\chapter{Filtri attivi}
\label{cap:filtriattivi}
\section{Introduzione}
\index{Filtro} \index{Filtro! passa-banda} \index{Filtro! passa-alto}
\index{Filtro! passa-basso} \index{Filtro! elimina-banda}

Un filtro \`e un dispositivo che trasmette inalterati segnali aventi
frequenze entro un determinato campo (filtri \emph{passa-banda}) o al
di sopra di un valore determinato (filtri \emph{passa-alto}) o ancora
al di sotto di un valore prefissato (filtri \emph{passa-basso}). Si
possono anche avere filtri che lasciano passare solo segnali aventi
frequenze poste al di fuori di un campo prefissato (filtri
\emph{elimina-banda}).

Un filtro pu\`o esser realizzato a partire da soli componenti passivi
(resistenze, capacit\`a o induttanze). In tal caso si parla di
\emph{filtri passivi}. \'E ormai comune uso adoperare, insieme ad
elementi passivi, anche elementi attivi, quali transistor o
amplificatori operazionali. Tale scelta offre una maggiore
flessibilit\`a nella realizzazione di filtri con particolari
caratteristiche. Questi sono noti come \emph{filtri attivi}.
\index{Filtro! passivo}

A causa della limitata risposta in frequenza degli operazionali, i
filtri attivi sono adoperati tipicamente a basse frequenze (sopratutto
a frequenze audio) fino ad un massimo di qualche centinaio di kHz. \'E
possibile, facendo uso di amplificatori operazionali veloci,
realizzare filtri attivi che operano fino a diversi MHz, ma ragioni di
costo ne limitano l'uso. Per frequenze elevate si fa quindi uso di
filtri passivi.  \index{Filtro! attivo} In questo capitolo esamineremo
le caratteristiche dei principali tipi di filtri attivi, quali ad
esempio quelli di Butterworth e di Bessel.  Per un'analisi pi\`u
approfondita dell'argomento si suggerisce di consultare le referenze citate.

Faremo ampio uso della tecnica delle trasformate di Laplace, e dei
concetti connessi con la rappresentazione grafica della risposta dei
circuiti (diagrammi di Bode e di Nyquist).

Si sta diffondendo in aggiunta, in questi ultimi anni, l'uso di quelli
che sono noti come \emph{filtri digitali}. Una trattazione dettagliata
di tale tipo di filtri ci porterebbe ben oltre gli scopi di questo
corso.


\subsection{Caratteristiche di risposta dei filtri}

I quattro tipi di filtro cui abbiamo accennato nella sezione
precedente dovrebbero idealmente avere delle funzioni di trasferimento
caratterizzate da un andamento piatto all'interno della banda passante
e da una transizione infinitamente ripida verso la banda
bloccata. Tale andamento ideale \`e schematizzato nella
figura~\ref{filtri_ideali} dove sono mostrati i diagrammi di Bode per
il modulo della funzione di trasferimento $G(\omega)$ relativi ai
quattro tipi di filtri.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/filtri_ideali.eps,width=11.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Andamento ideale della funzione di trasferimento relativa ai
quattro tipi di filtro descritti. Figura~(a): passa-basso, figura~(b):
passa alto, figura~(c): passa-banda, figura~(d): elimina-banda.}
\protect\label{filtri_ideali}
\end{figure}


La figura~(a) si riferisce al caso di un filtro passa-basso, la~(b) a
quello di un filtro passa-alto, la (c) ad un filtro passa-banda e la
(d) ad uno elimina-banda.

In realt\`a nessun filtro reale ha funzioni di trasferimento come
quelle mostrate in figura. I fronti di salita e di discesa hanno nella
pratica pendenze che vanno da 6~dB/ottava a qualche decina
di~dB/ottava. Inoltre l'andamento all'interno della banda passante non
\`e mai piatto, ma esibisce in genere delle oscillazioni (``ripple'')
pi\`u o meno ampie. Un esempio di curva di risposta reale \`e quello
mostrato in figura~\ref{banda_filtri}~(relativo al caso di un filtro
passa-banda).


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/banda_filtri.eps,width=12.0 cm,
height=8 cm}}\end{center}
\caption{Esempio della funzione di trasferimento relativa ad un filtro
reale di tipo passa-banda. Si notino le oscillazioni ``ripple'' nella
curva.} \protect\label{banda_filtri}\end{figure}



\index{Banda passante} La banda passante (BW) \`e definita come
l'intervallo di frequenze compreso tra i punti in cui il modulo del
guadagno \`e diminuito di 3~dB rispetto al valor medio a centro
banda. L'ampiezza del canale di ripple, mostrato in figura, \`e
espresso in dB e varia tra qualche frazione di dB e 1.5-2.0~dB.  La
pendenza dei fronti di salita e di discesa, come gi\`a detto varia tra
6~dB/ottava e qualche decina di dB/ottava.

Il modulo della funzione di trasferimento G(f) (o equivalentemente
$G(\omega)$) non \`e l'unica caratteristica importante di un filtro.
\'E altrettanto importante che lo sfasamento introdotto dal filtro
aumenti linearmente all'aumentare della frequenza. Solo in tal modo,
infatti, le componenti di diversa frequenza presenti nel segnale
subiranno tutte il medesimo ritardo temporale e nessuno sfasamento
relativo.

Consideriamo infatti due componenti di frequenze angolari ($\omega_1$,
$\omega_2$), fasi ($\phi_1$, $\phi_2$) ed ampiezze ($A_1$, $A_2$):
\[
a_1(t)\:=\:A_1\cos(\omega_1 t + \phi_1)
\]
\[
a_2(t)\:=\:A_2\cos(\omega_2 t + \phi_2)
\]
Ammettiamo che all'interno della banda passante sia $|G(\omega)|$
costante e sia lo sfasamento introdotto dalla $G(\omega)$ dato da:
\[
\phi\:=\:k \omega
\]
con k una costante. Le due componenti all'uscita del filtro saranno:
\[
a'_1(t)\:=\:|G|\,A_1\cos(\omega_1 t + \phi_1+k \omega_1)
\]
\[
a'_2(t)\:=\:|G|\,A_2\cos(\omega_2 t + \phi_2+k \omega_2)
\]
ovvero:
\[
a'_1(t)\:=\:|G|\,A_1\cos\left[\omega_1(t+k) + \phi_1\right]
\]
\[
a'_2(t)\:=\:|G|\,A_2\cos\left[\omega_2(t+k) + \phi_2\right]
\]
Vediamo che le due componenti hanno in uscita la stessa frequenza che
esse avevano in ingresso e la stessa differenza di fase: $\Delta
\phi\:=\:\phi_2 -\phi_1$. Esse sono entrambe ``ritardate''
temporalmente di una medesima quantit\`a k\footnote{anticipate se k
\`e negativo.}.  Il segnale risultante dalla sovrapposizione di un gran
numero di componenti di questo tipo non risulter\`a quindi deformato.
\index{Filtro! passa-tutto} Esiste un ulteriore tipo di filtro, noto
come ``passa tutto'' (all-pass filter), che ha una risposta
$|G(\omega)|$ indipendente dalla frequenza, ma uno sfasamento che \`e
funzione di questa. Tali filtri vengono adoperati per compensare
sfasamenti dipendenti dalla frequenza, introdotti da linee di
trasmissione quali le linee telefoniche. I filtri passa-tutto sono
anche noti come ``correttori di fase'' o ``equalizzatori di ritardo''.

Come vedremo, \`e possibile realizzare filtri che hanno una banda
passante sufficientemente piatta, ma non una buona relazione di fase,
o anche filtri con una relazione di fase lineare, ma con un certo
ammontare di ripple nella banda passante.

Per un discussione esauriente dei vantaggi e dei limiti dei diversi
tipi di filtri attivi, si suggerisce una lettura del capitolo~5 del
libro di Horowitz- Hill~\cite{Horowitz}.






\section{Generalit\`a sui filtri}

Un generico filtro \`e caratterizzato da una funzione di trasferimento
esprimibile come rapporto tra due polinomi nella variabile complessa
s:

\[
G(s)=\frac{a_M s^M+a_{M-1}s^{M-1}+\cdots
+a_0}{s^N+b_{N-1}s^{N-1}+\cdots +b_0}
\]
dove i coefficienti dei polinomi sono reali ed inoltre \`e $M \le N$.

N \`e noto come \emph{l'ordine} del filtro.

