\chapter{Amplificatori differenziali}
\section{Concetti generali}

\index{Amplificatore! differenziale}
L'amplificatore differenziale \`e adoperato in un gran numero di casi, dove sia 
necessario amplificare la differenza tra due segnali. Una tipica applicazione 
si incontra nel caso in cui occorra trasmettere ad una certa distanza, in un 
ambiente soggetto a rumore elettronico un segnale di ampiezza ridotta. La linea 
che trasmette il segnale potr\`a prelevare dall'ambiente del rumore, che 
all'arrivo si trover\`a sommato al segnale.  


Ammettiamo di usare, per la trasmissione, due linee e di trasmettere lungo la 
prima linea il segnale $v$ e lungo la seconda il suo opposto $-v$.  Ammettiamo  
inoltre che le due linee siano strettamente accoppiate tra loro in modo da 
prelevare dall'ambiente un ugual segnale di rumore $v_n$. Ci\`o pu\`o esser 
ottenuto avvolgendo a spirale una linea sull'altra. In tal caso il segnale 
all'arrivo sar\`a $v+v_n$ sulla prima linea e $-v+v_n$ sulla seconda.

Se ora il circuito che riceve il segnale \`e un amplificatore differenziale, esso 
amplificher\`a la differenza dei due segnali. Se A \`e il guadagno
differenziale, il segnale all'uscita sar\`a:
\[
v_o=A \left[(v+v_n)-(-v+v_n)\right]=2 A v
\]

L'effetto del rumore sar\`a cos\`\i\ annullato.

Diamo ora alcune definizioni comunemente adoperate nel caso degli amplificatori 
differenziali, facendo riferimento allo schema di figura~\ref{ampl_diff_fig_1}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_1.eps,width=6 cm,height=3.5 cm}}\end{center}
\caption{Schema di un amplificatore differenziale a due ingressi.}
\protect\label{ampl_diff_fig_1}
\end{figure}


L'amplificatore ha due ingressi $v_1$  e $v_2$, ed un'uscita $v_o$.  
Sia gli ingressi che l'uscita sono riferiti a massa.  
Chiamiamo ``segnale differenza'' la quantit\`a:
\begin{equation}
v_d=v_2-v_1    \label{diff_amp_one}
\end{equation}
e ``segnale somma'' o ``segnale di ingresso nel modo comune\index{Modo comune}'',
la quantit\`a: 
\begin{equation}
v_a=\frac{v_1+v_2}{2}  \label{diff_amp_two}
\end{equation}

Se ora l'ingresso 2 \`e collegato a massa ed un segnale $v_1$ \`e applicato 
all'ingresso 1 avremo:
\[
v'_o=A_1 v_1
\]

Analogamente, se colleghiamo a massa l'ingresso 1 ed applichiamo un segnale $v_2$ 
all'ingresso 2, avremo:
\[
v''_o=A_2 v_2
\]

Per il principio di sovrapposizione, applicando segnali $v_1$ e $v_2$
agli ingressi 1 e 2, avremo: 
\begin{equation}
v_o=A_1 v_1 + A_2 v_2   \label{diff_amp_three}
\end{equation}

Le equazioni~(\ref{diff_amp_one}) e~(\ref{diff_amp_two}) forniscono:
\[
v_1=v_a-\frac{v_d}{2}
\]
\[
v_2=v_a+\frac{v_d}{2}
\]
che, sostituite nella~(\ref{diff_amp_three}), danno:
\begin{equation}
v_o=(A_1+A_2) v_a + \frac{A_1-A_2}{2} v_d   \label{diff_amp_four}
\end{equation}

Si definisce ``guadagno nel modo comune'' la grandezza:
\index{Modo comune! guadagno nel}
\[
A_a=A_1+A_2
\]

\index{Modo differenziale} \index{Modo differenziale! guadagno nel}
Analogamente, si definisce ``guadagno nel modo differenziale'' la grandezza: 
\[
A_d=\frac{A_1-A_2}{2}
\]

Con tali definizioni  la~(\ref{diff_amp_four}) diventa:
\begin{equation}
v_o=A_a v_a + A_d v_d   \label{diff_amp_five}
\end{equation}

Per quanto detto in precedenza, un buon amplificatore differenziale
\index{Amplificatore! differenziale} deve avere un buon guadagno per l'ingresso
differenziale ed un guadagno molto piccolo  (idealmente nullo) per
l'ingresso comune $v_a$.  Dalla~(\ref{diff_amp_five}) abbiamo: 
\[
v_o=A_d \left(v_d + \frac{A_a}{A_d} v_a \right)
\]

