\chapter{Diagrammi di Bode e di Nyquist}   \label{bode}

\section{Introduzione}
%\newcommand{\integ}{\int_{-\infty}^{+\infty}}
%\newcommand{\expj}{e^{-j \omega t}}
%\newcommand{\derb}{\frac{d^2 x(t)}{dt^2}}
%\newcommand{\dera}{\frac{dx(t)}{dt}}

Ci proponiamo in questa sezione di discutere i metodi comunemente
adoperati in elettronica per rappresentare graficamente le
funzioni di trasferimento dei circuiti quadripolari. Tali metodi
sono di notevole utilit\`a sia per una visualizzazione immediata
della risposta di un circuito che per discutere il problema
della stabilit\`a nei circuiti oscillanti e, pi\`u in generale,
nei circuiti con feedback.
Inizieremo con una breve discussione di quelli che sono noti
come i \emph{diagrammi di Bode}, e con la presentazione di alcuni
esempi. Passeremo poi a discutere i \emph{diagrammi di Nyquist}.

\section{Diagrammi di Bode}

Cominceremo con l'analizzare un esempio: quello del ben noto circuito
RC passa-basso, che per comodit\`a riportiamo in figura~\ref{rc}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/rc.eps,width=7.0 cm,
height=3.5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito RC passa-basso}
\protect\label{rc}
\end{figure}



Come sappiamo, la funzione di trasferimento\index{Circuito RC passa-basso! funzione di trasferimento} di questo circuito, espressa
in funzione della variabile s (dove $s=j\omega$ o, pi\`u in generale,
$s=\sigma+j\omega$ se facciamo uso delle trasformate di Laplace, con
$\omega$ la frequenza angolare) \`e:
\[
G(s)\:=\: \frac{k}{s-s_1}
\]
dove $\tau = RC$ e $k=-s_1=1/\tau$. Tale funzione ha un polo in $s_1$
e nessuno zero. 

Esaminiamo l'andamento del modulo di $G(s)$, espresso in decibel, 
in funzione del logaritmo di $\omega$:
\[
20 \log{|G(\omega)|}\:=\:20 \log|k|-20 \log|j\omega-s_1|
\]
Per frequenze angolari $\omega \ll |s_1|$ questa diventa:
\begin{equation}
20 \log{|G(\omega)|}\:=\:20 \log|k|-20 \log|s_1|\:=\:0  \label{lowf}
\end{equation}
essendo $|s_1|=|k|$. Vediamo quindi che il modulo della funzione di
trasferimento espresso in dB si annulla.
Ci\`o vuol dire che il guadagno $|G(\omega)|$ ha modulo unitario.

Ad alte frequenze ($\omega \gg |s_1|$)avremo invece:
\begin{equation}
20 \log{|G(\omega)|}\:=\:20 \log|k|-20 \log\omega  \label{highf}
\end{equation}
Questa ci dice che il modulo della funzione di trasferimento
espressa in dB \`e una funzione lineare della variabile
$20\log\omega$.

Il grafico che si ottiene riportando per un circuito il modulo
della funzione di trasferimento espresso in dB in funzione
del $\log\omega$ \`e il \emph{diagramma di Bode per il modulo} di G\index{Bode! diagramma di Bode per il modulo}.
Il diagramma relativo al circuito RC appena analizzato \`e mostrato in 
figura~\ref{passabasso}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/passabasso.eps,width=9.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Diagramma di Bode per il modulo della funzione di trasferimento relativa al circuito RC passa-basso. La curva solida descrive l'andamento vero; le rette tratteggiate corrispondono agli
andamenti asintotici}
\protect\label{passabasso}
\end{figure}

Poich\`e $G(\omega)$ \`e in genere un numero complesso, esso \`e
caratterizzato anche da una fase $\phi(\omega)$. Il grafico
che si ottiene riportando la fase in funzione del $\log\omega$
\`e il \emph{diagramma di Bode per la fase}\index{Bode! diagramma di Bode per la fase}. L'insieme
dei due diagrammi di Bode per un dato circuito caratterizza
la risposta dello stesso.

In realt\`a, \`e spesso sufficiente esaminare le rette asintotiche\index{Bode! rette asintotiche}
che descrivono l'andamento del modulo (in dB) e della fase della
funzione di trasferimento. Quelle relative a $|G(s)|$ per il filtro
passa-basso sono mostrate con tratteggio in figura~\ref{passabasso}.

Nell'esempio in esame, relativo al modulo di $G(\omega)$, le
due rette asintotiche sono quelle date dalle equazioni~(\ref{lowf})
e~(\ref{highf}). Esse si incontrano, come si
pu\`o facilmente verificare, nel punto:
\[
\omega\:=\:|k|\:=\:\frac{1}{\tau}
\]
(vedi figura~\ref{passabasso}).
Notiamo che se $\omega$ raddoppia (cio\`e in un'ottava) 
la grandezza $20\log\omega$ aumenta di circa un fattore 6. 
Poich\`e la funzione~(\ref{highf}) \`e lineare nella variabile
$20 \log\omega$, si vede che essa \`e tale da subire una variazione 
(diminuzione) di $6 dB$ per ottava. Il filtro passa-basso ha quindi
un andamento asintotico alle alte frequenze caratterizzato da
una retta di pendenza (negativa) pari a $6 dB$ per ottava. 

