\chapter{Amplificatori a transistor bipolari}
\label{bipolar_tran_ampli}

\section{Introduzione}

In questa parte ci occuperemo delle strutture pi\`u frequentemente adoperate nella 
realizzazione degli amplificatori a transistor.
Il termine ``amplificatore'' pu\`o voler dire un'amplificazione dell'ampiezza di un 
segnale di tensione, di corrente, di potenza,  ma pu\`o anche implicare una 
trasformazione di un segnale di tensione in un segnale di corrente, o viceversa.


Se l'amplificatore fornisce in uscita una replica amplificata del segnale in tensione 
presente in ingresso, esso \`e un \emph{amplificatore di tensione}\index{Amplificatore! di tensione}. 
Il guadagno \`a allora definito come:
\[
A_v=\frac{v_{out}}{v_{in}}
\]


Analogamente, se l'amplificatore fornisce in uscita una replica amplificata del segnale 
di corrente presente in ingresso, essa \`e un \emph{amplificatore di corrente}\index{Amplificatore! di corrente}, per il quale
il guadagno \`e definito da:
\[
A_i=\frac{i_{out}}{i_{in}}
\]

Notiamo che un amplificatore di tensione avr\`a in genere una bassa impedenza 
d'uscita, mentre l'opposto \`e vero per un amplificatore di corrente.

Se un segnale di tensione $v_{in}$ in ingresso \`e trasformato in un segnale di corrente 
$i_{out}$ in uscita, si dice che si ha un amplificatore \emph{a transconduttanza}\index{Amplificatore! a transconduttanza} per 
il quale il guadagno \`e:
\[
G=\frac{i_{out}}{v_{in}}
\]

dove G ha le dimensioni di $\Omega^{-1}$.

Analogamente, se un segnale di corrente $i_{in}$ in ingresso \`e trasformato in 
un segnale di tensione $v_{out}$ in uscita, avremo un guadagno:
\[
R=\frac{v_{out}}{i_{in}}
\]

si dice in tal caso che l'amplificatore \`e \emph{a transresistenza}\index{Amplificatore! a transresistenza}.
 
Un amplificatore a transconduttanza ha in genere un'elevata impedenza 
d'ingresso ed un'elevata impedenza d'uscita, mentre un amplificatore a transresistenza 
ha una bassa impedenza d'ingresso ed una bassa impedenza d'uscita. 

In questo capitolo ci occuperemo di discutere le strutture base di 
alcuni tipi di amplificatori.
Ci limiteremo a cercare di comprendere la risposta di tali circuiti a segnali di piccola 
ampiezza, in modo da poter calcolare i parametri che caratterizzano il circuito facendo 
uso del modello a parametri h. I parametri che di volta in volta calcoleremo sono: il 
guadagno, la resistenza d'ingresso $R_i$ e quella d'uscita d'uscita $R_o$.

Trascureremo gli effetti dovuti alle capacit\`a delle giunzioni ed ai condensatori di 
accoppiamento e/o di bypass. La risposta che calcoleremo sar\`a quindi quella 
riscontrabile ove tali effetti capacitivi possano essere trascurati, cio\`e entro 
la ``banda passante'' dell'amplificatore.

La dipendenza della risposta dalla frequenza sar\`a discussa nel capitolo dedicato
agli amplificatori a FET, dove l'effetto delle capacit\`a \`e analogo a quello che si
ha negli amplificatori a transistor bipolari.

\section{Inseguitore di emettitore}

Esaminiamo l'amplificatore ad inseguitore di emettitore\index{Inseguitore! di emettitore}, o emitter follower\index{Emitter follower} mostrato in
figura~\ref{emitt_foll_guadagno}. Questo \`e anche noto come ``amplificatore a collettore comune''\index{Amplificatore! collettore comune}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/emitt_foll_guadagno.eps,width=6 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Inseguitore di emettitore}
\protect\label{emitt_foll_guadagno}
\end{figure}

Ammettiamo di aver fissato i valori delle resistenze in modo da stabilire il punto di 
lavoro pi\`u opportuno.


Calcoleremo:

\begin{itemize}
\item[(a)] il guadagno in tensione;
\item[(b)] il guadagno in corrente;
\item[(c)] la resistenza d'ingresso;
\item[(d)] la resistenza d'uscita.
\end{itemize}

Usiamo il modello a parametri h, con i soli parametri $h_{ie}$  ed $h_{fe}$. Ammettiamo
cio\`e che siano trascurabili i parametri $h_{oe}$ ed $h_{re}$.

\subsection{Guadagno in tensione}

Con riferimento al circuito equivalente\index{Emitter follower! guadagno in tensione} di figura~\ref{emitt_foll_guadagno_schemat}, dove
$r_s$ \`e la resistenza d'uscita della sorgente $v_s$, avremo:

\begin{equation}
i_e=i_b+i_c=i_b(1+h_{fe})   \label{bipolar_trans_ampli_one}
\end{equation}
\begin{equation}
v_o=R_e i_e = (1+h_{fe})R_e i_b   \label{bipolar_trans_ampli_vo}
\end{equation}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/emitt_foll_guadagno_schemat.eps,width=11 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente adoperato per il calcolo del guadagno e delle impedenze d'ingresso e d'uscita
dell'inseguitore di emettitore di figura~\ref{emitt_foll_guadagno}.}
\protect\label{emitt_foll_guadagno_schemat}
\end{figure}

\begin{equation}
v_s=r_s i + R_b(i-i_b)=(r_s + R_b)i - R_b i_b  \label{bipolar_trans_ampli_a}
\end{equation}
\begin{equation}
R_b(i-i_b)=h_{ie}i_b + R_e(1+h_{fe}) i_b \label{bipolar_trans_ampli_b}
\end{equation}
Dalla~(\ref{bipolar_trans_ampli_a}) otteniamo:
\[
i=\frac{v_s+R_b i_b}{r_s+R_b}
\]
Sostituendo questa nella~(\ref{bipolar_trans_ampli_b}) si ha:
\[
R_b\frac{v_s+R_b i_b}{r_s+R_b}-R_b i_b = h_{ie} i_b + R_e(1+h_{fe})i_b
\]
Da questa segue poi:
\[
\frac{R_b}{r_s+R_b}v_s = \left[h_{ie}+R_e(1+h_{fe})+R_b - \frac{R_b}{r_s+R_B}R_b\right] i_b
\]
cio\`e:
\[
R_b v_s = i_b \left[h_{ie}(r_s+R_b)+R_e(1+h_{fe})(r_s+R_b)+R_b(r_s + R_b) - R_b^2\right]
\]


dalla~(\ref{bipolar_trans_ampli_vo}) segue:
\[
i_b=\frac{v_o}{(1+h_{fe})R_e}
\]

che, sostituita nell'ultima relazione scritta, fornisce:
\[
\frac{v_o}{v_s}=\frac{(1+h_{fe})R_e R_b}{h_{ie}(r_s+R_b)+R_e(1+h_{fe})(r_s+R_b)+r_s R_b}=
\]
\[
=(1+h_{fe})\frac{R_e R_b}{r_s + R_b}\frac{1}{h_{ie}+R_e(1+h_{fe})+\frac{r_s R_b}{r_s+R_b}}
\]

Se \`e poi:
\[
R_e(1+h_{fe}) \gg h_{ie}+\frac{r_s R_b}{r_s+R_b}
\]
segue:
\[
A_v \equiv \frac{v_0}{v_s}=\frac{R_b}{r_s+R_b}
\]

cio\`e, nelle approssimazioni fatte, $A_v$  dipende solo dalle resistenze $r_s$ ed $R_b$.
 