Il rapporto $\rho=A_d/A_a$ va sotto il nome di ``rapporto di reiezione
per il modo comune''. Si ha quindi:
\[
v_o=A_d\left(v_d + \frac{1}{\rho} v_a \right)
\]

Idealmente $\rho$ dovrebbe essere infinito con che avremmo:
\[
v_o=A_d v_d
\]

\section{Amplificatore differenziale: schema base}
\index{Amplificatore! differenziale}

La coppia differenziale mostrata in figura~\ref{ampl_diff_fig_2} \`e
alla base di qualsiasi amplificatore differenziale.   

Non sono state indicate le resistenze di polarizzazione delle
basi. Ammetteremo inoltre che i due transistor siano il pi\`u
possibile simili, e che essi lavorino in zona attiva.   
 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_2.eps,width=8 cm,height=8 cm}}\end{center}
\caption{Coppia differenziale. \index{Coppia differenziale}}
\protect\label{ampl_diff_fig_2}
\end{figure}

Notiamo che ora il segnale differenza \`e:  
\[
v_d \equiv v_1-v_2=v_{BE1}-v_{BE2}
\]
  
Inoltre, trascurando la corrente inversa del diodo collettore-base:  
\[
i_{C1}=\alpha I_{E0} e^{v_{BE1}/V_T}
\]
   \[
i_{C2}=\alpha I_{E0} e^{v_{BE2}/V_T}
\]
dove $\alpha$ \`e comune ai due transistor, come pure $I_{E0}$.  

Da queste segue:  
\[
\frac{i_{C2}}{i_{C1}}=e^{(v_{BE2}-v_{BE1})/V_T}=e^{-v_d/V_T}
\]

La presenza del generatore di corrente sulla gamba di emettitore fa si che:  
\[
i_{EE}=i_{E1}+i_{E2}=\frac{i_{C1}+i_{C2}}{\alpha}
\]
da cui:
\[
\alpha \frac{i_{EE}}{i_{C1}}=1+\frac{i_{C2}}{i_{C1}}=1+e^{-v_d/V_T}
\]
ed infine:  
\begin{equation}
i_{C1}=\frac{\alpha i_{EE}}{1+e^{-v_d/V_T}}  \label{diffamp_x}
\end{equation}
\begin{equation}
i_{C2}=\frac{\alpha i_{EE}}{1+e^{v_d/V_T}}  \label{diffamp_y}
\end{equation}

Ricordiamo che $V_T$ vale approssimativamente 25 mV.  
       
Se $v_d \gg V_T$ avremo:  
\[
i_{C1}=\alpha i_{EE}
\]
\[
i_{C2}=0
\]
        
Se invece $v_d$ \`e negativo e $|v_d| \gg V_T$ abbiamo:  
\[
i_{C1}=0
\]
\[
i_{C2}=\alpha i_{EE}
\]
         
Le tensioni alle uscite $v_{01}$ e $v_{o2}$ saranno:  
\[
v_{o1}=V_{CC}-R_c i_{C1}
\]
\[
v_{o2}=V_{CC}-R_c i_{C2}
\]
          
L'andamento di tali tensioni in funzione di $v_d$, fornito
dalle~(\ref{diffamp_x}) e~(\ref{diffamp_y}), \`e schematicamente mostrato
in figura~\ref{ampl_diff_fig_3}. 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_3.eps,width=9 cm,height=8 cm}}\end{center}
\caption{Tensioni in uscita alla coppia differenziale\index{Coppia differenziale}.}
\protect\label{ampl_diff_fig_3}
\end{figure}
           
 
Notiamo che nelle zone all'estrema destra ed all'estrema sinistra si
hanno valori costanti per $v_{01}$ e $v_{02}$. Il circuito viene
adoperato in tali zone quando si voglia realizzare un circuito logico
(logica ECL). La zona pi\`u interessante per la realizzazione di un
amplificatore differenziale \`e quella centrale in cui l'andamento
delle curve \`e approssimativamente lineare.   

Prima di esaminare in dettaglio la risposta, studiamo ora il punto di lavoro. 

Poich\'e abbiamo due transistor, dobbiamo analizzare il punto di
lavoro di entrambi, cio\`e fissare $i_{C1}$, $v_{CE1}$, $i_{C2}$,
$v_{CE2}$.   