Si pu\`o poi
facilmente verificare che se la frequenza varia di un fattore 10
anzich\`e 2 (cio\`e in una decade) la funzione avr\`a subito una
variazione di 20 dB. Ci\`o si esprime dicendo che la retta in
esame ha una pendenza (negativa) di 20 dB/decade.

Nel punto in cui le due rette asintotiche si incontrano, il modulo della 
risposta vera $|G(\omega)|$ del circuito vale, come si pu\`o
facilmente vedere, $1/\sqrt{2}$. In decibel, esso vale $-3~dB$, e quindi
\`e 3~dB al di sotto del valore asintotico alle basse frequenze (che 
\`e 0~dB).

Esaminiamo ora il filtro passa-alto, mostrato in figura~\ref{cr}\index{Circuito RC passa alto! funzione di trasferimento}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/cr.eps,width=7.0 cm,
height=3.5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito CR passa-alto}
\protect\label{cr}
\end{figure}



 
La funzione di trasferimento, come si pu\`o facilmente verificare, vale:
\[
G(s)\:=\:\frac{s}{s-s_1}
\]
con $s_1=-1/\tau$. Questa ha uno zero nell'origine (s=0) oltre ad un polo
in $s=s_1$. L'andamento del modulo di questa funzione (in dB) per
$\omega \ll |s_1|$ \`e:
\[
|G(s)|_{dB}\:=\:20 \log\omega-20 \log|s_1|
\]
Vediamo che questa funzione cresce all'aumentare di $\log\omega$
con una pendenza di $6 dB$/ottava. Per frequenze molto alte ($\omega \gg |s_1|$)
l'andamento diventa costante:\[
|G(s)|_{dB}\:=\:0
\]
cio\`e il guadagno diventa unitario. 

Tali comportamenti, per alte e per basse frequenze, sono schematicamente
indicati nel diagramma di Bode di figura~\ref{passalto}, dove \'e anche riportata
la curva che descrive l'andamento reale.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/passalto.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Plot di Bode per il modulo della funzione di trasferimento relativa al circuito CR
passa-alto. La curva solida descrive l'andamento vero; le rette tratteggiate corrispondono agli
andamenti asintototici}
\protect\label{passalto}
\end{figure}



Le due rette asintotiche si incontrano nel punto: $\omega=|s_1|=1/\tau$. In
tale punto il valore vero di $|G(\omega|_{dB}$ \`e -3~dB, come nel caso
del circuito passa-basso.

Riassumendo, possiamo dire che ad una funzione di trasferimento con un
polo semplice e nessuno zero, corrisponde un filtro passa-basso,
caratterizzato da una risposta piatta (0~dB) a frequenze molto minori
del valore assoluto del polo e da una risposta che decresce con pendenza
di 6~dB/ottava ad alte frequenze. Le rette asintotiche che descrivono
tali andamenti si incontrano nel punto $\omega=|s_1|$ dove $s_1$ \`e
la posizione del polo. In corrispondenza a tale frequenza la funzione 
$|G(\omega)|_{dB}$ ha un valore che \`e $-3~dB$.

Una funzione di trasferimento con un polo semplice ed uno zero nell'origine
corrisponde ad un filtro passa-alto, caratterizzato da un andamento 
crescente con una pendenza di 6~dB/ottava a basse frequenze ($\omega \ll 
|s_1|$), dove $s_1$ \`e la posizione del polo, e da un andamento
costante (0~dB) ad alte frequenze. Le rette che descrivono i due
andamenti asintotici si incontrano in $\omega=|s_1|$. In corrispondenza
a tale frequenza angolare la funzione di trasferimento vale $-3~dB$.

\subsubsection{Plots di Bode per la fase}

La fase~$\phi$, nel caso del circuito passa-basso\index{Bode! diagramma di Bode per la fase}, \`e data da:
\[
\tan{\phi}\:=\:\frac{\omega}{s_1}\:=\:-\omega \tau
\]
cio\`e:
\begin{equation}
\phi \:=\: -arctan(\omega \tau)  \label{lowphase}
\end{equation}
Vediamo che $\phi$ tende a zero se $\omega \ll |s_1|$, mentre tende ad~$-\pi/2$
se $\omega \gg |s_1|$. L'andamento reale di~$\phi$, descritto 
dalla~(\ref{lowphase}) \`e mostrato in figura~\ref{phaselow}, insieme agli 
andamenti asintotici (rette tratteggiate) per $\omega \gg |s_1|$ e per $\omega \ll |s_1|$.



\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/phaselow.eps,width=12.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Plot di Bode per la fase, relativo al circuito RC passa-basso. La curva solida descrive l'andamento vero; le rette tratteggiate corrispondono agli
andamenti asintototici}
\protect\label{phaselow}
\end{figure}


Si pu\`o facilmente verificare che, per $\omega = \frac{0.1}{\tau}$, la fase \`e ancora vicina
a zero, mentre per $\omega = 10 \tau$ essa ha ormai raggiunto il suo
valore asintotico $-\pi/2$.

