Esercizio sui dielettrici

In un condensatore a facce piane parallele di sezione A, poste a distanza l, è presente un dielettrico rigido isotropo di spessore d e sezione A, con costante dielettrica

ϵ = ϵ_{0}(\frac{z − h + d}{d}),

dove z è la distanza dall’armatura inferiore del condensatore (vedi fig. 1).

Figura 1:

Il condensatore è mantenuto ad una differenza di potenziale costante V. Si calcolino:

1. il campo elettrico in tutto lo spazio;

2. la densità di carica sulle armature e la capacita‘ del condensatore;

3. la densità di carica superficiale e volumetrica di polarizzazione;

4. la forza elettrostatica esercitata dal solo dielettrico sull’armatura superiore del condensatore;

5. la forza elettrostatica totale a cui è sottoposta l’armatura superiore del condensatore.

6. Si supponga ora che il dielettrico sia immerso solo per un tratto x all’interno del condensatore, come mostrato in fig. 2. Siano a e b i lati di ciscuna armatura del condensatore (e del dielettrico). Si calcoli la forza di cui risente il dielettrico. N.B.:per i primi 5 punti si trascurino gli effetti al bordo del condensatore.

Soluzione

1. Per la simmetria del problema il campo ha come unica componente z, ed esiste solo all’interno del condensatore. Dalla relazione ∇ · D⃗ = ρ_{libera} si

Figura 2:

ottiene D_{z} = σ costante, dove σ è la densità di carica libera sull’armatura del condensatore a potenziale V. Il campo elettrico sarà quindi (vedi fig. 6) :

E_{1} = E_{3} = −σ/ϵ_{0}ẑ
E_{2}(z) = −\frac{σd}{ϵ_{0}(z − h + d)}ẑ

2. dalla relazione

V = \frac{σ}{ϵ_{0}} (l − d) + ∫_{h}^{d+h} \frac{σd}{ϵ_{0}(z − h + d)}dz = \frac{σ}{ϵ_{0}} (l − (1 − ln2)d) (1)

si ottiene:

σ = \frac{ϵ_{0}V}{(l − (1 − ln2)d)}
C = \frac{Q}{V} = \frac{ϵ_{0}A}{(l − (1 − ln2)d)}

3.

P⃗ = \frac{ϵ_{r} − 1}{ϵ_{r}} D⃗ = −\frac{(z − h)σ}{(z − h) + d}ẑ
−σ_{p1} = P⃗ · n̂|_{z=h+d} = −\frac{σ}{2}
σ_{p2} = P⃗ · n̂|_{z=h} = 0
ρ_{pol} = −\frac{d}{dz} P = \frac{−dσ}{(z − h + d)^{2}}

4. il campo dovuto alla polarizzazione del dielettrico è nullo al di fuori di esso; di conseguenza l’unica forza risentita da un’armatura del condensatore è dovuta all’attrazione con l’altra. Calcoliamo la forza per l’armatura superiore:

F_{z}|_{z=l} = QE = σA( − \frac{σ}{2ϵ_{0}} )ẑ = −\frac{σ^{2}A}{2ϵ_{0}} ẑ (2)

5. la forza totale a cui è sottoposta l’armatura superiore si può ricavare differenziando l’energia elettrostatica:

F_{z} = −\frac{Q^{2}}{2} \frac{d}{dz} (\frac{1}{C})|_{z=l} = −\frac{σ^{2}A}{2ϵ_{0}} ẑ (3)

Come atteso il risultato coincide con la forza calcolata al punto precedente.

6. la capacità del sistema totale è:

C = \frac{ϵ_{0}xb}{(l − (1 − ln2)d)} + \frac{ϵ_{0}(a − x)b}{l} (4)

da cui si ottiene:

F_{x} = \frac{V^{2}}{2} \frac{dC}{dx} = \frac{V^{2}ϵ_{0}b}{2}(\frac{1}{l − (1 − ln2)d)} − \frac{1}{l}) (5)

che tende a risucchiare il dielettrico all’interno del condensatore.

Un ricevitore ed una sorgente di onde sonore (in aria) di frequenza ν_{0}=2000 Hz, sono poste su di un medesimo asse (asse x).

Inizialmente la sorgente é ferma e l’ampiezza delle oscillazioni é di 10^{−4}m. Se il ricevitore é costituito da un dischetto avente raggio R = 10 cm, si calcoli la potenza media che esso riceve.

Se ora la sorgente inizia a muoversi di moto sinusoidale lungo il medesimo asse, con frequenza angolare ω ed ampiezza a = 50 cm, si calcoli per quale valore di ω la larghezza di banda delle onde che arrivano al ricevitore (definita come Δν = ν_{max} − ν_{min}) sará uguale a 200 Hz. Si assuma in ogni caso come velocitá di propagazione del suono: c = 340 m/s.