Cominciamo ad esaminare il caso in cui $v_d=0$, cio\`e
$v_1=v_2$. Sostituiamo inoltre il generatore di corrente con una
semplice resistenza collegata ad una tensione negativa ($-V_{EE}$)
come mostrato in figura~\ref{ampl_diff_fig_4}.   
 
 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_4.eps,width=7 cm,height=8 cm}}\end{center}
\caption{Coppia differenziale di figura~\ref{ampl_diff_fig_2} in cui
  il generatore di corrente \`e stato sostituito con una resistenza.}
\protect\label{ampl_diff_fig_4}
\end{figure}

Data la (teoricamente) completa simmetria del circuito, possiamo
limitarci a studiarne una met\`a. La resistenza $R_e$ attraversata
dalla corrente $i_{E1}+i_{E2}=2i_E$ andr\`a ora sostituita da una
resistenza $2 R_e$ attraversata da $i_E$. La configurazione \`e quella
mostrata in figura~\ref{ampl_diff_fig_5}. 
 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_5.eps,width=6 cm,height=6 cm}}\end{center}
\caption{Parte sinistra della coppia differenziale di
  figura~\ref{ampl_diff_fig_4}.}
\protect\label{ampl_diff_fig_5}
\end{figure} 
  
L'equazione della retta di carico\index{Retta di carico} \`e data da:  
\begin{equation}
v_{CE}=V_{CC}-R_ci_C-2R_e i_E+V_{EE} \cong V_{CC}+V_{EE}-i_C(R_c+2R_e)  
\label{diff_amp_six}
\end{equation}
   
La maglia di base fornisce:  
\[
v_a=R_b i_B + V_{BE}+i_E (2R_e) - V_{EE}
\]
dove si \`e trascurato il termine $h_{ie}$.  
     
Da quest'ultima equazione si ottiene, con:
\[
i_B=i_E/(h_{FE}+1)
\]
ed $i_E \approx i_C$:
\[
v_a=\frac{R_b i_E}{1+h_{FE}}+V_{BE} + 2 R_e i_E - V_{EE}
\]
\[
i_C \left[2 R_e + \frac{R_b}{1+h_{FE}}\right] = v_a - V_{BE} + V_{EE}
\]
\begin{equation}
i_C=\frac{v_a + V_{EE}-V_{BE}}{2 R_e + R_b/(1+h_{FE})}  \label{diff_amp_seven}
\end{equation}

L'equazione~(\ref{diff_amp_six}) fornisce la retta di carico mentre
la~(\ref{diff_amp_seven}) ci fa vedere come varia il punto sulla retta
di carico al variare di $v_a$ (vedi figura~\ref{ampl_diff_fig_6}).  

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_6.eps,width=14 cm,height=7 cm}}\end{center}
\caption{Rette di carico per il modo comune (retta a tratto solido,
  che interseca gli assi) e per il modo differenziale, relative
  all'amplificatore differenziale. Il segmento passante per il punto Q
  ed avente maggiore pendenza appartiene alla retta di carico per il
  modo differenziale.} \index{Retta di carico} 
\protect\label{ampl_diff_fig_6}
\end{figure} 
\index{Modo comune} \index{Modo differenziale} 
 
Il punto Q \`e ottenibile dalla~(\ref{diff_amp_seven}) ponendo $v_a=0$:
\[
i_C(Q)=\frac{V_{EE}-V_{BE}}{2R_e + R_b/(1+h_{FE})}
\]
  
I punti indicati con $Q_{min}$ e $Q_{max}$ sono ottenibili dalla
medesima equazione~(\ref{diff_amp_seven}) ponendo $v_a=v_a^{max}$ e
$v_a=v_a^{min}$, sempre mantenendo $v_d=0$.   
  
Notiamo che, in tale situazione di perfetta simmetria, $v_{o1}=v_{o2}$.  
   
Esaminiamo ora ci\`o che accade se $v_d$ \`e diverso da zero, e
$v_a=0$. Dovremo ora porre $v_2=-v_1=v_d/2$. Essendo ora $v_a=0$, il
punto di lavoro sar\`a Q, che corrisponde anche a $v_d=0$. Vediamo
come tale punto si sposti al variare di $v_d$.   
   