Esaminiamo ora il caso del filtro passa-alto, gi\`a analizzato. \'E facile
vedere che in tal caso la fase \`e data da:
\[
\tan{\phi}\:=\:-\frac{s_1}{\omega}\:=\:\frac{1}{\omega \tau}
\]
cio\`e:
\begin{equation}
\phi\:=\:arctan(1/\omega \tau)  \label{highphase}
\end{equation}
Vediamo da quest'equazione che $\phi \rightarrow \pi/2$ per $\omega \rightarrow 
0$, mentre $\phi \rightarrow 0$ per $\omega \rightarrow \infty$. Tali andamenti
asintotici sono mostrati in figura~\ref{phasehigh} (rette tratteggiate) insieme all'andamento
vero, descritto dalla~(\ref{highphase}).


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/phasehigh.eps,width=12.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Plot di Bode per la fase, relativo al circuito CR passa-alto. La curva solida descrive l'andamento vero; le rette tratteggiate corrispondono agli andamenti asintototici}
\protect\label{phasehigh}
\end{figure}


Anche in questo caso l'andamento  asintotico per piccoli valori di
$\omega$ ($\omega \ll 1/\tau$)
differisce molto poco dall'andamento reale per $\omega=0.1/\tau$, mentre
l'andamento a\-sin\-to\-tico per grandi valori di $\omega$ ($\omega \gg 1/\tau$) differisce poco da quello reale quando $\omega = 10/\tau$.

La figura~\ref{cr_gain_phase} mostra i plot di Bode relativi ad un
circuito CR, con valori dei componenti dati da: $C=1nF$, $R=1k\Omega$.
Questi sono stati ottenuti facendo uso del programma di simulazione
Microcap~VII~\cite{microcap}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/cr_gain_phase.eps,width=10.0 cm,
height=13 cm}}\end{center}
\caption{Plot di Bode per modulo (in alto) e fase (in basso) relativo al circuito RC passa-alto 
ottenuto con i valori dei componenti dati nel testo. Le curve sono state ottenute facendo uso
del programma di simulazione Microcap.}
\protect\label{cr_gain_phase}
\end{figure}


Consideriamo ancora una funzione di trasferimento con un polo ed uno zero
non nell'origine\index{Funzione di trasferimento! con un polo ed uno zero non nell'origine}:

\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{1+s \tau_2}{1+s\tau_1}      \label{transfun_pole_zero}
\end{equation}

Il polo \`e in $s_1=-1/\tau_1$; lo zero in $s_2=-1/\tau_2$. Il plot di Bode
per il modulo \`e mostrato in figura~\ref{polozero_mod} (dove si \`e ammesso 
che  sia $\tau_1 \ll \tau_2$).


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/polozero_mod.eps,width=11.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Rette asintotiche relative al plot di Bode per il modulo della funzione di 
trasferimento con un polo ed uno zero descritta dalla~(\ref{transfun_pole_zero})}
\protect\label{polozero_mod}
\end{figure}

Il plot di Bode per la fase pu\`o esser facilmente ottenuto facendo uso della
relazione:
\[
\phi \:=\: \arctan{(\omega \tau_{2})}\,-\arctan{(\omega \tau_1)}
\]
dove $\tau_1 < \tau_2$, cio\`e $1/\tau_2 < 1/\tau_1$. Avremo i seguenti 
andamenti asintotici:

\begin{itemize}
\item{Per $\omega \ll \frac{1}{\tau_2}$ (e quindi anche $\omega \ll 
\frac{1}{\tau_1}$) $\Rightarrow  \phi \approx 0$}
\item{Per $\omega \gg \frac{1}{\tau_1}$ (e quindi anche $\omega \gg 
\frac{1}{\tau_2}$) $\Rightarrow \phi \approx 0$}
\item{Per $\omega \gg \frac{1}{\tau_2}$ ed $\omega \ll \frac{1}{\tau_1}$
$\Rightarrow \phi = arctan(\omega \tau_2) \:\approx \: \pi/2$}
\end{itemize}


Tali andamenti sono qualitativamente indicati nella 
figura~\ref{polozero_fas}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/polozero_fas.eps,width=12.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Rette asintotiche relative al plot di Bode per la fase della funzione di 
trasferimento con un polo ed uno zero descritta dalla~(\ref{transfun_pole_zero})}
\protect\label{polozero_fas}
\end{figure}


\section{Quadripoli del secondo ordine}

Esaminiamo ora un sistema\index{Quadripoli del secondo ordine} descritto da una funzione di trasferimento
del tipo:

\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{k}{(s-s_1)(s-s_2)}    \label{transfun_two_poles}
\end{equation}

Questa non ha alcuno zero, ma ha due poli nei punti $s_1$ ed $s_2$. I poli
$s_1$ ed $s_2$ possono essere reali e distinti, reali e coincidenti
o complessi coniugati.

Cominciamo con l'esaminare il caso in cui i due poli siano reali e
coincidenti. In tal caso possiamo scrivere:
\[
20 \log{|G(j\omega)|}\:=\:20\log |k| - 20\log |s-\overline{s}|^2\:=\:
20 \log |k| - 40\log|j\omega -\overline{s}|
\]
con: $s_1=s_2=\overline{s}$ (reale).

