\chapter{Il feedback negli amplificatori}
\label{cap:feedback}
Il concetto di reazione (o {\it feedback}) trova applicazione non solo
in elettronica, ma anche nella modellizzazione di sistemi meccanici e
biologici.  Per reazione o si intende genericamente un meccanismo in
cui la risposta del sistema ad uno stimolo esterno viene riutilizzata
per modificare o correggere il comportamento del sistema stesso. Il
concetto di feedback\index{Feedback! concetto di} trova perci\`o
applicazione in molte discipline: in biologia, dal momento che tutti
gli esseri viventi adottano meccanismi di questo tipo per controllare
il proprio movimento, o nella meccanica (si pensi ad esempio ai
sistemi di frenamento ABS).

Il feedback in elettronica \`e stato usato per la prima volta nel 1928
da Harold Black, un ingegnere della Western Electric Company, per la
realizzazione di amplificatori a guadagno stabile nei ripetitori
telefonici. Da allora questa tecnica ha conosciuto uno sviluppo
cos\`\i\ vasto che oggi \`e quasi impossibile progettare un circuito
elettronico che sia privo di qualche forma di feedback.

Il feedback pu\`o essere {\it negativo} (degenerativo)
\index{Feedback! negativo} o {\it positivo} \index{Feedback!
positivo}(rigenerativo). Il feedback negativo (cui faremo pi\`u
frequente riferimento nel corso di questo capitolo) viene normalmente
impiegato nel disegno di amplificatori per ottenere una o pi\`u delle
seguenti propriet\`a:
\begin{itemize}
\item {stabilizzazione del guadagno rispetto a variazioni nel valore
dei componenti circuitali (causate ad esempio da variazioni di
temperatura);}
\item {miglioramento della linearit\`a;}
\item {riduzione dei disturbi;}
\item {ottimizzazione delle impedenze di ingresso e di uscita;}
\item {estensione della banda passante.}
\end{itemize}
Tutte le propriet\`a elencate sono ottenute a scapito di una riduzione
del guadagno. Si mostrer\`a nel seguito che il fattore di riduzione
del guadagno \`e pari al fattore di desensibilizzazione del medesimo,
all'aumento dell'impedenza di ingresso di un amplificatore di
tensione, all'estensione della banda passante, etc.

Numerosi esempi di feedback negativo sono gi\`a stati esaminati nel
corso dei capitoli precedenti. Tutti i circuiti lineari con
amplificatori operazionali utilizzano un feedback negativo. Un'altra
applicazione consiste nell'uso di una resistenza $R_E$ sul ramo
dell'emettitore di un amplificatore a transistor per stabilizzarne il
punto di lavoro, aumentarne l'impedenza di ingresso ed estenderne la
banda passante.
 
Sotto particolari condizioni (condizione di Barkhausen) il feedback
negativo pu\`o diventare positivo ed avere un'ampiezza tale da indurre
oscillazioni; ma questo sar\`a argomento del prossimo capitolo. In
questo limiteremo la nostra attenzione alle condizioni di stabilit\`a
degli amplificatori con feedback negativo\index{Feedback! negativo}.
%
\section{Struttura generale del feedback}
La struttura di un amplificatore con feedback pu\`o essere
schematizzata come in figura~\ref{fig:feedloop}, dove ognuna delle
grandezze indicate con $x$ pu\`o rappresentare una tensione o una
corrente.
%
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/feedloop.eps}}
\end{center}
\caption{Rappresentazione schematica di amplificatore con feedback a
singolo loop.}
\label{fig:feedloop}
\end{figure}
%
La sua uscita $x_o$ \`e dunque legata al suo ingresso $x_i$ dalla
relazione
%
\begin{equation}
  x_o = A x_i\;\;,
\label{eq:openloop}
\end{equation}
%
dove $A$ \`e il guadagno dell'amplificatore a circuito aperto ({\it
open-loop gain}, che \`e in generale una funzione complessa della
frequenza).  \index{Guadagno}\index{Guadagno! a circuito
aperto}. L'uscita viene inviata simultaneamente al carico esterno e
alla rete di feedback che restituisce un segnale $x_f$ all'ingresso
dell'amplificatore. Detta quantit\`a \`e legata all'uscita $x_o$ dal
{\it fattore di feedback} $\beta$,\index{Feedback! fattore di}
%
\begin{equation}
  x_f = \beta x_o\;\;,
\label{eq:feednet}
\end{equation}
%
Il segnale $x_f$ viene quindi sottratto al segnale della sorgente
$x_s$, che costituisce l'ingresso dell'amplificatore completo, per
produrre il segnale $x_i$, che fornisce invece l'ingresso
dell'amplificatore di base; quindi
%
\begin{equation}
  x_i = x_s - x_f\;\;.
\label{eq:inloop}
\end{equation}
%
Vale la pena di osservare che \`e proprio il segno meno nell'ultima
equazione a rendere il feedback negativo\index{Feedback! negativo},
poich\'e ha l'effetto di ridurre l'ampiezza del segnale fornito
all'ingresso dell'amplificatore base, e che la riduzione \`e tanto
pi\`u significativa quanto maggiore \`e l'ampiezza del segnale di
uscita\footnote{Le considerazioni fin qui esposte valgono nell'ipotesi
che il il segnale di input venga trasmesso all'uscita solo attraverso
l'amplificatore $A$ e non attraverso la rete di
feedback\index{Feedback! rete di} e che, al contrario, il segnale di
feedback venga trasmesso all'ingresso solo da quest'ultima e non
dall'amplificatore. \`E inoltre implicita l'ipotesi che il fattore di
feedback $\beta$ sia indipendente dalle impedenze della sorgente e del
carico.}.

Il guadagno\index{Guadagno! di un amplificatore} complessivo $A_f$
dell'amplificatore pu\`o essere ottenuto combinando le precedenti
espressioni; risulta allora
%
\begin{equation}
  A_f = \frac{x_o}{x_s} = \frac{A}{1 + \beta A}
\label{eq:loopgain}
\end{equation}
%
Perch\'e il feedback sia negativo, occorre che, nel caso in cui il
termine $\beta A$ sia reale, esso sia anche positivo, ovvero che il
segnale di feedback $x_f$ abbia lo stesso segno del segnale di
sorgente $x_s$, da cui si ottiene una riduzione del segnale $x_i$.
Pi\`u in generale, il feedback \`e negativo se il modulo del guadagno
complessivo $|A_f|$ \`e minore del guadagno a circuito aperto $|A|$,
ci\`o che, come risulta dalla (\ref{eq:loopgain}), si verifica se il
fattore $1+\beta A$ eccede in modulo l'unit\`a.

Nel caso in cui $|\beta A| \gg 1$, dall'equazione.(\ref{eq:loopgain})
segue che $A_f \simeq 1/\beta$, cio\`e il guadagno \`e determinato
completamente dalla rete di feedback. Siccome questa consiste
solitamente di componenti passivi, che possono essere scelti con
grande accuratezza, si pu\`o ottenere un guadagno accurato, stabile,
facilmente predicibile e pressoch\'e indipendente dal guadagno
dell'amplificatore base (che al contrario dipende da molti parametri
ed \`e affetto da incertezze ben maggiori). Un esempio di questa
propriet\`a del feedback \`e gi\`a stata evidenziata nel capitolo
\ref{cap:amplificatori_operazionali} a proposito dei circuiti con
amplificatori operazionali, dove il guadagno \`e determinato
esclusivamente dagli elementi della rete di feedback.

Le equazioni dalla (\ref{eq:openloop}) alla (\ref{eq:inloop}) possono
essere ulteriormente combinate per ottenere la seguente espressione
per il segnale di feedback\index{Feedback! segnale di}
%
\begin{equation}
  x_f = \frac{\beta A}{1 + \beta A} x_s
\label{eq:loopsig}
\end{equation}
%
Da qui, come nel caso precedente, nel limite $\beta A \gg 1$, risulta
$x_f \simeq x_s$, ovvero il segnale fornito dal feedback \`e una
replica del segnale della sorgente. In termini equivalenti, il segnale
$x_i$ all'ingresso dell'amplificatore, solitamente noto come {\it
se\-gnale di errore}, \index{Segnale di errore} ha ampiezza pressoch\'e
nulla. Anche questo risultato riproduce una caratteristica -- il
principio del ``corto virtuale'' tra i terminali di ingresso di un
amplificatore operazionale con feedback negativo -- gi\`a emersa nel
capitolo \ref{cap:amplificatori_operazionali}.
%
\section{Altre propriet\`a del feedback negativo}
Analizziamo in maggior dettaglio le propriet\`a salienti del feedback
negativo, gi\`a elencate nell'introduzione.
%
\subsection{Stabilizzazione del guadagno}
Abbiamo gi\`a visto che, nel limite $\beta A\gg 1$, il guadagno tende
ad essere asintoticamente indipendente dal guadagno $A$
dell'amplificatore. Questo risultato pu\`o essere ottenuto
analiticamente come segue.