Se indichiamo con $z_1, z_2, \cdots \,z_M$ le radici del polinomio a
numeratore e con $p_1, p_2, \cdots \, p_N$ quelle del polinomio a
denominatore, e ricordiamo che tali radici sono o reali o, se
complesse, presenti con le complesse coniugate, la funzione di
trasferimento potr\`a esser messa nella forma:

\[
G(s)=\frac{a_M(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_M)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots
(s-p_N)}
\]

i valori $z_1, z_2, \cdots \,z_M$ sono \emph{gli zeri} della funzione
di trasferimento, $p_1, p_2, \cdots \, p_N$ \emph{i poli}. Nel piano
complesso $s=\sigma \div j \omega$, gli zeri possono esser dovunque, i
poli possono esser presenti solo nel semipiano sinistro ($\sigma \le
0$).  Se tale condizione non fosse soddisfatta, il sistema non sarebbe
stabile.

Gli zeri debbono corrispondere a frequenze poste nella zona di ``banda
bloccata''.

Se vogliamo ottenere la risposta in frequenza del filtro, dobbiamo
sostituire alla variabile $s$ il valore $j \omega$.

In molti casi possiamo, da un semplice esame della funzione di
trasferimento, capire se il filtro sia un passa-basso, passa-alto,
etc. Ad esempio, la funzione di trasferimento:
\[
G(s)=\frac{a s}{s^2 + 5 s + 3}
\]
con la sostituzione $s=j \omega$, ha modulo e fase dati
rispettivamente da:

\[
|G(\omega)|=\frac{a \omega}{\sqrt{(3-\omega^2)^2+25 \omega^2}}
\]
\[
\tan \phi(\omega)=\frac{3 - \omega^2}{5 \omega}
\]
Vediamo che il modulo di $G(\omega)$ per $\omega \rightarrow \infty$
tende a zero come $1/\omega$.  Si esprime ci\`o dicendo che la
$G(\omega)$ \emph{ha uno zero semplice all'infinito}. Inoltre, per
$\omega \rightarrow 0$ essa tende a zero. Cio\`e la $G(\omega)$
\emph{ha uno zero semplice nell'origine}. Si tratta in definitiva di
un filtro che taglia ad alta ed a bassa frequenza, cio\`e di un filtro
passa-banda.

Nell'esempio appena fatto, il fatto che $|G(\omega)|$ decresca al
crescere di $\omega$ come $1/\omega$ implica che, nel diagramma di
Bode l'andamento sia di -20~dB per decade (o -6 dB per ottava).

Nel caso generale di un filtro passa-basso, se la decrescita di
$|G(\omega)|$ v\`a come $1/\omega^n$, essa sar\`a caratterizzata nel
diagramma di Bode da una pendenza di $-n\,20\;dB/decade$. In tal caso
il sistema ha n zeri all'infinito. In generale il numero degli zeri
all'infinito, come si pu\`o facilmente vedere, \`e dato da
N-M. Infatti, per $s \rightarrow \infty$ la $G(s)$ tende ad
$a_M/s^{N-M}$.

Pu\`o accadere che non vi siano valori finiti della frequenza, in
corrispondenza ai quali l'attenuazione sia infinita. Ci\`o accade se
nella $G(s)$ tutti gli zeri sono all'infinito, come nel caso di:
\[
G(s)=\frac{a_M}{s^N + b_{N-1} s^{N-1}+\cdots +b_0}
\]
Si parla allora di un filtro \emph{con solo poli} (``all-pole
filter'').



\subsection{Esempi di filtri del primo e del secondo ordine}


Conosciamo i pi\`u semplici dei filtri passivi: il circuito RC
passa-basso e quello passa-alto, mostrati in figura~\ref{rccr}, le cui
funzioni di trasferimento, nello spazio delle frequenze, sono date da:
\[
|G_{LP}(\omega)|\:=\:\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\omega}{\omega_0})^2}}
\]
\[
\Phi_{LP}(\omega)\:=\: -arctan \left( \frac{\omega}{\omega_0} \right)
\]

\[
|G_{HP}(\omega)|\:=\:\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\omega_0}{\omega})^2}}
\]
\[
\Phi_{HP}(\omega)\:=\:arctan \left(\frac{\omega_0}{\omega} \right)
\]
con: $\omega_0=1/RC$

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/rccr.eps,width=12.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Esempi di filtri del primo ordine. Il circuito RC di sinistra
\`e di tipo passa-basso, mentre quello di destra \`e di tipo
passa-alto.} \protect\label{rccr}
\end{figure}


Il filtro passa-basso \`e caratterizzato da una frequenza di taglio superiore
(frequenza alla quale il guadagno si riduce di un fattore $\sqrt{2}$
rispetto al valore che esso ha a basse frequenze) pari a
$f_0=\omega_0/2\pi$. La curva asintotica che descrive $|G(\omega)|$ a
frequenze angolari $\omega \gg \omega_0$ ha inoltre, come \`e facile
verificare, una pendenza (negativa) di 6~dB/ottava (20~dB/decade).

Analogamente il filtro passa-alto \`e caratterizzato da una frequenza
di taglio inferiore $f_0=\omega_0/2 \pi$. La curva che descrive l'andamento di
$|G(\omega)|$ a frequenze angolari $\omega \ll \omega_0$ ha una
pendenza (positiva) di 6~dB/ottava (20~dB/decade).  \index{Filtro!
passa-banda} Un filtro passa-banda pu\`o essere ottenuto mettendo in
serie un filtro passa-basso ed uno passa-alto, come mostrato in
figura~\ref{rccrbandpass}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/rccrbandpass.eps,width=9.0 cm,
height=4 cm}}\end{center}
\caption{Esempio di filtro passa-banda ottenuto mettendo in cascata un
filtro passa-basso ed un filtro passa-alto del primo ordine.}
\protect\label{rccrbandpass}
\end{figure}

Nel progettare un tale filtro occorrer\`a naturalmente far si che la
frequenza di taglio $f_{max}$ della sezione passa-basso sia maggiore
della frequenza di taglio $f_{min}$ della sezione passa-alto.


Quelli ora descritti sono tutti filtri \emph{del primo ordine}: la
funzione di trasferimento del filtro passa-basso, scritta in termini
della variabile complessa s:
\[
G(s)\:=\:\frac{\omega_0}{s+\omega_0}
\]
ha un polo semplice (reale) in $s=-\omega_0$.

Analogamente, la funzione di trasferimento del filtro passa-alto,
scritta in termini della variabile complessa s \`e:
\[
G(s)\:=\:\frac{s}{s+\omega_0}
\]
ed ha uno zero nell'origine ed un polo semplice in $s=-\omega_0$.

La pendenza di $\pm$20~dB/decade nei rispettivi diagrammi di Bode per
il modulo \`e in entrambi i casi legata appunto alla presenza di un
solo polo. Se si vuole una transizione pi\`u netta tra la banda
passante e la banda bloccata, occorre ricorrere a filtri di ordine
pi\`u elevato.


La forma generale della funzione di trasferimento per un filtro del
primo ordine:

\[
G(s)=\frac{a_1 s + a_0}{s+\omega_0}
\]
\`e caratterizzata da un polo in $s=-\omega_0$, uno zero in
$s=-a_0/a_1$ ed un guadagno ad alte frequenze che tende ad
$a_1$. Vediamo che il denominatore determina la regione di frequenze
di interesse, mentre il numeratore determina il tipo di filtro
(passa-basso, passa alto, etc.). \`E infatti immediato vedere che se
\`e $a_1=0$, si ha un filtro passa-basso, se $a_0=0$ si ha un filtro
passa-alto, se sia $a_1$ che $a_0$ sono diversi da zero, si ha un
filtro passa-banda.  Nel piano complesso, questi tre diversi tipi di
filtri sono caratterizzati dalle configurazioni poli-zeri, mostrate in
figura~\ref{piano_complesso_filtri}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/piano_complesso_filtri.eps,width=14.0 cm,
height=4.7 cm}}\end{center}
\caption{Diagrammi poli-zeri per i tre semplici filtri del primo
ordine discussi: a sinistra, passa-basso; al centro, passa-alto; a
destra, passa-banda.} \protect\label{piano_complesso_filtri}
\end{figure}

Notiamo che un filtro (passivo) passa-basso con buone caratteristiche
(taglio in frequenza abbastanza netto) pu\`o essere ottenuto
utilizzando un circuito LRC come quello di figura~\ref{lrc_rlc}(a).
\index{Filtro! RLC}
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/lrc_rlc.eps,width=12.0 cm,
height=4.7 cm}}\end{center}
\caption{Esempi di filtri passivi di tipo RLC. (a): filtro passa-basso, (b): filtro passa-banda.} \protect\label{lrc_rlc}
\end{figure}

