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\bibliographystyle{unsrt}
\begin{document}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\title{\bf Laboratorio di Fisica VI}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle


\section{Misura del ''Common Mode Rejection Ratio'' di un Amplificatore Differenziale}




Relazione Gruppo ..........


\vspace{1 cm}



\section{Amplificatore differenziale}


\subsection{Introduzione} 


L'amplificatore differenziale \`e un importante elemento dei sistemi analogici, utilizzato laddove sia 
necessario amplificare la differenza tra due segnali. Purtroppo, nessun differenziale amplifica solo 
la \emph{differenza} tra i segnali di ingresso: una parte del segnale di uscita \`e riconducibile al contributo dato dal segnale \emph{di modo comune} $V_c$.

In un amplificatore operazionale \emph{reale}:

\[
V_0= A_d V_d + A_c V_c
\]

con $A_d$  amplificazione differenziale; $A_c$ amplificazione di modo comune. \`E anche:

\[
V_d=(V_+-V_-)
\]
\[
V_c=\frac{V_++V_-}{2}
\]

Ad esempio, se $V_+=2.1\;V$, $V_-=2.0\;V$, avremo: $V_d=0.1\;V$, $V_c=2.05\;V$.

Un importante parametro da valutare nella scelta di un amplificatore differenziale \`e il rapporto di 
reiezione del modo comune ($CMRR$):
\[
CMRR=\frac{A_d}{A_c}
\]

che, in dB \`e:

\[
CMRR_{dB} =  20 \log \frac{A_d}{A_c}
\]

Pi\`u \`e alto il valore del $CMRR$, pi\`u l'amplificatore differenziale approssima il comportamento ideale $A_c=0$.

L'operazionale \emph{reale} pu\`o essere sostituito da un \emph{operazionale ideale} con un \emph{generatore equivalente} posto sull'ingresso non invertente (vedi figura~\ref{fig1}).
 
\begin{figure}[!h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fig1.eps,width=8.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fig1}
\end{figure}

In tal modo si tien conto dell'amplificazione di modo comune \emph{reale} del dispositivo.

Si dimostra che se $CMRR \gg 1/2$, la tensione di questo generatore equivalente \`e:
$V_c/CMRR$.

\subsection{Valutazione del CMRR di un $\mu A741$}

Una valutazione del $CMRR$ ci d\`a un'idea dell'adeguatezza di un operazionale nell'utilizzo come amplificatore differenziale.

Per la valutazione del $CMRR$ del $\mu A741$ ci baseremo sul circuito di figura~\ref{fig2}.

 
\begin{figure}[!h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fig2.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fig2}
\end{figure}

Si tratta dello schema utilizzato dalla Philips Semiconductors per la valutazione dei propri 
dispositivi.

Siano:

\[
R_1 = 100 \Omega
\]
\[
R_2 = 10 K\Omega
\]

(quindi $R_1\parallel R_2 = 100 \Omega$)

Si applichi in ingresso una $V_i$ sinusoidale, con: $9V < V_i < 10V$, valor medio nullo, 
frequenza 50~Hz.

Si descriva l'andamento di $V_0$ e si spieghi il funzionamento del circuito, assumendo 
l'operazionale ideale  (basandosi quindi sul principio del cortocircuito virtuale).

Se consideriamo l'operazionale  \emph{reale}, cio\`e consideriamo anche l'effetto del generatore  
equivalente $V_i/CMRR$, applicando la sovrapposizione degli effetti ricaviamo che:

\[
V_0=V_i + \frac{V_i}{CMRR} \left(1+\frac{R_2}{R_1} \right)
\]

  
da cui si ricava il $CMRR$:

\[
CMRR=\frac{V_i}{V_0-V_i}\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)
\]

 
\begin{enumerate}

\item \emph{Utilizzando il multimetro digitale}, misurare il valore di $V_i$ e ($V_0 - V_i$) 
e ricavarne la misura del $CMRR$, a varie frequenze. (Effettuare le misure nel range di frequenze per le quali l'errore nella misura delle tensioni alternate con il multimetro \`e \emph{accettabile}..). \`E il valore del CMRR misurato in accordo con quello specificato nel datasheet ?

\item Riportare in un grafico l'andamento del $CMRR$ (in dB) in funzione della frequenza.

\item Avremmo potuto misurare ($V_i-V_0$) con l'oscilloscopio? Motivare la risposta.

\item Perch\`e si evita di fare la misura del $CMRR$ in DC ?

\end{enumerate}

\subsection{Valutazione del CMRR di un amplificatore della differenza di due segnali}

Si consideri adesso il circuito di figura~\ref{fig3}.

\begin{figure}[!h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=fig3.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{fig3}
\end{figure}
 
Questo \`e lo schema classico di un amplificatore della differenza di due segnali.

Si mostri, in base al principio del cortocircuito virtuale e facendo uso del principio di 
sovrapposizione degli effetti, che \`e:

\[
V_0=V_2\frac{R_4}{R_4+R_3}\frac{R_1+R_2}{R_1}-V_1\frac{R_2}{R_1}
\]

Si monti il circuito con $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 10 K \Omega$.

Si noti che in tale caso ci si aspetta $V_0 = (V_2-V_1)$, cio\`e  $A_d = 1$ e $A_c = 0$.

Il segnale di uscita dovrebbe dipendere quindi solo dalla differenza $V_2-V_1$.

In realt\`a, se applichiamo ai due ingressi $V_1$ e $V_2$ del differenziale uno stesso segnale sinusoidale $V_i$, con $9V < V_i < 10V$, valor medio nullo, frequenza 50~Hz, possiamo verificare che $V_0 \ne 0$.

Dalle definizione di $A_d$ ed $A_c$ (con $V_1 = V_2$) segue:

\[
V_0=A_d (V_2-V_1) + A_c \frac{V_2+V_1}{2}\;=\;A_c\frac{V_1+V_2}{2}=A_c V_i
\]
 
Sostituendo, si ottiene: 
 
\[
CMRR=\frac{A_d}{A_c}=\frac{V_i}{V_0}
\]


Misurare con l'oscilloscopio $V_i$ e $V_0$ per vari valori di frequenza nel range DC-20~KHz 
e riportare in un grafico l'andamento del $CMRR$(in dB) ottenuto dalla precedente relazione, in 
funzione della frequenza. Quanto ottenuto \`e coerente con i risultati della misura del $CMRR$ 
del solo operazionale effettuata in precedenza ?  

Scegliere adesso quattro resistenze da 10 $k\Omega$, selezionandole con il multimetro in modo che il 
loro valore sia uguale entro, al pi\`u l'$1\%$. Sostituirle a $R_1, R_2, R_3$ ed $R_4$.
Confrontare il $CMRR$ ottenuto con quello appena misurato. 

\end{document}