Esaminiamo gli andamenti asintotici. Per $\omega \ll \overline{s}$:
\begin{equation}
|G(\omega)|_{dB}\:=\:20 \log|k| - 40 \log|\overline{s}|\:=\:costante  \label{aster}
\end{equation}
Se invece \`e $\omega \gg \overline{s}$:
\[
|G(\omega)|_{dB}\:=\:20 \log|k| - 40 \log\omega
\]
cio\`e si ha un andamento decrescente, con pendenza pari a $-12~dB$/ottava,
cio\`e al doppio di quella che si aveva nel caso del filtro passa-basso
del primo ordine.

Le due rette che descrivono l'andamento asintotico per basse e per alte frequenze 
si incontrano nel punto $\omega=\overline{s}$. In tale punto
la $|G(\omega)|_{dB}$ vale:
\[
|G(\omega)|_{dB}\:=\:20 \log|k| - 40 \log|j\overline{s}-\overline{s}|\:=
\]
\[
=\:20 \log|k| - 40 \log\overline{s}-40\log\sqrt{2}\:=\:
costante -6 dB
\]
dove la costante ha un valore uguale a quello dell'analoga costante
presente nella~(\ref{aster}).
Si ha quindi un'attenuazione di $6 dB$ rispetto a quella che si aveva a
basse frequenze. Abbiamo quindi un filtro passa-basso con un \emph{taglio}
pi\`u netto di quello che avremmo avuto utilizzando un sistema del
primo ordine. 

Esaminiamo ora il caso di un sistema descritto dalla medesima funzione di
tra\-sfe\-ri\-men\-to appena esaminata, ma nel quale le due radici $s_1$ ed $s_2$
del polinomio a de\-no\-mi\-na\-to\-re siano reali e distinte. Ammettiamo per
semplicit\`a che esse siano abbastanza distanti l'una dall'altra:
\[
|s_1| \ll |s_2|
\]
Facendo ora uso di quanto appreso finora, possiamo vedere che, se $\omega
\ll |s_1|$ (e quindi $\omega \ll |s_2|$) avremo un andamento costante
per $|G(\omega)|_{dB}$. Per valori di $\omega \gg |s_1|$ ed $\omega \ll
|s_2|$, il contributo del termine $1/(s-s_2)$ sar\`a ancora costante,
mentre il termine $1/(s-s_1)$ avr\`a un andamento decrescente, con una
pendenza di 6~dB/ottava. Infine, per $\omega \gg |s_2|$ (e quindi
$\omega \gg |s_1|$) alla pendenza di 6~dB/ottava causata dal termine
$1/(s-s_1)$ si somma un ulteriore contributo di 6~dB/ottava causato
dal termine $1/(s-s_2)$. L'andamento complessivo pu\`o in definitiva esser
riassunto come indicato in figura~\ref{doublepole}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/doublepole.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Rette asintotiche relative al plot di Bode per il modulo della funzione di 
trasferimento con due poli descritta dalla~(\ref{transfun_two_poles})}
\protect\label{doublepole}
\end{figure}



L'andamento della fase $\phi(\omega)$ per tale sistema \`e poi
quello mostrato in figura~\ref{doublepole_phase}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/doublepole_phase.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Rette asintotiche relative al plot di Bode per la fase della funzione di 
trasferimento con due poli descritta dalla~(\ref{transfun_two_poles})}
\protect\label{doublepole_phase}
\end{figure}

  
Ci riserviamo di esaminare nella prossima sezione il caso di
poli complessi co\-niu\-ga\-ti, che merita un'attenzione particolare.


Esaminiamo ora il caso della funzione di trasferimento\index{Funzione di trasferimento! con uno zero doppio nell'origine e due poli}:

\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{k s^2}{(s-s_1)(s-s_2)}           \label{double_zero_double_pole}
\end{equation}

con $|s_1| \ll |s_2|$.
Questa funzione ha due zeri coincidenti nell'origine e due poli nei 
punti $s_1$ ed $s_2$. Esaminiamo il relativo diagramma di Bode per
il modulo. Si ha:
\[
20 \log|G(\omega)|\:=\:20 \log \left|\frac{k \omega^2}{(j\omega
-s_1)(j\omega -s_2)}\right|
\]
Per frequenze angolari $\omega \ll |s_1|, |s_2|$, si ha:
\[
|G(\omega)|_{dB}\rightarrow 20 \log \frac{k \omega^2}{s_1 s_2}\:=\:20 \log
\frac{k}{s_1 s_2}\:+\:40 \log \omega
\]
cio\`e un andamento crescente in funzione di $\log \omega$. La pendenza
nel diagramma di Bode \`e di 12~dB/ottava. Per frequenze $\omega \gg |s_1|$ed 
$\omega \ll |s_2|$ avremo invece:
\[
|G(\omega)|_{dB}\rightarrow 20 \log\frac{k\omega}{|s_2|}\:=\:20 \log
\frac{k}{|s_2|}\:+\:20 \log \omega
\]
Vediamo che questa ha, nel diagramma di Bode, un andamento crescente 
con una pendenza di 6~dB/ottava. La retta che descrive l'andamento
asintotico per $\omega \ll |s_1|$ e quella che descrive l'andamento
asintotico per $|s_1|\ll \omega \ll |s_2|$ si incontrano nel punto 
di coordinata $\omega$ tale che:
\[
20 \log \frac{k}{|s_1 s_2|}\:+\:40 \log \omega \:=\:20 \log \frac{k}{|s_2|}\:+
\:20 \log \omega
\]
cio\`e: $\omega = |s_1|$.