La funzione di trasferimento di questo circuito \`e:
\begin{equation}
G(s)\:=\: \frac{1/LC}{s^2+(1/RC)s + 1/LC}
\label{standard_lrc}
\end{equation}
Confrontando questa con l'equazione tipica di una funzione di
trasferimento con due poli (vedi capitolo~\ref{bode}):
\begin{equation}
G(s) \:=\: \frac{A_0 \omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s +
\omega_0^2}
\label{standard_form}
\end{equation}
troviamo la corrispondenza:
\[
\omega_0 \rightarrow \frac{1}{\sqrt{LC}}
\]
\[
Q_0 \rightarrow \omega_0 R C \rightarrow R \sqrt{\frac{C}{L}}
\]
Potr\`a aversi un picco nella risposta se $Q_0 > 1/\sqrt{2}$, cio\`e:
\[
R > \sqrt{\frac{L}{2C}}
\]
Come visto a pagina~(\pageref{two}), il picco diventa tanto pi\`u
accentuato quanto pi\`u elevato \`e il valore di $Q_0$. L'andamento
tipico della curva di risposta (plot di Bode per il modulo) \`e
mostrato in figura~\ref{g_om_q0_1} per il caso $Q_0=1$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/g_om_q0_1.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Diagramma di Bode del modulo della risposta del filtro RLC
descritto nel testo, nel caso $Q_0=1$.} 
\protect\label{g_om_q0_1}
\end{figure}



Il massimo si ha per:
\[
\omega_{max}^2\:=\:\omega_0^2\left(1-\frac{1}{2Q_0^2}\right)
\]
cio\`e:\[ \omega_{max}^2\:=\:\frac{1}{LC}-\frac{1}{2C^2 R^2}
\]

In modo analogo, dall'analisi del circuito RCL di
figura~\ref{lrc_rlc}(b), ricaviamo la seguente funzione di
trasferimento:

\begin{equation}
G(s)\:=\: \frac{s/RC}{s^2+(1/RC)s + 1/LC}
\label{standard_rlc}
\end{equation}

che realizza un filtro passa-banda di ordine 2.

I filtri attivi eliminano alcuni inconvenienti presenti nei filtri
passivi:
\begin{itemize}
\item[a)]{l'uso di induttanze, che sono ingombranti, ed inoltre
risentono dei disturbi elettromagnetici inevitabilmente presenti;}
\item[b)]{l'attenuazione legata all'impedenza del filtro passivo;}
\item[c)]{la dipendenza della risposta dalle impedenze d'ingresso e
d'uscita degli amplificatori cui il filtro \`e accoppiato. L'elevata
impedenza d'ingresso e la bassa impedenza d'uscita di un operazionale
rende agevole l'accoppiamento di pi\`u filtri diversi. Ci\`o \`e
importante poich\'e consente di realizzare filtri di ordine pi\`u
elevato (cio\`e con un maggior numero di poli nella funzione di
trasferimento) ponendo in cascata pi\`u filtri di ordine inferiore. }
\end{itemize}


\section{Funzione biquadratica di trasferimento}    \label{sez:biquadratica}
\index{Funzione! biquadaratica di trasferimento} Come abbiamo visto,
la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso LRC ha la
forma~(equazione~(\ref{standard_form})):
\[
G(s)\:=\:\frac{A_0 \omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + \omega_0^2}
\]
del rapporto tra un termine costante ed un polinomio di secondo grado
in s.  Si pu\`o facilmente verificare che la funzione di trasferimento
di un generico filtro del secondo ordine (passa-alto, passa-basso,
passa-banda, elimina-banda) pu\`o essere espressa come il rapporto tra
due polinomi di secondo grado in s:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{a_2 s^2 + a_1 s + a_0}{s^2 + b_1 s + b_0}
\label{quadratic_form}
\end{equation}
Se infatti i termini $a_2$ ed $a_1$ sono nulli, possiamo facilmente
vedere che siamo in presenza di un filtro passa-basso: al tendere di
$|s|=\omega$ ad $\infty$ la $|G(\omega)|$ tende a 0.

Se $a_2$ ed $a_0$ sono nulli ed $a_1$ \`e diverso da 0, la
$|G(\omega)|$ tender\`a a 0 sia per $\omega \rightarrow \infty$ che
per $\omega \rightarrow 0$. Abbiamo cio\`e un filtro passa-banda.

Se $a_2$ \`e l'unico coefficiente diverso da 0, vediamo che
$|G(\omega)| \rightarrow 0$ per $\omega \rightarrow 0$. Abbiamo cio\`e
un filtro passa-alto.

Se infine $a_1$ \`e l'unico coefficiente nullo, vediamo che la
$|G(\omega)|$ tende a valori finiti per $\omega \rightarrow 0$ e per
$\omega \rightarrow \infty$. Abbiamo cos\`i un filtro elimina-banda.

La funzione biquadratica~(\ref{quadratic_form}) \`e pi\`u
convenientemente scritta nella forma (analoga alla~(\ref{standard_form})
relativa al filtro passa-basso):
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{k_2 s^2 + k_1(\omega_0/Q_0) s + k_0
\omega_0^2}{s^2+(\omega_0/Q_0)s + \omega_0^2}
\label{general_quadratic}
\end{equation}

Nel caso dei quattro tipi di filtro descritti in precedenza, questa
acquista la forma indicata nella corrispondente riga della tabella~\ref{tabella_filtri_secondo_ordine}.

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}  
\hline \emph{tipo di filtro} & $k_2$ & $k_1$ & $k_0$ & $\emph{G(s)}$
 \\ 
\hline 
 & & & & \\
passa-basso & 0 & 0 & 1 &
$\frac{\omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + \omega_0^2}$ \\
 & & & & \\ 
passa-alto & 1 & 0 & 0 & $\frac{s^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s +
 \omega_0^2}$ \\ 
 & & & & \\
passa-banda & 0 & 1 & 0 &
 $\frac{\frac{\omega_0}{Q_0}s}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s +
 \omega_0^2}$ \\ 
 & & & & \\
elimina-banda & 1 & 0 & 1 &
 $\frac{s^2+\omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + \omega_0^2}$ \\
 & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Funzioni di trasferimento per alcuni tipi di filtri del secondo ordine}
\protect\label{tabella_filtri_secondo_ordine}
\end{table}

La larghezza di banda (BW) \`e definita, per un filtro passa-banda, come l'ampiezza del campo di
frequenze che si estende fino a quei valori in corrispondenza a cui il
guadagno si riduce di 3~dB rispetto al valore che esso ha a centro
banda. Si pu\`o facilmente vedere che nel caso del filtro passa banda
la BW \`e data da:
\begin{equation}
BW\:=\: \frac{\omega_0}{Q_0}   \label{bandwidth_function_of_omega_0}
\end{equation}

Per dimostrarlo, partiamo dall'espressione della $|G(\omega)|$ per il filtro passa-banda:

\begin{equation}
|G(\omega)|\:=\:\frac{(\omega_0/Q_0)\omega}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2
    + \omega^2 \omega_0^2/Q_0^2}} \label{abs_gomega}
\end{equation}

che per $\omega=\omega_0$ vale 1.

Indichiamo con $\omega'$ ed $\omega''$ i due valori rispettivamente minore e maggiore di 
$\omega_0$, nei quali sia: $|G(\omega')|$=$|G(\omega'')|=1/\sqrt{2}$.

Per un generico valore di $\omega$, la condizione che sia $|G(\omega)|=1/\sqrt{2}$ porta a:

\[
\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2=\frac{\omega^2 \omega_0^2}{Q_0^2}
\]

cio\`e:

\[
\omega_0^2-\omega^2=\pm \frac{\omega \omega_0}{Q_0}
\]

dove andr\`a scelto il segno (+) se $\omega < \omega_0$ (cio\`e nel caso di $\omega'$); andr\`a invece scelto
il segno (-) nel caso di $\omega''$.

