) in solo quattro funzioni
incognite.
\newline \indent
Possiamo infatti esprimere il campo $\vec{B}$ in termini del potenziale vettore
$\vec{A(\vec{r})}$, con:
\begin{equation}
\vec{\nabla}\times \vec{A}\:=\: \vec{B}
\end{equation}
dove $\vec{A}\:=\:\vec{A}(\vec{r},t)$,
con che l'equazione $\vec{\nabla} \cdot \vec{B}\:=\:0$ \'e automaticamente
soddisfatta.
\newline \indent
Utilizzando il potenziale vettore, la terza equazione di Maxwell diventa:
\[
\vec{\nabla} \times \vec{E}\:=\:-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\:=\:
-\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times \vec{A})\:=\: 
-\vec{\nabla}\times (\frac{\partial \vec{A}}{\partial t})
\]
da cui si vede che il vettore: $\vec{E}\:+\:\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ ha rotore nullo (\'e irrotazionale). Ci\'o a sua volta implica che esso
possa essere espresso come il gradiente di una funzione scalare:
\begin{equation}
\vec{\nabla}V\:=\:-(\vec{E}\:+\:\frac{\partial \vec{A}}{\partial t})
\end{equation}
Con tale scelta sono soddisfatte sia la seconda che la terza delle equazioni
di Maxwell.
Esaminiamo ora come si trasformino la prima e la quarta delle equazioni.
La prima delle equazioni di Maxwell si scrive:
\[
\vec{\nabla}\cdot \vec{E}\:=\:\rho/\epsilon
\]
che, facendo uso della relazione che esprime il campo elettrico in termini
dei potenziali, diventa:
\[
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}V\:+\:\frac{\partial \vec{A}}{\partial t})\:=\:-\rho/\epsilon
\]
ovvero:
\begin{equation}
\nabla^2 V\:+\:\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\cdot \vec{A})\:=\:-\rho/\epsilon \label{eq:aa}
\end{equation}
Esaminiamo ora la quarta delle equazioni, e sostituiamo in essa a B ed E le
loro espressioni in termini dei potenziali:
\[
\vec{\nabla}\times \vec{\nabla}\times \vec{A}\:=\:\mu \vec{J}-\mu \epsilon \vec{\nabla}\frac{\partial V}{\partial t}-\mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}
\]
Facendo uso della propriet\'a del rotore:
\[
\vec{\nabla}\times \vec{\nabla}\times \vec{I}\:=\:-\nabla^2 \vec{I}\:+\:\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{I})
\]
troviamo:
\[
\nabla^2 \vec{A} \:=\:-\mu \vec{J}+\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{A})+
\mu \epsilon \vec{\nabla}\frac{\partial V}{\partial t}+\mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}
\]
ovvero:
\begin{equation}
\nabla^2 \vec{A}-\mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}\:=\:
\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{A}+\epsilon \mu \frac{\partial V}{\partial t})\:-\mu \vec{J} \label{eq:bb}
\end{equation}
Come possiamo vedere, abbiamo in tal modo ottenuto quattro equazioni; l'equazione scalare~(\ref{eq:aa}) e quella vettoriale~(\ref{eq:bb}), che tuttavia
non soddisfano il requisito che avevamo richiesto inizialmente, quello di
avere delle equazioni disaccoppiate. Vediamo infatti che l'equazione~(\ref{eq:aa}) contiene sia la funzione incognita V che $\vec{A}$ e che la stessa cosa \'e vera per l'equazione~(\ref{eq:bb}).
Possiamo tuttavia renderle disaccoppiate facendo uso della residua arbitrariet\'a che ci rimane nella scelta dei potenziali. Questi possono
infatti essere sostituiti da altri potenziali, a condizione che i campi
fisici E e B ottenibili rimangano inalterati in seguito alla trasformazione.
Una tale trasformazione dei campi esiste e va sotto il nome di $\emph trasformazione \;di\; gauge$. Ammettiamo infatti di effettuare le seguenti
sostituzioni:
\[
\vec{A} \rightarrow \vec{A'} \:=\: \vec{A}+ \vec{\nabla}\phi
\]
\[
V \rightarrow V' \:=\: V \:-\: \frac{\partial \phi}{\partial t}
\]
Tale trasformazione lascia invariati i campi:
\[
\vec{B'}\:=\:\vec{\nabla}\times \vec{A'}\:=\:\vec{\nabla}\times \vec{A}\:+\:\vec{\nabla}\times \vec{\nabla} \phi\:=\:\vec{\nabla}\times \vec{A}\:=\:\vec{B}
\]
\[
\vec{E'} \:=\: -\nab V' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t}\:=\: -\nab V + \nab\frac{\partial \phi}{\partial t}-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-
\frac{\partial}{\partial t}\nab \phi\:=\:-\nab V \:-\: \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\:=\:\vec{E}
\]
Scegliamo ora i potenziali in modo che sia:
\begin{equation}
\nab \cdot \vec{A} \:+\:\epsilon \mu \frac{\partial V}{\partial t}\:=\:0 \label{eq:lorentz}
\end{equation}
Le equazioni~(\ref{eq:aa}) ed~(\ref{eq:bb}) diventano allora disaccoppiate:
\begin{equation}
\nabla^2 V-\epsilon \mu \frac{\partial^2V}{\partial t^2}\:=\:-\rho/\epsilon \label{eq:diffvv}
\end{equation}
\begin{equation}
\nabla^2 \vec{A}-\epsilon \mu \frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}\:=\:-
\mu \vec{J} \label{eq:diffaa}
\end{equation}
Dobbiamo per completezza osservare che queste equazioni sono disaccoppiate
in coordinate cartesiane; in sistemi di coordinate curvilinee, diverse componenti di $\vec{A}$ sono presenti nella medesima equazione.
\newline \indent
Quelle scritte sono delle equazioni differenziali del secondo ordine rispetto
alle coordinate spaziali ed a quella temporale. Per risolverle \'e necessario
stabilire le condizioni al contorno non soltanto per i potenziali, ma anche
per le loro derivate.
Le soluzioni di tali equazioni sono date sotto frome di integrali estesi
alle distribuzioni rispettivamente di cariche e di correnti:
\begin{equation}
\vec{A}(\vec{r},t)\:=\:\frac{\mu}{4\pi}\:\int_{\tau}\frac{\vec{J}(\vec{r'},t-\Delta r/v)}{\Delta r}\:d\tau' \label{eq:asol}
\end{equation}
\begin{equation}
V(\vec{r},t)\:=\:\frac{1}{4\pi\epsilon}\:\int_{\tau}\frac{\rho(\vec{r'},t-\Delta r/v)}{\Delta r}\:d\tau' \label{eq:vsol}
\end{equation}
dove $\vec{r}$ \'e il vettore tracciato a partire dall'origine al punto P
dove si calcola i campi; $\vec{r'}$ \'e il vettore tracciato a partire
dall'origine al generico punto dove \'e presente l'elemento di carica $\rho d\tau$ o l'elemento di corrente $\vec{J} d\tau$; $\Delta r \:=\: |\vec{r}-\vec{r'}|$ il vettore che va dal punto dove sono i generici elementi di carica/corrente
al punto P; $v=1/\sqrt{\epsilon \mu}$ \'e la velocit\'a di propagazione delle onde elettromagnetiche nel mezzo.
\newline \indent
Queste costituiscono delle soluzioni particolari delle equazioni differenziali
complete~(\ref{eq:diffvv}) ed~(\ref{eq:diffaa}). Le soluzioni generali saranno poi ottenibili combinando linearmente tali soluzioni particolari con le soluzioni
generali delle equazioni omogenee. Nella prossima sezione discuteremo una
semplice dimostrazione delle soluzioni~(\ref{eq:asol}) ed~(\ref{eq:vsol}).
\section{Soluzioni delle equazioni differenziali dei potenziali elettrodinamici}
Per ottenere delle soluzioni delle equazioni~(\ref{eq:diffvv}) ed~(\ref{eq:diffaa}) (dove le sorgenti $\rho$ e $\vec{J}$ sono legate tra loro dall'equazione di continuit\'a) procederemo nel modo seguente: calcoleremo dapprima i potenziali generati da una singola carica puntiforme, in moto con una generica velocit\'a, e poi, a partire dal risultato ottenuto, calcoleremo i potenziali
generati da una distribuzione qualsivoglia di cariche in movimento, facendo
uso del principio di sovrapposizione.
\newline \indent
Amettiamo quindi che una carica $\delta e$, uguale a $\rho dV$ sia posta in
un elementino di volume $dV$ situato nell'origine di un sistema di coordinate.
Calcoliamo il corrispondente potenziale. Ammettiamo di essere nel vuoto, lontani da altri conduttori o dielettrici e che i campi preesistenti siano
nulli all'infinito:
\[
V(t\rightarrow -\infty, r\rightarrow \infty)\:=\:0
\]
\[
\vec{A}(t\rightarrow -\infty, r\rightarrow \infty)\:=\:0
\]
Ci\'o fa si che la soluzione del problema sia univoca.
\newline \indent
Poich\'e la carica \'e nell'origine del sistema di coordinate, il problema
ha simmetria sferica e diventa naturale cercare una soluzione a simmetria 
sferica. Riscriviamo in coordinate sferiche l'equazione per il potenziale scalare V, per punti fuori dall'origine, dove $\rho = 0$:
\begin{equation}
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\:(r^2\frac{\partial V}{\partial r}) \:-\:\frac{1}{c^2}\:\frac{\partial^2 V}{\partial t^2}\:=\:0 \label{eq:point}
\end{equation}
Poniamo:
\[
V\:=\:\frac{\Phi(r,t)}{r}
\]
da cui segue:
\[
\frac{\partial V}{\partial r}\:=\:\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial r}\:-\:\frac{\Phi}{r^2}
\]
\[
r^2 \frac{\partial V}{\partial r}\:=\:r\frac{\partial \Phi}{\partial r}\:-\:\Phi
\]
con che dall'ultima equazione otteniamo:
\[
\ddr (r^2 \dvdr) \:=\: r \frac{\partial^2\Phi}{\partial r^2}\:+\:\dfdr\:-\:\dfdr\:=\:r \frac{\partial^2\Phi}{\partial r^2}
\]
Sostituendo questa nell'equazione differenziale~(\ref{eq:point}) e moltiplicando
per r, otteniamo:
\[
\frac{\partial^2\Phi}{\partial r^2}\:-\:\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}\:=\:0
\]
Ma questa \'e l'equazione differenziale delle onde, la cui soluzione
generale \'e ben nota:
\[
\Phi\:=\:\Phi_1(t+\frac{r}{c}) \: + \: \Phi_2(t-\frac{r}{c})
\]
Il primo termine a secondo membro rappresenta un'onda entrante, che non
soddisfa la condizione al contorno specificata sopra. Rimane cos\'i il
secondo termine soltanto e la soluzione del nostro problema diviene:
\begin{equation}
V\:=\:\frac{1}{r}\Phi(t-\frac{r}{c}) \label{eq:vritard}
\end{equation}
dove la forma della funzione $\Phi$ non \'e ancora determinata. Vediamo che essa descrive un'onda uscente dalla carica.
\newline \indent
Il valore della funzione $\Phi$ in r=0 ed al tempo t=0, si propaga al punto r
in un tempo $r/c$. In altre parole, il potenziale nel punto r al tempo t \'e
determinato dalla carica, non al tempo t, ma ad un tempo antecedente $t-r/c$. Il termine r/c \'e una misura del ritardo che ha luogo come conseguenza della
velocit\'a finita di propagazione dei segnali elettromagnetici. Se la carica
presente nell'origine delle coordinate cambia di $\delta e$ al tempo t=0, il conseguente cambiamento nel potenziale nel punto distante r dall'origine avr\'a luogo un tempo t=r/c pi\'u tardi. Naturalmente, una variazione della
carica presente nell'origine pu\'o aver luogo se altre cariche arrivano o
partono da tale punto; la carica deve conservarsi. Per il momento la nostra
soluzione tiene conto solo delle cariche presenti nell'origine e non di
quelle in moto verso l'origine o uscenti dall'origine.
\newline \indent
In punti molto prossimi all'origine, dove il ritardo \'e molto piccolo, il
potenziale \'e determinato dal valore $\delta e$ che la carica nell'origine
ha nel medesimo istante. Tale potenziale, nel vuoto, vale:
\[
\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{ \delta e}{r}
\]
da cui:
\[
V(r \approx 0,t)\:=\:\frac{\Phi(t)}{r}\:=\:
\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\delta e(t)}{r} \:= \: \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\rho(t) dV}{r}
\]
per cui:
\begin{equation}
\Phi(t)\:=\: \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \rho(t) dV \label{eq:fifi}
\end{equation}
Il potenziale ritardato di una carica puntiforme, $V(t,r)$ \'e, come conseguenza delle~(\ref{eq:vritard}) e~(\ref{eq:fifi}):
\begin{equation}
V(t,r)\:=\:\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\rho(t-r/c) dV}{r} \label{eq:rhorit}
\end{equation}
Se ora l'origine delle coordinate \'e posto in un punto generico, tale che
la carica sia nel punto di coordinate $\vec{r'}=(x',y',z')$ ed il potenziale
debba esser calcolato nel punto di coordinate $\vec{r}=(x,y,z)$, l'espressione del potenziale V diventa:
\begin{equation}
V(t,\Delta r)\:=\:\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\rho(t-\Delta r/c) dV}{\Delta r} \label{eq:vshift}
\end{equation}
dove abbiamo definito $\Delta r\:=\:|\vec{r}-\vec{r'}|$.
Vediamo che la dipendenza della densit\'a di carica dalle coordinate spaziali
compare in tale espressione in una veste duplice: in modo diretto, nell'argomento $\vec{r'}$ come nel caso statico, e nella dipendenza temporale $t-\Delta r/c$, legata al fatto che il ritardo nel punto
$\vec{r}$, relativo a  cariche diverse presenti nel sistema, \'e diverso.
\newline \indent
Per ottenere la soluzione completa del nostro problema, dobbiamo ora integrare
la~(\ref{eq:vshift}) sul volume contenente le cariche. Si ottiene in tal modo l'equazione~(\ref{eq:vsol}). In modo analogo si procede per dimostrare l'equazione~(\ref{eq:asol}). 
Per una dimostrazione alternativa, si veda l'Appendice~A.