Se inoltre \`e: $r_s \ll R_b$ si ha:
\[
A_v \cong 1  \verb|(positivo)|
\]							
\subsection{Impedenza d'ingresso}

Questa \`e definita come:
\[
R_i=\frac{v_s}{i}
\]

Dalla~(\ref{bipolar_trans_ampli_b}) otteniamo:
\[
i_b=\frac{R_b i}{R_b + h_{ie}+R_e(1+h_{fe})}
\]

e dalla~(\ref{bipolar_trans_ampli_a}):
\[
v_s=(R_b + r_s) i - R_b i_b = (R_b +r_s)i -\frac{R_b^2 i}{R_b + h_{ie}+R_e(1+h_{fe})}
\]

Ne segue:
\[
R_i=\frac{v_s}{i}=\frac{R_b r_s + h_{ie}(R_b + r_s)+R_e(1+h_{fe})(R_b+r_s)}{R_b + h_{ie}+R_e(1+h_{fe})}
\]

Se $r_s$  pu\`o esser trascurato, questa diventa:
\[
R_i=R_b\frac{h_{ie}+R_e(1+h_{fe})}{R_b + h_{ie}+R_e(1+h_{fe})}
\]

che \`e il parallelo di $R_b$  e di $h_{ie}+R_e(1+h_{fe})$.   
Questo vuol dire che l'impedenza intrinseca del circuito (ignorando $R_b$) 
\`e:
\[
R_{in}=h_{ie}+R_e(1+h_{fe})
\]
Se ad esempio \`e:
\[
h_{ie}=1\;k\Omega\;,\;h_{fe}=100\;,\;R_b=10\;k\Omega\;,\;R_e=1\;k\Omega
\]

troveremo:
\[
R_{in} \approx 100 \;k\Omega
\]
ed:
\[
R_i \approx 10\;k\Omega
\]

Cio\`e l'impedenza d'ingresso\index{Emitter follower! impedenza d'ingresso} intrinseca $R_{in}$ dell'emitter follower \`e elevata.

\subsection{Impedenza d'uscita}

Per calcolare $R_{out}$, poniamo\index{Emitter follower! impedenza d'uscita} $R_e=\infty$, $v_s=0$ (cio\`e cortocircuitiamo 
il generatore) ed immaginiamo di applicare tra emettitore e massa un segnale 
di tensione $v$. Calcoliamo la corrente $i$ erogata dal generatore del segnale e poi $R_{out}$ come:
\[
R_{out}=\frac{v}{i}
\]

Il circuito diventa quello di figura~\ref{emitt_foll_rout_schemat}, dove si 
\`e trascurato $R_b$  rispetto ad $r_s$..

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/emitt_foll_rout_schemat.eps,width=9 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente adoperato per il calcolo dell'impedenza d'uscita dell'inseguitore
d'emettitore. Questo circuito \`e ottenuto da quello di figura~\ref{emitt_foll_guadagno_schemat} cortocircuitando
il generatore e supponendo di introdurre tra emettitore e massa un segnale di tensione $v$}
\protect\label{emitt_foll_rout_schemat}
\end{figure}



Avremo:
\[
v=-(r_s+h_{ie})i_b
\]
\[
i=-(1+h_{fe})i_b
\]

per cui:
\[
R_{out}=\frac{v}{i}=\frac{r_s+h_{ie}}{1+h_{fe}}
\]

Se ad esempio fosse $r_s \approx 0$, $h_{ie}=1\;k\Omega$ ed $h_{fe}=100$, avremmo 
$R_{out}\cong 10\;\Omega$.

La resistenza ``vista'' guardando nei terminali d'uscita \`e poi il parallelo di $R_{out}$ 
ed $R_e$.

\subsection{Guadagno in corrente}
Con riferimento alla figura~\ref{emitt_foll_ai_schemat}~(a), questo \`e definito come:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/emitt_foll_ai_schemat.eps,width=12 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{(a) l'inseguitore di emettitore, dove \`e stata messa in evidenza l'impedenza $r_s$ del generatore. (b) modello
del transistor che fa uso di un diodo\index{Emitter follower! guadagno in corrente} e della resistenza $r_e$ associata alla giunzione emettitore-base.}
\protect\label{emitt_foll_ai_schemat}
\end{figure}

\[
A_i=\frac{i_e}{i}
\]
Avremo allora, facendo uso dello schema di figura~\ref{emitt_foll_ai_schemat_a}:


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/emitt_foll_ai_schemat_a.eps,width=7 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Modello adoperato per il calcolo del guadagno in corrente dell'inseguitore di emettitore}
\protect\label{emitt_foll_ai_schemat_a}
\end{figure}

\[
A_i\equiv \frac{i_e}{i}=\frac{i_e}{i_b}\frac{i_b}{i}=\left(1+h_{fe}\right)\frac{R_b}{R_b+h_{ie}+R_e(1+h_{fe})}
\]
se, come nell'esempio fatto in precedenza, \`e $R_{in}=h_{ie}+R_e(1+h_{fe}) \gg R_b$, avremo:
\[
A_i=\frac{R_b}{R_{in}+R_b} \left(1+h_{fe}\right) \approx \frac{R_b}{R_{in}}\left(1+h_{fe}\right)
\]
Il guadagno in corrente tra emettitore e base \`e comunque $(1+h_{fe})$.

\subsection{Calcolo approssimato dei parametri}

I risultati ottenuti in modo ``esatto'', utilizzando il modello a parametri h, possono essere 
ottenuti in modo approssimato con considerazioni intuitive.