Assumiamo che l'amplificazione a circuito aperto subisca una
variazione $\delta A$; differenziando la (\ref{eq:loopgain}), si
ottiene
%
\begin{equation}
  \delta A_f = \frac{\delta A}{(1 + \beta A)^2}
  \label{eq:diffgain}
\end{equation}
%
da cui, dividendo per la (\ref{eq:loopgain}), risulta
%
\begin{equation}
  \frac{\delta A_f}{A_f} = \frac{1}{1 + \beta A} \frac{\delta A}{A}
\label{eq:ergain}
\end{equation}
%
Nel caso di feedback negativo (in cui, come gi\`a detto, $1 + \beta A
> 1$), la variazione relativa di $A_f$ \`e quindi minore della
variazione relativa di $A$ di \index{Guadagno! desensibilizzazione
del} un fattore pari a $1+\beta A$ (che per questo motivo \`e noto
come anche come {\it fattore di desensibilizzazione del guadagno}).
\subsubsection*{Un esempio gi\`a noto}
Un amplificatore operazionale in configurazione non-invertente (vedi
figura~\ref{noninvert}) fornisce un'implementazione diretta di
feedback negativo, ove si identifichi il partitore costituito dalle
resistenze $R_1$ ed $R_2$ come ramo di feedback.

La tensione all'ingresso invertente \`e, se si assume impedenza di
ingresso infinita, $V_- = R_1/(R_1+R_2) V_o$, per cui il fattore di
feedback risulta pari a $\beta = R_1/(R_1+R_2)$. Per fissare le idee,
assumiamo $A=10^4$ e $R_2/R_1 =9$, cosicch\'e $\beta = 0.1$. Allora
$\beta A \gg 1$ e la (\ref{eq:loopgain}) si riduce a
%
\begin{equation}
  A_f \simeq \frac{1}{\beta} = 1 + \frac{R_2}{R_1} = 10
  \label{eq:opampnoninv}
\end{equation}
%
che, coincide con la
%(\ref{eq:opamoninv}),
l'espressione ottenuta nel capitolo
\ref{cap:amplificatori_operazionali}, l'uguaglianza essendo verificata
a meno di una parte in $10^4$. \`E facile vedere che anche l'ipotesi
del ``corto virtuale'' \`e verificata a meno di una parte in $10^{3}$,
essendo $V_+-V_- \simeq 1/ \beta A$.

Per quanto concerne invece la stabilit\`a del guadagno, con i
parametri in gioco si pu\`o verificare che anche una variazione del
$50\%$ dell'amplificazione dell'operazionale avrebbe effetti
trascurabili sul guadagno complessivo, dal momento che $\delta A_f/A_f
\simeq \delta A/A \cdot 1/\beta A = 0.05\%$.
%
\subsection{Risposta in frequenza di un amplificatore}
Si consideri un amplificatore la cui risposta sia caratterizzata da
una funzione di trasferimento con un singolo polo, della forma
%
\begin{equation}
  A(s) = \frac{A_0}{1 + s/\omega_H}
\label{eq:sinpol}
\end{equation}
%
dove $A_0$ indica il guadagno a centro-banda ed $\omega_H$ la
pulsazione di taglio superiore. Applicando un feedback negativo, con
un fattore $\beta$ indipendente dalla frequenza, si ottiene un
guadagno
%
\begin{equation}
  A_f(s) = \frac{A(s)}{1 + \beta A(s)} = \frac{A_0/(1 + \beta A_0)}{1
           + s/[\omega_H (1 + \beta A_0)]} = \frac{A_{0f}}{1 +
           s/\omega_{Hf}}
\label{eq:sinfeed}
\end{equation}
%
con $A_{0f} = A_0/(1 + \beta A_0)$ e $\omega_{Hf} = \omega_H(1 + \beta
A_0)$.  Confrontando le ultime due espressioni osserviamo che il
guadagno a centro-banda si \`e ridotto del solito fattore $1+\beta
A_0$ e che la pulsazione di taglio \`e ora maggiore di quella in
assenza di feedback dello stesso fattore\footnote{Analoghe
considerazioni possono essere svolte nel caso di un amplificatore la
cui risposta abbia uno zero del primo ordine e dunque un taglio a
bassa frequenza. Si pu\`o verificare facilmente che in tal caso la
frequenza si riduce dello stesso fattore, estendendo la banda passante
in misura analoga.}.  La banda passante si \`e pertanto allargata
dello stesso fattore, cosicch\'e il prodotto dell'amplificazione a
centro-banda e della larghezza della banda rimane costante; infatti
%
\begin{equation}
  A_0 \omega_H = A_{0f} \omega_{Hf}
  \label{eq:sinband}
\end{equation}
%

L'effetto del feedback negativo sulla banda passante risulta evidente
dalla figura~\ref{fig:bodefeed}, dove sono rappresentati i diagrammi
di Bode per l'ampiezza dell'am\-plificazione in assenza e con la
reazione per un amplificatore a singolo polo. A bassa frequenza
($\omega \ll \omega_H$) la loro risposta \`e costante e scala secondo
la (\ref{eq:sinfeed}).  Nel limite di alta frequenza ($\omega \ll
\omega_H$) invece entrambe i diagrammi seguono lo stesso andamento
asintotico con una pendenza di 6 dB/ottava.
%
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/bodefeed.eps}}
\end{center}
\caption{ Diagramma di Bode (linea continua) per la funzione di
risposta di un amplificatore in assenza ed in presenza di feedback
negativo con fattore di feedback $|1+\beta A_0| = 5$ (-14 dB). Per
confronto sono riportati gli andamenti asintotici a bassa ed alta
frequenza (linea tratteggiata).}
\label{fig:bodefeed}
\end{figure}
%

In conclusione, l'allargamento della banda passante mediante l'uso di
una reazione negativa pu\`o avvenire a costo di una riduzione del
guadagno del medesimo fattore. Per questo motivo si \`e soliti
esprimere la bont\`a di un amplificatore fornendo il prodotto del
guadagno per la banda passante ({\it gain-bandwidth product}).
%
\section{Le topologie di feedback negli amplificatori}
In base alla quantit\`a da amplificare (tensione o corrente) e sulla
forma di uscita desiderata, gli amplificatori possono essere suddivisi
in quattro categorie. Nessuna di queste ha le caratteristiche degli
amplificatori ideali.  Tuttavia, come si mostrer\`a nel prossimo
paragrafo, l'introduzione di appropriate topologie di feedback a
ciascuno di questi amplificatori pu\`o modificarne significativamente
la risposta, cos\`\i\ da renderne il comportamento pi\`u aderente a
quello di un amplificatore ideale.

Prima di ci\`o, ecco una breve rassegna dei quattro tipi fondamentali
di amplificatore adoperati nei circuiti elettronici. Le loro
caratteristiche sono riassunte nella tabella~\ref{tab:ampl}.
%
\begin{table}[hb]
  \begin{center}
%    \vspace{-0.5cm}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
      \hline & \multicolumn{4}{c|}{Tipo di amplificatore}\\ \cline{2-5}
      Parametro & Tensione & Corrente & Transconduttanza &
      Transresistenza \\ \hline $R_i$ & $\infty$ & $0$ & $\infty$ &
      $0$ \\ \hline $R_o$ & $0$ & $\infty$ & $\infty$ & $0$ \\ \hline
      Risposta & $V_o=A_v V_s$ & $I_o=A_i I_s$ & $I_L=G_M V_s$ &
      $V_o=R_M I_s$ \\ \hline
      \end{tabular}
  \end{center}
  \caption{Caratteristiche ideali dei quattro tipi di amplificatore.}
  \label{tab:ampl}
\end{table}
%
%
\subsection{Classificazione degli amplificatori}
\subsubsection*{Amplificatori di tensione}
Un amplificatore di tensione amplifica una tensione $V_{i}$ applicata
in ingresso e restituisce in uscita una tensione $V_o$. Esso pu\`o
essere rappresentato in termini di un circuito Th\'evenin-equivalente
come in figura~\ref{fig:vamp}.
%
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/vamp.eps}}
\end{center}
\caption{ Circuito Th\'evenin-equivalente di un amplificatore di
tensione.}
\label{fig:vamp}
\end{figure}
%
Se l'impedenza di ingresso \`e molto maggiore di quella di uscita
della sorgente, allora $V_i \simeq V_s$. Inoltre, l'impedenza di
uscita \`e trascurabile rispetto all'impedenza del carico, allora $V_o
\simeq A_v V_i \simeq A_v V_s$. In tal caso l'amplificatore fornisce
un segnale di tensione proporzionale alla tensione in ingresso, ed il
fattore di amplificazione risulta essere indipendente dalle impedenze
della sorgente e del carico. Un amplificatore ideale di tensione deve
avere pertanto impedenza di ingresso $R_i = \infty $ ed impedenza di
uscita $R_o = 0$. Il simbolo $A_v$ rappresenta quindi il fattore di
amplificazione a circuito aperto.

