


\chapter{Il modello di Ebers-Moll per i transistor bipolari}    \label{cap:ebers_moll}


\section{Basi del modello}

Il modello a parametri h del transistor bipolare, o equivalentemente il modello a $\pi$, sono 
utilizzabili per calcolare le principali propriet\`a (guadagno in corrente, resistenza d'ingresso etc.) di amplificatori a transistor. Nella pi\`u gran parte dei casi, in tali applicazioni, i transistor 
lavorano in zona attiva. Un modello che schematizza il funzionamento del transistor in 
una qualsivoglia delle zone di funzionamento (zona attiva diretta, attiva inversa, 
saturazione, interdizione) \`e quello proposto da Ebers e Moll nel 1954, 
successivamente perfezionato da altri ed ampiamente adoperato per simulare al 
computer il comportamento del transistor~\footnote{Questo \`e adoperato ad esempio nel programma di simulazione ``SPICE''; dove peraltro \`e possibile scegliere modelli pi\`u avanzati, quali quello di Gummel-Poon o altri.}

Le equazioni di Ebers-Moll hanno inoltre il vantaggio di esser ``costruite'' a partire dai 
principi fisici su cui \`e basato il comportamento del transistor.
Se infatti indichiamo le correnti e tensioni nel transistor, facendo uso della notazione di 
figura~\ref{ebers_moll_tran}, e ricordiamo che la corrente di collettore $I_C$  \`e una frazione $\alpha$  della corrente di emettitore: $I_C=\alpha_D I_E$ avremo reso conto, approssimativamente, del funzionamento del transistor in zona attiva. Si noti che abbiamo chiamato $\alpha_D$ il parametro $\alpha$, per indicare che intendiamo riferirci al funzionamento ``diretto'' (cio\`e nella normale zona attiva, con $V_{BE}>0$   e $V_{BC}<0$).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ebers_moll/ebers_moll_tran.eps,width=6.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Simboli adoperati per correnti e tensioni nella discussione del modello di Ebers-Moll}
\protect\label{ebers_moll_tran}
\end{figure}

Ricordiamo ora che in zona attiva contribuisce alla corrente di collettore anche la 
corrente inversa di saturazione $I_{CO}$, dovuta alle cariche minoritarie (positive in un transistor npn) presenti nel collettore, accelerate verso la base (e poi l'emettitore) dalla polarizzazione inversa della giunzione base-collettore. A rigore dovremo quindi esprimere la corrente di 
collettore come:
\[
I_C=\alpha_D I_E + I_{CO}
\]

Risulta pi\`u conveniente esprimere il secondo termine a secondo membro, nella forma 
completa che caratterizza un diodo (la giunzione base-collettore) polarizzato 
inversamente:
\[
I_{CO}\rightarrow -I_{CO}\left(e^{V_{BC}/V_T}-1\right)
\]

che, nella zona di funzionamento attualmente in esame ($V_{BC}<0$ e $|V_{BC}| \gg V_T$) 
coincide con $+I_{CO}$. 

Il vantaggio di esprimere in tal modo il secondo termine \`e nel fatto che tale espressione 
\`e pi\`u generale. Essa render\`a conto del funzionamento del transistor anche se la 
giunzione base-collettore \`e polarizzata direttamente. Scriveremo quindi:
\begin{equation}
I_C=\alpha_D I_E - I_{CO}\left(e^{V_{BC}/V_T}-1\right)  \label{ebers_moll_one}
\end{equation}

Ammettiamo ora che sia la giunzione base-emettitore che quella base-collettore siano polarizzate inversamente. L'espressione precedente (scritta per $V_{BC}$ negativo, e $|V_{BC}| \gg V_T$):   
\[
I_C=\alpha_D I_E + I_{CO}
\]


deve fornire, essendo con tali polarizzazioni il transistor interdetto, valori pressoch\`e 
nulli  per le correnti $I_C$  ed $I_E$. Ci\`o \`e possibile se, accanto all'equazione~(\ref{ebers_moll_one}), introduciamo una seconda equazione che fornisca $I_E$ in funzione di $V_{BC}$, $V_{BE}$  ed $I_C$. Il punto di partenza per costruire tale equazione \`e l'equazione che lega la corrente nel diodo base-emettitore alla differenza di potenziale $V_{BE}$:
\[
I_E=I_{EO}\left(e^{V_{BE}/V_T}-1\right)
\]

Se il diodo \`e polarizzato direttamente ($V_{BE}>V_{\gamma}$), questa fornir\`a correttamente il valore della corrente $I_E$ da adoperare nella~(\ref{ebers_moll_one}). 