\subsubsection{Guadagno in tensione}

Con riferimento\index{Emitter follower! guadagno in tensione} alla figura~~\ref{emitt_foll_ai_schemat}~(a), osserviamo che, 
nella configurazione adoperata, l'ingresso (la base del transistor) e l'uscita 
(l'emettitore) sono separati soltanto da un diodo (la giunzione base-emettitore) 
polarizzato direttamente. Sappiamo d'altronde che la resistenza (differenziale) diretta 
di un diodo \`e:
\[
r_e=\frac{25}{I (mA)}
\]

per cui il circuito: base~(ingresso)-uscita~(emettitore) pu\`o esser ridisegnato come 
mostrato nella medesima figura, nella parte (b), dove abbiamo evidenziato il diodo 
(ideale) e la resistenza $r_e$ ad esso associata. Notiamo che:
\[
V_A=V_B-0.7\
\]
per cui:
\[
\Delta V_A = \Delta V_B
\]
D'altronde:
\[
\Delta V_O=\Delta V_A \frac{R_e}{r_e+R_e} \approx \Delta V_A
\]

e quindi:
\[
A_v \cong \frac{\Delta V_O}{\Delta V_B}=\frac{\Delta V_O}{\Delta V_A} \cong 1
\]

Abbiamo, nel far ci\`o, ignorato la resistenza $r_s$ della sorgente, e quella di 
polarizzazione di base $R_b$.
Tenendone conto il risultato cambia poco, come mostra il calcolo ``esatto'' visto in 
precedenza.
\subsubsection{Impedenza d'ingresso}\index{Emitter follower! impedenza d'ingresso}

Questa \`e:
\[
R_{in}=\frac{v_b}{i_b}
\]
dove:
\[
i_b=\frac{i_e}{1+h_{fe}}
\]

e:

\[
v_b \cong v_e
\]

per cui:
\[
R_{in}=\frac{v_e}{i_e}\left(1+h_{fe}\right)=R_e\left(1+h_{fe}\right)
\]
\subsubsection{Impedenza d'uscita}\index{Emitter follower! impedenza d'uscita}

Questa \`e definita come:
\[
\frac{v_o\;_{(a\;circuito\;d'uscita\;aperto)}}{i_0\;_{(a\;circuito\;d'uscita\;in\;corto)}}
\]

dove, a circuito d'uscita aperto, $v_o \approx v_b$.

Se il circuito d'uscita \`e ``in corto'', cio\`e se l'emettitore collegato \emph{per il segnale} a massa la corrente di base sar\`a:
\[
i_b=\frac{v_b}{r_s}
\]
e quindi:
\[
i_e=\frac{v_b}{r_s}\left(h_{fe}+1\right)
\]

ne segue:
\[
R_{out}=\frac{v_b}{\frac{v_b}{r_s}(1+h_{fe})}=\frac{r_s}{1+h_{fe}}
\]

\subsection{Emitter follower ad alta impedenza d'ingresso}\index{Emitter follower! ad alta impedenza d'ingresso}

La resistenza d'ingresso dell'emitter follower, come visto, \`e all'incirca:
\[
h_{ie}+\left(h_{fe}+1 \right)R_e
\]

Un amplificatore con un'impedenza d'ingresso molto elevato pu\`o essere ottenuto 
sostituendo il transistor adoperato con un transistor ``Darlington'', la cui struttura base 
\`e stata discussa in precedenza.

Si \`e visto che per essa si ha:
\[
h_{fe} \approx h_{fe1} h_{fe2} \cong \left(h_{fet}\right)^2
\]

Un emitter follower realizzato con un Darlington avr\`a quindi un'impedenza d'ingresso 
estremamente elevata. Se ad esempio scegliamo $R_e=5\;k\Omega$ ed utilizziamo un Darlington con     
$h_{fet}=100$ e quindi con $h_{fe}=10^4$, avremo un'impedenza d'ingresso di:
\[
R_{in}=5\cdot 10^7\;\Omega = 50 \;M\Omega
\]

\subsection{Inseguitore d'emettitore: sommario delle caratteristiche}\index{Emitter follower! sommario delle caratteristiche}

Da quanto abbiamo visto, l'inseguitore d'emettitore \`e caratterizzato dalle seguenti espressioni
approssimate per i parametri:
\[
A_v \cong \frac{R_b}{r_s+R_b}
\]
\[
R_{in} \cong h_{ie} + R_e(1+h_{fe})
\]
\[
A_i \cong \frac{R_b}{R_{in}}(1+h_{fe})
\]
\[
R_o \cong \frac{r_s + h_{ie}}{1+h_{fe}}
\]
Il guadagno in tensione \`e positivo ed inferiore ad 1; l'impedenza d'ingresso \`e elevata; il
guadagno in corrente \`e elevato; l'impedenza d'uscita bassa. 

Ad esempio, con la seguente scelta dei valori dei componenti:
\[
R_b=880 k \Omega
\]
\[
R_e = 7 k \Omega
\]
\[
r_s = 20 k \Omega
\]
\[
h_{fe}=240
\]
\[
h_{ie}= 6400
\]

troviamo:
\[
A_v=0.98
\]
\[
R_{in}=1.693 \;M \Omega
\]
\[
A_i= 125
\]
\[
R_o=109 \;\Omega
\]
Notiamo che il calcolo \`e stato effettuato in assenza di carico. Questo equivarrebbe ad una
resistenza in parallelo ad $R_e$ (eventualmente con un accoppiamento capacitivo, per non
modificare il punto di lavoro del transistor). Se ad esempio avessimo un carico di valore
uguale ad $R_e$, dovremmo, nelle relazioni precedenti, sostituire ad $R_e$ un valore met\`a. Con
ci\`o l'impedenza d'ingresso diverrebbe:
\[
R_{in}=h_{ie}+\frac{R_e}{2}(1+h_{fe})\;=\;849\;k \Omega
\]

\section{Amplificatore ad emettitore comune (CE)}

Il circuito base di un amplificatore CE \`e mostrato\index{Amplificatore! emettitore comune} in figura~\ref{bipolar_common_emitter}~(a), accanto al circuito utilizzabile per il calcolo delle caratteristiche, mostrato in (b):

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipolar_common_emitter.eps,width=14 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{(a) amplificatore ad emettitore comune. (b) circuito equivalente adoperato per il calcolo delle caratteristiche dell'amplificatore}
\protect\label{bipolar_common_emitter}
\end{figure}

Il guadagno in corrente \`e dato\index{Amplificatore! emettitore comune! guadagno in corrente} da:
\[
A_i=\frac{i_c}{i_b}=\frac{h_{fe} i_b}{i_b}=h_{fe}
\]

La resistenza d'ingresso\index{Amplificatore! emettitore comune! resistenza d'ingresso} (senza tener conto di $r_s$) \`e poi:
\[
R_i=\frac{v_{be}}{i_b}=h_{ie}
\]

Il guadagno in tensione $A_v$  pu\`o esser ottenuto dalla relazione (valida sempre):
\[
A_v=-A_i \frac{R_c}{R_i}
\]

Per dimostrarla, basta riscrivere $A_v$ come:\index{Amplificatore! emettitore comune! guadagno in tensione}
\[
A_v=\frac{v_o}{v_{b}}=\frac{v_o/R_c}{v_b/R_c}\frac{R_i}{R_i}=\frac{v_o/R_c}{v_b/R_i}\frac{R_c}{R_i}=-\frac{i_c}{i_b}\frac{R_c}{R_i}=-A_i\frac{R_c}{R_i}
\]

(poich\`e $v_o=-R_c i_c$).