Nel primo caso l'equazione diventa:
\[
\omega'^2 + \frac{\omega_0}{Q_0} \omega' - \omega_0^2=0
\]

la cui soluzione (positiva) \`e:

\begin{equation}
\omega'=\frac{\omega_0}{2 Q_0}\left[\sqrt{1+4 Q_0^2}-1\right]   \label{formulaforomegaprime}
\end{equation}

Nel secondo caso avremo invece l'equazione:

\[
\omega''^2 - \frac{\omega_0}{Q_0} \omega'' - \omega_0^2=0
\]

la cui soluzione (positiva) \`e:

\begin{equation}
\omega''=\frac{\omega_0}{2 Q_0}\left[\sqrt{1+4 Q_0^2}+1\right]   \label{formulaforomegasecond}
\end{equation}

Vediamo che la larghezza di banda, espressa in termini della frequenza angolare, \`e:

\[
BW\:=\:\omega'' - \omega' \:=\:\frac{\omega_0}{Q_0}
\]

Ovviamente la larghezza di banda in termini della frequenza sar\`a:

\[
BW\:=\:\frac{\omega_0}{2 \pi Q_0}
\]

Vediamo che la larghezza della banda passante non ha ugual valore nella zona a sinistra ed a destra di $\omega_0$. Abbiamo infatti:

\[
\omega_0-\omega'=\frac{\omega_0}{2 Q_0}\left[1+\left(2 Q_0-\sqrt{1+4 Q_0^2}\right)\right]
\]

mentre:

\[
\omega''-\omega_0=\frac{\omega_0}{2 Q_0}\left[1-\left(2 Q_0-\sqrt{1+4 Q_0^2}\right)\right]
\]

Ad esempio, per $\omega_0=1000\,rad/s$ e $Q_0=10$ avremo:

\[
\omega_0-\omega'\:=\:\frac{1000}{20}\left(1 - \sqrt{401}+20\right]\:=\:48.75\;rad/s
\]

\[
\omega''-\omega_0\:=\:\frac{1000}{20}\left[1+\sqrt{401}-20\right]\:=\:51.25\;rad/s
\]

Ovviamente, la differenza tra $\omega_0-\omega'$ e $\omega''-\omega_0$ diviene tanto minore quanto maggiore
\`e il valore di $Q_0$.

Analogamente, per un filtro elimina-banda, la banda-bloccata \`e quella compresa tra i valori $\omega'$ ed $\omega''$
in corrispondenza ai quali il modulo della funzione di trasferimento \`e ridotto di 3~dB rispetto al valore che esso
ha a frequenze molto basse o molto alte. Si pu\`o facilmente vedere che, per questo tipo di filtro l'ampiezza della banda-bloccata \`e
data dalla stessa espressione che fornisce la banda passante nel caso appena esaminato.

\[
\omega'' - \omega' \:=\: \frac{\omega_0}{Q_0}
\]

Partiamo infatti dall'espressione della $G(\omega)$ per tale filtro:

\[
G(\omega)\:=\:\frac{\omega^2-\omega_0^2}{\omega_0^2-\omega^2+j \omega \frac{\omega_0}{Q_0}}
\]
il cui modulo \`e:

\[
|G(\omega)|\:=\:\frac{|\omega^2-\omega_0^2|}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+ \frac{\omega^2 \omega_0^2}{Q_0^2}}}
\]

\`E facile vedere che questo vale 1 sia per $\omega \rightarrow 0$ che per $\omega \rightarrow \infty$. Per determinare la
larghezza di banda dobbiamo quindi individuare i valori $\omega'$ ed $\omega''$ (con $\omega' < \omega_0 <  \omega''$) in corrispondenza ai quali tale modulo vale $1/\sqrt{2}$. 

Da tale condizione segue:

\[
Q_0^2\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2\:=\:\omega^2 \omega_0^2
\]

cio\`e:

\[
Q_0\left(\omega_0^2-\omega^2\right)\:=\:\pm \omega \omega_0
\]

dove v\`a scelto il segno (+) se $\omega_0 > \omega$, quello (-) se $\omega_0 < \omega$.

Nel primo caso ($\omega=\omega'$) scriveremo quindi:

\[
\omega_0^2-\omega'^2\:=\:\omega' \omega_0/Q_0
\]
nel secondo ($\omega=\omega''$):

\[
\omega_0^2-\omega''^2\:=\:-\omega'' \omega_0/Q_0
\]

Sottraendo membro a membro queste due equazioni, si ottiene:

\[
\omega_0^2 - \omega'^2 - \omega_0^2 + \omega''^2\ :=\: \left(\omega'+\omega''\right) \omega_0/Q_0
\]

da cui:

\[
\omega''-\omega'\:=\:\omega_0/Q_0
\]

Si vede inoltre con facilit\`a, facendo uso delle equazioni scritte, che le espressioni di $\omega'$ ed $\omega''$ sono le
stesse (formule~(\ref{formulaforomegaprime}) e~(\ref{formulaforomegasecond})) gi\`a ottenute per il filtro passa-banda.


\section{Corrispondenze tra tipi diversi di filtri}

Sappiamo che un filtro RC passa-basso del primo ordine pu\`o esser
trasformato nell'analogo passa-alto scambiando la resistenza con la
capacit\`a. Ci\`o pu\`o esser facilmente formalizzato come segue. La
funzione di trasferimento del filtro passa-basso \`e:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{1}{1+s/\omega_0} \label{filtro_passa_basso}
\end{equation}
con $\omega_0=RC$. Il circuito che si ottiene da questo scambiando R
con C ha come funzione di trasferimento:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{s/\omega_0}{1+s/\omega_0} \label{filtro_passa_alto}
\end{equation}
che \`e quella di un filtro passa-alto.

Vediamo che \`e possibile trasformare la~(\ref{filtro_passa_basso})
nella~(\ref{filtro_passa_alto}) con la corrispondenza:
\begin{equation}\frac{s}{\omega_0} \rightarrow \frac{\omega_0}{s}  
\label{corrispondenza}
\end{equation}
\'E possibile verificare che ci\`o \`e vero anche per filtri di ordine
pi\`u elevato. Ad esempio, il filtro passa-basso la cui funzione di
trasferimento \`e mostrata nella prima riga della tabella data in
sezione \ref{sez:biquadratica} diventa, in seguito all'applicazione
della corrispondenza~(\ref{corrispondenza}), il filtro passa-alto la cui
funzione di trasferimento \`e data dalla seconda riga della medesima
tabella.

Analoghe corrispondenze possono essere adoperate per trasformare un
filtro passa-basso in uno passa-banda o elimina-banda.

Per ulteriori dettagli si suggerisce di consultare la 
referenza~\cite{Jmillman}.

 

\section{Il ``ripple'' nei filtri}
\index{Ripple! nei filtri} Se in un filtro del secondo ordine \`e
$Q_0>1/\sqrt{2}$, la curva di risposta (diagramma di Bode per il
modulo) comincia a sviluppare un massimo di cui abbiamo calcolato al
capitolo~\ref{bode} la posizione $\omega_{max}$ ed il valore:
\[G(\omega_{max}) \:=\: \frac{A_0 Q_0}{\sqrt{1-1/(4Q_0^2)}}
\]
Si definisce ``ripple'' la deformazione della curva di risposta in
prossimit\`a di $\omega_{max}$ e si definisce ``larghezza del ripple''
la quantit\`a:
\[
\epsilon\:=\:|G_{max}/A_0| \:=\: \frac{Q_0}{\sqrt{1-\frac{1}{4
Q_0^2}}}
\]
Si definisce poi ``lunghezza del canale di ripple'' la pulsazione
$\omega_c$ oltre la quale risulta $|G|<|A_0|$.  Per la definizione
delle variabili $\epsilon$ ed $\omega_c$ si veda la
figura~\ref{ripple}.  Dall'equazione~(\ref{bb1}), nel
capitolo~\ref{bode}, notiamo che ponendo:
\[
|G|^2\:=\:A_0^2
\]
si trova:
\[
\omega_c^2\:=\:\omega_0^2\left(2-\frac{1}{Q_0^2}\right)
\]
cio\`e:
\[
\frac{\omega_c}{\omega_0}\:=\:\sqrt{2-\frac{1}{Q_0^2}}
\]
Vediamo da quest'equazione che la lunghezza del canale di ripple
dipende da $Q_0$. Inoltre:
\[
\omega_{max}^{2}\:=\:\frac{\omega_c^2}{2}
\]
indipendentemente dal valore di $Q_0$ (purch\'e sia $Q_0 >
1/\sqrt{2}$).

