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\begin{document}
{\Large{\bf Esercizio sui dielettrici}}

In un condensatore a facce piane 
parallele di sezione $A$, poste a distanza $l$, \`e presente un dielettrico 
 rigido isotropo di spessore $d$ e sezione $A$, 
con costante dielettrica  
$$\epsilon=\epsilon_0 (\frac{z-h+d}{d}),$$ dove z \`e la distanza
dall'armatura inferiore del condensatore (vedi fig.~\ref{diel}).
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=diel.eps,width=10 cm}}
\caption{}
\label{diel}
\end{center}
\end{figure}

Il condensatore \`e mantenuto ad una differenza di potenziale costante V.

Si calcolino:
\begin{enumerate}
\item il campo elettrico in tutto lo spazio;
\item la densit\`a di carica sulle armature e la capacita` del condensatore;
\item la densit\`a di carica superficiale e volumetrica di
polarizzazione;
\item la forza elettrostatica esercitata dal solo dielettrico sull'armatura superiore
del condensatore;
\item la forza elettrostatica totale a cui \`e sottoposta l'armatura superiore 
del condensatore.
 
\item Si supponga ora che il dielettrico sia immerso solo per un tratto x
all'interno del condensatore, come mostrato in fig.~\ref{diel2}. 
Siano a e b i lati di ciscuna armatura del
condensatore (e del dielettrico). Si calcoli la forza 
di cui risente  il dielettrico.

{\bf N.B.}:per i primi 5 punti si trascurino gli effetti al bordo del
condensatore.

\end{enumerate}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=diel2.eps,width=10 cm}}
\caption{}
\label{diel2}
\end{center}
\end{figure}
{\Large Soluzione}
\begin{enumerate}
\item Per la simmetria del problema il campo ha come unica componente z, ed
  esiste solo all'interno del condensatore.
Dalla relazione $\vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho_{libera}$ si ottiene
$D_z=\sigma$ costante,
dove $\sigma$ \`e la densit\`a di carica libera sull'armatura del condensatore
a potenziale V. Il campo elettrico sar\`a quindi (vedi fig.~\ref{diel3}) : 
\begin{eqnarray*}
E_1=E_3 & = &-\sigma/\epsilon_0 \hat{z} \\
E_2(z) &= & -\frac{\sigma d}{\epsilon_0 (z-h+d)}\hat{z} \\
\end{eqnarray*}
\item 
dalla relazione 
\begin{equation}
V = \frac{\sigma}{\epsilon_0} (l-d)+\int_h^{d+h} 
\frac{\sigma d}{\epsilon_0 (z-h+d)} dz = 
   \frac{\sigma}{\epsilon_0}\Big(l-(1-ln2)d \Big) 
\end{equation}
si ottiene:
\begin{eqnarray*}
\sigma & =& \frac{\epsilon_0V}{(l-(1-ln2)d)} \\
C & = &\frac{Q}{V} = \frac{\epsilon_0 A}{(l-(1-ln2)d)}
\end{eqnarray*}
\item
\begin{eqnarray*}
\vec{P}&=&\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r}\vec{D} = -\frac{(z-h)\sigma}{(z-h)+d}\hat{z} \\
-\sigma_{p1} & =& \vec{P}\cdot{\hat{n}}|_{z=h+d} = -\frac{\sigma}{2} \\
\sigma_{p2} & =& \vec{P}\cdot{\hat{n}}|_{z=h} = 0 \\
\rho_{pol} & =& -\frac{d}{dz}P = \frac{-d\sigma}{(z-h+d)^2} \\
\end{eqnarray*}
\item il campo dovuto alla polarizzazione del dielettrico \`e nullo al di
fuori di esso; di conseguenza l'unica forza risentita da un'armatura del
condensatore \`e dovuta all'attrazione 
con l'altra. Calcoliamo la forza per l'armatura superiore:
\begin{equation}
F_z|_{z=l} = QE = \sigma A\Big(-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big)\hat{z} 
= -\frac{\sigma^2 A}{2\epsilon_0} \hat{z}
\end{equation}
\item la forza totale a cui \`e sottoposta l'armatura superiore 
si pu\`o ricavare differenziando l'energia elettrostatica:
\begin{equation}
F_{z} = -\frac{Q^2}{2}\frac{d}{dz}(\frac{1}{C})|_{z=l} = - \frac{\sigma^2 A}{2\epsilon_0}\hat{z} 
\end{equation}
Come atteso  il risultato coincide 
con la forza calcolata al punto precedente.
\item la capacit\`a del sistema totale \`e:
\begin{equation}
C= \frac{\epsilon_0 x b}{(l-(1-ln2)d)}+ \frac{\epsilon_0 (a-x)b}{l}
\end{equation}
da cui si ottiene:
\begin{equation}
F_x = \frac{V^2}{2}\frac{dC}{dx} = \frac{V^2 \epsilon_0 b}{2}(
\frac{1}{l-(1-ln2)d)}- \frac{1}{l})
\end{equation}
che tende a risucchiare il dielettrico all'interno del condensatore.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=diesol.eps,width=10 cm}}
%\caption{}
\label{diel3}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}

Un ricevitore ed una sorgente di onde sonore (in aria) di frequenza $\nu_0$=2000 Hz, sono poste
su di un medesimo asse (asse x). 

Inizialmente la sorgente \'e ferma e l'ampiezza delle oscillazioni
\'e di $10^{-4} m$. Se il ricevitore \'e costituito da un dischetto avente raggio $R=10\:cm$, si calcoli la potenza media che esso riceve.

Se ora la sorgente inizia a muoversi di moto sinusoidale lungo il medesimo asse, con frequenza
angolare $\omega$ ed ampiezza $a=50\:cm$, si calcoli per quale valore di $\omega$ la larghezza
di banda delle onde che arrivano al ricevitore (definita come $\Delta \nu = \nu_{max}-\nu_{min}$)
sar\'a uguale a $200\:Hz$. Si assuma in ogni caso come velocit\'a di propagazione del suono: $c=340\:m/s$.


\end{document}