Se il diodo \`e polarizzato inversamente avremo: $I_E=-I_{EO}$, cio\`e un contributo 
molto piccolo alla corrente (corrente inversa di saturazione della giunzione base-emettitore). Notiamo tuttavia che, con $V_{BE}$ negativo, un ulteriore 
contributo alla corrente $I_E$ pu\`o venire se la giunzione base-collettore \`e 
polarizzata \emph{direttamente}. Infatti, in tali condizioni, il collettore immetterebbe elettroni 
nella base e questi, o meglio una frazione $\alpha_R$  di questi, passerebbero poi 
nell'emettitore\footnote{Il parametro $\alpha_R$  \`e l'analogo del parametro $\alpha_D$ che 
compare quando il transistor lavora in zona attiva diretta. Nelle condizioni ora in esame diremo che il transistor lavora in zona attiva inversa (la sottoscritta R sta per ``reverse''). In genere \`e $\alpha_R \ll \alpha_D$}. 

In termini della corrente, potremo dire che una frazione $\alpha_R$  della corrente di collettore, passa nell'emettitore:
\[
I_E=\alpha_R I_C
\]

a questa va poi \emph{sommata} la corrente ($I_{EO}$) inversa di saturazione che, 
con $V_{BE}<0$, fluisce tra emettitore a base:
\[
I_E=\alpha_R I_C - I_{EO}
\]

Infine, riscriviamo il secondo termine a secondo membro nel modo generale appropriato 
per un diodo, ottenendo:
\begin{equation}
I_E=\alpha_R I_C + I_{EO}\left(e^{V_{BE}/V_T}-1\right)  \label{ebers_moll_two}
\end{equation}

Le~(\ref{ebers_moll_one}) e~(\ref{ebers_moll_two}) sono le equazioni di Ebers-Moll. 
Il primo dei termini a secondo membro di ciascuna delle due equazioni rappresenta la ``componente di transistor'' della relativa corrente; il secondo la ``componente di diodo''.
Le due equazioni rendono conto del funzionamento del transistor in una qualsivoglia 
delle zone di funzionamento.


\'E facile verificare come da queste equazioni sia possibile ricavare le correnti in 
funzione delle tensioni:

\begin{equation}
I_E=\frac{I_{EO}}{1-\alpha_D \alpha_R}\left(e^{V_{BE}/V_T}-1\right)-\frac{\alpha_R I_{CO}}{1-\alpha_D \alpha_R}\left(e^{V_{BC}/V_T}-1\right) \label{ebers_moll_three}
\end{equation}

\begin{equation}
I_C=\frac{\alpha_D I_{EO}}{1-\alpha_D \alpha_R}\left(e^{V_{BE}/V_T}-1\right)-\frac{I_{CO}}{1-\alpha_D \alpha_R}\left(e^{V_{BC}/V_T}-1\right) \label{ebers_moll_four}
\end{equation}

Possiamo anche ricavare le tensioni ai capi delle giunzioni in funzione delle correnti:
\begin{equation}
V_{BE}=V_T \ln \left[1-\frac{I_E - \alpha_R I_C}{I_{EO}}\right]  \label{ebers_moll_five}
\end{equation}

\begin{equation}
V_{BC}=V_T \ln \left[1-\frac{I_C - \alpha_D I_E}{I_{CO}}\right]  \label{ebers_moll_six}
\end{equation}

I parametri fisici $\alpha_D$, $\alpha_R$, $I_{EO}$, $I_{CO}$ non sono indipendenti; 
essi sono legati tra loro da:
\[
\alpha_D I_{EO}=\alpha_R I_{CO}
\]

Abbiamo gi\`a incontrato il parametro $\beta$  del transistor, pari al rapporto  tra $I_C$ ed $I_B$ 
in zona attiva. Anche ora possiamo definire  $\beta=h_{FE}$  come:
\[
h_{FE}=\frac{I_C}{I_B}
\]

e, per la componente variabile:
\[
h_{fe}=\frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}
\]

Entrambi questi parametri possono esser espressi in funzione dei coefficienti presenti 
nelle equazioni di Ebers-Moll. Infatti, in zona attiva, con $V_{BC}<0$ e $|V_{BC}\gg V_T$, la~(\ref{ebers_moll_one}) diventa:
\[
I_C=\alpha_D I_E + I_{CO}
\]


e, poich\`e $I_E=I_B+I_C$:
\[
I_C=\alpha_D I_B + \alpha_D I_C + I_{CO}
\]
da cui:
\[
I_C=\frac{\alpha_D}{1-\alpha_D}I_B + \frac{I_{CO}}{1-\alpha_D}=h_{FE}I_B + \frac{I_{CO}}{1-\alpha_D}
\]

e, per $h_{fe}$, essendo in genere $I_{CO}$ piccolo:
\[
h_{fe}=\frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}\approx h_{FE}\approx \frac{\alpha_D}{1-\alpha_D}
\]

Ad esempio, per $\alpha_D=0.98$  si ha $h_{FE}\approx h_{fe}\approx 50$.

