Corso di Fisica bI

25 Gennaio 2001

0.1 Esercizio sulle onde

Un ricevitore ed una sorgente di onde sonore (in aria) di frequenza ν_{0}=2000 Hz, sono poste su di un medesimo asse (asse x).

Inizialmente la sorgente é ferma e l’ampiezza delle oscillazioni é di 10^{−4}m. Se il ricevitore é costituito da un dischetto avente raggio R = 10cm, ed esso é posto ad 80 cm di distanza dalla sorgente, si calcoli la potenza media che esso riceve. Si prenda come densitá dell’aria il valore ρ_{0} = 1.2Kg m^{−3}.

Se ora la sorgente inizia a muoversi di moto sinusoidale lungo il medesimo asse, con frequenza angolare ω ed ampiezza a = 50cm, si calcoli per quale valore di ω la larghezza di banda delle onde che arrivano al ricevitore (definita come Δν = ν_{max} − ν_{min}) sará uguale a 200Hz. Si assuma in ogni caso come velocitá di propagazione del suono: c = 340m/s.

0.2 Soluzione

Se A é l’ampiezza di oscillazione ed r la distanza del ricevitore, l’intensitá dell’onda sonora é:

I = (\frac{A}{r})^{2} \frac{ω^{2}ρ_{0}}{2} c

dove:

ω = 2πν_{0} = 2π · 2000 ed inoltre:

ρ_{0} = 1.2 Kg/m^{3}

A = 10^{−4}m

e c é la velocitá di propagazione dell’onda sonora: c = 340 m/s.

Si trova allora per la potenza ricevuta:

P = \frac{10^{−8}}{0.8^{2}} \frac{(2π · 2000)^{2} · 1.2}{2} · 340 · π(0.1)^{2} = 15.81W

La larghezza di banda Δν = ν_{max} − ν_{min} é ottenibile da:

ν_{max} = ν_{0} \frac{c}{c − |v_{max}|} = ν_{0} \frac{c}{c − aω}

dove: v = aω cos(ωt); quindi: v_{max} = aω.

ν_{min} = ν_{0} \frac{c}{c + aω}

Δν = ν_{max} − ν_{min} = ν_{0}c (\frac{1}{c − aω} − \frac{1}{c + aω} ) =

= ν_{0}c\frac{2aω}{c^{2} − a^{2}ω^{2}}

Da questa, fissato Δν, si ottiene un’equazione quadratica in ω:

(\frac{Δν}{ν_{0}} a^{2}) ω^{2} + 2acω − \frac{Δν}{ν_{0}} c^{2} = 0

Da cui si ottiene:

ω = c\frac{ν_{0}}{Δν} (\sqrt{1 + (\frac{Δν}{ν_{0}} )^{2}} − 1)

Sostituendo i valori numerici si trova:

ω = 165.95 rad/s