Una rete di feedback applicata ad un amplificatore di tensione deve
campionare la tensione di uscita $V_o$ e generare una tensione di
feedback $V_f=\beta V_o$.  Perch\'e questa sia sottratta alla tensione
del generatore $V_s$ (cos\`\i\ da implementare la (\ref{eq:inloop}), i
due poli della rete di feedback devono essere connessi in {\it serie}
al generatore con il polo positivo connesso al terminale negativo
dell'amplificatore base e con quello negativo al terminale negativo
del generatore, come mostrato in figura~\ref{fig:feedamp4}a. Per
questo motivo questa configurazione di feedback \`e nota come
\index{Feedback! tensione-serie} {\it tensione-serie}\footnote{Le
diverse configurazioni di feedback sono solitamente identificate da un
nome composto dalla grandezza prodotta in uscita (tensione o corrente)
e dal tipo di connessione (serie o parallelo) realizzata dal mixer.}.

Anche se un'analisi pi\`u dettagliata del guadagno e delle impedenze
verr\`a condotta nelle prossime sezioni, si pu\`o anticipare sin d'ora
che questa configurazione ha l'effetto di aumentare l'impedenza di
ingresso dell'amplificatore (come risultato della connessione in serie
della rete di feedback all'ingresso) e di ridurne l'impedenza di
uscita (conseguente alla connessione in parallelo all'uscita). Questo,
come si evince dalla tabella~\ref{tab:ampl}, approssima il
comportamento di un amplificatore di tensione a quello di un
amplificatore ideale.
%
\subsubsection*{Amplificatori di corrente}
Un amplificatore di corrente ideale fornisce in uscita un segnale di
corrente $I_o$ proporzionale alla corrente che fluisce sul ramo di
ingresso $I_i$. Come si vede dall'analisi del circuito
Norton-equivalente mostrato in figura~\ref{fig:iamp}, l'amplificatore
ideale deve avere impedenza di ingresso $R_i = 0$ ed impedenza di
uscita $R_o = \infty$, affinch\'e tutta la corrente del generatore
fluisca sul ramo di ingresso ($I_i = I_s$) e tutta la corrente di
uscita fluisca sul carico ($I_L = I_o = A_i I_s$).
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/iamp.eps}}
  \end{center}
  \caption{ Circuito Norton-equivalente di un amplificatore di
  corrente.}
  \label{fig:iamp}
\end{figure}
%

La topologia di feedback pi\`u appropriata per un amplificatore di
corrente \`e quella mostrata in figura~\ref{fig:feedamp4}b. L'uscita
di corrente $I_o$ dell'amplificatore fluisce nella serie del carico e
del ramo di feedback, mentre la corrente del generatore $I_s$ viene
ripartita in ``shunt'' tra l'ingresso ed il ramo di feedback
(attraverso cui passa la corrente $I_f=\beta I_o$).  Sulla base di
considerazioni analoghe a \index{Feedback! corrente-parallelo} quelle
del paragrafo precedente, \`e facile vedere che questa configurazione
di feedback (detta {\it corrente-parallelo}) riduce l'impedenza di
ingresso ed aumenta l'impedenza di uscita del generatore, ci\`o che
\`e desiderabile per un amplificatore di corrente (vedi
tabella~\ref{tab:ampl}).
%
\subsubsection*{Amplificatori a transconduttanza}
Un amplificatore a transconduttanza ideale fornisce un segnale di
corrente proporzionale ad una segnale di tensione in ingresso,
indipendentemente dalle dimensioni delle impedenze del generatore e
del carico. Come nei casi precedenti, esso \`e rappresentato da un
circuito Th\'evenin-equivalente in ingresso (analogo all'ingresso
dell'amplificatore di tensione) e da un circuito Norton-equivalente in
uscita (analogo all'uscita dell'amplificatore di corrente). In
pratica, questo tipo di amplificatore deve avere impedenza di ingresso
molto maggiore della resistenza di uscita del generatore di tensione
($R_i = \infty$ nel caso ideale) ed impedenza di uscita molto maggiore
della resistenza del carico ($R_o = \infty$ nel caso ideale).

La topologia adottata per questo tipo di amplificatore \`e denominata
{\it corrente-serie} \index{Feedback! corrente-serie} ed \`e
schematizzata in figura~\ref{fig:feedamp4}c. Essa consente di
campionare l'uscita di corrente $I_o$ e di collegare la tensione di
feedback $V_f=\beta I_o$ in serie al generatore ed \`e tale da
aumentare sia l'impedenza di ingresso che quella di uscita rispetto
all'alimentatore base.
%
\subsubsection*{Amplificatori a transresistenza}
Un amplificatore a transresistenza trasforma un segnale di corrente in
ingresso in un segnale di tensione in uscita. Pertanto, esso pu\`o
essere rappresentato da un circuito Norton-equivalente in ingresso
(analogo all'ingresso dell'amplificatore di corrente) e da un circuito
Th\'evenin-equivalente in uscita (analogo all'uscita
dell'amplificatore di tensione).  Sulla base di considerazioni
analoghe a quelle svolte nei paragrafi precedenti, l'uscita di
tensione \`e proporzionale alla corrente del generatore ed il fattore
di amplificazione \`e indipendente dalle impedenze del generatore e
del carico se l'amplificatore ha impedenze di ingresso e di uscite
trascurabili in confronto a queste ultime (per un amplificatore ideale
si deve avere cio\`e $R_i = R_o = 0$).
%
Un amplificatore a transresistenza viene reazionato in configurazione
\index{Feedback! tensione-parallelo} {\it tensione-parallelo}, come
mostrato schematicamente in figura~\ref{fig:feedamp4}d. L'uscita $V_o$
viene campionata in shunt dal ramo di feedback, attraverso il quale
fluisce una corrente $I_f=\beta V_o$ derivata dal partitore di
corrente all'ingresso dell'amplificatore, cosicch\'e, con i versi
delle correnti fissati nella figura, risulta $I_i=I_s-I_f$. Le
connessioni in parallelo sia all'ingresso che all'uscita
dell'amplificatore base hanno l'effetto di diminuirne le impedenze
complessive.
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
%    \rotatebox[origin=c]{90}{
%      \mbox{
    \begin{tabular}{|c|c|}
      \hline
      \mbox{\includegraphics[width=0.5\linewidth]{feedback/vfeed.eps}}
      &
      \mbox{\includegraphics[width=0.5\linewidth]{feedback/ifeed.eps}}
      \\ (a) tensione-serie & (b) corrente-parallelo \\ \hline
      \mbox{\includegraphics[width=0.5\linewidth]{feedback/gfeed.eps}}
      &
      \mbox{\includegraphics[width=0.5\linewidth]{feedback/rfeed.eps}}
      \\ (c) corrente-serie & (d) tensione-parallelo \\ \hline
    \end{tabular}
%    }
%    }
  \end{center}
  \caption{Schema delle topologie di feedback per i quattro tipi di
    amplificatori. Ciascuno di essi \`e identificato dalla grandezza
    in uscita (tensione o corrente) e dal tipo di connessione (serie o
    parallelo) del feedback al generatore.}
  \label{fig:feedamp4}
\end{figure}
%
\section{Effetto del feedback sulle impedenze di un amplificatore}
\subsection{Impedenze d'ingresso}
Esaminiamo quantitativamente l'effetto di ciascuna topologia di
feedback sulle impedenze d'ingresso. Questa determinazione dipende,
come \`e lecito attendersi, solo dal tipo di confronto effettuato
all'ingresso, indipendentemente dal fatto che il feedback sia ottenuto
dal campionamento di una tensione o una corrente in uscita.
%
\subsubsection{Feedback tensione-serie}\index{Feedback! tensione-serie}
La topologia di figura~\ref{fig:feedamp4}a viene implementata dal
circuito mostrato in figura~\ref{fig:vfeedrin}, dove il blocco
dell'amplificatore \`e stato sostituito dal suo Th\'evenin
equivalente. In questo circuito $R_s$ \`e considerato parte
dell'amplificatore e sia $A_v$ il suo guadagno a circuito aperto che
includa $R_s$.
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/impedenza_feed_tensione_serie.eps}}
  \end{center}
  \caption{Schema di circuito di feedback tensione-serie per il
  calcolo delle impedenze di ingresso/uscita.}
  \label{fig:vfeedrin}
\end{figure}
%
L'impedenza di ingresso \`e definita in tal caso dal rapporto $R_{if}
= V_s/I_i$ tra la tensione del generatore e la corrente che fluisce
nel ramo di ingresso del circuito. Applicando la legge di Kirchhoff
alla maglia di ingresso si ottiene allora
%
\begin{equation}
  V_s = V_i + V_f = R_i I_i + \beta V_o
  \label{eq:inmagliav}
\end{equation}
Dalla maglia d'uscita otteniamo
%
\begin{equation}
  V_o = A_v V_i \frac{R_L}{R_o+R_L} = A_V V_i
  \label{eq:outmagliav}
\end{equation}
%
dove $A_v$ rappresenta il guadagno in tensione a circuito aperto ed
abbiamo introdotto il guadagno (in assenza di feedback) $A_V=A_v
R_L/(R_o+R_L)$ che tiene conto della resistenza di carico $R_L$
(dunque $A_V \rightarrow A_v$ per $R_L \rightarrow
\infty$). Combinando la (\ref{eq:inmagliav}) con la
(\ref{eq:outmagliav}) si ottiene infine
%
\begin{equation}
  R_{if} = \frac{V_s}{I_i} = R_i (1 + \beta A_V)
  \label{eq:vimpin}
\end{equation}
%
che risulta aumentata rispetto all'impedenza d'ingresso
dell'amplificatore base di un fattore $1 + \beta A_V$, che tende ad
infinito per $\beta A_V \gg 1$.
%
\subsubsection{Feedback corrente-serie}\index{Feedback! corrente-serie}
Esaminiamo ora il caso del feedback corrente-serie, il cui schema \`e
mostrato in figura~\ref{fig:gfeedrin} ed \`e ottenuto dalla
figura~\ref{fig:feedamp4}c per sostituzione dell'amplificatore con il
suo circuito equivalente.
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/impedenza_feed_corrente_serie.eps}}
  \end{center}
  \caption{Circuito equivalente ad un feedback corrente-serie per un
    amplificatore a transconduttanza.}
  \label{fig:gfeedrin}
\end{figure}
%