Ne segue:
\[
A_v=-h_{fe}\frac{R_c}{h_{ie}}\;\;(negativo)
\]

Possiamo ricalcolare $A_v$ tenendo conto della resistenza $r_s$ della sorgente:
\[
A_{vs}\equiv \frac{v_c}{v_s}=\frac{v_c}{v_b}\frac{v_b}{v_s}=A_v \frac{v_b}{v_s}=A_v\frac{h_{ie}}{r_s+h_{ie}}
\]

Ovviamente, se l'impedenza d'uscita del generatore, $r_s$, \`e trascurabile, ritroveremo $A_{vs}=A_v$.
 
Per calcolare infine l'impedenza d'uscita\index{Amplificatore! emettitore comune! impedenza d'uscita} $R_o$, poniamo al solito $v_s=0$, $R_c=\infty$; immaginiamo poi di applicare un segnale di tensione $v$ tra collettore e massa, 
calcoliamo la corrente assorbita $i$ e definiamo $R_o$  come:
\[
R_o=\frac{v}{i}
\]


Notiamo che, nel nostro circuito, con $v_s=0$ si ha $i_b=0$ e quindi $i_c=h_{fe}i_b=0$. 
Ne segue:
\[
R_o=\infty
\]

In realt\`a, l'impedenza d'uscita non sar\`a infinita, se teniamo conto del 
parametro $h_{oe}$  che compare nel modello a parametri h completo. 
In tal caso si pu\`o vedere che l'impedenza d'uscita \`e all'incirca uguale ad $1/h_{oe}$, che
\`e dell'ordine di 10~k.

\section{Amplificatore CE con una resistenza sull'emettitore}\index{Amplificatore! emettitore comune! con resistenza sull'emettitore}

L'aggiunta di una resistenza sull'emettitore aiuta a stabilizzare il punto di lavoro 
rispetto a variazioni nei parametri del transistor, ed in particolare rispetto a variazioni 
di $\beta = h_{fe}$.
Se infatti il $\beta$ del transistor aumenta, ci\`o avr\`a come conseguenza un aumento della 
corrente di collettore e di emettitore. Tale aumento dar\`a luogo ad una maggiore caduta 
di potenziale ai capi della resistenza di emettitore e, se il potenziale di base \`e fissato 
da un partitore, ad un minor valore di $V_{BE}$ e quindi ad una minore corrente (feedback negativo).

Abbiamo gi\`a visto che il guadagno in tensione di un common-emitter \`e: $A_v=-h_{fe}R_c/h_{ie}$. 
Facciamo ora vedere che l'aggiunta di una resistenza sull'emettitore fa si che 
il guadagno in tensione divenga:

\[
A_v = -\frac{R_c}{R_e}
\]

e quindi indipendente dai parametri del transistor, ma dipendente soltanto dalle 
resistenze esterne $R_c$ ed $R_e$.

Usiamo ancora una volta il modello a parametri h semplificato (cio\`e 
ignoriamo $h_{re}$  ed $h_{oe}$) e calcoliamo i parametri 
$A_i$, $R_i$, $A_v$, $R_o$  dell'amplificatore (vedi figura~\ref{bipolar_common_emitter_res_em}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipolar_common_emitter_res_em.eps,width=8 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente (a parametri h) adoperato per calcolare le caratteristiche dell'amplificatore CE con una resistenza
inserita tra emettitore e massa}
\protect\label{bipolar_common_emitter_res_em}
\end{figure}


Avremo:
\[
A_i=\frac{i_c}{i_b}=h_{fe}
\]
\[
R_i=\frac{v_i}{i_b}=\frac{h_{ie}i_b + R_e(i_b+i_c)}{i_b}=h_{ie}+R_e(1+h_{fe})
\]
\[
A_v=-A_i\frac{R_c}{R_i}=-\frac{h_{fe}R_c}{h_{ie}+R_e(1+h_{fe})}
\]

e se, come quasi sempre accade, \`e: $R_e(1+h_{fe}) \gg h_{ie}$, si avr\`a:
\[
A_v=-\frac{h_{fe}}{1+h_{fe}}\frac{R_c}{R_e}\approx -\frac{R_c}{R_e}
\]


La resistenza d'uscita sar\`a uguale a quella relativa al caso in cui $R_e$ 
era assente.

Notiamo che il guadagno in tensione \`e minore di quello che si aveva in assenza 
di $R_e$ (era uguale a $-h_{fe}R_c/h_{ie}$).

\subsection{Esempio}

Consideriamo l'amplificatore CE di figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipolar_common_emitter_esempio.eps,width=12 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatore ad emettitore comune}
\protect\label{bipolar_common_emitter_esempio}
\end{figure}

Il transistor adoperato\index{Amplificatore! emettitore comune! esempio} ha un $h_{fe}=50$.
I condensatori $C_1$ e $C_3$, di valore molto grande ($50\;\mu F$, hanno lo scopo di disaccoppiare l'amplificatore dal resto del circuito (compreso il generatore) 
per ci\`o che riguarda le tensioni e correnti stazionarie.

Il condensatore $C_2$, posto in parallelo alla resistenza di emettitore, fa si che l'emettitore sia realmente a massa per il segnale (non per la componente continua).
Il generatore adoperato \`e stato schematizzato come un generatore ideale di corrente in 
parallelo con la propria resistenza interna.

Analizziamo dapprima il punto di lavoro del transistor.
Dal punto di vista delle tensioni e correnti quiescenti, la parte del circuito posta a 
sinistra della linea tratteggiata pu\`o esser sostituita dal suo equivalente di Thevenin:
\[
R_{th}=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}=8.3 \,k \Omega \;\;,\;V_{th}=\frac{R_2}{R_1+R_2} 24\,V=4\,V
\]

Nella figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio_a} abbiamo indicato le altre grandezze rilevanti ai fini del calcolo delle correnti: $V_D$  ed $R_e$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipolar_common_emitter_esempio_a.eps,width=5 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Schema adoperato per il calcolo delle correnti quiescenti nel transistor di figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio}. $R_{th}$ \`e il parallelo di $R_1$ ed $R_2$. $V_D$  schematizza la giunzione di emettitore}
\protect\label{bipolar_common_emitter_esempio_a}
\end{figure}

Poich\`e si ha:
\[
I_E=\left(h_{FE}+1\right)I_B
\]
avremo:
\[
V_{th}=R_{th}I_B+V_D+R_e\left(h_{FE}+1\right)I_B
\]

da cui:
\[
I_B=\frac{4-0.7}{8.3+51\cdot 2.2}=0.027\;mA
\]

e quindi:
\[
I_E=0.027 \cdot \left(h_{FE}+1\right) \cong 1.4\;mA
\]