Notiamo che in tali equazioni si era ipotizzato
un mezzo omogeneo ed isotropo, non necessariamente coincidente con il vuoto,
avente costante dielettrica $\epsilon$ e permeabilit\'a magnetica $\mu$.
\newline \indent
Verifichiamo infine che le soluzioni~(\ref{eq:asol}) e~(\ref{eq:vsol}) soddisfino
l'equazione di Lorentz, che riscriviamo qui per comodit\'a:
\[
\nab \cdot \vec{A} \:+\:\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial V}{\partial t}\:=\:0
\]
Facendo uso delle espressioni~(\ref{eq:asol}) ed~(\ref{eq:vsol}) dei potenziali,
troviamo:
\[
\frac{\mu_0}{4 \pi} \nab \cdot \: \int_{\tau}\frac{\vec{J}(\vec{r'},t-\Delta r/c)}{\Delta r}\:d\tau' \:+\:\frac{\epsilon_0 \mu_0}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\partial}{\partial t}  \: \int_{\tau}\frac{\rho(\vec{r'},t-\Delta r/c)}{\Delta r}\:d\tau'
\]
Poich\'e $\nab$ opera sulle coordinate $\vec{r}$ del punto P e non tocca
la variabile d'integrazione $\vec{r'}$, possiamo portare l'operatore $\nab$
sotto il segno d'integrale:
\[
\frac{\mu_0}{4 \pi} \: \int_{\tau} \nab \cdot \frac{\vec{J}(\vec{r'},t-\Delta r/c)}{\Delta r}\:d\tau' \:+\:\frac{\mu_0}{4 \pi}  \: \int_{\tau}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\rho(\vec{r'},t-\Delta r/c)}{\Delta r}\:d\tau'
\]
dove si \'e anche portata l'operazione di derivazione nel secondo termine sotto il segno di integrale.
\newline \indent
Notiamo inoltre che l'operatore $\nab$, che coinvolge delle derivate rispetto
alle coordinate del punto potenziato P, pu\'o esser sostituito dall'operatore
$\nab_{r'}$, che comporta derivate rispetto alle posizioni delle cariche. Tuttavia, a causa dell'ulteriore dipendenza esplicita di $\vec{J}$ dalle
coordinate $\vec{r'}$ occorrer\'a effettuare la sostituzione:
\[
\nab_{r}\cdot \frac{\vec{J}(\vec{r'},t-\Delta r/c)}{\Delta r}  \rightarrow -\nab_{r'} \cdot \frac{\vec{J}(\vec{r'},t-\Delta r/c)}{\Delta r} \:+\: \frac{\nab_{r'} \cdot \vec{J}(\vec{r'},t-\Delta r/c)}{\Delta r}
\]
per cui l'espressione precedente diviene:
\[
\frac{\mu_0}{4 \pi} \:\int [-\nab_{r'} \cdot \frac{\vec{J}(\vec{r'},t-\Delta r/c)}{\Delta r} \: + \: \frac{\nab_{r'} \cdot \vec{J}(\vec{r'},t-\Delta r/c)}{\Delta r}\: + \: \frac{\partial \rho}{\partial t} \frac{1}{\Delta r}]d \tau'
\]
Il primo termine nella parentesi quadra in tale espressione \'e l'integrale di volume di una divergenza che pu\'o, facendo uso del teorema di Gauss, esser trasformato in un integrale di superficie esteso ad una superficie abbastanza
grande da escludere tutte le sorgenti. Si vede cos\'i che tale contributo \'e
nullo e rimane solo il termine:
\[
\frac{\mu_0}{4 \pi} \:\int [\frac{\nab_{r'} \cdot \vec{J}(\vec{r'},t-\Delta r/c)\:+\: \partial \rho(\vec{r'},t-\Delta r/c)/\partial t}{\Delta r}]\;d \tau'
\]
che si annulla come conseguenza dell'equazione di continuit\'a.
\section{Potenziali ritardati a grandi distanze dal sistema di cariche}