Quando il transistor funziona in modo inverso, il ruolo dell'emettitore e del collettore 
vengono ad essere scambiati, ed $I_C$ sostituisce $I_E$ (e viceversa). 
Occorrer\`a ora far uso dell'equazione~(\ref{ebers_moll_two}):
\[
I_E=\alpha_R I_C - I_{E0}
\]

dove $I_C=I_E-I_B$, per cui:
\[
I_E=\alpha_R I_E - \alpha_R I_B - I_{E0}
\]
e quindi:
\[
I_E=-\frac{\alpha_R}{1-\alpha_R}I_B - \frac{I_{E0}}{1-\alpha_R}
\]
per cui:
\[
h_{FC}\equiv -\frac{I_E}{I_B}=\frac{\alpha_R}{1-\alpha_R}
\]

Dove la sottoscritta $C$ in $h_{FC}$ st\`a ad indicare che ora, con i ruoli di emettitore e collettore
scambiati, la configurazione \`e di \emph{collettore comune}.

Si noti che ora $I_E$ \`e negativo, rispetto alla convenzione adottata in precedenza per i 
versi delle correnti.

In genere $\alpha_R$  \`e molto diverso da $\alpha_D$. 
Valori tipici sono:


\[
\alpha_R\approx 0.01 \div 0.2 \;\Rightarrow h_{FC}\approx 0.01 \div 0.25
\]

Cio\`e il guadagno in corrente nel modo attivo-inverso \`e molto minore di quello 
relativo al modo attivo-diretto.
Il transistor, a causa dei dettagli costruttivi (drogaggio di base, emettitore e collettore; 
dimensioni fisiche delle giunzioni) non \`e simmetrico per scambio emettitore-collettore.

\section{Il transistor in interdizione}
Se la tensione tra base ed emettitore non \`e sufficientemente elevata da polarizzare 
direttamente la relativa giunzione, la corrente di emettitore si riduce a zero. Se inoltre 
anche la giunzione di collettore \`e polarizzata inversamente, con $V_{BC}\gg V_T$, 
la $I_E$  pu\`o esser ottenuta dall'equazione~(\ref{ebers_moll_three}):
\[
I_E=\frac{I_{E0}}{1-\alpha_D \alpha_R}\left(e^{V_{BE}/V_T}-1\right)+\frac{\alpha_R I_{C0}}{1-\alpha_D \alpha_R}
\]

e, facendo uso della relazione:
\[
\alpha_D I_{E0}=\alpha_R I_{C0}
\]
si trova:
\[
I_E=\frac{I_{E0}}{1-\alpha_D \alpha_R}\left(e^{V_{BE}/V_T}+\alpha_D-1\right)
\]


dove $\alpha_D\approx 1$, per cui:
\[
I_E=\frac{I_{E0}}{1-\alpha_R}e^{V_{BE}/V_T}
\]

che, con $\alpha_R$ nel range di valori ($0.01 \div 0.2$), ci d\`a:
\[
I_E\cong\left(1\div1.25\right)I_{E0}e^{V_{BE}/V_T}
\]
Come nel caso di un diodo, $I_E$ diverr\`a apprezzabile solo per $V_{BE}\ge 0.6\,V$.


\section{Il transistor in saturazione}

Consideriamo il montaggio di figura~\ref{ebers_moll_satur}, con il transistor che lavora in zona attiva.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ebers_moll/ebers_moll_satur.eps,width=7.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Configurazione emettitore-comune per un transistor npn}
\protect\label{ebers_moll_satur}
\end{figure}

In tali condizioni la corrente di base sar\`a tale che la corrispondente corrente di 
collettore $I_C$  provoca in $R_L$  una caduta di potenziale molto minore di $V_{CC}$. 
In tali condizioni, mentre la giunzione emitittore-base \`e polarizzata direttamente, quella base-collettore \`e polarizzata inversamente.