Ne segue:
\[
V_{CE}\approx 24 - I_E\left(R_c+R_e\right)=15.6\;V
\]

e poi:
\[
h_{ie}=r_{bb'}+h_{fe}r_e \cong h_{fe} r_e \cong h_{fe} \frac{25}{I_E\;(mA)}=0.893\;k\Omega
\]

Calcoliamo ora $A_i$ (ignorando $h_{re}$ ed $h_{oe}$). Il circuito equivalente \`e quello di figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio_b}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipolar_common_emitter_esempio_b.eps,width=9 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente a parametri h adoperato per il calcolo dei parametri dell'amplificatore CE di figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio}. Sono stati trascurati i parametri $h_{re}$ ed $h_{oe}$}
\protect\label{bipolar_common_emitter_esempio_b}
\end{figure}

Avremo:

\[
i_b=i_i \frac{\left( R_3 \parallel R_{th} \parallel h_{ie}\right)}{h_{ie}}=0.835 i_i
\]

\[
A_i=\frac{i_L}{i_i}=\frac{i_L}{i_b} \frac{i_b}{i_i}=\frac{i_L}{i_b}\cdot 0.835
\]

mentre \`e:
\[
i_L=-h_{fe}i_b \cdot \frac{R_L R_c}{R_L+R_c}\cdot \frac{1}{R_L}=-h_{fe}i_b\frac{R_c}{R_L+R_c}
\]

da cui:
\[
\frac{i_L}{i_b}=-h_{fe}\frac{R_c}{R_L+R_c}
\]

e si ottiene infine:
\[
A_i=-0.835 \cdot 50 \frac{3.8}{1+3.8}=-33.0
\]

(Notare che il segno (-) deriva dal fatto che stiamo considerando la corrente che dal 
collettore fluisce verso massa attraverso il carico. In precedenza si era considerata la 
corrente entrante nel collettore).

L'impedenza d'ingresso \`e il parallelo di $h_{ie}$, di $R_{th}$ e della resistenza da 10 K:
\[
R_{in}=10k \parallel 8.3k \parallel 0.89k=0.746k
\]

L'impedenza d'uscita \`e semplicemente $R_c=3.8k$.

Il guadagno in tensione \`e:
\[
A_v=A_i \frac{R_L}{R_i}
\]

(ora con il segno (+), vista la convenzione adoperata per $A_i$)
cio\`e:
\[
A_v=-33 \cdot \frac{1}{0.746}\cong -44.0
\]

Vediamo ora come si modifichino i valori ottenuti, se si tiene conto dei parametri 
$h_{re}$ ed $h_{oe}$, che finora sono stati ignorati.

Ammettiamo dunque che sia:
\[
h_{re}=10^{-4}\;\;,\;h_{oe}=10^{-4}\;S
\]

Il circuito equivalente ora diventa quello di figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio_c}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipolar_common_emitter_esempio_c.eps,width=12 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente a parametri h adoperato per il calcolo dei parametri dell'amplificatore CE di figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio}. Sono stati inclusi anche i parametri $h_{re}$ ed $h_{oe}$}
\protect\label{bipolar_common_emitter_esempio_c}
\end{figure}

Le due resistenze in parallelo nella maglia d'ingresso possono essere sostituite con la 
resistenza equivalente (4.53~K). Analogamente, la resistenza $1/h_{oe}$ e quella da 3.8~K 
nella maglia d'uscita possono esser sostituite con l'unica resistenza da 2.75 K. Si ottiene 
cos\`i un circuito pi\`u semplice figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio_d}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipolar_common_emitter_esempio_d.eps,width=10 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Semplificazione del circuito equivalente a parametri h di figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio_c} adoperato per il calcolo dei parametri dell'amplificatore CE di figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio}.}
\protect\label{bipolar_common_emitter_esempio_d}
\end{figure}

Dall'analisi del circuito d'uscita otteniamo:
\[
i=h_{fe}i_b+\frac{v_{ce}}{2.75k}=h_{fe}i_b-\frac{1k \cdot i}{2.75k}
\]

da cui:
\[
i\left(1+\frac{1}{2.75}\right)=h_{fe}i_b
\]
che, con $h_{fe}=50$, d\`a:
\[
i=36.7\;i_b
\]

e poi:
\[
i_L=-i=-36.7\;i_b \;(mA)
\]
\[
v_{ce}=R_Li_L=-36.7 \;10^3 \,i_b\;(V)
\]

L'analisi del circuito d'ingresso fornisce:
\[
v_b=10^{-4}v_{ce}+h_{ie}i_b=-10^{-4}\cdot 36.7 \cdot 10^3 i_b + 890 i_b\;\cong \;890 i_b
\]

Il guadagno in corrente sar\`a:
\[
A_i=\frac{i_L}{i_i}=\frac{i_L}{i_b}\frac{i_b}{i_i}=\frac{i_L}{i_b}\frac{i_b}{v_b} \frac{v_b}{i_i}
\]

con:
\[
\frac{i_L}{i_b}=-36.7
\]
\[
\frac{i_b}{v_b}=\frac{1}{890} \;(S)
\]

per calcolare $A_i$  ci serve ancora $v_b/i_i$. Ora, dal circuito d'ingresso troviamo:
\[
i_i=i_b+\frac{v_b}{4.53k}=\frac{v_b}{890}+\frac{v_b}{4530}=\frac{v_b}{744}
\]


ed infine:
\[
\frac{v_b}{i_i}=744.0
\]

Quindi:
\[
A_i=-36.7 \cdot \frac{744}{890} \cong -30.7
\]

mentre prima si era trovato $A_i=-33$.

Calcoliamo ora, tenendo conto di tutti i parametri, la resistenza d'ingresso $R_i$.
Ridisegniamo a tale scopo il circuito equivalente, come mostrato in figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio_e}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipolar_common_emitter_esempio_e.eps,width=10 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente adoperato per il calcolo della resistenza d'ingresso dell'amplificatore CE di figura~\ref{bipolar_common_emitter_esempio}}
\protect\label{bipolar_common_emitter_esempio_e}
\end{figure}

Dalla maglia d'ingresso si ha:
\begin{equation}
R_i=\frac{v_b}{i_b}=\frac{h_{ie}i_b + h_{re} v_{ce}}{i_b}   \label{impedenza_ingresso_bipol_completo}
\end{equation}

e, dalla maglia d'uscita:
\[
v_{ce}=R_L i_L
\]
con:
\[
i_L=-\left(h_{fe}i_b + v_{ce} h_{oe}\right)
\]
da cui:
\[
v_{ce}=R_L\left(h_{fe}i_b + v_{ce} h_{oe}\right)
\]
che porta a:
\[
v_{ce}\left(1+R_L h_{oe}\right)=-R_L h_{fe} i_b
\]
da cui:
\[
\frac{v_{ce}}{i_b}=-\frac{R_L h_{fe}}{1+R_L h_{oe}}
\]

Questa, sostituita nella~\ref{impedenza_ingresso_bipol_completo}, d\`a:
\[
R_i=h_{ie}-\frac{h_{re} h_{fe} R_L}{1+R_L h_{oe}}
\]


Con i valori dei parametri h dati e facendo uso anche del valore di $R_L=1K$, 
troviamo:
\[
R_i \cong h_{ie}-5 \;(\Omega)
\]


cio\`e una correzione piccolissima rispetto al valore precedente che, ignorando $R_1$, $R_2$, 
e la resistenza da 10 K, era appunto $h_{ie}$.