Dobbiamo ora esaminare l'andamento delle soluzioni per i potenziali date dalle
Equazioni~(\ref{eq:asol}) ed~(\ref{eq:vsol}) a grandi distanze dal sistema di cariche. Notiamo che la distanza $\vec{r}$ compare nel termine $\Delta r$ sia in modo esplicito, nel denominatore di entrambi gli integrali, che come argomento,
nell'espressione $t-\Delta r/c$. La prima dipendenza \'e continua nella variabile
$\vec{r}$ ed il suo sviluppo in potenze di r d\'a termini che decrescono come $r^{-n}$ a grandi distanze. Si pu\'o dimostrare che essi non aggiungono nulla
alla radiazione per $n>1$. Possiamo quindi a denominatore sostituire a $\Delta r$ semplicemente r, e portarlo fuori dal segno di integrale.
\newline \indent
Il discorso si fa pi\'u complicato per la dipendenza da r contenuta nell'argomento delle densit\'a di carica e di corrente. A grandi distanze, infatti, il termine $\Delta r = |\vec{r}-\vec{r'}|$ diventa, al primo ordine:
\[
|\vec{r}-\vec{r'}|\:=\: r-(\vec{r'}\cdot \nab r)\:=\: r\:-\:\frac{\vec{r'} \cdot \vec{r}}{r}\:=\:r\:-\:\vec{r'} \cdot \vec{n}
\]
dove $\vec{n}$ \'e il versore di $\vec{r}$. I termini successivi nello sviluppo
contengono r a denominatore e possono essere trascurati. Quindi, a grandi distanze dal sistema di cariche, i potenziali diventano:
\begin{equation}
\vec{A}(\vec{r},t)\:=\:\frac{\mu_0}{4\pi r}\:\int_{\tau}\vec{J}(\vec{r'},t- r/c+\frac{\vec{r'}\cdot \vec{n}}{c})\:d\tau' \label{eq:asolapx}
\end{equation}
\begin{equation}
V(\vec{r},t)\:=\:\frac{1}{4\pi\epsilon_0 r}\:\int_{\tau}\rho(\vec{r'},t- r/c + \frac{\vec{r'} \cdot \vec{n}}{c})\:d\tau' \label{eq:vsolapx}
\end{equation}
dove si \'e ipotizzato di essere nel vuoto ($\epsilon = \epsilon_0$, $\mu = \mu_0$)
Il termine $\vec{r'} \cdot \vec{n}/c$ tra gli argomenti degli integrandi indica
quanto l'onda elettromagnetica proveniente dalle parti pi\'u distanti del sistema che irradia \'e ritardata rispetto all'onda proveniente dalle parti
vicine. In altre parole, il termine $\vec{r'} \cdot \vec{n}/c$  determina il tempo che l'onda elettromagnetica impiega ad attraversare il sistema. 

Esaminiamo ora quali siano le condizioni che debbono essere soddisfatte se si vuole che tale
termine possa esser trascurato.

Se la velocit\'a delle cariche \'e v, in tale tempo esse si saranno spostate di
$v(\vec{r'} \cdot \vec{n})/c$. Il ritardo interno al sistema sar\'a trascurabile
quando tale distanza sar\'a piccola rispetto alle dimensioni del sistema, $r'$.
Quindi la condizione \'e: $v(\vec{r'} \cdot \vec{n})/c \ll r'$ o, equivalentemente: $v \ll c$. In tal caso le cariche non avranno il tempo di
cambiare apprezzabilmente le loro posizioni durante il tempo che l'onda impiega ad attraversare il sistema.
\newline \indent
Tuttavia, se vogliamo che nulla realmente cambi nel sistema durante l'intervallo di tempo considerato, dobbiamo richiedere anche che in tale intervallo di tempo le cariche in movimento mantengano la loro velocit\'a, poich\'e il potenziale vettore dipende dalle correnti, cio\'e dalle velocit\'a delle cariche. Se ad esempio le cariche situate alle estremit\'a opposte del sistema oscillano in fase, e nel tempo $\vec{r'} \cdot \vec{n}/c$ la 
fase dell'oscillazione si inverte, l'azione di tali cariche sar\'a reciprocamente indebolita a causa del ritardo interno al
sistema. Formuleremo adesso la condizione che deve essere soddisfatta se si vuole che il ritardo interno al sistema non causi uno sfasamento aggiuntivo
tra l'emissione da parte delle singole sorgenti. Ammettiamo che le cariche
oscillino ed irradino con una frequenza angolare $\omega$. La lunghezza d'onda
della luce \'e data da $\lambda=2 \pi c/\omega$. Nel tempo $\vec{r'} \cdot \vec{n}/c$ la fase dell'oscillazione delle cariche cambia di $\omega \vec{r'} \cdot \vec{n}/c$. Occorre che tale cambiamento sia piccolo rispetto a $2 \pi$ in tutti i punti del sistema, cio\'e:
\[
\frac{\omega r'}{c} \ll 2 \pi
\]
da cui, indicando con $\nu$ la frequenza:
\[
\frac{\nu r'}{c} \ll 1
\]
ovvero:
\[
r' \ll \frac{c}{\nu}=\lambda
\]

In altri termini, le dimensioni del sistema debbono essere piccole rispetto alla lunghezza d'onda $\lambda$ della luce emessa, se si vuole che il ritardo interno al sistema non causi uno sfasamento relativo tra le onde provenienti dai diversi centri emettitori.

Si pu\'o verificare in modo equivalente la necessit\'a della suddetta condizione, nel modo seguente.
\newcommand{\rp}{\vec{r'}}
La richiesta, come visto, \'e quella di poter trascurare, nello sviluppo del potenziale vettore, i termini
in $\vec{r'} \cdot \vec{r}/r$ rispetto al termine di ordine zero.

Lo sviluppo dell'integrando nell'espressione del potenziale vettore (limitandoci, per semplicit\'a,
a considerare la componente x) \'e:

\begin{equation}
\frac{J_x(\rp,t-r/c)}{r} - \frac{\rp \cdot \vec{n}}{rc}\frac{\partial}{\partial t} J_x(t-r/c) - \frac{1}{r^2}J_x(t-r/c)  \label{sviluppo}
\end{equation}

dove l'ultimo termine, che va come $(1/r^2)$ pu\'o esser trascurato a grandi distanze.

Ammettiamo ora che $J_x$ sia una funzione periodica:
\[
J_x\:=\:J_x^0 cos(\omega t)
\]
Il rapporto tra il secondo termine ed il primo nell'espressione~\ref{sviluppo} \'e allora:
\[
\omega \frac{r'}{c}
\]
che deve essere molto minore di uno. Ne segue:

\[
\omega r' \ll c
\]
da cui:
\[
r'\ll \frac {c}{2 \pi f} = \frac{c}{2 \pi} T = \lambda
\]

In definitiva possiamo dire che il termine $\rp \cdot \vec{n}/c$ nell'argomento dell'integrando non \'e importante se sono soddisfatte entrambe le condizioni $v \ll c$ e $r' \ll \lambda$.