Sia $G_m=I/V_i$ la transconduttanza a circuito chiuso (che gi\`a
include gli effetti legati alla resistenza d'uscita del generatore di
tensione).  Dalla legge di Kirchhoff applicata alla maglia d'uscita
troviamo che
%
\begin{equation}
  I_o = G_m V_i \frac{R_o}{R_o+R_L} = G_M V_i = G_M R_i I_i
  \label{eq:outmagliag}
\end{equation}
%
avendo posto $G_M = G_m R_o/(R_o+R_L)$ per la transconduttanza
dell'amplificatore che tiene conto del carico $R_L$.  Combinando
l'ultima espressione ottenuta con la (\ref{eq:inmagliav}) si ha
%
\begin{equation}
  V_s = V_i + V_f = R_i I_i + \beta I_o = R_i I_i + \beta G_M R_i I_i
  = R_i I_i \left( 1 + \beta G_M \right)
\end{equation}
%
da cui
\begin{equation}
  R_{if} = \frac{V_s}{I_i} = R_i \left(1 + \beta G_M \right)
  \label{eq:gimpin}
\end{equation}
%
Anche in questo caso quindi l'impedenza d'ingresso aumenta per effetto
del feedback, l'incremento essendo legato al fattore $(1 + \beta
G_M)$.
%
\subsubsection{Feedback corrente-parallelo}
\index{Feedback! corrente-parallelo} Il circuito di
figura~\ref{fig:ifeedrin} implementa la configurazione di feedback
corrente-parallelo, ottenuta sostituendo all'amplificatore di corrente
di figura~\ref{fig:feedamp4} il suo circuito Norton-equivalente. In
maniera analoga ai casi precedenti, non compare l'impedenza di uscita
del generatore $R_s$, essendo questa gi\`a inclusa nel computo del
guadagno $A_i$ dell'amplificatore a circuito chiuso.
% 
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/impedenza_feed_corrente_parallelo.eps}}
  \end{center}
  \caption{Configurazione di feedback corrente-parallelo per un
    amplificatore di corrente.}
  \label{fig:ifeedrin}
\end{figure}
%

In questo caso, l'impedenza di ingresso \`e definita come $R_{if}=
V_i/I_s$.  Dalla maglia d'ingresso abbiamo
%
\begin{equation}
  I_s = I_i + I_f = I_i + \beta I_o
  \label{eq:inmagliai}
\end{equation}
%
e dalla maglia d'uscita:
%
\begin{equation}
  I_o = A_i I_i \frac{R_o}{R_o+R_L} \equiv A_I I_i
  \label{eq:outmagliai}
\end{equation}
%
dove $A_I = A_i R_o(R_o+R_L)$ \`e il guadagno in corrente
dell'amplificatore che tiene conto del carico $R_L$ (che tende
perci\`o ad $A_i$ allorch\'e $R_L\rightarrow 0$). Combinando queste
due ultime espressioni si ottiene
%
\begin{equation}
I_s = I_i + \beta A_I I_i = I_i \left(1 + \beta A_I \right)
\end{equation}
%
da cui, tenendo conto che $V_i = R_i I_i$, segue infine
%
\begin{equation}
  R_{if} = \frac{V_i}{(1+\beta A_I)I_i} = \frac{R_i}{1+\beta A_I}
  \label{eq:iimpin}
\end{equation}
%
In questo caso l'impedenza d'ingresso \`e minore di quella in assenza
di feedback del medesimo fattore $(1+\beta A)$ che era presente, a
fattore moltiplicativo, nei due casi iniziali.
%
\subsubsection{Feedback tensione-parallelo}
\index{Feedback! tensione-parallelo} Procedendo in maniera analoga ai
casi precedenti, si pu\`o schematizzare un circuito di feedback
tensione-parallelo come in figura~\ref{fig:rfeedrin} Come sopra, si
suppone che l'impedenza del generatore sia gi\`a inclusa nel calcolo
del guadagno $R_m$ dell'amplificatore a transresistenza a circuito
chiuso e viene pertanto omessa.
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/impedenza_feed_tensione_parallelo.eps}}
  \end{center}
  \caption{Feedback tensione-parallelo per un alimentatore a
  transresistenza.}
  \label{fig:rfeedrin}
\end{figure}
%
L'impedenza d'ingresso \`e:
\begin{equation}
R_{if} = \frac{V_i}{I_s} = \frac{R_i I_i}{I_s}
\end{equation}
%
Le equazioni di maglia risultano essere in questo caso
%
\begin{equation}
  I_s = I_i + \beta V_o
  \label{eq:inmagliar}
\end{equation}
%
per quella di ingresso e
%
\begin{equation}
  V_o = R_m I_i \frac{R_L}{R_o+R_L} = R_M I_i
  \label{eq:outmagliar}
\end{equation}
%
per quella di uscita, dove $R_M = R_m R_L/(R_o+R_L)$ \`e il guadagno
dell'amplificatore in assenza di feedback ma in presenza del carico
esterno.  Si ha allora
\begin{equation}
  I_s = I_i \left(1 + \beta R_M \right)
\end{equation}
%
da cui discende
\begin{equation}
  R_{if} = \frac{R_i I_i}{I_s} = \frac{R_i}{1 + \beta R_M}
\end{equation}
Come nel caso precedente, l'impedenza d'ingresso diminuisce
dell'identico fattore $1 + \beta A$, $A = R_M$ essendo il guadagno
dell'amplificatore in assenza di reazione.
%
\subsection{Considerazioni generali}
Poich\'e gli ultimi due casi esaminati avevano come caratteristica
comune la reazione in parallelo (cio\`e di corrente) nella maglia
d'ingresso, vediamo che \`e tale caratteristica a determinare la
diminuzione dell'impedenza d'ingresso.