Per $Q_0\:=\:0.86$ troviamo $\omega_c\:=\:0.80 \omega_0$ ed
$\epsilon\:=\:1.06$

Per $Q_0\:=\:0.96$ troviamo $\omega_c\:=\:0.95 \omega_0$ ed
$\epsilon\:=\:1.12$


\begin{figure}[h!]  
\begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/ripple.eps,width=8.0 cm,
height=10.5 cm}}\end{center}
\caption{Esempio di possibile funzione di trasferimento per un filtro
passa-basso del secondo ordine.  La definizione delle quantit\`a
$\omega_c$ e $\epsilon$ descritte nel testo \`e facilmente deducibile
dal grafico.} \protect\label{ripple}
\end{figure}



Un quadripolo avente $Q_0 > 1/\sqrt{2}$ viene detto di Chebyshev se il
ripple $\epsilon$ \`e compreso tra 0.5dB e 3dB (cio\`e tra 1.06 e
1.41).  \index{Chebyshev! filtro}
\section{Conversione di impedenze tramite operazionali}

Abbiamo visto come sia possibile realizzare filtri di ordine 2,
facendo uso di elementi passivi R,L,C. In pratica \`e poco conveniente
far uso di induttanze, a causa del loro ingombro e sensibilit\`a al
rumore. Si pu\`o invece ``simulare'' l'induttanza facendo uso di
amplificatori operazionali ed elementi resistivi e capacitivi.
Cominceremo col far vedere che un operazionale pu\`o modificare la
natura dell'impedenza vista dalla sorgente del segnale.
\index{Negative Impedance Converter} Consideriamo ad esempio il
circuito di figura~\ref{nic}:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/nic.eps,width=6.0 cm,
height=7.0 cm}}\end{center}
\caption{Il circuito, basato su operazionale, \`e utilizzato per
invertire il segno di una impedenza. La sorgente, applicata
all'ingresso invertente, vede infatti una impedenza pari a $-Z$.  \`E
noto come NIC: Negative Impedance Converter.} \protect\label{nic}
\end{figure}

La corrente i vale:
\begin{equation}
i\:=\:\frac{v_+-v_o}{R} \label{current_in}
\end{equation}
con:
\begin{equation}
v_+\:=\:v_-\:=\:v_o\frac{Z}{R+Z}  \label{vplusequalvminus}
\end{equation}
da cui:
\[v_o\:=v_-\frac{R+Z}{Z}\:=\:v_i\frac{R+Z}{Z}
\]
e:

\begin{equation}
v_i\:=\:v_o\frac{Z}{R+Z}    \label{viequal}
\end{equation}
Dalle~(\ref{current_in}) e~(\ref{vplusequalvminus}) si ha poi:
\begin{equation}
i\:=\: \frac{v_o}{R}\left(\frac{Z}{Z+R}-1\right)\:=\:-\frac{v_o}{Z+R}   \label{vovscurrent}
\end{equation}
L'impedenza vista all'ingresso dell'operazionale \`e allora ottenibile dalle~(\ref{viequal}) e~(\ref{vovscurrent}):
\[
Z_i\:=\:\frac{v_i}{i}\:=\:-Z
\]
Vediamo cio\`e che l'operazionale ``trasforma'' l'impedenza Z nel suo
opposto - Z. Se Z \`e un'impedenza capacitiva: $Z=1/j\omega C$,
l'impedenza trasformata sar\`a $1/j\omega(-C)$, cio\`e \`e come se la
capacit\`a fosse diventata negativa. Un circuito come quello
analizzato \`e designato con il simbolo ``NIC'' (Negative Impedance
Converter).

Vediamo ora come, facendo uso di questo, possiamo realizzare un
circuito che converte un'impedenza Z nel suo reciproco $1/Z$. Questo
\`e noto come ``gyrator''.  \index{Giratore} Esaminiamo l'esempio di
figura~\ref{gyra1}:

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/gyra1.eps,width=9.0 cm,
height=6.5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito giratore, ottenuto connettendo come in figura due
circuiti NIC e tre resistenze. Esso \`e in grado di trasformare un'impedenza Z nel suo reciproco $1/Z$, quindi un condensatore in una
induttanza e viceversa.} \protect\label{gyra1}
\end{figure}



Poich\'e ciascun NIC cambia di segno l'impedenza che lo segue,
possiamo ridisegnare il circuito come mostrato in figura~\ref{gyra2}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/gyra2.eps,width=9.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito giratore, dopo aver ridotto uno dei circuiti NIC.}
\protect\label{gyra2}
\end{figure}


L'impedenza vista all'uscita del primo NIC \`e ora:
\[
Z'\:=\:R+\frac{-(R+Z)R}{R+Z-R}\:=\:R\;-\frac{R^2+ZR}{Z}\:=\:-\frac{R^2}{Z}
\]
Poich\'e il primo NIC cambia ulteriormente il segno di tale impedenza,
avremo:
\[
Z_{in}\:=\:\frac{R^2}{Z}
\]
e se Z \`e una capacit\`a, avremo:
\[
Z_{in}\:=\:\frac{R^2}{1/j\omega C}\:=\:j R^2 \omega C \:=\: j\omega L
\]
con:
\[
L\:=\:R^2 C
\]
Che dimostra quanto asserito. Facendo quindi uso di resistenze,
capacit\`a ed operazionali possiamo realizzare l'equivalente di filtri
RLC. Come gi\`a accennato, il limite all'utilizzo di tali circuiti \`e
posto dallo slew-rate degli operazionali, che consiglia, a frequenze
elevate, l'uso di circuiti passivi.  \index{Giratore} Un circuito di
largo uso, che consente di sostituire un'induttanza con operazionali,
\`e quello dovuto ad A. Antoniou~\cite{antoniou}, mostrato in
figura~\ref{antoniou_inductance}. \index{Antoniou! circuito di}
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/antoniou_inductance.eps,width=10.0 cm,
height=6.5 cm}}\end{center}
\caption{Elegante implementazione del circuito giratore dovuta a
A. Antoniou. L'induttanza vista in ingresso a $R_1$ \`e di tipo
induttivo.} \protect\label{antoniou_inductance}
\end{figure}

Si pu\`o infatti dimostrare che il rapporto tra la tensione applicata
$v_1$ e la corrente $i_1$ \`e data da:
\[
Z_{in}=\frac{v_1}{i_1}=s C_4 R_1 R_3 R_4/R_2
\]
che \`e l'impedenza di un'induttanza L, con:
\[
L= C_4 R_1 R_3 R_4/R_2
\]

Per dimostrarlo basta tener presente che, a causa del feedback
negativo, la differenza di potenziale ai capi di ciascun operazionale
\`e nulla. Con riferimento alla
figura~\ref{antoniou_inductance_currents} segue che:
\[
v_1=v_a=v_e
\]




\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/antoniou_inductance_currents.eps,width=12.0 cm,
height=7.5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito del giratore di Antoniou, con raffigurati i vettori
corrente.} \protect\label{antoniou_inductance_currents}
\end{figure}

La corrente in $R_4$:
\[
i_5=\frac{v_1}{R_4}
\]
\`e uguale a quella in $C_4$:
\[
i_4=i_5=\frac{v_1}{R_4}
\]
La tensione nel punto d:
\[
v_d=v_1+\frac{i_4}{s C_4}=v_1+\frac{v_1}{s C_4 R_4}=v_{01}
\]
Essendo poi $v_c=v_1$, la corrente in $R_3$ sar\`a:
\[
i_3=\frac{v_d-v_c}{R_3}=\frac{\left(v_1+\frac{v_1}{s C_4
R_4}-v_1\right)}{R_3} =\frac{v_1}{s C_4 R_3 R_4}
\]
La corrente in $R_2$ inoltre uguaglia quella in $R_3$. Ne segue:
\[
v_{02}=v_b=v_c-R_2i_3=v_1-\frac{R_2 v_1}{s C_4 R_3 R_4}
\]
La corrente in $R_1$ \`e allora:
\[
i_1=\frac{v_1-v_b}{R_1}=\frac{R_2}{s C_4 R_1 R_3 R_4}v_1
\]
L'impedenza d'ingresso sar\`a quindi:
\[
Z_{in}=\frac{v_1}{i_1}=s \frac{C_4 R_1 R_3 R_4}{R_2}
\]
che \`e quanto asserito.

Si pu\`o poi vedere facilmente che questo circuito si comporta da
induttanza anche se lo si ``guarda'' dal lato di $R_4$, cio\`e se si
collega a massa l'estremo sinistro e si applica la sorgente di segnale
all'estremit\`a inferiore di $R_4$.

Un esempio di un filtro passa-basso di ordine 2, in cui l'induttanza
\`e sostituita da un ``giratore'' di Antoniou, \`e quello mostrato in
figura~\ref{antoniou_inductance_filter}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/antoniou_inductance_filter.eps,width=12.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{Filtro passa-basso di ordine 2 ottenuto sostituendo
l'induttanza con un giratore di Antoniou.  L'utilizzo delle induttanze
\`e sconsigliato nella pratica, a causa del costo e dell'ingombro
elevato.  L'utilizzo di questo circuito permette di ottenere la stessa
risposta di un filtro RLC utilizzando solamente componenti di tipo R e
C oltre ad i componenti attivi.}
\protect\label{antoniou_inductance_filter}
\end{figure}

Qui l'induttanza \`e sostituita dalla parte di circuito delineata dal
rettangolo.  L'amplificatore non invertente posto in alto a sinistra,
\`e necessario per prelevare il segnale in uscita senza alterare il
funzionamento del circuito. Tale amplificatore ha un guadagno in
tensione dato da: $1+R_7/R_6$.