Vedremo tuttavia tra poco che quanto detto si applica solo al potenziale vettore $\vec{A}$ e non
a quello scalare V.
\section{Radiazione di dipolo}

Ammettiamo adesso che entrambe le disuguaglianze menzionate nella sezione precedente siano soddisfatte e che il ritardo $\vec{r'} \cdot \vec{n}/c$
interno al sistema sia trascurabile. \'E facile vedere che tale termine
pu\'o esser trascurato solo nell'espressione del potenziale vettore $\vec{A}$, ma non in quella del potenziale scalare V. In effetti, se nell'espressione
del potenziale scalare poniamo $\vec{r'} \cdot \vec{n}/c = 0$, troviamo:
\[
V(\vec{r},t)\:=\:\frac{1}{4\pi\epsilon_0 r}\:\int_{\tau}\rho(\vec{r'},t- r/c)\:d\tau'
\]
e questo \'e semplicemente il potenziale elettrostatico generato nel punto
$\vec{r}$ dalla carica totale del sistema, costante nel tempo. Vediamo quindi
che, se vogliamo render conto del contributo del potenziale V alla generazione
di onde elettromagnetiche, non possiamo arrestare, come fatto, lo sviluppo
al primo ordine. Anzich\'e far uso di sviluppi ad ordini pi\'u elevati, \'e
comodo far uso dello sviluppo, tuttora valido, del potenziale vettore, e
della condizione di Lorentz che abbiamo imposto ai potenziali:
\[
\nab \cdot \vec{A} \:+\:\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial V}{\partial t}\:=\:0
\]
Trascurando il ritardo interno al sistema, l'espressione del potenziale vettore diventa:
\begin{equation}
\vec{A}(\vec{r},t)\:=\:\frac{\mu_0}{4\pi r}\:\int_{\tau}\vec{J}(\vec{r'},t- r/c)\:d\tau'
\end{equation}
Sostituiamo in questa espressione a $\vec{J}$ il prodotto $\rho \vec{v}$,
dove ora la densit\'a di carica $\rho$ \'e calcolata al tempo $t-r/c$.
Si ottiene quindi:
\[
\vec{A}(\vec{r},t)\:=\:\frac{\mu_0}{4\pi r}\:\int_{\tau}\rho(\vec{r'},t-r/c) \vec{v}\:d\tau'
\]
Notiamo ora che, se avessimo a che fare con una singola carica puntiforme e,
l'integrale nell'ultima espressione scritta sarebbe semplicemente $e \vec{v}$.
Per un sistema di cariche esso sar\'a:
\[
\sum_{i}e_i \vec{v}_i \:_{(t-r/c)}
\]
dove la somma va calcolata al tempo ritardato $t-r/c$. Ora, il momento di dipolo di un sistema \'e definito come:
\[
\vec{p}\:=\:\sum_{i}e_i \vec{r'}_i
\]
per cui \'e:
\[
\dot{\vec{p}}\:=\:\sum_{i} e_{i} \frac{d\vec{r'}_{i}}{dt}
\]
ed infine, il potenziale vettore diviene:
\[
\vec{A}\:=\:\frac{\mu_0}{4 \pi r}\:\dot{\vec{p}}_{(t-r/c)}
\] 
Notiamo che il potenziale vettore $\vec{A}$ dipende solo dalla derivata temporale del momento di dipolo del sistema. Ora, mentre, come sappiamo,
per un sistema elettricamente neutro, il momento di dipolo non dipende dalla
scelta dell'origine, per un sistema carico esso ne dipende. Tuttavia, la
derivata del momento di dipolo non dipende in alcun caso da tale scelta. Ci\'o
fa si che l'espressione trovata per il potenziale vettore sia valida in tutti
i casi, anche se si tratta di una singola carica in movimento.
\newline \indent
Vediamo adesso di calcolare il potenziale scalare. Lavoriamo in coordinate
cartesiane, con il dipolo diretto lungo l'asse z. Ammettiamo inoltre di essere nel vuoto ($\mu = \mu_0 ; \; \epsilon = \epsilon_0$). La condizione di Lorentz
implica che sia:
\[
\nab \cdot \vec{A}\:=\:\frac{\partial A}{\partial z} \:=\: \frac{\mu_0}
{4 \pi } \:[-\frac{z}{r^3}\dot{p} \: - \: \frac{z \ddot{p}}{c r^2}]\:=\: -\frac{\mu_0 z}{4 \pi r^3}[\dot{p}\:+\:\frac{r}{c}\ddot{p}]
\]
o anche, in notazione vettoriale:
\[
\nab \cdot \vec{A}\:=\: \frac{-\mu_0}{4 \pi r^3}[\dot{\vec{p}}\:+\:\frac{r}{c}\ddot{\vec{p}}]\cdot \vec{r}
\]
Imponiamo ora la condizione di Lorentz, chiedendo l'uguaglianza di tale espressione a:
\[
-\frac{1}{c^2}\frac{\partial V}{\partial t}
\]
cio\'e:
\[
\frac{\partial V}{\partial t}\:=\:\frac{\mu_0 c^2}{4 \pi r^3} \left[\dot{\vec{p}}+\frac{r}{c}\ddot{\vec{p}}\right] \cdot \vec{r}
\]

Integrando poi rispetto a t, si ottiene:
\[
V\:=\:\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r^3}\:[\vec{p}+\frac{r}{c}\dot{\vec{p}}]\:\cdot \vec{r} \:+\:costante
\]
dove si vede per\'o subito che la costante additiva deve esser nulla, dovendo il potenziale ridursi a quello statico:
\[
\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r^3}\:\vec{p} \cdot \vec{r}
\]
quando sia $\dot{\vec{p}}=0$.
Notiamo che anche nell'espressione scritta per il potenziale scalare, le grandezze a secondo membro vanno calcolate al tempo ritardato $(t-r/c)$~\footnote{Al medesimo risultato si pu\'o alternativamente
pervenire partendo dall'espressione~\ref{eq:vsolapx} del potenziale scalare ed effettuando uno sviluppo
in serie, arrestato al primo ordine, in $\rp \cdot \vec{n}/c$ (vedasi appendice B)}
\newline \indent
Abbiamo in definitiva ottenuto delle espressioni per i potenziali vettore
e scalare relativi ad un dipolo variabile nel tempo. Le espressioni ottenute
sono:
\begin{equation}
V\:=\:\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r^3}\:\left[ \left(\vec{p}+\frac{r}{c}\dot{\vec{p}} \right)\:\cdot \vec{r}\right]_{(t-r/c)} \label{eq:vdipol}
\end{equation} 
\begin{equation}
\vec{A}\:=\:\frac{\mu_0}{4 \pi r}\:\dot{\vec{p}}_{(t-r/c)} \label{eq:adipol}
\end{equation}
\section{Onda elettromagnetica generata dal dipolo: calcolo dei campi}
L'espressione trovata per i potenziali elettrodinamici relativi ad un dipolo
pu\'o ora essere utilizzata per il calcolo dei campi E e B e di conseguenza
per il calcolo del vettore di Poynting e dell'energia irraggiata.
Conviene lavorare in coordinate sferiche, con il dipolo posto nell'origine ed
orientato lungo l'asse z. Le componenti del potenziale vettore saranno allora:
\[
A_r\:=\:\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\dot{p}\cos\theta}{r}
\]
\[
A_\theta\:=\:-\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\dot{p}\sin\theta}{r}
\]
\[
A_\phi\:=\:0
\]
ed il potenziale scalare:
\[
V\:=\:\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[\frac{p}{r^2}+\frac{\dot{p}}{rc}\right]\:\cos\theta
\]
Per calcolare i campi $E$ e $B$ faremo ora uso delle espressioni del gradiente e del rotore in coordinate sferiche:
\[
\nab V \: = \: \dvdr \rhat+\frac{1}{r} \dvdth \thhat +\frac{1}{r \sin \theta} \dvdfi \fihat 
\]
\begin{eqnarray*}
\nab \times \vec{A}  = & & \frac{\rhat }{r^2 \sin \theta}\{\ddth \left(r A_{\phi}\sin\theta \right)  -  \ddf \left(r A_{\theta}\right) \} + \\ & & \frac{\thhat}{r \sin \theta}\{\ddf A_r-\ddr \left(A_{\phi} r \sin \theta\right)\} + \\
& & \frac{\fihat}{r}\{\ddr \left(r A_{\theta} \right)-\ddth A_r \}
\end{eqnarray*}
Poich\'e 
\[
\vec{B}=\nab \times \vec{A}
\]
e 
\[
\vec{E}=-\nab V - \partial \vec{A}/\partial t
\]
troviamo:
\begin{eqnarray}
B_r &= &0 \\
B_{\theta} & = & 0 \\
B_{\phi} & = & \frac{\mu_0}{4 \pi} 
\frac{\sin \theta}{r} \left[ \frac{\ddot{p}_{(t-r/c)}}{c} \: + \: \frac{\dot{p}_{(t-r/c)}}{r} \right] \\
E_r & = & \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} 2 \frac{\cos \theta}{r}\left[\frac{\dot{p}_{(t-r/c)}}{cr}\:+\:\frac{p_{(t-r/c)}}{r^2}\right] \\
E_{\theta} & = & \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\sin \theta}{r}\left[\frac{\ddot{p}_{(t-r/c)}}{c^2}\:+\:\frac{\dot{p}_{(t-r/c)}}{c r}\:+\:\frac{p_{(t-r/c)}}{r^2}\right] \\
E_{\phi} & = & 0 \\
\end{eqnarray}
Queste equazioni mostrano che i campi E e B sono ortogonali l'uno all'altro~\footnote{Infatti vediamo che
$\vec{B}$ ha solo la componente $\phi$, mentre $\vec{E}$ ha solo le componenti $r-\theta$}. 