Per piccole variazioni (uguali ed opposte) di $v_1$ e $v_2$, le
correnti $i_{E1}$ e $i_{E2}$ subiranno variazioni uguali ed opposte;
rester\`a per\`o costante la loro somma:       
\[
i_E=i_{E1}+i_{E2}
\]

Di conseguenza la tensione di emettitore rimarr\`a
costante. Cambieranno invece $V_{ce1}$ e $V_{ce2}$:   
\[
\Delta v_{CE1}=-R_c \Delta i_{C1}
\]
\[
\Delta v_{CE2}=-R_c \Delta i_{C2}
\]   

Indicando con $v_{CEQ}$, $i_{CQ}$ i valori di $v_{CE}$ e di $i_C$
corrispondenti al punto di lavoro Q, una generica di tali equazioni
pu\`o essere scritta nella forma:   
\[
v_{CE}-v_{CEQ}=-R_c (i_C -i_{CQ})
\]
      
Nel grafico della figura~\ref{ampl_diff_fig_6} tale relazione \`e
rappresentata da una retta passante per il punto Q ed avente pendenza
pari a $-1/R_c$.   
       
Si pu\`o vedere anche che, se $v_a$ fosse stato diverso da zero, ad
esempio tale da portare il punto di lavoro in Q', i valori di $v_{CE}$
ed $i_C$ ottenuti variando $v_d$ sarebbero stati quelli situati sul
segmento tratteggiato indicato, passante per il punto Q'; tale
segmento appartiene ad una retta di pendenza pari a $-1/R_c$.  
       
\section{Analisi della risposta a piccoli segnali dell'amplificatore
differenziale} \index{Amplificatore! differenziale! risposta a piccoli segnali} 

L'analisi della risposta dell'amplificatore differenziale a segnali di
piccola ampiezza, nella regione di basse frequenze, dove le capacit\`a
parassite possono essere trascurate, pu\`o esser effettuata tramite il
modello a parametri $h$ semplificato (cio\`e trascurando i parametri
$h_{re}$ ed $h_{oe}$) con una tecnica  simile a quella adoperata
nell'analisi del punto di lavoro.   
 
I segnali applicati ai due ingressi, $v_1$ e $v_2$, possono essere
scritti, come gi\`a visto, in termini dei segnali somma e differenza
$v_a$ e $v_d$: 
\[
v_1=v_a-v_d/2
\]
\[
v_2=v_a+v_d/2
\]

Il circuito base-emettitore dell'insieme dei due transistor \`e
schematizzabile come indicato in figura~\ref{ampl_diff_fig_7}, dove
l'impedenza presente nel circuito di base, $R_b$ (che tiene conto
delle resistenze di polarizzazione di base e dell'impedenza d'uscita
del generatore) \`e stata ``riflessa'' nel circuito di
emettitore. Analoga cosa \`e stata fatta per $h_{ie}$, che \`e stata
sostituita da $h_{ie}/(h_{fe}+1)=h_{ib}$. 
 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_7.eps,width=10 cm,height=4 cm}}\end{center}
\caption{Modello a parametri $h$ del circuito base-emettitore della
  coppia dei due transistor.}
\protect\label{ampl_diff_fig_7}
\end{figure} 
 
Il circuito di collettore \`e schematizzato in figura~\ref{ampl_diff_fig_8}.
  
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_8.eps,width=10 cm,height=4 cm}}\end{center}
\caption{Modello a parametri $h$ del circuito di collettore della
  coppia dei due transistor.}
\protect\label{ampl_diff_fig_8}
\end{figure} 
  
Notiamo ora che, analogamente a quanto fatto in precedenza, possiamo
calcolare la risposta del sistema facendo uso del principio di
sovrapposizione: calcolare cio\`e la risposta in presenza del solo
segnale comune $v_a$, quella in presenza del solo segnale differenza
$v_d$ ed infine la risposta complessiva ottenibile nel caso generale
in cui siano diversi da zero sia $v_a$ che $v_d$. 

Se $v_d=0$ avremo $v_1=v_2$ e quindi $i_{e1}=i_{e2}$. 
In tal caso la parte sinistra e quella destra del circuito di
figura~\ref{ampl_diff_fig_7} risultano identiche e ci si pu\`o
limitare a studiarne una met\`a.  
Occorre per\`o tener conto del fatto che a ciascuna met\`a appartiene
una resistenza $2 R_e$.  
Il circuito diventa quindi quello di figura~\ref{ampl_diff_fig_9}, dove \`e:  

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_9.eps,width=5 cm,height=4.5 cm}}\end{center}
\caption{Schema della sola parte sinistra del circuito di
  figura~\ref{ampl_diff_fig_7} nel caso in cui $v_d=0$.}
\protect\label{ampl_diff_fig_9}
\end{figure} 

\[
R=h_{ib}+\frac{R_b}{h_{fe}+1}
\]
da cui segue:  
\[
i_a=\frac{v_a}{2R_e+h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}
\]

Se ora \`e diverso da zero $v_d$ e nullo $v_a$, il circuito diviene
quello di figura~\ref{ampl_diff_fig_10}.   
   