In modo analogo \`e possibile realizzare filtri passa-banda, passa
alto, notch etc.

\section{Filtri di Butterworth}
\index{Butterworth! filtro di} Nelle sezioni precedenti abbiamo
incontrato filtri caratterizzati da funzioni di trasferimento con un
singolo polo (filtri del primo ordine) e con un polo doppio (filtri
del secondo ordine). In generale, il numero dei poli nella funzione di
trasferimento determina la rapidit\`a dei fronti di discesa (o di
salita, nel caso dei filtri passa-alto o passa-banda) del filtro.

Una classe importante di filtri \`e quella di Butterworth. Questi sono
caratterizzati da funzioni di trasferimento il cui modulo quadro, per
un filtro passa-basso di ordine n, \`e dato da:

\[
|G_n(\omega)|^2\:=\:\frac{1}{[1+\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{2n}]}
\]

cio\`e:

\[
|G_n(\omega)|\:=\:\frac{1}{[1+\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^{2n}]^{1/2}}
\] Andamenti tipici sono mostrati in figura~\ref{butterworth_math}, 
per valori dell'ordine n variabile tra 1 e 10. Notiamo che tutte le
curve hanno la medesima attenuazione di 3~dB per
$\omega=\omega_0$. Quando si riporta il guadagno in funzione di
$\omega/\omega_0$ si dice che si studia il suo andamento in funzione
della frequenza normalizzata.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/butterworth_math.eps,width=13.0 cm,
height=12.0 cm}}\end{center}
\caption{Funzione di trasferimento normalizzata per filtri di
Butterworth, per valori dell'ordine n compreso tra 1 e 10. La curva
inferiore \`e quella relativa ad n=1, la superiore ad n=10. Le curve
intermedie sono ottenute per valori di n compresi tra 2 e 9.}
\protect\label{butterworth_math}
\end{figure}


Queste curve hanno le seguenti caratteristiche:
\begin{itemize}
\item{$|G_n(0)|$=1 per tutti gli n;}
\item{$|G_n(\omega_0)|=1/\sqrt{2} \approx 0.707$ per tutti gli n
(cio\`e il guadagno diminuisce di~3~dB per $\omega=\omega_0$);}
\item{per $\omega \gg \omega_0$ il guadagno scende con una pendenza di
6n~dB/ottava, per un filtro di ordine n;}
\item{le prime (n-1) derivate del modulo della funzione di
trasferimento $G(\omega)$ sono nulle; ci\`o implica che la risposta
nella banda passante \`e massimamente piatta, cio\`e ha un massimo per
$\omega=0$ e rimane all'incirca costante fino ad $\omega=\omega_0$.}
\end{itemize}



Si pu\`o facilmente verificare che un filtro \`e di Butterworth se i
poli sono ottenibili dividendo una circonferenza situata nel piano
complesso, con centro nell'origine, in un numero 2n (quindi pari) di
punti distribuiti uniformemente.

Ovviamente essi dovranno essere disposti in modo simmetrico rispetto
all'asse reale ed inoltre solo quelli situati nel semipiano sinistro
potranno rappresentare poli della funzione G(s). Ad esempio, per n=1 e
per n=2 abbiamo le situazioni mostrate nelle figure~\ref{n_1}
ed~\ref{n_2}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/n_1.eps,width=11.0 cm,
height=9.0 cm}}\end{center}
\caption{Rappresentazione dei poli di un filtro di Butterworth del
primo ordine. Solamente il polo di sinistra pu\`o rappresentare un
polo della funzione di trasferimento G(s), il polinomio di Butterworth
sar\`a quindi del tipo $s+1$.} \protect\label{n_1}
\end{figure}


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/n_2.eps,width=10.0 cm,
height=10.0 cm}}\end{center}
\caption{Rappresentazione dei poli di un filtro di Butterworth del
secondo ordine. Solamente i due poli di sinistra possono rappresentare
un polo della funzione di trasferimento G(s), sono inoltre complessi
coniugati, quindi il polinomio di Butterworth corrispondente
(normalizzato) \`e di tipo $s^2+1.414s + 1$.} \protect\label{n_2}
\end{figure}


Nel caso n=2 le radici $s_1$ ed $s_2$ (i poli della funzione G(s))
saranno:
\[
s_1\:=\:\alpha(j-1)
\]
\[
s_2\:=\:-\alpha(j+1)
\]
Il denominatore della G(s) sar\`a:
\[
(s-s_1)(s-s_2)\:=\:s^2+2\alpha s + 2 \alpha^2
\]
Per cui:
\[
G_2(s)\:=\:\frac{1}{s^2+2\alpha s + 2
\alpha^2}\:=\:\frac{(1/2\alpha^2)}{s/2\alpha^2 + s/\alpha
+1}\:=\:\frac{(1/2\alpha^2)}{(s^2/2\alpha^2)+\sqrt{2}s/\sqrt{2}\alpha
+ 1}
\]
La grandezza $\omega_0$, distanza delle radici dall'origine, \`e data
da:
\[
\omega_0^2\:=\:2\alpha^2
\]
Cio\`e:
\[
\omega_0\:=\:\sqrt{2}\alpha
\]
\[
\alpha\:=\:\omega_0/\sqrt{2}
\]
Introduciamo ora la variabile $s'$, ottenuta da s normalizzandola ad
$\omega_0$:
\[
s'\:=\:s/\omega_0\:=\:s/\sqrt{2}\alpha
\]
Con ci\`o l'ultima espressione scritta diventa:
\[
G_2(s')\:=\:\frac{1/\omega_0^2}{s'^2+\sqrt{2} s' +1}\] Il denominatore
di quest'espressione \`e il polinomio di Butterworth di ordine n=2
($B_2(s')$).


\vspace{0.8cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|} 
\hline \emph{grado del polinomio(n)} & $B_n(s)$ \\ \hline 1 & $s+1$ \\
2 & $s^2+1.414s + 1$ \\ 3 & $(s+1)(s^2+s$ +1)\\ 4 &
$(s^2+0.765s+1)(s^2+1.848s +1)$ \\ 5 &
$(s+1)(s^2+0.618s+1)(s^2+1.618s+1)$ \\ \hline
%\label{ButterworthT}
%\caption{Polinomi di Butterworth}
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

Come gi\`a visto, nel caso generale il modulo del polinomio di ordine
n vale:
\[
|B_n(s)|\:=\: \sqrt{1+\left( \frac{\omega}{\omega_0}\right)^{2n}}
\]
Si definisce ``fattore di smorzamento'' la met\`a del coefficiente di
s in ciascuno dei fattori quadratici che compaiono in tali
espressioni. Ad esempio, per n=2 il fattore di smorzamento vale
$1.414/2=\sqrt{2}/2=1/\sqrt{2}=0.707$.  Per n=3 il fattore di
smorzamento \`e 0.5; per n=4 si hanno due fattori di smorzamento:
\[
k_1\:=\:\frac{0.765}{2}\:=\:0.383
\]
\[
k_2\:=\:\frac{1.848}{2}\:=\:0.924
\]
Ricordando che si \`e posta la corrispondenza $s \leftrightarrow
s/\omega_0$, le funzioni di trasferimento per n=1 e per n=2 possono
essere scritte nella forma:
\[
P_1(s)\:=\:\frac{1}{s/\omega_0\,+\,1}
\]
\[
P_2(s)\:=\:\frac{1}{(s/\omega_0)^2 + 2k(s/\omega) + 1}
\]
con $k=1/\sqrt{2}$.