Il guadagno in tensione sar\`a ottenibile poi dalla solita relazione:
\[
A_v=A_i \frac{R_L}{R_i}
\]

Si trova:
\[
A_v=-34.5
\]

Calcoliamo infine l'impedenza d'uscita $R_o$:
\[
R_o \equiv \frac{v_{ce}}{i_L}\;\;(v_s=0)
\]


dove:
\begin{equation}
i_L=h_{fe}i_b + v_{ce} h_{oe}   \label{impedenza_uscita_bipol_completo}
\end{equation}

$i_b$ \`e calcolabile dalla maglia d'ingresso (con $v_s=0$):
\[
v_1=-r_s i_b=h_{ie}i_b + h_{re}v_{ce}
\]

da cui:
\[
i_b=-\frac{h_{re} v_{ce}}{r_s + h_{ie}}
\]

che, sostituita nella~\ref{impedenza_uscita_bipol_completo} fornisce:
\[
i_L=v_{ce}h_{oe} - v_{ce} \frac{h_{fe} h_{re}}{r_s + h_{ie}}=v_{ce} \left\{\frac{(r_s+h_{ie})h_{oe}-h_{fe}h_{re}}{r_s+h_{ie}}\right\}
\]


e l'impedenza d'uscita:
\[
R_o=\frac{v_{ce}}{i_L}=\frac{r_s+h_{ie}}{(r_s+h_{ie})h_{oe}-h_{fe}h_{re}}
\]

che, essendo tipicamente $h_{fe} h_{re} \ll h_{oe}(r_s+h_{ie})$, \`e uguale a $1/h_{oe}$.


\section{Amplificatori in cascata}\index{Amplificatore! amplificatore CE seguito da EF}

Pi\`u stadi d'amplificazione possano esser posti in cascata per aumentare il guadagno o 
anche semplicemente per offrire un guadagno corrispondente a quello di un singolo 
stadio CE, unito ad una bassa impedenza d'uscita quale quella offerta da un emitter 
follower.

Esaminiamo ad esempio il circuito di figura~\ref{bipol_ampli_cascata}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipol_ampli_cascata.eps,width=10 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Amplificatori in cascata: un CE \`e seguito da un inseguitore di emettitore}
\protect\label{bipol_ampli_cascata}
\end{figure}

Notiamo  che il primo stadio \`e un CE con una piccola resistenza sull'emettitore, 
mentre il secondo \`e un emitter-follower.
Il guadagno in tensione di tale amplificatore  \`e:
\[
A_v=\frac{v_o}{v_1}=\frac{v_o}{v_2}\frac{v_2}{v_1}=A_{v1}\,A_{v2}
\]

cio\`e il prodotto dei guadagni dei singoli stadi.

Se si tiene conto della resistenza interna del generatore e si definisce in tal modo un 
nuovo guadagno $A_{vs}$:
\[
A_{vs} \equiv \frac{v_o}{v_s}=\frac{v_o}{v_1} \frac{v_1}{v_s}=A_v \frac{v_1}{v_s}=A_v \frac{R'_{i1}}{r_s + R'_{i1}}
\]


dove $R'_{i1}$  \`e la resistenza d'ingresso del primo stadio.

Tale relazione segue dal fatto che le resistenze $r_s$  ed $R'_{i1}$ costituiscono 
un partitore. 

Notiamo che $R'_{i1}$ \`e la resistenza d'ingresso del primo stadio, che \`e il parallelo di      $R_1 \parallel R_2$ con la resistenza $R_{i1}=h_{ie}+R_{e1}(1+h_{fe})$.

Facendo uso dei valori numerici delle resistenze ed assumendo un $h_{fe}$ di 100, troviamo 
(con $h_{ie}=2k\Omega$):

\[
R_1 \parallel R_2 = 20k
\]
\[
R_{i1}=2 + 101\cdot 0.1 = 12.1 k
\]
\[
R'_{i1}=\frac{12.1 \cdot 20}{12.1 + 20}=7.54 k
\]


per cui:
\[
A_{vs}=A_v \frac{R'_{i1}}{R'_{i1}+r_s}=A_v \frac{7.54}{8.54}=0.88 A_v
\]

Per calcolare il guadagno in tensione del primo stadio, facciamo uso della relazione che 
esprime tale guadagno in funzione del guadagno in corrente, della resistenza d'ingresso 
e di quella che costituisce il ``carico'' dello stadio~\footnote{Per la dimostrazione della~\ref{relazione_Av_Ai} si veda l'ultima sezione di questo capitolo.}:

\begin{equation}
A_v=A_i \frac{R_L}{R_i}  \label{relazione_Av_Ai}
\end{equation}



Con   $R_i$=resistenza d'ingresso ed   $R_L$=carico totale.

Nel caso del primo stadio la resistenza $R_{i1}$ \`e gi\`a stata calcolata, 
mentre $R_L$ \`e rappresentata dal parallelo di $R_{c1}$ e della resistenza 
d'ingresso del secondo stadio. 
Quest'ultimo ha:
\[
R_{i2}=h_{ie}+(1+h_{fe})R_{e2}=2 + 101 \cdot 5 = 507 k
\]

Per cui:
\[
R_{L_1}=R_{i1} \parallel R_{c1} = 4.95 \,k \Omega
\]

Poich\`e d'altronde il guadagno in corrente del primo stadio \`e     $-h_{fe}=-100$,
avremo:
\[
A_{v1}=-100 \frac{R_{L1}}{R_{i1}}=-40.9
\]

Il guadagno in corrente del secondo stadio, cio\`e il rapporto tra la corrente di emettitore 
e quella di base \`e chiaramente $1+h_{fe}$. Il guadagno in tensione dell'emitter follower \`e 
stato gi\`a calcolato in precedenza. Nel caso in esame, siamo interessati al 
guadagno intrinseco dell'EF, cio\`e a quello che si ha per un valore dell'impedenza d'uscita 
dello stadio che lo precede uguale a zero. Ponendo quindi  $r_s=0$ nell'espressione 
di $A_{v2}$, otteniamo:
\[
A_{v2}=\frac{(1+h_{fe})R_{e2}}{h_{ie}+(1+h_{fe})R_{e2}}
\]

e, poich\`e il denominatore di tale espressione \`e anche la resistenza d'ingresso dello 
stadio, $R_{i2}$, otteniamo:
\[
A_{v2}=\frac{R_{i2}-h_{ie}}{R_{i2}}=1-\frac{h_{ie}}{R_{i2}}
\]