Abbiamo visto quindi che, se il segnale di feedback viene riportato in
ingresso sotto forma di un segnale di tensione (cio\`e in serie)
l'impedenza d'ingresso aumenta, mentre essa diminuisce se il feedback
\`e parallelo (corrente). Ci\`o indipendentemente dal tipo di
campionamento in uscita (tensione o corrente).  Ci\`o pu\`o esser
facilmente compreso se si pensa che, nel caso in cui il feedback
(negativo) sia di tensione, questo far\`a si che la tensione ai capi
di $R_i$ sia minore della tensione del generatore, che ha un valore
costante $V_s$. Di conseguenza \`e minore la corrente che fluisce in
$R_i$ e, poich\'e tale corrente \`e erogata in ultima analisi dal
generatore, il rapporto tra tensione e corrente erogata, cio\`e la
resistenza d'ingresso, sar\`a maggiore.

Se invece si realizza un feedback (negativo) di corrente, avremo una
minor corrente in $R_i$, il che implica una minore differenza di
potenziale ai capi di $R_i$. Poich\'e ora ci\`o avviene ad $I_s$
costante, la resistenza d'ingresso $V_i/I_s$ \`e minore di quella che
si avrebbe in assenza di feedback.
%
\subsection{Impedenze d'uscita}
Ci\`o che determina l'impedenza di uscita per un amplificatore
reazionato \`e il tipo di campionamento in uscita, indipendentemente
dal confronto effettuato in ingresso. Ricordiamo che l'impedenza di
uscita \`e definita dal rapporto tra la tensione a circuito aperto
applicata ai terminali di uscita e la corrente che fluisce nel ramo di
uscita con i terminali in corto.  Nel caso di un campionamento di
tensione, l'effetto del feedback \`e, come atteso, quello di ridurre
la tensione a circuito aperto (rispetto a quella dell'amplificatore
non reazionato) della quantit\`a $1+\beta A$, mentre la corrente a
circuito chiuso rimane invariata (infatti a circuito chiuso si annulla
la tensione in uscita ed il feedback \`e nullo). Ne risulta pertanto
una diminuzione dell'impedenza di uscita dello stesso fattore.
Analogamente, nel caso di campionamento di corrente, il feedback ha
l'effetto di ridurre la corrente a circuito chiuso mentre non ha alcun
effetto sulla tensione in uscita (a circuito aperto infatti si
annullano tanto la corrente di uscita che quella di feedback). Di
conseguenza la resistenza d'uscita aumenta del medesimo fattore $1 +
\beta A$ di cui diminuisce la corrente.
%
\subsubsection*{Feedback con campionamento di tensione}
Consideriamo il feedback tensione-serie di figura~\ref{fig:vfeedrin}.
Per calcolare la resistenza d'uscita $R_{of}$ poniamo $V_s=0$,
eliminiamo $R_L$ ed applichiamo tra i terminali d'uscita una
differenza di potenziale $V_o$.
%L'impedenza d'uscita \`e allora:
%\begin{equation}
%R_{of} = \frac{V_o}{I_o}
%\end{equation}
%dove $I_o$ \`e la corrente che fluisce nella maglia d'uscita. 
Abbiamo allora
%
\begin{equation}
I_o = \frac{V_o-A_v V_i}{R_o} = \frac{V_o + A_v \beta V_o}{R_o}
\end{equation}
%
poich\'e, avendo posto $V_s=0$ si ha $V_i = -V_f = - \beta V_o$.  Ne
segue che
\begin{equation}
R_{of} = \frac{V_o}{I_o} = \frac{R_o}{1 + \beta A_v}
\end{equation}

In presenza di un carico $R_L$ finito, l'espressione dell'impedenza
d'uscita si mo\-difica come segue:
\begin{equation}
R_{of}' = R_{of}||R_L = \frac{R_o R_L}{(R_o+R_L)\left(1 + \beta
\frac{R_L}{R_o+R_L} A_v\right)}
\end{equation}
che dalla definizione di $A_V$ e posto $R_o'=R_o || R_L$, si pu\`o
riscrivere in forma pi\`u compatta come
%
\begin{equation}
R_{of}' = \frac{R_o'}{1 + \beta A_V}
\end{equation}

Sulla base delle stesse argomentazioni, si pu\`o mostrare che per un
feedback tensione-parallelo l'impedenza di uscita assume la forma
\begin{equation}
R_{of} = \frac{R_o}{1 + \beta R_m}
\end{equation}
valida per $R_L \rightarrow \infty$ e
%
\begin{equation}
R_{of}' = \frac{R_o'}{1 + \beta R_M}
\end{equation}
in presenza di carico.
%
\subsubsection*{Feedback con campionamento di corrente}
Consideriamo infine il caso di un feedback corrente-serie, come quello
di figura~\ref{fig:gfeedrin}.  Per calcolare l'impedenza d'uscita,
immaginiamo di cortocircuitare $V_s$, di applicare tra i terminali
d'uscita una differenza di potenziale $V_o$ e calcoliamo la corrente
$I_o$. Dall'analisi della maglia d'uscita otteniamo, per la corrente
in $R_o$,
%
\begin{equation}
I' = G_m V_i - I_o
\end{equation}
% 
da cui:
\begin{equation}
V_o = R_o I' = G_m V_i R_o - R_o I_o
\end{equation}
%
mentre per la maglia d'ingresso, essendo $V_s=0$, vale $V_i = - \beta
I_o$.  Si ottiene quindi
%
\begin{equation}
V_o = - G_m R_o \beta I_o - R_o I_o = -R_o I_o \left(1 + G_m \beta
\right)
\end{equation}
%
per cui l'impedenza di uscita vale
%
\begin{equation}
  R_{of} = -\frac{V_o}{I_o} = R_o \left(1 + \beta G_m \right)
  \label{eq:gfeedout}
\end{equation}
%
Quindi, come previsto, l'impedenza d'uscita con feedback risulta
aumentata del fattore $1 + \beta G_m$. In presenza di carico, la
(\ref{eq:gfeedout}) deve essere modificata sostituendo $G_M$ al
guadagno in assenza di carico e $R_o'$ a $R_o$.
%
\begin{table}[h]
  \begin{center}
    \begin{tabular}{| l | c | c | c |}
      \hline Tipo di feedback & $R_{if}$ & $R_{of}$ & $R_{of}'$ \\
      \hline \hline tensione-serie &$R_i(1+\beta A_V)$&$ R_o/(1+\beta
      A_v)$ & $ R_o'/(1+\beta A_V)$ \\ corrente-serie &$R_i(1+\beta
      G_M)$&$ R_o (1+\beta G_m)$ &$ R_o'/(1+\beta G_M)$ \\
      tensione-parallelo &$R_i/(1+\beta R_M)$&$ R_o/(1+\beta R_m)$ &$
      R_o'/(1+\beta R_M)$ \\ corrente-parallelo &$R_i/(1+\beta A_I)$&$
      R_o (1+\beta A_i)$ &$ R_o'/(1+\beta A_I)$ \\ \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
  \caption{Sommario delle impedenze di ingresso/uscita nei casi
    esaminati di amplificatori con reazione.}
  \label{tab:feedimp}
\end{table}
%
\section{Analisi dei circuiti con feedback}
\subsection{Individuazione del tipo di reazione}
Per determinare il tipo di reazione pi\`u appropriato ad un
amplificatore occorre individuare il tipo di segnale (tensione o
corrente) prelevato all'uscita dell'amplificatore ed il modo (seriale
o parallelo) in cui esso viene confrontato con il segnale in
ingresso. A questo scopo, pu\`o essere utile seguire i seguenti
criteri generali.