Un semplice circuito RC, posto sull'ingresso non invertente di un
operazionale adoperato in configurazione non invertente, come mostrato
in figura~\ref{butter1}, realizza un filtro di Butterworth di ordine
1.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/butter1.eps,width=8.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{Semplice circuito che realizza un filtro di Butterworth del
primo ordine. Si ottiene ponendo un circuito RC all'ingresso di un
amplificatore operazionale montato in configurazione non invertente.}
\protect\label{butter1}
\end{figure}



Infatti abbiamo:
\[
v_-\:=\:v_o \frac{R_1}{R_1+R_2}
\]
\[
i\:=\:\frac{v_s}{R+1/sC}
\]
\[
v_+\:=\:Z_c i \:=\:\frac{1}{sC}\frac{v_s}{R+1/sC}
\]
e, poich\'e \`e $v_+=v_-$, otteniamo:
\[
v_o\:=\:\frac{R_1+R_2}{R_1}\frac{v_s}{1+sRC}
\]
da cui:
\[
G(s)\:=\:\frac{v_o}{v_s}\:=\:A_{v_o}\frac{1}{1+sRC}\:=\: \frac{
A_{v_o}}{1+s/\omega_0}
\]
dove:
\[
A_{v_o}\:=\: \frac{R_1+R_2}{R_1}
\]
\`e l'amplificazione a bassa frequenza e:
\[
\omega_0\:=\:\frac{1}{RC}
\]
Abbiamo quindi un filtro di Butterworth di ordine 1, con una frequenza
di taglio (superiore) pari a $\omega_0=1/RC$. Si pu\`o facilmente
vedere che da tale filtro passa-basso si pu\`o ottenere un filtro
passa-alto invertendo i ruoli di R e C.

Poich\'e si pu\`o ottenere un filtro passa-alto a partire da uno
passa-basso scambiando C ed R, \`e chiaro che sar\`a possibile
ottenere un filtro passa-banda a partire da due filtri di
Butterworth. Il primo di questi potrebbe essere un filtro passa-alto
del secondo ordine, con una frequenza di taglio $f_{min}$; il secondo
un filtro passa-basso del medesimo ordine, con una frequenza di taglio
$f_{max}>f_{min}$.



\section{Filtro di Butterworth del secondo ordine}

Un filtro di Butterworth del secondo ordine pu\`o esser realizzato
facendo uso dello schema mostrato in figura~\ref{sallen_key}. Questo
\`e noto come ``schema di Sallen e Key''.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/sallen_key.eps,width=11.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{Configurazione circuitale nota come configurazione di
Sallen-Key. Questo tipo di circuito pu\`o essere utilizzato, con una
opportuna scelta del valore dei componenti passivi, per realizzare
filtri passa-basso di Butterworth del secondo ordine.}
\protect\label{sallen_key}
\end{figure}

Un'amplificatore operazionale \`e montato in una configurazione
non-invertente.  Il segnale presente in uscita \`e riportato tra le
resistenze $R_1$ ed $R_2$ tramite il condensatore $C_1$.

Per studiare la risposta di questo circuito, facciamo uso del circuito
equivalente mostrato in figura~\ref{sallen_key_equiv}, dove \`e
$V_x=V_0/A$, con $A = 1 + R_4/R_3$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/sallen_key_equiv.eps,width=11.0 cm,
height=5.5 cm}}\end{center}
\caption{Circuito equivalente della configurazione di Sallen-key, in
cui l'amplificatore non invertente viene sostituito da un
amplificatore e da un generatore di tensione $V_0$ con uscita pari a
quella dell'amplificatore.  Tale circuito equivalente \`e utilizzato
per calcolare il valore dei componenti passivi.}
\protect\label{sallen_key_equiv}
\end{figure}

Si possono facilmente verificare le seguenti relazioni:
\[
I_x\:=\:s C_2 V_x\:=\:s C_2 \frac{V_0}{A}
\]
\[
V_y\:=\:V_x+R_2I_x\:=\:\frac{V_0}{A}\left(1+s C_2 R_2\right)
\]
\[
I_y\:=\:\frac{V_y-V_0}{1/s C_1}\:=\: s C_1 V_0
\left[\frac{1+sC_2R_2}{A} -1 \right] \:=\: s C_1 \frac{V_0}{A} \left[
  1-A + s C_2 R_2 \right]
\]

Da cui segue:
\[
I_i\:=\:I_x+I_y\:=\:s \frac{V_0}{A}\left(C_2 + C_1 -C_1 A + s C_1 C_2
R_2 \right)\:=
\]
\[
=\:\frac{V_0}{A}\left[sC_2 + sC_1(1-A)+s^2 C_1 C_2 R_2 \right]
\]
La tensione d'ingresso $V_i$ sar\`a allora:
\[
V_i\:=\:R_1 I_i + V_y \:=\:\frac{V_0}{A}\left[s R_1 C_2 + s R_1 C_1
(1-A) + s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + 1 +s C_2 R_2 \right]
\]
\[
= \: \frac{V_0}{A}\left[1 + s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s \left(C_2(R_1 +
R_2) + R_1 C_1 (1-A) \right) \right]
\]
La funzione di trasferimento \`e quindi:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{V_0}{V_i}\:=\:\frac{A}{1 + s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s
\left[C_2(R_1+R_2)+R_1 C_1 (1-A)\right]} \label{trans_fun}
\end{equation}
Confrontando questa con l'equazione~(\ref{standard_form}) vediamo che:
\[
\frac{\omega_0}{Q_0} \rightarrow \frac{C_2(R_1 + R_2) + R_1 C_1
(1-A)}{R_1 R_2 C_1 C_2}
\] 
\[
\omega_0^2\rightarrow \frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}
\]
Da queste equazioni segue:
\[
Q_0 \:=\: \frac{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}{C_2(R_1 + R_2) + R_1 C_1
(1-A)}
\]
Se poniamo $R_1=R_2=R$ e $C_1=C_2=C$ otteniamo:
\begin{equation}
Q_0\:=\:\frac{RC}{2RC + RC(1-A)}\:=\:\frac{1}{3-A} \label{Q_0}
\end{equation}
\[
\omega_0\:=\:1/RC
\]
Si pu\`o quindi scegliere il valore desiderato di $Q_0$ con
un'opportuna scelta del valore di A. La G(s) pu\`o esser espressa in
termini delle variabili R, C ed A, come:
\begin{equation}
G(s)\:=\:\frac{A}{(RC)^2s^2 + RC(3-A)s +1} \label{filtro2}
\end{equation}
Il guadagno a basse frequenze \`e ovviamente A.

\'E interessante confrontare la risposta ottenuta con quella relativa
al filtro LCR. Le due sono uguali se \`e:
\[
LC\:=\:(R_0 C_0)^2
\]
\[
RC\:=\:(R_0 C_0) (3-A)
\]
dove abbiamo indicato con le sottoscritte $``0''$ i componenti
relativi al circuito di figura~\ref{sallen_key}, e senza
sottoscritte quelli relativi al circuito LCR.

Tali equazioni sono soddisfatte se \`e:
\[
C_0=C
\]
\[
C_0 R_0^2=L
\]
\[
R_0(3-A)=R
\]
Una scelta suggerita per il valore di $Q_0$ \`e quella che rende il
pi\`u possibile ripida la caduta al di sopra della frequenza di taglio
superiore, senza determinare un picco. Ci\`o si ottiene, come visto
nel capitolo sulla rappresentazione grafica delle funzioni di
trasferimento, per:
\[
Q_0\:=\:\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
che nel nostro caso, come si vede facendo uso
dell'equazione~(\ref{Q_0}), richiede:
\[
A\:=\:3 - \sqrt{2}\:\approx \: 1.6
\]
Un filtro che soddisfi tale condizione \`e un filtro di Butterworth
(del secondo ordine).

Un esempio concreto di filtro di Butterworth si ottiene dal circuito
di figura~\ref{sallen_key}, con la seguente scelta dei valori dei
componenti:
\[
R_1=R_2=15k\Omega
\]
\[
C_1=C_2=10 nF
\]
\[
R_3=47k\Omega
\]
\[
R_4=27k\Omega
\]









\section{Filtri di Bessel e di Chebyshev: confronto tra diversi tipi di filtro}
\index{Chebyshev! filtro di} \index{Bessel! filtro di} Come accennato
in precedenza, i parametri di un filtro che maggiormente interessano
sono:

\begin{itemize}
\item[(a)]{ la ``piattezza'' della risposta all'interno della banda
passante, e quindi l'assenza di ripple;}
\item[(b)]{la rapidit\`a della transizione tra banda passante e banda
bloccata, normalmente espressa in dB/ottava;}
\item[(c)]{la ``nettezza'' del ginocchio tra la banda passante e
l'inizio del fronte di transizione;}
\item[(d)]{la linearit\`a della risposta in fase, essenziale per non
avere distorsioni.}
\end{itemize}
Il progetto di un filtro \`e sempre un compromesso tra queste
esigenze, normalmente in conflitto tra loro. Il punto (b) \`e
essenzialmente determinato dal numero di poli della funzione di
trasferimento.

I tipi di filtro comunemente adoperati sono, oltre a quello di
Butterworth, quelli noti come filtri di Bessel e di Chebyshev.