Sostituendo i valori numerici:   $R_{i2}=507k$ e     $h_{ie}=2k$, si trova:
\[
A_{v2}=1-\frac{2}{507}=0.996
\]

Il guadagno complessivo di tensione \`e quindi:
\[
A_v=A_{v1}\cdot A_{v2}=-40.9 \cdot 0.996=-40.74
\]

Calcoliamo ora il guadagno in corrente. Questo non \`e uguale al prodotto dei guadagno 
in corrente dei singoli stadi, poich\`e non tutta la corrente in uscita dal collettore del 
primo stadio entra nella base del secondo. Ci\`o \`e evidente dallo schema equivalente
di figura~\ref{bipol_ampli_cascata_a}:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipol_ampli_cascata_a.eps,width=7 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente adoperato per il calcolo del guadagno in corrente complessivo dell'amplificatore
di figura~\ref{bipol_ampli_cascata}. $R_{i2}$ \`e l'impedenza d'ingresso del secondo stadio; questa \`e in parallelo
alla resistenza di collettore del primo stadio.}
\protect\label{bipol_ampli_cascata_a}
\end{figure}

In tale schema $R_{i2}$ \`e l'impedenza d'ingresso del secondo stadio. Si vede facilmente che:
\[
\frac{i_{b2}}{i_{c1}}=-\frac{R_{c1}}{R_{c1}+R_{i2}}=-\frac{5}{5+507}=-9.77 \cdot 10^{-3}
\]

Il guadagno complessivo in corrente \`e:
\[
A_i=\frac{i_{e2}}{i_{b1}}=\frac{i_{e2}}{i_{b2}}\frac{i_{b2}}{i_{c1}}\frac{i_{c1}}{i_{b1}}
\]

dove la prima e l'ultima delle frazioni a secondo membro sono i guadagni in corrente 
del secondo e del primo stadio rispettivamente. Si ha quindi:
\[
A_i=A_{i2}\cdot \frac{i_{b2}}{i_{c1}}\cdot A_{i1}\:=\:-\left(h_{fe}+1\right)\cdot 9.77 \cdot 10^{-3}\cdot
\left(-h_{fe}\right)=
\]
\[
=101 \cdot 9.77 \;10^{-3}\cdot 100=-98.6
\]

Calcoliamo infine l'impedenza d'uscita dell'amplificatore.
Per un emitter-follower, quale \`e lo stadio finale del nostro circuito, questa \`e:
\[
R_o=\frac{\overline{R}_s+h_{ie}}{1+h_{fe}}
\]

dove $\overline{R}_s$  \`e l'impedenza d'uscita della sorgente che alimenta 
l'emitter-follower. Nel nostro caso questa \`e l'impedenza d'uscita del primo 
stadio ($R_{o1}=5k$). Ne segue:
\[
R_o=\frac{5+2}{101} \cong 69\;\Omega
\]

L'impedenza d'uscita calcolata tenendo conto anche della resistenza sull'emettitore \`e 
poco diversa:
\[
R'_o=69 \Omega \parallel 5000 \Omega = 68 \Omega
\]

Riassumendo, abbiamo un amplificatore con un'impedenza d'ingresso:
\[
R'_i=R'_{i1}=7.54 k\Omega
\]

un'impedenza d'uscita:
\[
R'_o=68 \Omega
\]

un guadagno in tensione, tenendo conto della resistenza d'uscita del generatore ($r_s=1 k\Omega$):
\[
A_{vs}=A_v \cdot 0.88=-40.74 \cdot 0.88 = -35.8
\]


ed infine un guadagno in corrente:
\[
A_i=-98.6
\]



\section{Amplificatore in base comune}\index{Amplificatore! base comune}

La configurazione base di un amplificatore di questo tipo \`e quella mostrata nella  figura~\ref{bipolar_common_base}(a).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipolar_common_base.eps,width=14 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{(a) amplificatore in base comune. (b) circuito equivalente adoperato per il calcolo dei parametri
dell'amplificatore.}
\protect\label{bipolar_common_base}
\end{figure}

Il segnale d'ingresso \`e applicato all'emettitore. Il condensatore di bypass $C_b$  fa si che la 
base sia cortocircuitata a massa per il segnale, mentre le resistenze $R_1-R_2$  garantiscono una 
corretta polarizzazione del transistor. Il segnale di tensione in uscita \`e quello tra 
collettore e massa (ovvero tra collettore e base).

Per calcolare i parametri di questo amplificatore, facciamo uso del modello a parametri 
h. A rigore, dovremmo far uso dei parametri h relativi alla configurazione ``base 
comune'', cio\`e  $h_{ib},h_{fb},h_{rb},h_{ob}$. 
Tuttavia possiamo, con un semplice riarrangiamento dei componenti, far uso dei parametri 
relativi alla configurazione ``emettitore-comune'', $h_{ie},h_{fe},h_{re},h_{oe}$. 
Inoltre, essendo $h_{re}$ molto piccolo, trascureremo il suo contributo. 

Essendo poi la base cortocircuitata a massa dalla capacit\`a $C_b$, potremo ignorare 
le resistenze di polarizzazione $R_1$ ed $R_2$. 
Si ottiene allora il circuito equivalente mostrato nella parte (b) della figura.

Calcoliamo ora i parametri di tale amplificatore.

\subsection{Guadagno in corrente}\index{Amplificatore! base comune! guadagno in corrente}

Questo \`e dato da:

\[
A_i=\frac{i_L}{i_e}
\]

dove:
\[
i_L=-i_c=-(h_{fe}i_b + i')
\]
ed inoltre: 
\[
i'=(v_{cb}-v_{eb})h_{oe}=(v_{out}-v_{eb})h_{oe}=(-R_L i_c + h_{ie}i_b)h_{oe}
\]

da cui segue:
\[
i_L=-(h_{fe}i_b - R_L i_c h_{oe}+h_{ie}i_b h_{oe})=-(h_{fe}i_b + R_L i_L h_{oe}+h_{ie}i_b h_{oe})
\]
Da questa si ha poi:
\begin{equation}
i_L(1+R_L h_{oe})=-i_b(h_{fe}+h_{ie}h_{oe}) \label{equation_reference_for_later}
\end{equation}

dove \`e inoltre:
\[
i_b=-(i_e + i_c)=-i_e + i_L
\]
per cui:
\[
i_L(1+R_L h_{oe}) = i_e (h_{fe} + h_{ie} h_{oe}) - i_L (h_{fe}+h_{ie} h_{oe})
\]

e quindi:
\[
i_L(1+R_L h_{oe}+h_{fe}+h_{ie} h_{oe})=i_e ( h_{fe} + h_{ie} h_{oe})
\]

ed infine:
\[
A_i=\frac{i_L}{i_e}=\frac{h_{fe} + h_{ie} h_{oe}}{1+h_{fe} + h_{oe}(h_{ie}+R_L)}
\]


poich\`e $h_{oe} \cong 10^{-4} \div 10^{-5}$, vediamo che, con  $h_{ie}\approx 2k$ ed $R_L \le 10k$, 
i termini che contengono $h_{oe}$ possono esser trascurati, e si ottiene:
\[
A_i \cong \frac{h_{fe}}{1+h_{fe}} \cong 1
\]

