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\title{\bf Corso di Fisica bI}
\date{25 Gennaio 2001}
\begin{document}
\maketitle

\section{Esercizio sulle onde}

Un ricevitore ed una sorgente di onde sonore (in aria) di frequenza $\nu_0$=2000 Hz, sono poste
su di un medesimo asse (asse x). 

Inizialmente la sorgente \'e ferma e l'ampiezza delle oscillazioni \'e di $10^{-4} m$. 
Se il ricevitore \'e costituito da un dischetto avente raggio $R=10 cm$, ed esso \'e posto
ad 80 cm di distanza dalla sorgente, si calcoli la potenza media che esso riceve. Si prenda
come densit\'a dell'aria il valore $\rho_0=1.2 Kg \:m^{-3}$.

Se ora la sorgente inizia a muoversi di moto sinusoidale lungo il medesimo asse, con frequenza
angolare $\omega$ ed ampiezza $a=50 cm$, si calcoli per quale valore di $\omega$ la larghezza
di banda delle onde che arrivano al ricevitore (definita come $\Delta \nu = \nu_{max}-\nu_{min}$)
sar\'a uguale a $200 Hz$. Si assuma in ogni caso come velocit\'a di propagazione del suono: 
$c=340 m/s$.



\newpage

\section{Soluzione}

Se A \'e l'ampiezza di oscillazione ed r la distanza del ricevitore, l'intensit\'a dell'onda
sonora \'e:

\[
I\:=\:\left(\frac{A}{r}\right)^2 \frac{\omega^2 \rho_0}{2} \:c
\]

dove:
\[
\omega\:=\:2 \pi \nu_0\:=\:2 \pi \cdot 2000
\]
ed inoltre:
\[
\rho_0 \:=\: 1.2 \:Kg/m^3
\]

\[
A \:=\: 10^{-4} m
\]
e c \'e la velocit\'a di propagazione dell'onda sonora: $c=340\:m/s$.

Si trova allora per la potenza ricevuta:
\[
P\:=\:\frac{10^{-8}}{0.8^2} \frac{(2 \pi \cdot 2000)^2 \cdot 1.2}{2} \cdot 340 \cdot \pi (0.1)^2\:=\:
15.81 W
\]

La larghezza di banda $\Delta \nu = \nu_{max}-\nu_{min}$ \'e ottenibile da:
\[
\nu_{max}\:=\:\nu_0 \frac{c}{c - |v_{max}|}\:=\:\nu_0 \frac{c}{c - a \omega}
\]
dove: $v=a \omega \cos(\omega t)$; quindi: $v_{max}=a \omega$.
\[
\nu_{min}\:=\: \nu_0 \frac{c}{c + a \omega}
\]
\[
\Delta \nu \:=\:\nu_{max}-\nu_{min}\:=\:\nu_0 c \left(\frac{1}{c - a \omega}-\frac{1}{c + a \omega} \right)\:=\:
\]
\[
=\:\nu_0 c \frac{2 a \omega}{c^2 - a^2 \omega^2}
\]
Da questa, fissato $\Delta \nu$, si ottiene un'equazione quadratica in $\omega$:
\[
\left(\frac{\Delta \nu}{\nu_0} a^2 \right) \omega^2 + 2 a c \omega - \frac{\Delta \nu}{\nu_0} c^2 \:=\:0
\]
Da cui si ottiene:
\[
\omega\:=\:c \frac{\nu_0}{\Delta \nu} \left( \sqrt{1 + (\frac{\Delta \nu}{\nu_0})^2} -1 \right)
\]

Sostituendo i valori numerici si trova:
\[
\omega \:=\:165.95\:rad/s
\]



\end{document}