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\title{\bf Laboratorio di Fisica VI}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle


\section{Filtri attivi}

\[
Relazione  \;gruppo \cdots
\]

\subsection{Introduzione} 







La funzione di trasferimento del filtro passivo mostrato in figura~\ref{filter_1} \`e data da:
\[
T(s)= \frac{s^2 + s \left( \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right) \frac{1}{R_3}+ \frac{1}
{C_1 C_2 R_3 R_4}}{s^2+s \left[ \left( \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \right) \frac{1}{R_3} + 
\frac{1}{C_2 R_4}\right]+\frac{1}{C_1 C_2 R_3 R_4}}
\]
Confrontando il denominatore di questa espressione con la funzione quadratica caratteristica di un filtro
di ordine 2:
\[
s^2 + s \frac{\omega_0}{Q} + \omega_0^2
\]
si trova:
\[
\omega_0^2=\frac{1}{C_1 C_2 R_3 R_4}
\]
\[
Q=\frac{\sqrt{C_1 C_2 R_3 R_4}}{C_1\left(R_3+R_4\right)+C_2R_4}
\]
Per la funzione di trasferimento inversa $T^{-1}$ avremo il medesimo valore di $\omega_0$, mentre il valore di $Q$ sar\`a:

\[
Q'= \left[ \frac{\sqrt{C_1 C_2 R_3 R_4}}{R_3}\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \right)\right]^{-1}
\]

Ponendo ora $C \equiv C_1 = C_2$, si ha:
\[
\omega_0^2 = \frac{1}{C^2 R_3 R_4}
\]

\[
Q= \frac{\sqrt{R_3 R_4}}{R_3+2R_4}
\]

\[
Q'= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{R_3}{R_4}}
\]

Si assuma ora i valori dei componenti indicati in figura.

Che tipo di filtro \`e quello descritto dalla $T(s)$ ?  Quali le sue caratteristiche ?

\vspace{6 cm}

Che tipo di filtro \`e quello descritto dalla $T^{-1}(s)$ ?  Quali le sue caratteristiche ?


\vspace{6 cm}

Si monti il circuito con i valori dei componenti indicati in figura. Si invii in ingresso un segnale
sinusoidale di ampiezza PP pari ad 1~Volt e frequenza variabile tra circa 400 e 2500~Hz e si misuri
per ciascun valore della frequenza, l'attenuazione $|T(\omega)|$ e lo sfasamento $\Phi(\omega)$. 
Si faccia in modo da avere un numero adeguato di punti nelle zone dove l'attenuazione cambia pi\`u rapidamente. Si riporti i risultati ottenuti in un diagramma di Bode.

Si valuti i valori delle frequenze di taglio $f'$ ed $f''$ nonch\`e l'ampiezza della banda tagliata: $BW=f''-f'$ e li si confronti con i valori attesi.

\vspace{3 cm}

Si valuti lo sfasamento alle frequenze $f'$ ed $f''$ e lo si confronti con quanto atteso.

\vspace{3 cm}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filter_1.eps,width=8.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{filter_1}
\end{figure}

Si introduca ora il circuito nella rete di feedback (negativo) di un operazionale, come
mostrato in figura~\ref{filter_5}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filter_5.eps,width=7.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{filter_5}
\end{figure}
 
Si invii all'ingresso non invertente dell'operazionale un segnale sinusoidale di ampiezza 200~mV PP. Si
ripetano le misure del guadagno e dello sfasamento di cui al primo punto. Si riportino i risultati in
un diagramma di Bode. Si valutino le frequenze di taglio $f'$ ed $f''$ e la banda passante $BW$.


\vspace{3 cm}
 
Si confronti quanto trovato con i valori attesi.

\vspace{3 cm}


Facoltativo: Si simuli il circuito di figura~\ref{filter_5} facendo uso di Microcap. Si accludano i diagrammi
di Bode ottenuti con la simulazione.
 




\end{document}