Infine, per $\omega \gg |s_2| \gg |s_1|$ avremo:
\[
|G(\omega)|_{dB}\rightarrow 20 \log k \:=\:costante
\]
Vediamo quindi che il circuito descritto da questa funzione di
trasferimento \`e un passa-alto. Calcoliamo il valore di $\omega $ per
cui la retta che descrive il comportamento asintotico per $|s_1| \ll
\omega \ll |s_2|$ incontra quella che descrive il comportamento
asintotico per $\omega \gg |s_2|$. Troviamo facilmente:
\[
\omega \:=\:|s_2|
\]
In corrispondenza a tale valore di $\omega$ la funzione di 
trasferimento espressa in dB vale:

\[
20 \log \left| \frac{k s_2^2}{(js_2-s_1)(j s_2 -s_2)}\right|\:=\:
20 \log k - 20 \log \sqrt{2}\:=\:20 \log k - 3dB         
\]

Cio\`e la risposta \`e, come in altri casi simili esaminati, 3~dB al di
sotto del valore asintotico per $\omega \rightarrow \infty$.

L'andamento di tale funzione di trasferimento \`e mostrato
nel diagramma di Bode di figura~\ref{doublepole_prime}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/doublepole_prime.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Rette asintotiche relative al plot di Bode per il modulo della funzione di trasferimento con uno zero doppio nell'origine e due poli, data dalla~(\ref{double_zero_double_pole})}
\protect\label{doublepole_prime}
\end{figure}


Esaminiamo ora un sistema descritto da una funzione con uno zero
semplice nell'origine e due poli distinti\index{Funzione di trasferimento! con uno zero semplice nell'origine e due poli distinti}:

\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{ks}{(s-s_1)(s-s_2)}    \label{single_zero_double_pole}
\end{equation}

Per frequenze angolari $\omega \ll |s_1| \ll |s_2|$ avremo:
\[
20 \log|G(\omega)| \:=\:20 \log k + 20 \log \omega - 20 \log |s_1 s_2|
\]
Cio\`e abbiamo un andamento crescente con una pendenza di 6~dB/ottava,
come mostrato in figura~\ref{doublepole_second}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/doublepole_second.eps,width=12.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Rette asintotiche relative al plot di Bode per il modulo della funzione di trasferimento con uno zero semplice nell'origine e due poli, data dalla~(\ref{single_zero_double_pole})}
\protect\label{doublepole_second}
\end{figure}




Per frequenze angolari comprese tra $s_1$ ed $s_2$ avremo:
\[
|G(\omega)|_{dB}\:=\:20 \log k + 20 \log |s_2|\:=\:costante
\]
Infine, per valori di $\omega$ molto maggiori di $s_2$:
\[
|G(\omega)|_{dB}\:=\:20 \log k + 20 \log \omega - 20 \log \omega^2 \:=\:20
\log k - 20 \log \omega
\]
cio\`e abbiamo un andamento decrescente, con una pendenza di -6~dB/ottava.

Anche in questo caso potremmo verificare che le rette che descrivono
l'andamento asintotico per $\omega \ll |s_1|$ e per $\omega \gg |s_1|$
si incontrano in $\omega = |s_1|$, e che quelle che descrivono gli
andamenti asintotici per $\omega \ll |s_2|$ e per $\omega \gg |s_2|$ si
incontrano in $\omega = |s_2|$. Inoltre in tali punti il valore vero della
$|G(\omega)|_{dB}$ \`e sotto di 3~dB rispetto al valore che la retta
asintotica orizzontale fornisce. Abbiamo ovviamente un filtro passa-banda.


Consideriamo infine un circuito descritto dalla funzione di trasferimento\index{Funzione di trasferimento! con due poli distinti e due zeri immaginari}:
\[
G(s)\:=\:\frac{k(s_2+\omega_0^2)}{(s-s_1)(s-s_2)}
\]
che ha due poli in $s_1$ ed $s_2$ e due zeri immaginari in 
$s=\pm j \omega_0$. 
Si pu\`o dimostrare che tale funzione descrive un filtro
\emph{elimina-banda}.


A conclusione delle considerazioni svolte, possiamo ora trarre 
alcune conclusioni di carattere generale:
\begin{itemize}
\item[a)]{ad uno zero semplice nella funzione di trasferimento
corrisponde nel diagramma di Bode un andamento crescente, con
una pendenza di  6~dB/ottava};
\item[b)]{ad uno zero doppio corrisponde un andamento crescente
con una pendenza di 12~dB/ottava};
\item[c)]{ad un polo semplice corrisponde un andamento decrescente
con una pendenza di 6~dB/ottava};
\item[d)] {ad un polo doppio corrisponde un andamento decrescente con
una pendenza di 12~dB/ottava}.
\end{itemize}
Quindi, un'analisi dei poli e degli zeri della funzione di
trasferimento pu\`o portare ad individuare in modo semplice
il tipo di risposta che ci si deve aspettare dal circuito descritto
dalla funzione stessa.

