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\title{\bf Esperimentazioni di Fisica III}
\author{\small }
\author{}
\date{}
 
\maketitle


\section{Strumentazione e circuiti RC}


Relazione Gruppo ..........






\subsection{Misura di $R_{out}$ del generatore di forme d'onda e del generatore di impulsi} 

Si faccia riferimento alla figura~\ref{rc_fig1_2}

\begin{figure}[h]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rc_fig1_2.eps,width=14.0 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{rc_fig1_2}
\end{figure}

I valori aspettati per $R_{out}$ sono compresi fra 10 e 200~$\Omega$. 
Per il generatore di impulsi usare la massima tensione di uscita. 

Operazioni da compiere per una misura di $R_{out}$ (per tutte le misure di tensione utilizzare 
l'oscilloscopio, cercando di minimizzare l'errore di lettura):

\begin{itemize}
\item[(a)] {Misurare la tensione  $V_{oo}$  all'uscita del generatore, come mostrato nella parte
sinistra della figura~\ref{rc_fig1_2}. Poich\'e 
l'impedenza dell'oscilloscopio \`e $1M\Omega \gg R_{out}$, si ha $V_{oo} \approx V_o$, cio\`e la caduta di tensione su $R_{out}$  \`e trascurabile.}
\item[(b)] {Inserita una resistenza di carico $R_L \ll 1 M\Omega$ (parte destra della figura), misurare la tensione $V_L$} 
all'uscita del generatore. In questo caso si ha:
 
\[
V_L \approx V_o \frac{R_L}{R_L + R_{out}}
\]
 
\item[(c)] {Da (a) e (b) si ricava: $R_{out} = R_L  (V_o/V_L - 1) = R_L  (V_{oo}/V_L - 1).$ 

Riempire poi la  tabella mostrata nel seguito, dove con $\Delta$ si \`e indicato l'errore sulla
variabile corrispondente:

\begin{table}[h] \label{table1} 

	\begin{center}
		\begin{tabular}{| l | l | l | l | l |}
\hline
& $R_L \pm \Delta$ & $V_{oo}\pm \Delta$ & $V_L \pm \Delta$ & $R_{out} \pm \Delta$ \\
 \hline
  & & & & \\
 generatore di forme d'onda & & & &\\
\hline
 & & & & \\
 generatore d'impulsi & & & &\\
\hline
		\end{tabular}
	\end{center}

\end{table}
 }			
\item[(d)]{Riportate  qui di seguito la formula adoperata per il calcolo dell'errore percentuale 
su  $R_{out}$ in funzione  di $V_{oo}$, $V_L$ e $R_L$ e degli errori su tali variabili.
\vspace{4.5 cm}

Come conviene scegliere la resistenza $R_L$ da inserire nel circuito perch\'e la precisione della 
misura sia buona?  Che cosa succede e come cambia la precisione della misura se $R_{out} \gg R_L$  
oppure  $R_{out} \ll R_L$ ? Per rispondere a queste domande non avete bisogno di cercare il 
minimo dell'errore relativo su $R_{out}$.  Rispondete analizzando l'andamento dell'errore 
percentuale nei casi limite richiesti.}


\item[(e)] {Supponete di aver misurato $V_{oo}$ e $V_L$ sullo stesso canale dell'oscilloscopio 
considerando come errore solo la risoluzione dello schermo 
(cio\`e la $\Delta$ corrispondente alla tacca o mezza tacca della scala del monitor 
dell'oscillocopio). Scoprite poi che sul canale che avete utilizzato per compiere la misura 
c'\`e un errore di calibrazione dell'ordine del $10\%$. 
Come cambia la vostra stima dell'errore su $R_{out}$~?}


\item[(f)] {Come cambia la valutazione dell'errore sulla misura di $R_{out}$ se invece 
avete misurato $V_{oo}$ e $V_{out}$ con due canali diversi dell'oscilloscopio e scoprite 
che hanno una differenza di calibrazione l'uno rispetto all'altro dell'ordine del $10\%$ ?}


\item[(g)] {Perch\'e \`e sbagliato calcolare l'errore su $R_{out} = R_L  (V_o - V_L )/V_L$ come:

\[
(\Delta R_{out}/R_{out})^2  =  (\Delta R_L / R_L )^2  +  ( \Delta(V_{oo} - V_L) / (V_{oo} - V_L) )^2   
+ (\Delta V_L / V_L)^2
\]
}
\item[(h)]{In quali condizioni il funzionamento del generatore di tensione si discosta apprezzabilmente 
da quello di un generatore ideale?}

\end{itemize}

\subsection{Circuito  Integratore}

\begin{itemize}

\item [(a)] {Facendo uso di un condensatore (C) ed una resistenza (R), montate un circuito che funzioni come 
integratore per segnali in ingresso aventi frequenze $f > 50$~KHz. Disegnate qui di seguito lo schema del 
circuito e specificate nella tabella i valori di R e C che avete scelto. 
Calcolate e riportate nella medesima tabella la costante di tempo $\tau = RC$ del circuito e la frequenza di taglio $f_0 = 1/2\pi R C$.