Per identificare il tipo di campionamento, si consideri che, in
presenza di un carico esterno:
\begin{description} 
%
\item[-] {\underline{segnale di tensione}: si annulla se i terminali di
uscita sono cortocircuitati ($R_L=0$) mentre rimane invariato se sono
aperti ($R_L \rightarrow \infty$);}
%
\item[-] {\underline{segnale di corrente}: si annulla se i terminali di
di uscita sono aperti mentre rimane invariato se sono cortocircuitati.}
\end{description}
%
Per quel che concerne invece il modo (serie o parallelo) in cui il
segnale di feedback viene confrontato al segnale in ingresso, si pu\`o
facilmente intuire che avremo un confronto di tipo ``serie'' se essa
viene effettuata in una maglia; avremo invece una \index{Feedback!
tensione-serie} somma di tipo ``parallelo'' se essa viene effettuata
in un nodo. Per chiarire meglio questi concetti analizziamo alcuni
esempi.
%
\subsubsection*{Amplificatore J-FET ``common-source''}
\index{Feedback! in un amplificatore a J-FET} Si consideri il circuito
di figura~\ref{feedback_common_source}a, che rappresenta un
amplificatore a J-FET a canale n nella configurazione common-source.
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \begin{tabular}{cc}
      \mbox{\includegraphics[width=0.45\linewidth]{feedback/feedback_common_source.eps}}
      &
      \mbox{\includegraphics[width=0.45\linewidth]{feedback/feedback_trans_bipol.eps}}
      \\ (a) & (b) \\
    \end{tabular}
  \end{center}
  \caption{Esempio di amplificatori con feedback: (a) J-FET in
configurazione common-source (feedback corrente-serie) e (b)
transistor bi-polare in configurazione common-emitter (feedback
tensione-parallelo).}
  \label{feedback_common_source}
\end{figure}
%
Se $V_{gs}$ aumenta, aumenta anche la corrente nel canale e nelle
resistenze $R_d$ ed $R_s$.  Il potenziale del drain diminuisce mentre
aumenta quello del source, il che comporta una diminuzione di
$V_{gs}$. Abbiamo quindi un feedback negativo.  Vediamo che il
campionamento \`e di corrente; infatti il feedback si annulla se $R_d$
diviene infinitamente grande (con che si annulla la corrente). Esso
invece continua ad esser presente se $R_d$ viene cortocircuitata.

Il segnale di feedback \`e riportato in ingresso sotto forma di una
differenza di potenziale ai capi di $R_s$, che viene connessa in serie
alla tensione del generatore nella maglia d'ingresso (e con segno tale
da essere sottratta a $V_s$). Si tratta dunque di un feedback
seriale. In definitiva il circuito disegnato \`e un esempio di
feedback corrente-serie.

\subsubsection*{Transistor bi-polare in common-emitter}
\index{Feedback! in un transistor} Consideriamo invece il circuito di
figura~\ref{feedback_common_source}b, in cui un transistor bi-polare
npn in configurazione common-emitter viene reazionato dalla resistenza
$R_f$.  Cortocircuitando i terminali di uscita si annullerebbe la
tensione di collettore $V_c$ (e, conseguentemente, la corrente $I_f$
nel ramo di feedback).  Si tratta quindi un campionamento di
tensione. Inoltre il segnale di feedback \`e di corrente, essendo
questo derivato dal nodo di ingresso dell'amplificatore (ovvero la
base del transistor).
%

Esaminiamo come ulteriore esempio quello di
figura~\ref{feedback_fet_bipol}, in cui un amplificatore con
transistor in configurazione common-emitter viene reazionato
attraverso lo stesso circuito mostrato in
figura~\ref{feedback_common_source}b. Anche in questo caso la rete di
feedback ritorna un segnale di corrente che viene derivato dal nodo
alla base del transistor (per cui $I_b = I_s - I_f$).
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=0.7\linewidth]{feedback/feedback_fet_bipol.eps}}
    \vspace{-1cm}
  \end{center}
  \caption{Esempio di circuito a due stadi di amplificazione con
    feedback di tipo corrente-parallelo.}
  \label{feedback_fet_bipol}
\end{figure}
%
La corrente di feedback, essendo prelevata dal source del J-FET, si
annullerebbe se la resistenza di carico ($R_d$ nel nostro caso)
divenisse infinitamente grande (con che si annullerebbe la corrente in
$T_2$).  In conclusione la reazione esaminata \`e di tipo
corrente-parallelo (current-shunt).
%
\subsubsection{Feedback con amplificatori operazionali}
\index{Feedback! negli amplificatori operazionali} I circuiti di
figura~\ref{feedback_op_amp_impedence} mostrano infine un esempio di
ciascuno dei quattro tipi di feedback, nel caso di un amplificatore
operazionale. \`E facile verificare, facendo uso dei criteri esposti,
che il tipo di feedback presente in ciascun caso \`e quello indicato
nella figura.
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=\linewidth]{feedback/feedback_op_amp_impedence.eps}}
  \end{center}
  \caption{Possibili configurazioni di feedback negativo realizzate
    con un amplificatore operazionale.}
  \label{feedback_op_amp_impedence}
\end{figure}
%
\subsection{Analisi quantitativa del guadagno}
\subsubsection*{Feedback tensione-parallelo}
\index{Feedback! tensione-parallelo} Esaminiamo ora in dettaglio un
esempio di circuito con feedback. Consideriamo il caso di un
amplificatore invertente, come quello mostrato in
figura~\ref{feedback_ampli_invert}a.  in cui un segnale di tensione
\`e prelevato in uscita e riportato sull'ingresso tramite una
resistenza di feedback $R_f$.
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/feedback_ampli_invert.eps}}
    \\ (a) \\
    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/feedback_ampli_invert_equiv.eps}}
    \\ (b)
  \end{center}
  \caption{(a) Amplificatore invertente realizzato in configurazione
tensione-parallelo e (b) suo circuito equivalente.}
  \label{feedback_ampli_invert}
\end{figure}
%
La polarit\`a del segnale di feedback \`e tale che la corrente ad esso
associata sia sottratta alla corrente erogata dal generatore. Si
tratta chiaramente di un feedback ``tensione-parallelo''.

Per semplificare l'analisi di tale circuito, \`e opportuno sostituirlo
con il circuito equivalente di
figura~\ref{feedback_ampli_invert}b. Qui abbiamo indicato con $V_d$ la
differenza di potenziale ai capi della resistenza d'ingresso $R_i$
dell'operazionale.
%
%\begin{figure}
%  \begin{center}
%    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/feedback_ampli_invert_equiv.eps}}
%  \end{center}
%  \caption{Circuito equivalente all'amplificatore di }
%  \label{feedback_ampli_invert_equiv}
%\end{figure}
%
Il circuito di feedback potrebbe in realt\`a esser pi\`u complicato di
quello rappresentato da una singola resistenza.  Per descrivere tali
situazioni potremo sostituire nel circuito equivalente il generatore
$V_L$ con $k V_L$, dove k \`e una costante.

Scriviamo ora le equazioni per il circuito disegnato.  Dalla maglia di
sinistra si ottiene
%
\begin{equation}
I_1 = \frac{V_i+V_d}{R_s}
\end{equation}
\begin{equation}
I_2 = - \frac{V_d+V_L}{R_f}
\end{equation}
\begin{equation}
I_d = I_1 - I_2 = \frac{V_i + V_d}{R_s} + \frac{V_L+V_d}{R_f} = -
\frac{V_d}{R_i} \label{id_current}
\end{equation}
%
Dalla maglia di destra risulta
\begin{equation}
  I = \frac{A_d V_d + V_d}{R_o + R_f}
\end{equation}
%
\begin{equation}
  \begin{split}
    V_L = A_d V_d - R_o I & = A_d V_d - \frac{R_o}{R_o + R_f} A_d V_d
    - \frac{R_o}{R_o + R_f} V_d = \\ & = V_d \left(A_d - A_d
    \frac{R_o}{R_o + R_f} -\frac{R_o}{R_o + R_f}\right)
  \end{split}
\end{equation}
%
Se $R_o \ll R_f$, il secondo ed il terzo termine in parentesi sono
trascurabili rispetto al primo e si ha
\begin{equation}
  V_L \simeq A_d V_d
  \label{vl_approx}
\end{equation}
%
Dalla (\ref{id_current}) si ha invece
\begin{equation}
  V_d \left(\frac{1}{R_s}+\frac{1}{R_f}+\frac{1}{R_i}\right) =
  -\frac{V_i}{R_s} -\frac{V_L}{R_f}
\end{equation}
%
Trascurando il termine $1/R_i$ rispetto agli altri due termini in
parentesi e facendo uso della (\ref{vl_approx}), l'ultima equazione
scritta diventa
%
\begin{equation}
\frac{V_L}{A_d}\frac{R_f+R_s}{R_f R_s} + \frac{V_L}{R_f} =
-\frac{V_i}{R_s}
\end{equation}
da cui si ottiene
\begin{equation}
V_L = - \frac{(A_d V_i/R_s) R_{fs}}{1 + (A_d/R_f) R_{fs}}
\label{vl_with_feedback}
\end{equation}
%
avendo posto $R_{fs} \equiv R_f ||R_s = R_f R_s/(R_f+R_s)$.
%\begin{equation}
%\frac{R_f R_s}{R_f + R_s}
%\end{equation}
%
Nel caso in cui il termine
\begin{equation}
  \frac{R_{fs}}{R_f} A_d
  \label{eq:loopgaini}
\end{equation}
che compare a denominatore della (\ref{vl_with_feedback}) sia molto
maggiore di 1, la (\ref{vl_with_feedback}) si semplifica come segue
\begin{equation}
V_L = - V_i \frac{R_f}{R_s}
\end{equation}
%
ovvero la tensione d'uscita non dipende pi\`u dal parametro $A_d$.