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_10.eps,width=7 cm,height=4 cm}}\end{center}
\caption{Schema della sola parte sinistra del circuito di
  figura~\ref{ampl_diff_fig_7} nel caso in cui $v_a=0$.}
\protect\label{ampl_diff_fig_10}
\end{figure} 
   
Vediamo che ora le correnti nelle due maglie sono uguali e discordi
per cui \`e nulla la corrente in $R_e$ ed \`e di conseguenza uguale a
zero la differenza di potenziale ai suoi capi.  
In tali condizioni $R_e$ pu\`o essere sostituita da un corto circuito. 

La met\`a sinistra del circuito diviene allora quella di
figura~\ref{ampl_diff_fig_11}, per cui: 
\[
i_d=-\frac{v_d/2}{h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}
\]

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_11.eps,width=5 cm,height=4 cm}}\end{center}
\caption{Schema della parte sinistra del circuito di
  figura~\ref{ampl_diff_fig_7}.}
\protect\label{ampl_diff_fig_11}
\end{figure} 
        
Nel caso generale, in cui siano diversi da zero sia $v_a$ che $v_d$,
le correnti $i_{e1}$ ed $i_{e2}$ saranno date da: 
\[
i_{e1}\:=\:\frac{v_a}{2R_e+h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}-
\frac{v_d/2}{h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)} 
\]
\[
i_{e2}\:=\:\frac{v_a}{2R_e+h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}+
\frac{v_d/2}{h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)} 
\]

Ammettendo che $i_c\approx i_e$, dalla maglia d'uscita si vede che le
tensioni $v_{o1}$ e $v_{o2}$ sono: 
\[
v_{o1}=-R_c i_{c_1}=\frac{R_c/2}{h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)} v_d -
\frac{R_c}{2R_e+h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}v_a 
\]
\[
v_{o2}=-R_c i_{c_2}=\frac{-R_c/2}{h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)} v_d -
\frac{R_c}{2R_e+h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}v_a 
\]  
e quindi:  
\[
v_{o1}-v_{o2}=\frac{R_c}{h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}v_d
\]
cio\`e $v_{o1}-v_{o2}$ \`e proporzionale al segnale differenza $v_d$.  

Le singole tensioni d'uscita $v_{o1}$ e $v_{o2}$ sono dipendenti
linearmente da $v_d$, ma dipendono anche da $v_a$. Si pu\`o scrivere: 
\[
v_{o1}=A_d v_d - A_a v_a
\]
\[
v_{o2}=-A_d v_d-A_a v_a
\]
con:
\[
A_d=\frac{R_c/2}{h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}
\]
\[
A_a=\frac{R_c}{2R_e+h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}
\]

Possiamo allora definire il rapporto di reiezione per il modo comune (CMRR) come:
\[
CMRR=\rho \equiv
\frac{A_d}{A_a}=\frac{2R_e+h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}{2[h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)]} 
\]

Se \`e $2R_e \gg h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)$, $\rho$ pu\`o essere approssimato da:
\[
\rho \approx \frac{R_e}{h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)}
\]

Ad esempio se $h_{fe}=100$, $R_b=500 \Omega$, $R_e=1.5\;k\Omega$,
$R_c=200 \Omega$, $i_{CQ}\cong i_{EQ}=2.5\;mA$: 
\[
h_{ib}=\frac{V_T}{i_{EQ}}=\frac{25}{2.5}=10 \; \Omega
\]
\[
\frac{R_b}{h_{fe}+1} \approx 5 \;\Omega
\]
\[
\rho=\frac{1500}{15}=100 
\]
cio\`e 40~dB.
I valori di $A_a$ e di $A_d$ in tal caso varranno:
\[
A_a = \frac{R_c}{2 \times 1.5 k\Omega + 15 \Omega} \approx \frac{200}{3000}=0.067
\]
\[
A_d=\frac{R_c/2}{15 \Omega}=\frac{100}{15}=6.67
\]

Valori tipici di $\rho$ in amplificatori differenziali commerciali
vanno da 80 a 100~dB (cio\`e da $10^4$ a $10^5$).

Il valore di $\rho$ pu\`o essere considerevolmente aumentato
aumentando il valore della resistenza $R_e$. 