\subsection{Impedenza d'ingresso}\index{Amplificatore! base comune! impedenza d'ingresso}

L'impedenza d'ingresso \`e:
\[
R_i \equiv \frac{v_{eb}}{i_e} = \frac{h_{ie} i_b}{i_b + i_c}=\frac{h_{ie}}{1+i_c/i_b}=\frac{h_{ie}}{1-i_L/i_b}
\]

dove $i_L/i_b$  pu\`o esser ottenuto dalla~\ref{equation_reference_for_later}:
\[
\frac{i_L}{i_b}=-\frac{h_{fe}+h_{ie} h_{oe}}{1+R_L h_{oe}}
\]

per cui si ottiene:
\[
R_i=\frac{h_{ie}}{1+\frac{h_{fe}+h_{ie} h_{oe}}{1+R_L h_{oe}}}=\frac{h_{ie}(1+R_L h_{oe})}{1+(R_L + h_{ie}) h_{oe} + h_{fe}}
\]

anche qui i termini proporzionali ad $h_{oe}$ possono essere trascurati rispetto agli altri; si 
ottiene quindi:
\[
R_i \cong \frac{h_{ie}}{1+h_{fe}}
\]


che, per i valori tipici: $h_{ie} \cong 2k$, $h_{fe} \cong 100$, vale:
\[
R_i\cong 20 \;\Omega
\]

\subsection{Guadagno in tensione}\index{Amplificatore! base comune! guadagno in tensione}

Il guadagno in tensione $A_v$ \`e ottenibile dalla solita relazione:
\[
A_v=A_i \frac{R_L}{R_i}=\frac{h_{fe}}{1+h_{fe}}\frac{R_L}{h_{ie}/(1+h_{fe})}=h_{fe}\frac{R_L}{h_{ie}}
\]

dove abbiamo trascurato i termini proporzionali ad $h_{oe}$.
Tali termini non possono esser trascurati nel calcolo di $R_o$.

\subsection{Impedenza d'uscita}\index{Amplificatore! base comune! impedenza d'uscita}

Per calcolare l'impedenza d'uscita, immaginiamo di applicare ai terminali d'uscita 
(cio\`e agli estremi cui \`e fissata $R_L$, dopo aver rimosso $R_L$) un generatore di 
corrente $i_c$, come mostrato in figura~\ref{bipolar_common_base_a}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipolar_common_base_a.eps,width=8 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente adoperato per il calcolo dell'impedenza d'uscita dell'amplificatore CB di figura~\ref{bipolar_common_base}}
\protect\label{bipolar_common_base_a}
\end{figure}

Cortocircuitiamo il generatore indipendente $v_i$ (ma non la sua resistenza interna $r_i$) 
e calcoliamo la differenza di potenziale che risulta tra collettore e base: $v_{cb}$.

Avremo ovviamente:
\begin{equation}
v_{cb}=v_{ce}+v_{eb}  \label{bipol_common_base_rout_one}
\end{equation}

con:

\begin{equation}
v_{ce}=\frac{i'}{h_{oe}}=\left(i_c - h_{fe} i_b\right)/h_{oe}  \label{bipol_common_base_rout_two}
\end{equation}

ed anche:
\begin{equation}
i_b=-\frac{v_{eb}}{h_{ie}}  \label{bipol_common_base_rout_three}
\end{equation}

\begin{equation}
i_e=-\frac{v_{eb}}{r_i}  \label{bipol_common_base_rout_four}
\end{equation}

\begin{equation}
i_c=-(i_e + i_b)=v_{eb}\left(\frac{1}{r_i}+\frac{1}{h_{ie}}\right)=v_{eb}\frac{r_i + h_{ie}}{r_i h_{ie}}  \label{bipol_common_base_rout_five}
\end{equation}

La~\ref{bipol_common_base_rout_three} e la~\ref{bipol_common_base_rout_five} danno
$i_b$ in funzione di $i_c$:
\[
i_b=-\frac{r_i}{r_i + h_{ie}} i_c
\]

Sostituendo questa nella~\ref{bipol_common_base_rout_two}:
\[
v_{ce}=\frac{i_c}{h_{oe}}\left[1+\frac{r_i h_{fe}}{r_i + h_{ie}}\right]
\]

Mentre la~\ref{bipol_common_base_rout_five} fornisce:
\[
v_{eb}=\frac{r_i h_{ie}}{r_i + h_{ie}} i_c
\]

Segue allora dalla~\ref{bipol_common_base_rout_one}:
\[
v_{cb}=v_{ce}+v_{eb}=i_c \left[\frac{1}{h_{oe}}\left(1+\frac{r_i h_{fe}}{r_i + h_{ie}}\right) + \frac{r_i h_{ie}}{r_i + h_{ie}}\right]
\]

e quindi:
\[
R_o=\frac{v_{cb}}{i_c}=\frac{1}{h_{oe}}\left(\frac{h_{ie}+r_i (1+h_{fe})}{r_i + h_{ie}}\right)+\frac{r_i h_{ie}}{r_i + h_{ie}}=
\]
\[
=\frac{1}{h_{oe}(r_i + h_{ie})}\left[r_i h_{ie} h_{oe} + h_{ie} + r_i(1+h_{fe})\right]
\]


Se $r_i=0$, questa diventa:
\[
R_o=\frac{1}{h_{oe}}
\]




\section{Relazione tra guadagno in corrente ed in tensione}\index{Amplificatore! generico! relazione tra $A_v$ ad $A_i$}

Per dimostrare in modo generale la relazione:
\[
A_v=A_i \frac{R_L}{R_i}
\]

facciamo riferimento al circuito equivalente di figura~\ref{bipol_relaz_av_ai}:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bipolar_tran_ampli/bipol_relaz_av_ai.eps,width=7 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente adoperato per il calcolo della relazione tra guadagno in corrente ed in tensione
di un generico amplificatore. $R_i$ \`e la resistenza d'ingresso; $R_L$ il carico presente all'uscita}
\protect\label{bipol_relaz_av_ai}
\end{figure}

Vediamo facilmente che \`e:
\[
i_i=\frac{v_i}{R_i}
\]
\[
i_o=\frac{v_o}{R_L}
\]
da cui:
\[
A_i \equiv \frac{i_o}{i_i}=\frac{v_o}{v_i} \frac{R_i}{R_L}
\]
e quindi:
\[
A_v=\frac{v_o}{v_i}=A_i \frac{R_L}{R_i}
\]