Esaminiamo come esempio il circuito\index{Circuito RCL! funzione di trasferimento} mostrato in figura~\ref{rcl}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/rcl.eps,width=8.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Circuito RCL, la cui funzione di trasferimento \`e data dalla~(\ref{rcl_transfun})}
\protect\label{rcl}
\end{figure}




La funzione di trasferimento, come si pu\`o facilmente verificare,
\`e:

\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{s}{(RC)s^2+s+(R/L)}    \label{rcl_transfun}
\end{equation}

Questa ha uno zero nell'origine, che fornisce un andamento crescente con
pendenza di 6~dB/ottava. Il polinomio di secondo grado a denominatore
ha un discriminante dato da:
\[
\Delta\:=\:\sqrt{1-4R^2 C /L}
\]
Vediamo da questa che le radici (e quindi i poli della funzione di
trasferimento) saranno reali e distinte se:
\[
R < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}
\]
Se ci\`o accade, indicando con $s_1$ ed $s_2$ le due radici (con $s_1 <
s_2$) avremo un diagramma di Bode per il modulo, del tipo
mostrato in figura~\ref{rcl_bode}. 
Vediamo che si tratta di un filtro passa-banda.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/rcl_bode.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Plot di Bode per il modulo della funzione di trasferimento relativa al circuito di figura~\ref{rcl}, nel caso in cui le due radici siano reali e distinte. Sono state riportate solo
le rette asintotiche}
\protect\label{rcl_bode}
\end{figure}


Se le radici sono reali e coincidenti ($\Delta =0$ ed $s_1 = s_2$),
avremo un diagramma di Bode per il modulo del tipo mostrato in
figura~\ref{rcl_bode_eq}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/rcl_bode_eq.eps,width=10.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Plot di Bode per il modulo della funzione di trasferimento relativa al circuito di figura~\ref{rcl}, nel caso in cui le due radici siano reali e coincidenti. Sono state riportate solo
le rette asintotiche}
\protect\label{rcl_bode_eq}
\end{figure}




Se infine il discriminante \`e negativo, i poli saranno complessi
coniugati. Si pu\`o dimostrare che in questo caso gli asintoti
sono uguali a quelli corrispondenti ad un polo doppio, in
$|s_1|=|s_1^*|=|s_2|$. Il comportamento della curva che descrive
l'andamento della $|G(\omega)|_{dB}$ in prossimit\`a del polo doppio ha un 
andamento che dipende dal rapporto tra parte immaginaria e reale
del polo. Tale comportamento sar\`a studiato nella prossima
sezione.

Notiamo infine che, con riferimento al diagramma di Bode mostrato
in figura~\ref{rcl_bode}, la \emph{larghezza di banda} \`e definita
come:
$BW=|s_2|-|s_1|$.

Ad esempio, con la seguente scelta dei valori dei componenti:
\[
R=1k\Omega \;\; ,\;\;L=1mH \;\;,\;\;C=50\,pF
\]
Si ottengono per questo circuito, facendo uso del programma di simulazione
Microcap~VI, i plot di Bode per modulo del guadagno e fase, mostrati in 
figura~\ref{rcl_bode_2}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/rcl_bode_2.eps,width=11.0 cm,
height=12 cm}}\end{center}
\caption{Plot di Bode per modulo e fase della funzione di trasferimento~(\ref{rcl_transfun}) relativa al circuito di figura~\ref{rcl}. Le curve mostrate sono state ottenute facendo uso del programma di
simulazione Microcap, con i valori dei componenti indicati nel testo }
\protect\label{rcl_bode_2}
\end{figure}

\section{Funzioni di trasferimento con due poli complessi coniugati}

Riprendiamo ora l'analisi della funzione di trasferimento con due poli\index{Funzione di trasferimento! caso di 2 poli complessi coniugati},
gi\`a incontrata nella precedente sezione, nel caso in cui i due poli
$s_1$ ed $s_2$ siano complessi coniugati. Analizzeremo in realt\`a nuovamente
il caso generale di una funzione con due poli, introducendo una
notazione che si rivela utile in molti casi, ad esempio nell'analisi dei
filtri attivi.