Tuttavia all'aumentare di $R_e$ aumenta la caduta di potenziale ai
suoi capi ed aumenta quindi la tensione di emettitore. Tale soluzione
non \`e quindi raccomandabile. 
  
Si pu\`o aumentare molto il valore di $\rho$ utilizzando un circuito
in cui $R_e$ \`e sostituita da un transistor che funziona in base
comune. Il circuito \`e indicato in figura~\ref{ampl_diff_fig_12}.   

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_12.eps,width=8 cm,height=9 cm}}\end{center}
\caption{Schema di un amplificatore differenziale ad alto $\rho$.}
\index{Amplificatore! differenziale}
\protect\label{ampl_diff_fig_12}
\end{figure} 
   
Il transistor $Q_3$  fornisce la corrente necessaria ed al medesimo
tempo presenta una elevata impedenza vista dagli emettitori dei
transistor $Q_1$, $Q_2$. Tale impedenza \`e pari ad $1/h_{ob3}$, che
\`e dell'ordine di 500 $k\Omega$. Con tale modifica, il valore di
$\rho$ dell'esempio precedente diverrebbe $\rho \approx 3.3 \cdot
10^4$ ($\approx 90~dB$). 

Come gi\`a visto in precedenza quando abbiamo analizzato il punto di
lavoro dell'amplificatore differenziale, la retta di carico per il
modo comune ($v_d=0$, $v_a \ne 0$) ha pendenza pari a $-1/(R_c+2R_e)$;
quella relativa al modo differenziale ha pendenza pari a $-1/R_c$.
 
Nel caso attuale, quest'ultima retta di carico\index{Retta di carico} rimane
invariata mentre, a causa dell'elevato valore della resistenza
presente sull'emettitore del circuito differenziale, la retta di
carico relativa al funzionamento nel modo comune diventa quasi
orizzontale. Ci\`o \`e mostrato in figura~\ref{ampl_diff_fig_13}, dove
i punti $Q_{min}$ e $Q_{max}$ sulla retta di carico per il modo comune
corrispondono ai valori minimi consentiti per le differenze di
potenziale $V_{CE}$ ai capi dei due transistor. Il grafico \`e quello
relativo al transistor $Q_1$, ma un grafico analogo si potrebbe
disegnare per $Q_2$. Valori molto piccoli di $V_{CE}$ corrispondono
alla saturazione del transistor. \`E immediato vedere che
all'aumentare di $V_{CE1}$, essendo fissati $V_{CC}$ e $V_{EE}$,
diminuisce $V_{CE3}$. Se $V_{CE1}$ aumenta oltre un certo limite,
$V_{CE3}$ diviene cos\`i piccolo che $Q_3$ entra in saturazione. 
   
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_13.eps,width=11 cm,height=7 cm}}\end{center}
\caption{Retta di carico relativa al modo comune del circuito di
  figura~\ref{ampl_diff_fig_12}.} 
\protect\label{ampl_diff_fig_13}
\end{figure}    
      
I punti estremi $Q_{min}$ e $Q_{max}$ sulla retta di carico relativa
al funzionamento nel modo comune possono quindi esser ottenuti
imponendo che nessuno dei transistor vada in saturazione. Il
transistor non andr\`a in saturazione (come si pu\`o vedere dalle
equazioni di Ebers-Moll) se:   
\[
v_{CE} > V_T [2.2 + \ln (h_{FE}/h_{FC})]
\]

Se ad esempio \`e $h_{FE}=100$ ed $h_{FC}=0.01$ si trova che deve
essere $v_{CE} > 0.3\,V$. Ora, il valore di $v_{CE1}$ \`e determinato
da $v_a$. Abbiamo infatti:  
\[
v_{C1}=V_{CC}-R_c I_{CQ1}
\]
\[
v_{E1}=v_a-R_b I_{BQ1}-0.7
\]
\[
v_{CE1}=v_{C1}-v_{E1}=V_{CC}-R_c I_{CQ1}-v_a + R_b \frac{I_{CQ1}}{h_{FE}}+0.7
\]
ed una analoga equazione \`e vera per $v_{CE2}$.
  