\vspace{7 cm}



\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|   l   |   l   |   l   |   l   | }
\hline
$\;\;\;R \pm \Delta~~~~~\;\;\;$ & $\;\;\;C \pm \Delta~~~~~\;\;\;$ & $\;\;\;f_0 \pm \Delta~~~~~\;\;\;$ & $\;\;\;\tau \pm \Delta~~~~~\;\;\;$ \\
 \hline
  & & & \\
  & & & \\
\hline
		\end{tabular}
	\end{center}

\end{table}

}	

\item[(b)]	{Misurate il tempo di salita T di $V_{out}$ per una tensione d'ingresso $V_{in}$ 
a gradino (vedi figura~\ref{rc_fig4}) (T=tempo impiegato da $V_{out}(t)$ per passare dal $10\%$ al $90\%$ del suo valore finale come mostrato in figura~\ref{rc_fig4}). Ricavate $\tau'= T/2.20$ e confrontatelo con il valore aspettato $\tau'= RC$ calcolato al punto a).


\begin{figure}
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=rc_fig4.eps,width=12.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{}
\protect\label{rc_fig4}
\end{figure}	
\[
T =\;\;\;\;\;\;\;\; 	\pm	
\]
\[
\tau' \equiv T/2.20 =\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\pm
\]
	
c'\`e accordo ? : $SI \;\;\;\; NO$


Per effettuare facilmente questa misura agire sulla manopola CAL dell'oscilloscopio 
(coassiale alla manopola VOLTS/DIV) fino a portare i livelli di partenza e di arrivo 
del segnale in corrispondenza delle righe contrassegnate con $0\%$ e $100\%$. 
In queste condizioni il tempo di salita \`e facilmente misurato come mostrato in figura~\ref{rc_fig4}.  
Come avete stimato l'errore su T?

ATTENZIONE: alla fine di questa misura RIPORTARE NELLO STATO NORMALE LA 
SCALA VERTICALE DELL'OSCILLOSCOPIO, altrimenti le misure successive risulteranno scalibrate.

 }

\item[(c)] {Misurate l'andamento in funzione della frequenza di:
\[
A = \frac{|V_{out}|}{|V_{in}|}
\]
\[
\Phi =   \mbox{ sfasamento fra } V_{in} \mbox{ e } V_{out}
\]


(Prendere per $V_{in}$ un segnale sinusoidale di modulo fissato, variandone poi la frequenza f. 
Per ogni frequenza misurare A e $\Phi$, visualizzando sull'oscilloscopio contemporaneamente $V_{out}$ e $V_{in}$)

Allegare a questa relazione la tabella delle misure fatte con l'oscilloscopio per: f, $V_{in}$ , 
$V_{out}$,  $\Delta t$, A e $\Phi$, dove $\Delta t$ \`e il ritardo temporale tra 
$V_{out}$ e $V_{in}$ (bastano poche misure ben distribuite in frequenza in modo che si osservi la forma della risposta). Confrontare le misure di A e $\Phi$ con le funzioni aspettate:
\[
A= \frac{1}{\sqrt{1+f^2/f_0^2}}
\]

e:
\[
\Phi = - \arctan (f/f_0)
\]
dove $f_0$ \`e la frequenza di taglio.

Allegare  su carta millimetrata i grafici di A e $\Phi$ in funzione di f. Poich\'e f varia di 
molti ordini di grandezza $(1-10^6 Hz$), \`e bene usare una scala logaritmica per l'asse x.

Ricavate dal grafico la frequenza di taglio del circuito $f'$ (cio\`e 
la frequenza per cui $A=1/\sqrt{2}$) e confrontatela con $f_0$.