Inoltre notiamo la presenza di termini che hanno una diversa dipendenza dalla distanza r; termini che vanno come $1/r$, $1/r^2$, $1/r^3$. Tali termini, come
vedremo tra un attimo, hanno significati fisici diversi. In particolare, solo
i termini con dipendenza $1/r$ corrispondono ad un'onda elettromagnetica con
associato trasporto di energia.
\newline \indent
Cominciamo con il considerare il campo a grandi distanze dalle sorgenti. Dobbiamo, per iniziare, intenderci sul significato del termine ''grandi distanze''. Per farlo, prendiamo ad esempio il caso di un'oscillazione sinusoidale. Sappiamo infatti che potremo poi trattare il caso di un'oscillazione di tipo generico facendo uso del teorema di Fourier. 
\newline
Ammettiamo quindi che sia:
\[
p\:=\:p_0 \:\cos \omega t
\]
con che avremo:
\[
\dot{p}\:=\:-p_0 \omega \sin \omega t
\]
\[
\ddot{p}\:=\:-p_0 \omega^2 \cos \omega t
\]
Il rapporto tra il termine in $\ddot{p}$ e quello in $\dot{p}$ nell'espressione di B \'e:
\[
\frac{\ddot{p}/c}{\dot{p}/r}\:=\:\frac{\omega r}{c}\:=\:\frac{2 \pi r}{c T}\:=\:\frac{2 \pi r}{\lambda}
\]
tale rapporto \'e molto maggiore di uno per:
\[
r\:\gg\:\lambda/(2 \pi)
\]
se tale condizione \'e soddisfatta, \'e facile vedere che \'e molto maggiore di uno il rapporto tra il termine in $\ddot{p}$ e quello in $\dot{p}$ nell'espressione della componente $\theta$ del campo elettrico. Il rapporto tra il termine in $\dot{p}$ e quello in $p$ (nell'espressione di $E_{\theta}$ come pure in quella di $E_{\phi}$) analogamente vale:
\[
\frac{\dot{p} r}{p c}\:=\: \frac{\omega r}{c}\:=\: \frac{2 \pi r}{\lambda}
\]
e quindi anche tale rapporto \'e molto maggiore di uno per $r \gg \lambda/(2 \pi)$. In definitiva possiamo dire che, a distanze molto maggiori della lunghezza d'onda corrispondente all'oscillazione del dipolo (e quindi della
radiazione emessa) il termine di gran lunga dominante \'e quello in $\ddot{p}$.
\newline
In tale situazione i campi diventano:
\begin{eqnarray*}
B_r & = & 0 \\
B_{\theta} & = & 0 \\
B_{\phi} & = & \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\ddot{p}_{(t-r/c)}}{rc}\sin\theta \\
E_r & = & 0 \\
E_{\theta} & = & \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\ddot{p}_{(t-r/c)}}{rc^2}\sin\theta \\
E_{\phi} & = & 0
\end{eqnarray*}
Segue da queste equazioni:
\[
\vec{E} \cdot \vec{B}\:=\:0
\]
\[
|E|\:=\:c |B|
\]
Cio\'e i campi elettrico e magnetico dell'onda, a grandi distanze, soddisfano
le medesime equazioni soddisfatte nel caso delle onde piane.
Calcoliamo ora il vettore di Poynting associato a tale onda. Troviamo facilmente:
\begin{equation}
\vec{S}\:=\:\vec{E} \times \vec{H}\:=\:\frac{1}{\mu_0}\:\vec{E} \times \vec{B}\:=\:\hat{r}\:\frac{1}{16 \pi^2 \epsilon_0 c^3} \left(\frac{\ddot{p}_{(t-r/c)}}{r}\right)^2 \:\sin^2 \theta \label{eq:poynting}
\end{equation}
Vediamo che $\vec{S}$ \'e diretto radialmente verso l'esterno e che decresce
come $1/r^2$. Inoltre il modulo \'e massimo per $\theta = \pi/2$.

Quanto visto ci mostra che un dipolo oscillante emette la pi\'u gran parte dell'energia nella zona
del piano ''equatoriale'', mentre \'e nulla l'energia emessa nella direzione del dipolo medesimo.

Calcoliamo ora il flusso totale di $\vec{S}$ attraverso una superficie sferica di raggio r, con centro sul dipolo:
\[
P\:=\:\Phi(S)\:=\:\int{\vec{S} \cdot \vec{n}} \: dS\:=\:\frac{\ddot{p}^2}{8 \pi \epsilon_0 c^3}\:\int_{-1}^{1}(1-\cos^2 \theta) d\cos\theta \:=\:\frac{\ddot{p}^2}{6 \pi \epsilon_0 c^3}\:=\:\frac{\mu_0 \ddot{p}^2}{6 \pi c}
\]
Vediamo che la potenza totale che attraversa la sfera \'e indipendente dal raggio. Inoltre, la potenza totale, come quella per unit\'a di superficie,
\'e proporzionale al quadrato della derivata seconda del momento di dipolo.
\newline \indent
Esaminiamo ora la potenza totale, tenendo conto anche dei termini che abbiamo fin qui trascurato. Vedremo che tali termini non contribuiscono al trasporto netto di energia. 
Sviluppiamo il prodotto $\vec{E}\times \vec{H}$ tenendo conto di tutti i termini contenuti nelle espressioni (24-30). Troviamo:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\vec{S}_T \:=\: \frac {\thhat }{16 \pi^2 \epsilon_0}\:2 \sin\theta \cos\theta\left[\frac{\punto \due}{c^2 r^3}\:+\:\frac{p \due}{c r^4}\:+\:\frac{\punto^2}{c r^4}\:+\:\frac{p \punto}{r^5}\right]\:} \\
& & -\:\frac{\rhat}{16 \pi^2 \epsilon_0}\:\frac{\sin^2\theta}{r^2} \left[\frac{\punto \due}{c^2 r} \:+\:\frac{p \due}{c r^2}\:+\:\frac{\punto \due}{c^2 r}\:+\:\frac{\punto^2}{c r^2}\:+\:\frac{p \punto}{r^3}\right]\;+\;\vec{S}
\end{eqnarray*}
dove $\vec{S}$ \'e il vettore di Poynting gi\'a calcolato, associato ai termini che dominano a grandi distanze. Calcoliamo ora la potenza media trasportata in un periodo. Notiamo che nel far la media incontriamo una somma di termini contenenti prodotti di p con le sue derivate. I termini del tipo:
\[
\punto \due \:=\:p_0^2 \omega^2 \sin\omega t \:\cos\omega t
\]
hanno ovviamente valor medio nullo. La stessa cosa \'e vera per i termini
$p \punto$. I termini in $p \due$ hanno un valor medio dato da:
\[
\overline{p \due}\:=\: -p_{0}^{2} \omega^2 \overline{\cos^2 \omega t}\:=\:-\frac{p_0^2\omega^2}{2}
\]
mentre i termini $\punto^2$ danno un contributo al valor medio dato da:
\[
\overline{\punto ^2}\:=\: p_{0}^{2} \omega^2 \overline{\sin^2 \omega t}\:=\:
\frac{p_{0}^{2} \omega^2}{2}
\]
Vediamo cosi che termini dei due tipi si elidono ed il valor medio della potenza trasportata dall'onda si riduce a quello del termine $\vec{S}$, gi\'a calcolato prima, che \'e quello che domina a grandi distanze. Ne concludiamo che il trasporto di energia \'e affidato solo a quelle parti dei campi E e B che descrescono come $1/r$, che sono quelle che costituiscono l'onda elettromagnetica vera e propria.
\newline
Gli altri termini dominano per $r \ll \lambda$; essi descrivono il cosiddetto
$\emph campo \: vicino$. Esso, pur non essendo un campo statico, non contribuisce al trasporto di energia.