La condizione $v_{CE1} > 0.35\,V$ (preso al posto di 0.3 V, per
sicurezza), implica:   
\[
v_a < V_{CC}-\left(R_c -\frac{R_b}{h_{FE}}\right) I_{CQ1} + 0.35
\]

Il limite inferiore su $v_a$ \`e posto dalla condizione che $Q_3$ non saturi. 
Notiamo che si ha:
\[
v_a=R_b \frac{I_{CQ1}}{h_{FE}} + 0.7 - v_{CE3}-0.7 - V_{BB}
\]
da cui:
\[
v_{CE3}=v_a - R_b \frac{I_{CQ1}}{h_{FE}} + V_{BB} > 0.35 \;V
\]
segue:
\[
v_a > R_b \frac{I_{CQ1}}{h_{FE}} - V_{BB} + 0.35
\]


\section{Impedenza d'ingresso dell'amplificatore differenziale}
\index{Amplificatore! differenziale! impedenza d'ingresso}
 
La resistenza vista dai generatori di tensione $v_1$ e $v_2$, pu\`o
essere facilmente calcolata a partire dal circuito equivalente
base-emettitore, che ridisegnamo in figura~\ref{ampl_diff_fig_14}.   

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_14.eps,width=10 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente base-emettitore.}
\protect\label{ampl_diff_fig_14}
\end{figure} 
  
Poich\'e in genere $R_e$ \`e molto maggiore di
$h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)$, possiamo trascurare $R_e$. L'impedenza vista
da $v_1$ si pu\`o allora ottenere immaginando di cortocircuitare $v_2$
e di calcolare $R_{i1}$ come il rapporto tra $v_1$ ed $i_{b1}$,
cio\`e:
\[
R_{in}=R_{i1}=\frac{v_1}{i_{b1}}=\frac{v_1}{i_{e1}}\frac{i_{e1}}{i_{b1}}=2\left(h_{ib}+\frac{R_b}{h_{fe}+1}\right) \cdot \left(h_{fe}+1\right)
\]

Se ad esempio \`e $h_{fe}=99$ e $I_{EQ1}=I_{EQ2}=1\,mA$, avremo:  
\[
h_{ie}=(h_{fe}+1)h_{ib}= (h_{fe}+1)\frac{V_T}{I_{EQ}}=2500 \;\Omega
\]
 da cui:
\[
R_{in}=5\,k\Omega + 200 \cdot R_b
\]
e, con $R_b=50\,\Omega$: $R_{in}=15\;k\Omega$.
   
Per ottenere valori pi\`u elevati di $R_{in}$ \`e possibile sostituire
il transistor della coppia con FET, o anche con transistor Darlington.

\section{Generatore di corrente sull'emettitore}

Un metodo utilizzato nella pratica per ottenere una corrente $I_o$
costante nel ramo di emettitore dell'amplificatore differenziale,
senza utilizzare una resistenza di va\-lo\-re elevato, \`e quello di
inserire un generatore di corrente del tipo disegnato in
figura~\ref{ampl_diff_fig_15}.
 
 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_15.eps,width=9 cm,height=10 cm}}\end{center}
\caption{Schema di un amplificatore differenziale con corrente
  costante nel ramo di emettitore.}
\protect\label{ampl_diff_fig_15}
\end{figure} 
 
Verifichiamo che effettivamente $I_o$ \`e costante.  
 
Dall'analisi della maglia base-emettitore di $Q_3$ segue:  
\begin{equation}
V_{BE}+R_3 I_3 = V_B + V_{EE}    \label{diff_amp_eight}
\end{equation}
  
Calcoliamo ora $V_B$, trascurando la corrente di base.
\[
V_B=-R_1 I
\]
  
Notiamo che la corrente I che fluisce in $R_1$ \`e la stessa che
fluisce in $D_1$, $D_2$ ed $R_2$. Inoltre:
\[
V_B+V_{EE}=V_D + R_2 I
\]
dove $V_D$ \`e la caduta complessiva di potenziale ai capi dei due diodi.
    
Dalle due ultime equazioni si ottiene:  
\[
V_B + V_{EE}=V_D - \frac{R_2}{R_1} V_B
\]
     
Cio\`e:
\[
V_B(1+\frac{R_2}{R_1}) = V_D - V_{EE}
\]
  \[
V_B=(V_D-V_{EE})\frac{R_1}{R_1 + R_2}
\]
  
Facendo ora uso della~(\ref{diff_amp_eight}), si ottiene:
\[
V_{BE}+R_3 I_3 = V_{EE}\frac{R_2}{R_1+R_2}+V_D \frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
  
Se $R_1$ ed $R_2$ sono scelte in modo che:
\[
\frac{V_D R_1}{R_1+R_2}=V_{BE}
\]
segue:  
\[
I_3=V_{EE}\frac{R_2}{R_3(R_1+R_2)}
\]
         
Il che ci dice che se $V_{EE}$ \`e costante, allora anche $I_3$ \`e
costante.
          