Come avete stimato gli errori su $f_0$ ed $f'$? }

\vspace{5 cm}

\item[(d)] {In quale regione di frequenze il circuito si comporta come integratore ? In quale regione di 
frequenze il  filtro non attenua il segnale ? }




\item[(e)] { Verificate il comportamento del circuito come integratore utilizzando un segnale di input 
sinusoidale. Disegnate qui sotto ci\'o che vedete all'oscilloscopio utilizzando per $V_{in}$ e $V_{out}$ 
la stessa scala temporale.}
 


\item[(f)] {Utilizzate ora in input un segnale quadrato e verificate che l'output ne \`e l'integrale. 
Quale condizione deve essere soddisfatta tra il periodo dell'onda quadra T e il tempo $\tau$ 
affinch\'e  il circuito RC si comporti come integratore? Disegnare qui sotto ci\'o che si osserva 
all'oscilloscopio, cio\`e i due segnali $V_{in}(t)$ e $V_{out}(t)$  sulla stessa scala temporale:}

\vspace{7 cm}

\end{itemize}





\subsection{Circuito  Derivatore}

\begin{itemize}

\item[(a)] {Facendo uso di un condensatore (C) ed una resistenza (R), montate un circuito che 
funzioni come derivatore per segnali di input di frequenze $f \le 50$~KHz. 
Disegnate qui di seguito lo schema del 
circuito e specificate i valori di R e C che avete scelto. Calcolate la costante di tempo $\tau$ 
del circuito e la frequenza di taglio $f_0$.

\vspace{7 cm}

\[
R= \;\;\;\;\;\;\;\;\;\pm
\]
\[
C= \;\;\;\;\;\;\;\;\;\pm
\]

\[
\tau=RC= \;\;\;\;\;\;\;\;\;\pm
\]
\[
f_0= \;\;\;\;\;\;\;\;\;\pm
\]
}

\item[(b)] {Mandate in input un segnale sinusoidale $V_{in}$ di modulo fissato. 
Variando la frequenza di $V_{in}$, misurare  il valore della frequenza $f'$ per cui $A=1/\sqrt{2}$  
e confrontare il valore misurato con $f_0$ ricavato al punto a).

\[
f'= \;\;\;\;\;\;\;\;\;\pm
\]
C'\`e accordo con il valore atteso?

Come avete stimato l'errore in questo caso?}



\item[(c)] { Verificare che per $f \ll f_0$, $A=f/f_0$}
\vspace{5 cm}

\item[(d)] 	{In quale regione di frequenze il circuito si comporta come derivatore? In quale regione di 
frequenze il  filtro non attenua il segnale?} 





\item[e)] {Verificate il comportamento del circuito come derivatore utlizzando un segnale di input 
sinusoidale. Disegnate qui sotto ci\'o che vedete all'oscilloscopio utilizzando per $V_{in}$ e 
$V_{out}$ la stessa scala temporale.}
 

\item[(f)] {Utilizzate ora in input un segnale triangolare e verificate che l'output sia la derivata
di questo. 
Disegnate qui sotto ci\'o che si osserva all'oscilloscopio, cio\`e i due segnali $V_{in}(t)$ e $V_{out}(t)$  sulla stessa scala temporale:
\vspace{7 cm}
 }
 
\item[(g)] {Quanto valgono $Z_{in}$ e $Z_{out}$ del circuito integratore e derivatore? 
Considerate i casi peggiori.

Integratore:

\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{tabular}{| l | l | l | l | }
\hline
 & $\;\;\;f \ll f_0\;\;\;$ & $\;\;\;f \approx f_0\;\;\;$ & $\;\;\;f \gg f_0\;\;\;$ \\
\hline
& & & \\
$Z_{in}$ & & & \\
\hline
& & & \\
$Z_{out}$ & & & \\
\hline
		\end{tabular}
	\end{center}

\end{table}

Derivatore:

\begin{table}[htbp]
	\begin{center}
		\begin{tabular}{| l | l | l | l | }
\hline
 & $\;\;\;f \ll f_0\;\;\;$ & $\;\;\;f \approx f_0\;\;\;$ & $\;\;\;f \gg f_0\;\;\;$ \\
\hline
& & & \\
$Z_{in}$ & & & \\
\hline
& & & \\
$Z_{out}$ & & & \\
\hline
		\end{tabular}
	\end{center}

\end{table}

}
\item[(h)] {La resistenza $R_{out}$ dell'oscilloscopio modifica $V_{out}$ del vostro circuito? 
Modifica la frequenza di taglio ?


Durante l'esperienza in ogni caso  in cui  la misura non \`e compatibile con il valore aspettato, 
aggiungere delle osservazioni  per tentare di spiegare la discrepanza. 

Per la propagazione degli errori su di una quantit\'a $f(x_i)$, funzione  di altre $x_i$,
misurate  con errori scorrelati $\delta(x_i)$, usare la formula di  propagazione: 
\[
\delta f = \sqrt{\sum{\left[\frac{\partial f}{\partial x_i} \delta x_i \right]^2}}
\]

Si ricorda inoltre che \`e meglio non fare misure a frequenze troppo basse o troppo alte. A frequenze 
troppo basse diventa difficile l'uso dell'oscilloscopio. A frequenze troppo alte le capacit\'a ed 
induttanze parassite perturbano in modo non trascurabile il funzionamento del circuito.

}
\end{itemize}

\end{document}