Esaminiamo la struttura dei relativi campi. I termini che ora potranno essere trascurati sono quelli
in $\dot{p}$ e $\ddot{p}$ nell'espressione di $\vec{E}$, quello in $\ddot{p}$ nell'espressione di $\vec{B}$. 
Rimane quindi:

\begin{eqnarray*}
B_r=0 \\
B_{\theta}=0 \\
B_{\phi}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\sin \theta}{r^2} \dot{p} \\
E_r=\frac{\cos \theta}{2 \pi \epsilon_0 r^3} p \\
E_{\theta}=\frac{\sin \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} p \\
E_{\phi}=0 
\end{eqnarray*}

Vediamo quindi che il campo elettrico \'e quello di un dipolo $p$, mentre il campo d'induzione magnetica
B \'e quello di un elemento di corrente $\dot{p}=J dz$.

\section{Irraggiamento da parte di un'antenna dipolare}

Consideriamo ora, come applicazione di quanto visto nella precedente sezione, un dipolo costituito da due sferette conduttrici, collegate tra loro da un tratto di conduttore rettilineo di lunghezza $l$ (dipolo Hertziano). Ammettiamo che una sorgente di forza elettromotrice alternata di pulsazione $\omega$ agisca, tale da mantenere delle oscillazioni di corrente $i(t)\:=\:i_0\:\cos \omega t$ lungo la barretta conduttrice. La carica al generico istante t su una delle sferette sar\'a allora:
\[
q(t)\:=\:\int_0^t i(t)\:dt\:=\:\frac{i_0}{\omega}\sin \omega t
\]
Se il sistema era inizialmente scarico, la carica sull'altra sferetta sar\'a, al medesimo istante t: $\:-q(t)$. Il sistema si comporter\'a allora come un dipolo, di valore:
\[
p(t)\:=\:q(t)\: l \:=\:\frac{l \:i_0}{\omega} \sin \omega t
\]
La derivata prima \'e:
\[
\dot{\vec{p}}(t)\:=\:l i_0 cos \omega t \:=\:l i(t)
\]
e la derivata seconda:
\[
\due \:=\: l\:\frac{di(t)}{dt}\:=\:-l\:\omega i_0\:\sin \omega t
\]
Il sistema irradier\'a quindi onde elettromagnetiche di frequenza $\nu=\omega/2 \pi$. Il relativo vettore di Poynting sar\'a dato dall'espressione~(\ref{eq:poynting}):
\begin{equation}
\vec{S}\:=\: \hat{r}\:\frac{1}{16 \pi^2 \epsilon_0 c^3} \left(\frac{\due}{r}\right)^2 \:\sin^2 \theta
\end{equation}
che nel nostro caso vale:
\begin{eqnarray*}
\vec{S} = \hat{r}\:\frac{1}{16 \pi^2 \epsilon_0 c^3 r^2}\left(l\:\frac{di(t)}{dt}\right)^2 = 
\hat{r}\:\frac{1}{16 \pi^2 \epsilon_0 c^3 r^2}\left( l\:i_0 \: \omega \sin \omega t \right)^2\: \sin^2\theta = \\
\hat{r}\:\frac{\mu_0}{16 \pi^2 c r^2} l^2\:i_0^2 \:\omega^2 \sin^2 \omega t \sin^2 \theta= \hat{r}\frac{Z_0}{16 \pi^2 c^2 r^2}\:l^2 i_0^2 \omega^2\:\sin^2 \omega t \sin^2 \theta
\end{eqnarray*}
dove abbiamo fatto uso della definizione dell'impedenza caratteristica del vuoto: 
\[
Z_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}
\]
La potenza totale irraggiata sar\'a:
\[
P\:=\:\frac{1}{6 \pi} \frac{Z_0}{c^2} \:l^2 \:(\frac{di}{dt})^2\:=\:
\frac{1}{6 \pi} \frac{Z_0}{c^2} \:l^2 i_0^2 \omega^2 \sin^2 \omega t\;\:\;(watt)
\]
e la potenza efficace sar\'a ottenibile da questa mediando su di un periodo dell'onda:
\[
\overline{P}\:=\:\frac{Z_0}{6 \pi c^2}\:l^2 \omega^2 i_{eff}^2\:=\:\frac{2 \pi}{3} \:Z_0 \: i_{eff}^2 \:(\frac{l}{\lambda})^2
\]
dove abbiamo definito la corrente efficace:
\[
i_{eff}^2\:=\:\frac{1}{T}\int_0^T i_0^2 \cos^2 \omega t\:dt
\]
Vediamo che la potenza media \'e proporzionale al quadrato della corrente efficace. Sembrerebbe inoltre che essa dovesse essere proporzionale al quadrato del numero di lunghezze d'onda contenute nell'antenna. Tuttavia dobbiamo ricordare che le formule adoperate valgono nell'approssimazione che sia $l\ll \lambda$, quindi l'ultima asserzione \'e ingiustificata. Vedremo in seguito come modificare le relazioni ottenute nel caso in cui la disuguaglianza $l \ll \lambda$ non sia soddisfatta.
\newline \indent
Ricordiamo che, per una resistenza R, la potenza dissipata per effetto Joule \'e data da: $W\:=\:R i^2$, cio\'e \'e proporzionale al quadrato della corrente. Poich\'e anche la nostra antenna dissipa potenza (sotto forma di radiazione di onde elettromagnetiche) proporzionalmente al quadrato della corrente (o meglio del suo valore efficace), si \'e deciso di definire anche in tal caso una $\emph resistenza \: di \: radiazione$ dell'antenna come il coefficiente che moltiplica il termine $i_{eff}^2$ nell'espressione della potenza irraggiata:
\[
R_{rad}\:=\:\frac{2 \pi}{3} \:Z_0 \:\left(\frac{l}{\lambda}\right)^2
\]
Questa espressione pu\'o esser trasformata, con ovvi passaggi, in :
\[
R_{rad}\:=\:\frac{2}{3}\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c}\:\left(l^2 k^2\right)
\]
dove k \'e il numero d'onda: $k=2 \pi/\lambda$. Il coefficiente che moltiplica la grandezza $l^2 k^2$ ha le dimensioni di una resistenza e vale numericamente $20 \Omega$ ; il termine $l^2 k^2$ \'e adimensionale.