Notiamo che se $V_{BE}$ aumentasse a causa di una variazione di
temperatura, $V_D$ aumenterebbe percentualmente della stessa
quantit\`a e quindi la relazione:
\[
V_D\frac{R_1}{R_1+R_2}=V_{BE}
\]
continuerebbe ad esser vera. In tal modo il circuito \`e quindi
stabilizzato contro eventuali variazioni di temperatura.

Si noti che $I_o=I_3$. Se differenziamo la~(\ref{diffamp_y}) rispetto a
$v_d=v_{BE1}-v_{BE2}$, otteniamo:
\[
\frac{di_{C2}}{dv_d} \cong \frac{i_{EE}}{\left(1+e^{v_d/V_T}\right)^2} \times e^{v_d/V_T} \left(-\frac{1}{V_T}\right)
\]
 
Per $v_d=0$, cio\`e  $v_{BE1}=v_{BE2}$, questa fornisce:
\begin{equation}
g_{md}\equiv \frac{di_{C2}}{dv_d}=\frac{i_{EE}}{4 V_T}=\frac{I_o}{4
  V_T}   
\label{diff_amp_nine}
\end{equation}

Questa equazione ci dice che per un dato valore di $I_o$, la
transconduttanza di un amplificatore differenziale \`e pari ad un
quarto di quella del singolo transistor ($I_0/V_T$).

Dalle considerazioni svolte all'inizio di questo capitolo segue che
l'amplificatore differenziale \'e un buon \emph{limitatore}: quando
l'input $v_d=V_{B1}-V_{B2}$ supera $\pm 4 V_T$ ($\pm\,100 \,mV$ a
temperatura ambiente) l'output pu\`o aumentare molto poco.

Dalla~(\ref{diff_amp_nine}) segue poi che il valore di $g_{md}$ \`e
proporzionale ad $I_o$.

Si ha inoltre:
\[ 
v_{o2}=g_{md} R_c v_d
\]

\`E poi possibile modificare il guadagno dell'amplificatore
differenziale aumentando $I_o$ (controllo automatico del guadagno)
     
\section{Amplificatore differenziale che fa uso di transistor
Darlington}
\index{Transistor! Darlington}

Abbiamo visto che un tipico transistor Darlington ha un valore di
$h_{fe}$ pari all'incirca al quadrato dell'$h_{fe}$ del singolo
transistor e che la sua impedenza d'ingresso \`e maggiore di quella di
un singolo transistor di un fattore $2(h_{fe}+1)$.

Un'amplificatore differenziale che fa uso di transistor Darlington \`e
quello indicato in figura~\ref{ampl_diff_fig_16}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_16.eps,width=9 cm,height=9 cm}}\end{center}
\caption{Schema di un amplificatore differenziale che fa uso di
  transistor Darlington.}
\protect\label{ampl_diff_fig_16}
\end{figure} 

L'impedenza d'ingresso di ciascuno dei due transistor \`e:  
\[
R_D=2(h_{fe}+1)h_{ie}=2(h_{fe}+1)^2 h_{ib}
\]

Si pu\`o allora facilmente vedere che il circuito equivalente \`e
quello di figura~\ref{ampl_diff_fig_17}:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=amplificatore_differenziale/ampl_diff_fig_17.eps,width=11 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente all'amplificatore differenziale di
  figura~\ref{ampl_diff_fig_16}.}
\protect\label{ampl_diff_fig_17}
\end{figure} 

L'impedenza d'ingresso vista da $v_1$ (o da $v_2$) \`e, come prima:
\[
R_i=4(h_{fe}+1)h_{ie1}=4(h_{fe}+1)^2 h_{ib1}
\]
  
Ad esempio, se ($h_{fe}+1$)=100 ed $I_{EQ1}$=1~mA, troviamo:  
\[
R_i=4 \cdot 10^4 \cdot \frac{25}{1}=1\;M\Omega
\]
 
Il rapporto di reiezione per il modo comune sar\`a:  
\[
\rho=\frac{R_e}{2h_{ib}+R_b/(h_{fe}+1)^2}
\]

Notiamo che, rispetto al caso in cui si adoperavano dei normali transistor:  
\[
h_{ib} \rightarrow 2 h_{ib}
\]
\[
\frac{R_b}{1+h_{fe}} \rightarrow \frac{R_b}{(1+h_{fe})^2}
\]
     