Il termine (\ref{eq:loopgaini}) costituisce il cosiddetto ``guadagno
di maglia'' (loop gain). Si pu\`o facilmente verificare che esso
coincide (a parte il segno) con il guadagno della catena quando si
supponga nulla l'eccitazione esterna $V_i$.  Infatti, in tal caso il
circuito diventa quello della figura~\ref{feedback_ampli_invert_equb},
in cui
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/feedback_ampli_invert_equb.eps}}
  \end{center}
  \caption{Circuito equivalente all'amplificatore invertente, con
  $V_i=0$ e $V_L = A_d V_d$.}
  \label{feedback_ampli_invert_equb}
\end{figure}
%
l'eccitazione \`e costituita da $\overline{V}$, mentre l'uscita \`e,
come prima, $V_L$.  Nel ramo destro abbiamo fatto uso
dell'approssimazione (\ref{vl_approx}).  Il guadagno di maglia (loop
gain) sar\`a ora calcolabile facendo uso delle seguenti equazioni:
%
\begin{equation}
I_s = I_f + I_i
\end{equation}
con:
\begin{equation}
I_f = \frac{\overline{V} + V_d}{R_f}
\end{equation}
\begin{equation}
I_i = \frac{V_d}{R_i}
\end{equation}
\begin{equation}
I_s = - \frac{V_d}{R_s}
\end{equation}
%
da cui
%
\begin{equation}
\frac{\overline{V} + V_d}{R_f} + \frac{V_d}{R_i} = -\frac{V_d}{R_s}
\end{equation}
e infine
\begin{equation}
  V_d \left( \frac{1}{R_f}+\frac{1}{R_i}+\frac{1}{R_s}\right) =
  -\frac{\overline{V}}{R_f}
\end{equation}
%
Trascurando $1/R_i$ rispetto agli altri termini in parentesi e facendo
uso della (\ref{vl_approx}) questa diviene
\begin{equation}
  \frac{V_L}{A_d}\left(\frac{1}{R_f}+\frac{1}{R_s}\right) =
  -\frac{\overline{V}}{R_f}
\end{equation}
%
ed il guadagno di maglia sar\`a:
\begin{equation}
  \frac{V_L}{\overline{V}} = - A_d \frac{R_{fs}}{R_f} \equiv - A_d
  \beta
  \label{guadagno_dI_maglia}
\end{equation}
essendo $\beta = R_{fs}/R_f$ il fattore di feedback.
%\begin{equation}
%\beta = -\frac{R_{fs}}{R_f}
%\end{equation}
%

Il termine $-A_d R_{fs}/R_s$ che compare a numeratore della
(\ref{vl_with_feedback}) costituisce il guadagno in assenza di
feedback.
%\begin{equation}
%-A_d \frac{R_{fs}}{R_s}
%\end{equation}
Questo \`e calcolabile a partire dal circuito equi\-valente di
figura~\ref{feedback_ampli_invert_equc}.
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/feedback_ampli_invert_equc.eps}}
  \end{center}
  \caption{Circuito equivalente all'amplificatore invertente, in
    assenza della sorgente $V_L$ nel ramo sinistro e della sorgente
    $V_d$ nel ramo destro.}
  \label{feedback_ampli_invert_equc}
\end{figure}
%
L'assenza del feedback consiste qui nell'assenza della sorgente
dipendente $V_L$ nel ramo sinistro e nella simultanea assenza della
sorgente $V_d$ in serie con $R_f$ nel ramo destro di
figura~\ref{feedback_ampli_invert}b.  Il guadagno di questo circuito
\`e ora ottenibile dalle equazioni:
\begin{equation}
V_d = -\frac{V_i}{R_s+R_{if}} R_{if} \simeq -V_i \frac{R_f}{R_s+R_f} =
-V_i \frac{R_{fs}}{R_s}
\end{equation}
dove si \`e assunto $R_i \gg R_f$. Inoltre \`e
%
\begin{equation}
V_L = A_d V_d = - A_d \frac{R_{fs}}{R_s} V_i
\end{equation}
% 
per cui il guadagno a catena aperta \`e
\begin{equation}
A_o \equiv \frac{V_L}{V_i} = -A_d \frac{R_{fs}}{R_s}
\label{guadagno_catena_aperta}
\end{equation}
%
Facendo ora uso delle equazioni (\ref{vl_with_feedback}),
(\ref{guadagno_dI_maglia}) e (\ref{guadagno_catena_aperta}), il
guadagno complessivo pu\`o esser messo nella forma
%
\begin{equation}
  A_V = \frac{V_L}{V_i} = - \frac{A_d R_{fs}/R_s}{1 + A_d R_{fs}/R_f}
  = \frac{A_o}{1 + A_d \beta}
\end{equation}
%
%Notiamo che il parametro $\beta$  regola l'ammontare di feedback. Se $\beta=0$ non  ci sar\`a feedback. 
Se $-A_d \beta$ diviene grande rispetto ad 1, il guadagno $A_V$
dell'amplificatore con feedback tende a:
\begin{equation}
A_V \rightarrow - \frac{R_f}{R_s}
\end{equation}
cio\`e diviene indipendente dal guadagno intrinseco $A_d$
dell'amplificatore.  Questo conferma che al crescere del guadagno di
maglia, il guadagno con feedback diventa sempre meno sensibile a
variazioni di temperatura o a variazioni dei parametri dei componenti
che costituiscono l'amplificatore.
%
\subsubsection*{Feedback tensione-serie}
\index{Feedback! tensione-serie} Analizziamo ora in dettaglio il caso,
gi\`a discusso in precedenza, di un amplificatore operazionale in
configurazione non-invertente. Si consideri lo schema di
figura~\ref{feedback_ampli_non_invert}a ed il suo equivalente di
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=\linewidth]{feedback/feedback_ampli_non_invert.eps}}
    \\ (a) \\
    \mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/feedback_ampli_non_invert_equa.eps}}
    (b)
  \end{center}
  \caption{(a) Amplificatore non-invertente realizzato in
configurazione tensione-serie e (b) suo circuito equivalente.}
  \label{feedback_ampli_non_invert}
\end{figure}
%
figura~\ref{feedback_ampli_non_invert}b, in cui $V_L'= V_L$ e $V_d$
indica la differenza di potenziale ai capi di $R_i$.
%
%\begin{figure}[h!]
%  \begin{center}\mbox{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{FEEDBACK_AMPLI_NON_INVERT_EQUA.eps}}
%\end{center}
%\caption{}
%\label{feedback_ampli_non_invert_equa}
%\end{figure}
%
Cominciamo col calcolare il guadagno a catena aperta (cio\`e in
assenza di feedback), definito da:
\begin{equation}
A_o = \left(\frac{V_L}{V_i}\right)_{V_L'=0}
\end{equation}
%
Possiamo scrivere:
\begin{equation}
\left( \frac{V_L}{V_i} \right)_{V_L'=0} =
\left(\frac{V_L}{V_d}\right)_{V_L'=0} \left(\frac{V_d}{V_i}\right)
\end{equation}
%
dove il primo termine a secondo membro pu\`o esser ottenuto facendo
uso della maglia di sinistra ed il secondo di quella di destra. Da
quest'ultima otteniamo:
\begin{equation}
V_L = R_f I_1 - V_d
\end{equation}
%
con:
\begin{equation}
I_1 = \frac{A_d V_d + V_d}{R_o + R_f} = \frac{V_d}{R_o + R_f} (1 +
A_d)
\end{equation}
%
da cui:
\begin{equation}
V_L = \frac{V_d}{R_o+R_f}\left(R_f A_d - R_o\right)
\end{equation}
\begin{equation}
\left(\frac{V_L}{V_d}\right)_{V_L'=0} = \frac{R_f A_d - R_o}{R_o +
R_f}
\end{equation}
%
Dalla maglia di sinistra otteniamo poi:
\begin{equation}
\left(\frac{V_d}{V_i}\right)_{V_L'=0} = \frac{R_i}{R_s + R_i + R_f}
\end{equation}
%
e quindi:
\begin{equation}
\left(\frac{V_L}{V_i}\right)_{V_L'=0} = \frac{R_f A_d - R_o}{R_o +
R_f} \frac{R_i}{R_s + R_i + R_f}
\end{equation}
%
Se ora facciamo l'approssimazione:
\begin{equation}
R_o \ll R_f
\end{equation}
\begin{equation}
R_f + R_s \ll R_i
\end{equation}
si ottiene:
\begin{equation}
A_o = \left(\frac{V_o}{V_i}\right)_{V_L'=0}\:\approx\:A_d
\end{equation}
%
che costituisce il guadagno in assenza di feedback.  Il guadagno di
maglia $A_d \beta$ pu\`o esser ottenuto dal circuito equivalente di
figura~\ref{feedback_ampli_non_invert_equb}:
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{
      \includegraphics[width=0.9\linewidth]{feedback/feedback_ampli_non_invert_equb.eps}}
  \end{center}
  \caption{Circuito equivalente all'amplificatore non-invertente, con
  $V_i=0$.}
  \label{feedback_ampli_non_invert_equb}
\end{figure}
%
Con riferimento ai componenti indicati in figura, otteniamo per il
prodotto $A_d \beta$, definito al solito come:
\begin{equation}
  A_d \beta \equiv \left(\frac{V_L}{V_L'}\right)_{V_i=0}
  =\frac{V_L}{V_d} \frac{V_d}{V_L'} = \frac{R_f A_d - R_o}{R_o + R_f}
  \left(\frac{-R_i}{R_s+R_i+R_f}\right)
\end{equation}
%
che, nella medesima approssimazione gi\`a adottata in precedenza \`e
uguale a $-A_d$. Il guadagno con reazione sar\`a allora:
\begin{equation}
A_r = \frac{V_L}{V_i} = \frac{A_o}{1 - A_d \beta} = \frac{A_d}{1 +
A_d}
\end{equation}
%
Se nell'esempio fatto avessimo avuto un feedback $V_L'=kV_L$
(anzich\'e $V_L'=V_L$) avremmo trovato:
\begin{equation}
A_r = \frac{A_d}{1 + k A_d}
\end{equation}
% 
che tende ad $1/k$ per $A_d$ molto grande.
%
\section{Stabilit\`a negli amplificatori con feedback}
\index{Feedback! stabilit\`a negli amplificatori con} In un
amplificatore la cui configurazione di feedback sia schematizzabile
come in figura~\ref{fig:feedloop}, sia il guadagno a circuito aperto
che il fattore di feedback potrebbero essere funzioni della
frequenza. \`E quanto accade, a titolo di esempio, nel caso di un
circuito integratore realizzato con un amplificatore operazionale in
configurazione invertente. Da un lato l'operazionale ha, a frequenze
relativamente basse, una funzione di trasferimento con un polo del
primo ordine in corrispondenza della frequenza di taglio superiore
(esprimibile secondo la (\ref{eq:sinpol})); dall'altro il ramo di
feedback utilizza un parallelo tra una capacit\`a ed una resistenza ed
anch'esso funzione della frequenza. Pertanto anche il guadagno a
circuito chiuso \`e una funzione (complessa) della frequenza
esprimibile nella sua forma pi\`u generale dalla
%
\begin{equation}
  A_f(s) = \frac{A(s)}{1 + \beta(s) A(s)}
  \label{eq:loopgains}
\end{equation}
%
Per semplicit\`a, limitiamoci a considerare il caso in cui
l'amplificatore abbia un guadagno $A_0$ a basse frequenze, con poli e
zeri ad alte frequenze.  Assumiamo che anche il fattore di feedback
sia costante a basse frequenze.  Nello stesso dominio di frequenze
anche il prodotto $\beta A$ diventa una costante esprimibile da una
numero reale, che deve essere positivo perch\'e il feedback sia
negativo. Resta da studiare la condizione di stabilit\`a a frequenze
maggiori.