\section{Antenna $\lambda/2$}

A frequenze elevate la lunghezza d'onda della radiazione diviene confrontabile
alle dimensioni dell'antenna e non \'e pi\'u lecito servirsi dell'approssimazione fatta: $r' \ll \lambda$. Una trattazione completa del problema della radiazione da una generica antenna in tali situazioni richiederebbe un corso apposito. Ci limiteremo quindi a discutere un esempio particolare, al solo scopo di mettere in evidenza l'approccio che viene seguito nella soluzione di problemi di questo tipo. L'esempio \'e quello di un'antenna rettilinea, di lunghezza pari a met\'a della lunghezza d'onda $\lambda$.
\newline \indent
Un commento generale che \'e opportuno fare, relativo anche ad altre geometrie, \'e quello relativo alla prossimit\'a dell'antenna alla Terra.
Questa pu\'o esser trattata approssimativamente come una superficie piana, perfettamente conduttrice. In tale ipotesi, si pu\'o far uso del metodo delle immagini, ed un'antenna posta  al di sopra della superficie terrestre pu\'o esser considerata come un insieme di due antenne, di cui la seconda \'e costituita dall'immagine della prima. La radiazione nello spazio pu\'o allora esser calcolata come quella generata dall'insieme delle due antenne, tenendo conto dello sfasamento dovuto alla distanza che le separa. Il problema \'e analogo a quello dell'interferenza tra la luce emessa da due fenditure praticate in uno schermo opaco e, come in quel caso, cos\'i anche qui l'interferenza tra le onde emesse dall'antenna e dalla sua immagine dar\'a luogo ad una redistribuzione della potenza nello spazio.
\newline \indent
Limitiamoci ora a studiare l'emissione di onde elettromagnetiche da parte di un'antenna di lunghezza $l=\lambda/2$, ignorando il contributo della sua eventuale immagine. Nell'antenna, eccitata da una tensione sinusoidale di pulsazione: 
\[
\omega= 2 \pi \nu = 2 \pi /T = 2 \pi c/c T = 2 \pi c/\lambda = \pi c/l
\]
avremo due nodi di corrente alle estremit\'a ed un ventre al centro. La tensione avr\'a viceversa dei ventri alle estremit\'a ed un nodo al centro. Il fenomeno \'e analogo a quello di un'onda acustica in una canna d'organo, con entrambe le estremit\'a aperte, che oscilla nel suo modo fondamentale.
\newline \indent
Prendiamo un sistema di coordinate cartesiane avente l'asse z diretto parallelamente all'antenna e con origine nel centro di questa. La corrente potr\'a essere scritta come:
\[
i\:=\:i_0\:cos \frac{2 \pi z}{\lambda}\;cos (\omega t)
\]
A grandi distanze dall'antenna possiamo, nell'espressione~(\ref{eq:asol}) del potenziale vettore, considerare la distanza a denominatore come una costante R, da portare quindi fuori dal segno d'integrale. Non possiamo per\'o trattare come costante la distanza r che compare nell'argomento della corrente.
Scriveremo allora:
\[
\vec{A}\:=\:\frac{\mu_0}{4 \pi R} \int_{-l/2}^{l/2}\vec{i}_{t-r/c}\: dz
\]
Un elementino di corrente $i\:dz$ dar\'a un contributo al potenziale vettore:
\[
dA\:=\: \frac{\mu_0}{4 \pi r} \:i_{t-r/c}\: dz\:=\: \frac{\mu_0}{4 \pi r} \:i_0 \: \cos\frac{2 \pi z}{\lambda}\:\cos\omega(t-r/c) \:dz
\]
dove si deve ricordare che il vettore $d\vec{A}$ \'e diretto lungo l'asse z.
\newline \indent
In coordinate sferiche questo \'e:
\begin{eqnarray*}
dA_r &= &\frac{\mu_0 i_0}{4 \pi r}\:\cos\frac{2 \pi z}{\lambda} \: \cos \omega(t-r/c) \: \cos \theta \: dz  \\
dA_{\theta} & = & -\frac{\mu_0 i_0}{4 \pi r}\:\cos\frac{2 \pi z}{\lambda} \: \cos \omega(t-r/c) \:\sin \theta \: dz  \\
dA_{\phi} & = & 0 
\end{eqnarray*}
da cui, usando la: 
\[
\vec{B}=\nab \times \vec{A}
\]
troviamo:
\begin{eqnarray*}
dB_r & = & 0 \\
dB_{\theta} & = & 0 \\
dB_{\phi}& = & \frac{1}{r}\frac{\mu_0 i_0}{4 \pi} \{ \ddr \left[-\cos \frac{2 \pi z}{\lambda} \:\cos \omega(t-r/c) \sin \theta \: dz\right] - \\
& & \frac{1}{r}\ddth\left[\cos \frac{2 \pi z}{\lambda} \:\cos \omega(t-r/c) \cos \theta \: dz\right] \}
\end{eqnarray*}
Trascurando i termini che decrescono pi\'u velocemente di $1/r$, la componente $dB_{\phi}$ diventa:
\[
dB_{\phi}\:=\:-\frac{\mu_0 i_0}{4 \pi r }\frac{\omega}{c} \sin \theta \cos\frac{2 \pi z}{\lambda}\:\sin \omega(t-r/c)\:dz
\]
Il campo B si ottiene integrando tale espressione rispetto a z, tra $-\lambda/4$ e $+\lambda/4$:
\[
B\:=\:B_{\phi}\:=-\frac{\mu_0 i_0}{4 \pi R }\frac{2 \pi}{\lambda} \sin \theta \int_{-\lambda/4}^{\lambda/4} \cos\frac{2 \pi z}{\lambda}\:\sin \omega(t-r/c)\:dz\label{eq:bphi}
\]
Notiamo che \'e (vedi figura~\ref{polar_plot}):

\[
r\:=\:R-z \cos \theta
\]
\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=polar_plot.eps,width=6.0 cm,height=6 
cm}}\end{center}
\caption{ }
\protect\label{polar_plot}
\end{figure}

per cui il termine $\omega(t-r/c)$ diventa:
\[
\omega(t-R/c) + \omega(\frac{z \cos \theta}{c})
\]
e quindi:
\begin{eqnarray*}
\sin \omega(t-r/c) & = & \sin\left[\omega(t-R/c)+\omega(z \cos \theta/c)\right] = \\
& & \sin(\omega(t-R/c))\cos(\omega \frac{z \cos \theta}{c}) + \\
& & \cos(\omega(t-R/c))\sin(\omega\frac{z \cos \theta}{c})
\end{eqnarray*}
Notiamo che il primo termine nell'ultima espressione scritta \'e una funzione pari di z, mentre il secondo \'e dispari. Ciascuno di tali termini andrebbe ora moltiplicato per la funzione $\cos(2 \pi z/\lambda)$, che \'e
una funzione pari,  e poi integrato sulla variabile z, tra $-\lambda/4$ e $\lambda/4$. Ne segue che il contributo  all'integrale~(\ref{eq:bphi}) del secondo dei due termini esaminati  \'e nullo. 

Il modulo di $B_{\phi}$ sar\'a dunque:
\[
B_{\phi}\:=\frac{\mu_0 i_0}{2 \lambda R } \sin \theta \int_{-\lambda/4}^{\lambda/4} \cos\frac{2 \pi z}{\lambda}\:\cos \frac{\omega z \cos \theta}{c} \sin \omega(t-R/c)\:dz
\]
Essendo l'integrando una funzione pari di z, questo pu\'o ancora essere espresso come:
\[
B_{\phi} \: = \:  \frac{\mu_0 i_0}{ \lambda R } \sin \omega(t-R/c) \sin \theta \int_{0}^{\lambda/4} \cos\frac{2 \pi z}{\lambda}\:\cos \frac{\omega z \cos \theta}{c} \:dz 
\]
Facendo infine uso delle relazioni trigonometriche:
\[
\cos \alpha \cos \beta \:=\:\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)\:+\:\cos(\alpha -\beta)\right]
\]
e ponendo $k=2\pi/\lambda=\omega/c$, l'integrando diventa:
\[
\cos kz \cos (kz \cos\theta) \: = \: \frac{1}{2}\{\cos\left[kz(1+ \cos \theta) \right] \: + \: \cos \left[ kz(1-\cos \theta) \right] \}
\]
Effettuando l'integrazione e semplificando, otteniamo infine:
\[
B_{\phi}\:=\:\frac{\mu_0 i_0}{ 2 \pi R  }\sin \omega(t-R/c) \frac{\cos \left[\pi/2 \cos \theta\right]}{\sin \theta} 
\]
Il campo elettrico, a grandi distanze, sar\'a diretto perpendicolarmente al vettore $\vec{R}$ ed a $\vec{B}$. Abbiamo visto che $\vec{B}$ \'e diretto lungo la coordinata azimutale $\hat{\phi}$. Ne segue che $\vec{E}$ sar\'a diretto lungo $\hat{\theta}$. Se quindi immaginiamo di tracciare una superficie sferica con centro nell'origine e su tale superficie disegnamo paralleli e meridiani, $\vec{B}$ sar\'a diretto lungo i paralleli, $\vec{E}$ lungo i meridiani. Sia E che B hanno una dipendenza dall'angolo $\theta$ del tipo:
\[
\frac{\cos \left[\pi/2 \cos \theta\right]}{\sin \theta} 
\]
Essi sono massimi all'equatore e minimi ai poli. Il modulo di $\vec{E}$ pu\'o esser ottenuto facilmente facendo uso della relazione, tuttora valida: $E=cB$, da cui si ha:
\[
E \:=\: \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \: \frac{i_0}{2 \pi R} \: \sin \omega(t-R/c) \frac{\cos \left[\pi/2 \cos \theta\right]}{\sin \theta}
\]
dove la costante $\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}$ \'e l'impedenza caratteristica del vuoto $Z_0$,  che vale $377 \: \Omega$. L'espressione precedente pu\'o quindi anche essere scritta nella forma:
\[
E \:=\: 60 \: \frac{i_0}{R} \: \sin \omega(t-R/c) \frac{\cos \left[\pi/2 \cos \theta\right]}{\sin \theta}
\]
La potenza irradiata dall'antenna pu\'o essere ottenuta dal vettore di Poynting:
\[
P\:=\:\frac{E\:B}{\mu_0}\:=\:\frac{Z_0 i_0^2}{4 \pi^2 R^2} \sin^2 \omega(t-R/c) \frac{\cos^2 \left[\pi/2 \cos \theta\right]}{\sin^2 \theta}
\]
e la potenza totale si ottiene da questa integrando sulla sfera di raggio R:
\[
P_T\:=\: \frac{Z_0 i_0^2 \sin^2 (\omega(t-R/c))}{4 \pi} \:\int_{-1}^{1}\frac{\cos^2 \left[\pi/2 \cos \theta\right]}{\sin^2 \theta} \: d\cos\theta
\]
L'integrale definito vale 1.21848. Raccogliendo i rimanenti fattori numerici, otteniamo:
\[
P_T\:=\:36.56\:i_0^2\:=\:73.11\:i^2_{eff}\:\:\:(watt)
\]
Ne deduciamo che la resistenza d'antenna \'e di circa $73.11\:\Omega$. 