Se si aumenta ora la corrente di base, si avr\`a un conseguente aumento della corrente di 
collettore, un aumento della caduta di potenziale in $R_L$  ed in definitiva un minor valore di   
$V_C$, e quindi di $V_{CE}$.
Aumentando ulteriormente la corrente di base si potr\`a raggiungere un punto tale che la 
differenza di potenziale base-collettore cambi segno, cio\`e la giunzione venga ad 
esser polarizzata \emph{direttamente} (cio\`e nel verso tale da sfavorire il flusso 
delle cariche di minoranza – elettroni – presenti nella base, verso il collettore).

Notiamo che la giunzione base-emettitore continua ad iniettare elettroni nella base 
(cio\`e corrente nell'emettitore), ma questi elettroni non possono pi\`u esser raccolti dal 
circuito di collettore, a causa della polarizzazione della giunzione base-collettore.
In tali condizioni si dice che il transistor \`e entrato in \emph{saturazione}.
Avremo una elevata corrente di base, una elevata corrente di emettitore ma una 
piccola corrente di collettore. Il rapporto $I_C/I_B$, che \`e uguale ad una costante ($h_{FE}$) 
in zona attiva, diviene ora molto minore di $h_{FE}$.
Possiamo allora scegliere quale parametro che misura il ``grado di saturazione'', il 
rapporto:
\[
\sigma=\frac{I_C}{h_{FE}I_B}
\]

che deve essere uguale ad 1 in zona attiva diretta. 

Poich\`e la saturazione implica una polarizzazione diretta (o comunque non inversa) 
della giunzione base-collettore, ci si deve aspettare un legame tra $\sigma$  e $V_{BC}$  e, di conseguenza, tra $\sigma$   e $V_{CE}$.

Con la convenzione per i segni gi\`a adottata in figura~\ref{ebers_moll_tran}, la relazione tra $V_{CE}$, $V_{BE}$ e $V_{BC}$ \`e:
\[
V_{CE}=V_{BE}-V_{BC}
\]

Dalle equazioni~(\ref{ebers_moll_five}) e~(\ref{ebers_moll_six}), trascurando il termine costante (1) 
(poich\`e per entrambe le giunzioni \`e $V_D \gg V_T$), si ottiene:
\[
V_{BE}-V_{BC}=V_T \ln\left(\frac{I_E-\alpha_R I_C}{I_{E0}}\cdot \frac{I_{C0}}{I_C -\alpha_D I_E}\right)
\]

Poich\`e inoltre \`e:
\[
\frac{I_{C0}}{I_{E0}}=\frac{\alpha_D}{\alpha_R}
\]
nonch\`e: $I_C=I_E-I_B$, l'equazione precedente, dopo alcuni semplici passaggi algebrici diventa:
\[
V_{CE}=V_{BE}-V_{BC}\:=\:V_T \ln \frac{I_E/h_{FC}+I_B}{I_B-I_C/h_{FE}}
\]

con:
\[
h_{FC}=\frac{\alpha_R}{1-\alpha_R}
\]
\[
h_{FE}=\frac{\alpha_D}{1-\alpha_D}
\]
e, dividendo numeratore e denominatore per $I_B$:
\[
V_{CE}=V_T \ln \frac{1+\frac{I_E}{h_{FC}I_B}}{1-\frac{I_C}{h_{FE}I_B}}\:=\:V_T \ln \frac{1+\frac{I_C}{h_{FC}I_B}+\frac{1}{h_{FC}}}{1-\sigma}\:=\:
\]
\[
=\:V_T \ln \frac{1+\frac{I_C}{h_{FE}I_B}\cdot \frac{h_{FE}}{h_{FC}}+\frac{1}{h_{FC}}}{1-\sigma}\:=\:
V_T \ln \frac{\sigma\cdot \frac{h_{FE}}{h_{FC}}+\frac{1+h_{FC}}{h_{FC}}}{1-\sigma}
\]

L'andamento di questa funzione della variabile $\sigma$ \`e mostrato in figura~\ref{ebers_moll_equation}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ebers_moll/ebers_moll_equation.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Andamento di $V_{CE}$ in funzione della variabile $\sigma=I_C/(h_{FE}I_B)$ secondo l'equazione di Ebers-Moll}
\protect\label{ebers_moll_equation}
\end{figure}
Esaminiamo alcuni punti caratteristici di tale funzione, o equivalentemente della sua inversa $\sigma(V_{CE})$.

\begin{enumerate}

\item[(1)] $\sigma$ si annulla per: 
\[
V_{CE}=V_T \ln \left(\frac{1+h_{FC}}{h_{FC}}\right)
\]
con: 
\[
h_{FC}=\frac{\alpha_R}{1-\alpha_R}
\]
per cui: $V_{CE}=V_T \ln \left(1/\alpha_R\right)$ che, con valori tipici di 
\[
V_T=25\;mV\;,\;\; \alpha_R=0.2
\]
vale: 
\[
V_{CE}=V_T \ln \frac{1}{\alpha_R} \approx 25 \ln 5 \;mV\:=\:40\;mV
\]
cio\`e $\sigma$, e quindi la corrente di collettore, \`e praticamente  nulla per $V_{CE}\approx 40\;mV$.