A frequenze fisiche $s=j\omega$, l'equazione precedente si riscrive
%
\begin{equation}
  A_f(j\omega) = \frac{A(j\omega)}{1 + \beta(j\omega) A(j\omega)}
  \label{eq:loopgainj}
\end{equation}
%
Rappresentiamo ora il loop gain in termini del suo modulo e della sua
fase,
%
\begin{equation}
  L(j\omega) \equiv \beta(j\omega) A(j\omega) = |\beta(j\omega)
  A(j\omega)| e^{j \varphi(\omega)}
  \label{eq:loopgainf}
\end{equation}
%
Ci\`o che determina la stabilit\`a dell'amplificatore reazionato \`e
allora la variazione del loop gain con la frequenza. Si consideri
infatti la frequenza per cui la fase $\varphi(\omega) = \pi$. A questa
frequenza (che indicheremo con $\omega_\pi$), $L$ \`e un numero reale
negativo, per cui il feedback diventer\`a positivo. Se il modulo di
$L(j\omega_\pi)$ \`e minore di $1$, l'amplificatore rimane stabile. Se
invece il modulo di $L(j\omega_\pi)$ \`e uguale ad 1, allora, come
segue dalla (\ref{eq:loopgainj}), $A_f(j\omega)$ diverge. Questo
implica che l'amplificatore pu\`o avere un'uscita diversa da zero
anche in assenza di ingresso, ci\`o che si realizza in presenza di
oscillazioni. Quella appena descritta \`e nota come condizione di
Barkhausen. Per cercare di capire come il sistema sia in grado di
sostenere un'oscillazione, si consideri il circuito di
figura~\ref{fig:feedloop} con $x_s =0$. Qualsiasi perturbazione pu\`o
indurre un segnale di rumore $x_i$ all'ingresso dell'amplificatore,
con un ampio spettro di frequenza. Per le componenti a bassa
frequenza, dove $\beta A$ \`e costante e positivo, il guadagno
dell'amplificatore \`e minore di 1; l'ampiezza di queste oscillazioni
viene attenuata ad ogni loop successivo fino a smorzarsi. Per la
componenente a frequenza $\omega_\pi$ si ha invece che
%
\begin{equation}
  x_f = \beta(j\omega) A(j\omega) x_i = -x_i
  \label{eq:loopgainfi}
\end{equation}
%
Il segnale di errore rimane allora costante; infatti, al feedback
successivo, si ha $x_i'=x_s-x_f=-x_f=x_i$. Questo implica che
all'ingresso e all'uscita dell'amplificatore c'\`e un segnale
sinusoidale di frequenza $\omega_\pi$ tale da soddisfare la condizione
di Barkhausen. Lo studio delle condizioni di oscillazione verr\`a
approfondito nel prossimo capitolo.

\index{Plot di Nyquist} La verifica della stabilit\`a di un
amplificatore con feedback pu\`o seguire un approccio formale mediante
l'uso del plot di Nyquist, un esempio del quale \`e mostrato in
figura~\ref{fig:nyquist}, che rappresenta nel piano complesso la
variazione del loop gain in funzione della frequenza. Poich\'e il
modulo di $L$ \`e una funzione pari della frequenza, mentre la fase
\`e una funzione dispari, il plot di Nyquist \`e simmetrico rispetto
all'asse reale.
%
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \mbox{\includegraphics[width=0.8\linewidth]{feedback/nyquist.eps}}
  \end{center}
  \caption{Plot di Nyquist per un amplificatore reazionato
    instabile. Il punto segnato sul grafico alla coordinata (-1,0)
    rappresenta il polo del primo ordine della funzione di
    trasferimento dell'amplificatore reazionato (condizione di
    Barkhausen). La linea \`e continua (rispettivamente tratteggiata)
    per $\omega>0 \:(<0)$.}
\label{fig:nyquist}
\end{figure}
%

A basse frequenze ($\omega \rightarrow 0$), $L$ \`e reale e
positivo. Per frequenze crescenti, il modulo di $L$ diminuisce e tende
a $0$ per $\omega \rightarrow \infty$, mentre la sua fase aumenta. Il
plot di Nyquist interseca l'asse reale negativo alla frequenza
$\omega_\pi$.  Se il punto di intersezione giace a destra del punto di
coordinate $(-1,0)$, l'amplificatore rimane stabile anche in presenza
di feedback positivo; d'altra parte, se $L(j\omega_\pi)<-1$, allora
l'amplificatore \`e instabile. In maniera equivalente, si pu\`o
affermare che l'amplificatore diventa instabile se il plot di Nyquist
circonda il punto $(-1,0)$.
%