Possiamo riscrivere in generale il denominatore di una funzione di
trasferimento con due poli:
\begin{equation}
(s-s_1)(s-s_2)    \label{one}
\end{equation}
nella forma:
\begin{equation}
s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s+\omega_0^2  \label{two}
\end{equation}
Sviluppando la~(\ref{one}) ed uguagliando i coefficienti a quelli che
figurano nella~(\ref{two}), otteniamo:
\begin{eqnarray}
\frac{\omega_0}{Q_0}\:=\:-(s_1+s_2) \\
\omega_0^2\:=\:s_1 s_2   \label{three}
\end{eqnarray}
Invertendo queste equazioni si ottiene:
\begin{equation}
s_{1,2}\:=\:\frac{1}{2}
\left[-\frac{\omega_0}{Q_0}\pm\sqrt{\left(\frac{\omega_0}{Q_0}\right)^2-4 
\omega_0^2}\right]   \label{four}
\end{equation}
I poli saranno reali e coincidenti per $\Delta=0$, cio\`e:
\[
\omega_0^2(1-4 Q_0^2)=0
\]
da cui:
\[
Q_0=0.5
\]

I poli saranno reali e distinti per $Q_0 < 0.5$ mentre saranno complessi
coniugati per $Q_0 > 0.5$.
In quest'ultimo caso la parte reale dei due poli sar\`a:
\[
Re(s_1)=Re(s_2)=-\frac{\omega_0}{2Q_0}
\]
Notiamo che in questo caso, con $s_2=s_1^*$, l'equazione:
\[
\omega_0^2=s_1 s_2 = s_1 s_1^*=|s_1|^2=|s_2|^2
\]
ci dice che $\omega_0$ rappresenta la distanza di ciascuno dei due poli
dall'origine. Ci\`o \`e mostrato in figura~\ref{poless}. 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/poless.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Poli nel piano s complesso, per una funzione di trasferimento con due poli complessi coniugati.
$Q_0$,  $\omega_0$ e $\gamma$ sono quelli definiti nel testo}
\protect\label{poless}
\end{figure}


Dalla figura si vede che:
\[
\cos{\gamma}\:=\:\frac{1}{2Q_0}
\]
con $Q_0 > 0.5$

Poniamo ora:
\[
s_1=-\alpha+j \beta
\]
\[
s_2=-\alpha-j \beta
\]
e scriviamo la funzione G(s):
\[
G(s)\:=\:\frac{1}{(s-s_1)(s-s_2)}\:=\:\frac{1}{(s+\alpha-j\beta)( 
s+\alpha+j\beta)}
\]
Sostituendo ad s l'espressione $j \omega$ otteniamo:
\[
\left|G\right|^2\:=\:\frac{1}{\left[\alpha^2+(\omega-
\beta)^2\right]\left[\alpha^2+(\omega+\beta)^2\right]}
\]
Calcoliamo ora il valore di $\omega$ in corrispondenza a cui $|G|$ \`e
massimo. Essendo $|G|$ positivo, questo sar\`a anche il valore che rende massimo
$|G|^2$, che sar\`a dato dalla soluzione dell'equazione:
\[
\frac{d|G|^2}{dt}\,=\,0
\]
ovvero dell'equazione:
\newcommand{\omb}{(\omega - \beta)}
\newcommand{\opb}{(\omega + \beta)}
\[
2 \omb \left[\alpha^2+\opb^2\right]\,+\,2 \opb 
\left[\alpha^2+\omb^2\right]\:=\:0
\]
Questa si riduce facilmente a:
\[
4 \omega \alpha^2 +2(\omega^2-\beta^2)\cdot 2\omega \,=\,0
\]
la cui soluzione \`e:
\[
\omega^2\:=\:\beta^2-\alpha^2
\]
Troviamo cio\`e che la frequenza $\omega$ in corrispondenza alla quale
la $|G|$ ha un massimo \`e data da:
\[
\omega_{max}\:=\:\sqrt{\beta^2 -\alpha^2}
\]
Espressa in termini delle variabili $\omega_0$ e $Q_0$, questa si scrive:
\begin{equation}
\omega_{max}^2\:=\:\omega_0\left(1-\frac{1}{2Q_0^2}\right)  \label{aa}
\end{equation}
Il valore che la funzione $|G|$ acquista in tale punto pu\`o esser facilmente
ottenuto come segue. Scriviamo la G(s) nella forma:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{A_0 \omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s+\omega_0^2} \label{bb}
\end{equation}
dove $A_0$ \`e il valore di G(s) per s=0. Poniamo $s=j\omega$ e calcoliamo il 
modulo di G.

\begin{equation}
G(j\omega)\:=\:\frac{A_0 \omega_0^2}
{(\omega_0^2-\omega^2)+j\frac{\omega_0}{Q_0}\omega}  \label{bb1}
\end{equation}

da cui:
\begin{equation}
\left|G(j\omega)\right|_{\omega=\omega_{max}}\:=\:\frac{A_0 Q_0}
{\sqrt{1-\frac{1}{4Q_0^2}}}   \label{cc}
\end{equation}
La dipendenza di questa funzione da $Q_0$ \`e mostrata in 
figura~\ref{doublevsq}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/doublevsq.eps,width=11.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Dipendenza da $Q_0$ della funzione $\left|G(j\omega)\right|_{\omega=\omega_{max}}$ data dalla~(\ref{cc})}
\protect\label{doublevsq}
\end{figure}