\item[(2)] $\sigma$ \`e uguale ad 1 per:
\[
V_{CE}=V_T \ln \frac{1}{h_{FC}}\frac{1+h_{FE}+h_{FC}}{1-\sigma} \rightarrow \infty
\]
In pratica $\sigma$ sar\`a prossimo ad 1 per valori di $V_{CE}$ di $5\div 10\;V$.

\item[(3)] Esaminiamo infine la zona di saturazione; quella in cui $V_{CE}\approx 0$. 
Questa \`e molto importante nei circuiti digitali, dove un basso valore di $V_{CE}$ \`e 
essenziale per una buona separazione del livello logico ``basso'' (transistor in saturazione) 
dal livello logico ``alto'' (transistor interdetto).

Vediamo che $V_{CE}$ si annulla per:
\[
\frac{1+h_{FC}}{h_{FC}}+\frac{h_{FE}}{h_{FC}}\sigma \:=\:1-\sigma
\]

cio\`e:
\[
\sigma \left(1+\frac{h_{FE}}{h_{FC}}\right)=-\frac{1}{h_{FC}}
\]
e quindi:
\[
\sigma\:\equiv \frac{I_C}{h_{FE} I_B}=-\frac{1}{h_{FE}+h_{FC}}
\]

da cui:
\[
\frac{I_C}{I_B}=-\frac{1}{1+\frac{h_{FC}}{h_{FE}}}
\]

che, per $h_{FE}=100$ ed $h_{FC}=0.25$, ci d\`a:
\[
\frac{I_C}{I_B}\approx -0.997
\]

Il punto d'inizio della saturazione pu\`o essere considerato quello in cui $\sigma \le 0.9$, al
quale corrisponde un valore di $V_{CE}^{sat}$ dato da:
\[
V_{CE}^{sat}\:=\:V_T \ln \left[10 \left(\frac{1+h_{FC}}{h_{FE}}+0.9 \frac{h_{FE}}{h_{FC}}\right)\right]
\]


dove \`e $h_{FE} \gg 1+h_{FC}$, per cui questa \`e approssimativamente:
\[
V_{CE}^{sat}\:=\:V_T \ln\left(9 \frac{h_{FE}}{h_{FC}}\right)\:=\:285\;mV
\]

dove abbiamo ammesso che sia    $h_{FE}=100$ ed $h_{FC}=0.01$. 
\end{enumerate} 



In pratica, se si vuole utilizzare un transistor che operi in saturazione con il minor valore 
possibile di $V_{CE}$, si mantiene   fisso $I_C$ (ad esempio, nel circuito di figura~\ref{ebers_moll_satur_b}, $I_C=V_{CC}/R_L$) e si cerca di ottenere il minimo valore 
possibile di $V_{CE}$  aumentando $I_B$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=ebers_moll/ebers_moll_satur_b.eps,width=6.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Schema per un transistor npn in saturazione}
\protect\label{ebers_moll_satur_b}
\end{figure}

Se ad esempio volessimo un valore di $V_{CE}=0.2\;V$ avremmo:

\[
I_C=\frac{5-0.2}{1k}\:=\:4.8\;mA
\]


$I_B$ dovr\`a allora esser maggiore di $4.8/h_{FE}$ che, con $h_{FE}=50$ \`e:
\[
I_B > 0.096 \;mA
\]


Possiamo, per precauzione, scegliere un valore doppio di questo: $I_B=0.192\;mA \approx 0.2\;mA$.
$R_b$ dovr\`a  allora valere:
\[
R_b=\frac{5 - V_{BE}^{sat}}{0.2} \;(k\Omega)
\]

dove $V_{BE}^{sat} \approx 0.8 \;V$. Ne segue:
\[
R_b=\frac{5-0.8}{0.2}=21\;k\Omega
\]


Spesso le case costruttrici forniscono, per un dato transistor, un grafico di $V_{CE}^{sat}$ 
in funzione di $\sigma$ o di $I_C/I_B$.