\newpage

\section{Appendice A}

Vogliamo verificare che la soluzione dell'equazione:
\begin{equation}
\nab^2 V-\frac{1}{c^2}\dvdtd\:=\:-\rho/\epsilon_0   \label{app_one}
\end{equation}
\'e:
\[
V(r_0,t)\:=\:\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int_\tau \frac{\rho(\vec{r'},t-r/c)}{r} d\tau'
\]
dove abbiamo posto:

$\vec{r'}$ vettore posizione della sorgente

$\vec{r}_0$ vettore posizione del punto potenziato

$\vec{r}=\vec{r}_0-\vec{r'}$ 

Dividiamo il volume $\tau$ in un volumetto $\tau_1$ molto piccolo, contenente il punto $\vec{r}_0$ ed
un volume $\tau_2$ comprendente tutto il resto dello spazio.
Con ci\'o la~\ref{app_one} si scrive:
\newcommand{\rz}{\vec{r}_0}

\newcommand{\inveps}{\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}}
\begin{equation}
V(\rz,t)\:=\:\inveps \int_{\tau_1}\frac{\rho(\vec{r'},t-r/c)}{r} d\tau' + \inveps \int_{\tau_2}\frac{\rho(\vec{r'},t-r/c)}{r} d\tau'\:\equiv
\:V_1 + V_2\;\; \label{app_two}
\end{equation}
Nel primo di questi integrali r \'e molto piccolo (prenderemo poi il limite per $\tau_1 \rightarrow 0$)
per cui il ritardo r/c potr\'a essere trascurato nell'espressione di $\rho$. Ne segue che l'integrale
diventa quello del corrispondente caso statico:
\[
V_1(\rz,t)\:=\:\inveps \int_{\tau_1}\frac{\rho(\vec{r'},t)}{|\rz - \rp|} d\tau' 
\]
per il quale sappiamo che \'e:
\begin{equation}
\nabla^2 V_1(\rz,t)\:=\:-\rho(\vec{r}_0,t)/\epsilon_0  \label{app_three}
\end{equation}
Poich\'e inoltre, per una funzione della sola coordinata radiale r, il Laplaciano \'e:
\[
\nabla^2 f(r)\:=\:\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2}\left[r f(r)\right]
\]
Questo, applicato al secondo termine ($V_2$) nella~\ref{app_two}, fornisce:
\[
\nabla^2 V_2\:=\:\inveps \int_{\tau_2} \nabla^2 \left[\frac{\rho(\rp,t-r/c)}{r}\right] d\tau'\:=\:\inveps \int_{\tau_2} \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2}\rho(\rp,t-r/c) d\tau'
\]
Notiamo ancora che, per ogni funzione g della combinazione $(t-r/c)$, si ha:
\[
\frac{\partial^2 g}{\partial r^2}\:=\:\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 g}{\partial t^2}
\]
per cui l'ultima equazione scritta diventa:
\[
\nabla^2 V_2\:=\:\inveps \int_{\tau_2} \frac{1}{r c^2} \frac{\partial^2 \rho(\rp,t-r/c)}{\partial t^2} d\tau' \:=
\]
\[
=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \int_{\tau_2}\frac{\rho(\rp,t-r/c)}{r} d\tau'\:=\:\frac{\partial^2 V_2}{\partial t^2}
\]
Al limite $\tau_1 \rightarrow 0$ il volume $V_2 \rightarrow V$, per cui l'ultima equazione scritta
diventa:
\[
\nabla^2 V_2 \:=\:\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 V}{\partial t^2}
\]
Facendo ora uso della~\ref{app_three} troviamo infine:
\[
\nabla^2 V \:=\:\nabla^2 V_1 + \nabla^2 V_2 \:=\:-\frac{\rho}{\epsilon_0} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 V}{\partial t^2}
\]
ovvero:
\[
\nabla^2 V - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} \:=\:-\frac{\rho}{\epsilon_0}
\]
Che dimostra quanto asserito.
 
\newpage

\section{Appendice B}

Vogliamo far vedere che l'espressione~\ref{eq:vdipol} per il potenziale scalare, ottenuta partendo
dall'espressione trovata per il potenziale vettore a grandi distanze e facendo uso della condizione di 
Lorentz, pu\'o essere ottenuta direttamente a partire dalla~\ref{eq:diffvv}, sviluppando al primo
ordine nella grandezza $\vec{r'}\cdot \vec{n}/c$.

Lo sviluppo della~\ref{eq:diffvv} fornisce infatti:
\[
V(\vec{r},t)\:=\:\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left\{ \int_{\tau} \frac{\rho(\rp,t-r/c)}{r} d\tau' 
- \int_{\tau} \frac{\rp \cdot \vec{r}}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\frac{\rho(\rp,t-r/c)}{r}\right]d\tau' \right\}
\]

Nel primo di questi integrali possiamo portar fuori il fattore $1/r$, che non dipende dalle variabili
d'integrazione. Il primo termine diventa allora:
\[
\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 r} \int_{\tau}\rho(\rp,t-r/c) d\tau'\:=\:\frac{q_{(t-r/c)}}{4 \pi \epsilon_0 r}
\]
dove $q_{(t-r/c)}$ \'e la carica totale del sistema, presa al tempo $t-r/c$. Questo \'e comunque un campo
Coulombiano, non associato ad un onda. Tale campo inoltre si annullerebbe se il sistema fosse neutro (come
nel caso del dipolo, che abbiamo analizzato). Dobbiamo quindi, se vogliamo analizzare la propagazione
dell'onda elettromagnetica che nasce per effetto del moto delle cariche all'interno del volume $\tau$,
tener conto del termine successivo nello sviluppo. Per semplicit\'a ignoreremo del tutto, nel seguito,
il termine Coulombiano (quello di ordine zero).

Consideriamo quindi il termine:
\[
- \int_{\tau} \frac{\rp \cdot \vec{r}}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}\frac{\rho(\rp,t-r/c)}{r}\right]d\tau'
\]
Questo si pu\'o scrivere nella forma:
\[
-\frac{\vec{r}}{r}\cdot \frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{1}{r}\int_{\tau}\rp \rho(\rp,t-r/c) d\tau' \right]
\]

L'integrale che figura in questa espressione \'e il momento di dipolo del sistema, al tempo $t-r/c$:
\[
\vec{p}_{(t-r/c)}\:=\:\int_{\tau}\rp \rho(\rp,t-r/c) d\tau'
\]
Ne segue:
\[
V(\vec{r},t)\:=\:-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\vec{r}}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{1}{r} \vec{p}_{(t-r/c)}\right]
\]
da cui:
\[
V(\vec{r},t)\:=\:-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\vec{r}}{r} \cdot \left\{-\frac{1}{r^2} \vec{p}_{(t-r/c)} - 
\frac{1}{rc} \dot{\vec{p}} \right\}\:=\:\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\vec{r}}{r^3}\cdot \left\{\vec{p}+\frac{r}{c} \dot{\vec{p}}\right\}
\]
che \'e quanto avevamo trovato per altra via.


\end{document}