Notiamo che, come si vede dall'equazione~(\ref{aa}) un massimo nella
risposta pu\`o aversi solo per:
\[
\frac{1}{2Q_0^2}\,<\,1
\]
cio\`e per:
\[
Q_0\,>\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,=\,0.707
\]
Per $Q_0=0.707$ troviamo:
\[
\left|G(j\omega)\right|_{\omega=\omega_{max}}\,=\,A_0
\]
Riportiamo nel grafico di figura~\ref{doublevsomeg} il diagramma di Bode per 
il modulo della G(s) dato dall'equazione~(\ref{bb}).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/doublevsomeg.eps,width=12.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Diagramma di Bode per il modulo della G(s) data dalla~(\ref{bb}), per diversi valori
di $Q_0$}
\protect\label{doublevsomeg}
\end{figure}




Vediamo da questi risultati, ed in particolare dalle equazioni~(\ref{aa}) 
e~(\ref{bb}), che la curva di risposta $|G(j\omega)|$ ha un massimo
tanto pi\`u accentuato quanto pi\`u \`e elevato il $Q_0$ del circuito.
La posizione del massimo si sposta, come mostrato dalla~(\ref{aa}), al
variare di $Q_0$. $\omega_{max}$ aumenta all'aumentare di $Q_0$ e diviene
uguale ad $\omega_0$ per $Q_0 \rightarrow \infty$.

Poich\`e $\omega_0$ \`e la distanza dei poli dall'origine e $-
\frac{\omega_0}{2Q_0}$ \`e l'ascissa comune dei poli, vediamo che
l'angolo che abbiamo indicato con $\gamma$ aumenta all'aumentare di $Q_0$.
Vediamo cio\`e che la curva che descrive la risposta del sistema
acquista in prossimit\`a di $\omega_0$ un picco che \`e tanto pi\`u
accentuato quanto pi\`u i poli sono vicini all'asse immaginario e
lontani da quello reale.

\section{Diagrammi di Nyquist}

Se si riporta in un diagramma cartesiano, in ascissa la parte reale
della funzione di trasferimento $G(j\omega)$ ed in ordinata la parte
immaginaria, si ottiene quello che \`e noto come \emph{diagramma di 
Nyquist} della $G(j\omega)$\index{Diagramma di Nyquist}. Al variare di $\omega$ il punto rappresentativo
del sistema si muove lungo una curva. Il vettore che unisce l'origine
delle coordinate con il generico punto rappresenta la funzione di
trasferimento in corrispondenza al valore di $\omega$ relativo al
determinato punto.
Ad esempio, la figura~\ref{nyquist_low} mostra il diagramma
di Nyquist per la funzione di trasferimento caratteristica di un circuito
passa-basso\index{Diagramma di Nyquist! circuito passa-basso}:


\begin{equation}
G(j\omega)\:=\: \frac{1/\tau}{j \omega -1/\tau}   \label{nyquist_low_pass}
\end{equation}


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/nyquist_low.eps,width=9.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Diagramma di Nyquist per la funzione di trasferimento~(\ref{nyquist_low_pass}), per
$\omega$ variabile tra 100 e 500,000 rad/s}
\protect\label{nyquist_low}
\end{figure}


Un'altro esempio \`e quello della funzione di trasferimento con un polo ed
uno zero non nell'origine. Il relativo diagramma di Nyquist \`e mostrato
in figura~\ref{nyquist_polozero}\index{Diagramma di Nyquist! funzione di trasferimento con un polo ed uno zero non nell'origine}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/nyquist_polozero.eps,width=9.0 cm,
height=5.3 cm}}\end{center}
\caption{Diagramma di Nyquist per la funzione di trasferimento~(\ref{nyquist_single_pole_single_zero}), per
$\omega$ variabile tra 100 e 400,000 rad/s e con i valori di $\tau_1$ e $\tau_2$ indicati nel testo}
\protect\label{nyquist_polozero}
\end{figure}

L'espressione analitica della funzione di trasferimento in quest'esempio
\`e data da:

\begin{equation}
G(\omega)\:=\:\frac{1+j\omega \tau_2}{1+j\omega \tau_1}   \label{nyquist_single_pole_single_zero}
\end{equation}

dove $\tau_1=3.979 \cdot 10^{-6}$ e $\tau_2=1.592 \cdot 10^{-4}$ ed
$\omega$ varia tra 100 e 400,000~rad/s.


Un ulteriore esempio \`e quello di una funzione di trasferimento con
uno zero non nell'origine e due poli\index{Diagramma di Nyquist! funzione di trasferimento con due poli ed uno zero non nell'origine}:

\begin{equation}
G(\omega)\:=\:\frac{0.001-j\omega \tau_2}{\omega(0.001-j\omega \tau_1)}   \label{nyquist_single_zero_double_pole}
\end{equation}

con $\tau_1$ e $\tau_2$ uguali a quelli dell'esempio precedente.

Il relativo diagramma di Nyquist \`e mostrato in
figura~\ref{nyquist_polo_2zeri}. 

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=bode/nyquist_polo_2zeri.eps,width=8.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Diagramma di Nyquist per la funzione di trasferimento~(\ref{nyquist_single_zero_double_pole}), per
$\omega$ variabile tra 100 e 400,000 rad/s e con i valori di $\tau_1$ e $\tau_2$ indicati nel testo}
\protect\label{nyquist_polo_2zeri}
\end{figure}