Ciascuno di questi \`e progettato per ottimizzare un parametro
differente tra quelli elencati sopra. Il grado di ottimizzazione \`e
poi determinato dal numero di poli e di zeri della funzione di
trasferimento, legati a loro volta alla complessit\`a del circuito. Un
determinato tipo di filtro, caratterizzato da una certa funzione di
trasferimento e quindi da una certa risposta in frequenza, pu\`o esser
realizzato fisicamente in molti modi diversi. Ad esempio, un filtro di
Bessel del sesto ordine pu\`o esser realizzato in un gran numero di
modi differenti, che portano per\`o a risposte uguali.

Il circuito base di Sallen-Key, adoperato per illustrare il filtro di
Butterworth del secondo ordine, \`e alla base di filtri di vario tipo.
Il circuito base per un filtro di ordine 2 \`e mostrato in
figura~\ref{sallen_key}. Se poniamo:
\[
R\: = \:R_1\:=R_2
\]
\[
R_f\:=\:R_4
\]
\[
R'\:=\:R_3
\]
\[
C\:=\:C_1=C_2
\]
I valori dei componenti per un filtro passa-basso possono essere
calcolati attraverso le relazioni:
\[
R\:=\:\frac{k_1}{C f_0}
\]
\[
R_f\:=\:R_1 k_2
\]
dove $f_0$ \`e la frequenza di taglio e dove i valori di C e di $R_1$
possono essere scelti liberamente (ed esempio $R_1$=10k, $C=0.01 \mu
F$) mentre le costanti $k_1$ e $k_2$ valgono:
\[
k_1\:=\:0.1251\:\: ; \:\:k_2\:=\:0.268\:\:per\:un\:filtro\:di\:Bessel
\]
\[
k_1\:=\:0.1592\:\: ;
\:\:k_2\:=\:0.586\:\:per\:un\:filtro\:di\:Butterworth
\]
\[
k_1\:=\:0.1293\:\: ;
\:\:k_2\:=\:0.842\:\:per\:un\:filtro\:di\:Chebyshev
\]

Filtri di ordine pi\`u elevato possono essere ottenuti mettendo in
serie pi\`u filtri di ordine 2, con valori dei componenti passivi
ottenibili da relazioni analoghe.



Il filtro di Butterworth, su cui abbiamo concentrato la nostra
attenzione, \`e quello che ha la massima ``piattezza'' di risposta
all'interno della banda passante, ma un ``ginocchio'' meno netto di
quello di altri tipi di filtro ed una linearit\`a di fase non
brillante.  Gli altri tipi di filtro (vedasi per una discussione
esauriente il libro di Horowitz) hanno delle caratteristiche che
ottimizzano l'uno o l'altro dei parametri menzionati, a spese della
piattezza di risposta nella banda.  Ad esempio, il filtro di Bessel ha
un'ottima linearit\`a di fase, ma un ``ginocchio'' meno netto di
quello del filtro di Butterworth.  Il filtro di Chebyshev ha un
ginocchio ben netto, ma un discreto ammontare di ripple nella banda
passante ed una linearit\`a di fase peggiore di quella del filtro di
Butterworth.

\section{Filtri biquadratici ad amplificatore singolo}
\index{Filtro! biquadratico} Esiste una classe di filtri basati
sull'uso di un singolo amplificatore operazionale dove, nel circuito
di reazione, \`e inserita un'opportuna rete RC.

Anche se tali filtri sono limitati nelle prestazioni dalla banda
passante e dallo slew-rate dell'operazionale, essi sono molto diffusi,
a causa della loro semplicit\`a consumo e costo.  Sono noti in
letteratura come SAB's (Single Amplifier Biquads).

Per comprendere il funzionamento di tali filtri, esaminiamo il
circuito di figura~\ref{filter_biquad_1}, in cui una rete passiva RC
\`e inserita nel circuito di feedback di un amplificatore avente
guadagno A (teoricamente infinito).

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/filter_biquad_1.eps,width=9.0 cm,
height=6.5 cm}}\end{center}
\caption{Configurazione circuitale relativa al filtro
biquadratico. Viene ottenuta inserendo una opportuna rete RC nel
circuito di reazione di un amplificatore operazionale.}
\protect\label{filter_biquad_1}
\end{figure}


Sia $t(s)$ la funzione di trasferimento della rete RC:
\[
t(s)=\frac{v_a}{v_b}
\]
Questa pu\`o, al solito, essere espressa come un rapporto tra
polinomi:
\[
t(s)=\frac{N(s)}{D(s)}
\]
Le radici del polinomio a numeratore, cio\`e gli zeri di $t(s)$,
possono esser situati in un qualsivoglia punto del piano complesso s,
mentre le radici di D(s), cio\`e i poli di $t(s)$ debbono, per un
circuito passivo RC, esser situati sull'asse reale negativo ($\sigma <
0$).

Vediamo ora come, con l'introduzione della rete RC nel circuito di
feedback dell'amplificatore, i ruoli dei poli e degli zeri vengano ad
essere scambiati, ci\`o che potr\`a dar luogo, come desiderato, a poli
complessi coniugati che, con un'opportuna scelta della rete, potranno
esser situati nel semipiano sinistro.

Infatti, indicando con A il guadagno dell'amplificatore, il guadagno a
catena aperta del sistema amplificatore operazionale-rete passiva \`e:
\[
G(s)=A t(s) = A \frac{N(s)}{D(s)}
\]

Essendo l'amplificatore invertente, il guadagno a catena chiusa \`e
dato da:
\[
\frac{A}{1 + A t(s)}
\]
I poli di questa funzione sono gli zeri del denominatore. Se ora
richiediamo che la $t(s)$ sia realizzata in modo tale che per
determinati valori $s_p$ di $s$ sia $1+A t(s)=0$, cio\`e:
\[
t(s_p)=-\frac{1}{A}
\]
troviamo, con $A\rightarrow \infty$:
\[
t(s_p)=\frac{N(s_p)}{D(s_p)}=0
\]

Vediamo cio\`e che i poli dell'amplificatore con feedback sono gli
zeri della funzione di trasferimento della rete RC.

Se vogliamo che il filtro abbia coppie di poli complessi coniugati
dobbiamo quindi partire da una rete RC che abbia coppie di zeri
complessi coniugati. Un esempio di rete RC con tale propriet\`a \`e la
rete a \emph{T} di figura~\ref{filter_biquad_2}(a), o anche quella
complementare, mostrata nella parte (b) della medesima figura.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/filter_biquad_2.eps,width=12.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{Reti RC poste nel circuito di feedback di amplificatori
invertenti hanno la caratteristica che i poli relativi alla rete
diventano gli zeri della funzione di guadagno dell'amplificatore
stesso. \`E quindi necessario scegliere reti RC che abbiano coppie di
zeri complessi coniugati, quali la rete a T in (a) o quella
complementare mostrata in (b).} \protect\label{filter_biquad_2}
\end{figure}

Esaminiamo la funzione di trasferimento della rete~(a).

Immaginiamo che il nodo $a$ sia aperto e che nel nodo b sia applicato
un segnale di tensione $v_b$. In tali condizioni, la corrente $i_r$ in
$R_3$ \`e uguale in modulo a quella che attraversa $C_2$. Avremo
allora:
\[
i=i_1+i_r
\]
e, indicando con $x$ il nodo comune alla resistenza $R_4$ ed ai
condensatori $C_1$ e $C_2$:
\[
v_x=v_b-\frac{i_1}{s C_1}=v_a-\frac{i_r}{s C_2}=R_4 i
\]
Da questa otteniamo le equazioni:
\begin{equation}
v_b-\frac{i_1}{s C_1}=R_4 (i_1 + i_r) \label{biquad_first}
\end{equation}

\begin{equation}
v_a - \frac{i_r}{s C_2}=R_4 (i_1 + i_r) \label{biquad_second}
\end{equation}

\`E inoltre:

\begin{equation}
v_a = v_b - R_3 i_r \label{biquad_third}
\end{equation}

da cui:

\begin{equation}
i_r=\frac{v_b-v_a}{R_3} \label{biquad_fourth}
\end{equation}

Sostituendo questa nelle~(\ref{biquad_first}) e~(\ref{biquad_second}), si
ottiene:

\begin{equation}
v_b-i_1 \left(R_4 + \frac{1}{s C_1}\right)=R_4 \frac{v_b-v_a}{R_3}
\label{biquad_fifth}
\end{equation}

\begin{equation}
v_a-R_4 i_1 = \left(R_4 + \frac{1}{s C_2}\right) \frac{v_b-v_a}{R_3}
\label{biquad_sixth}
\end{equation}

Ricaviamo ora $i_1$ dalla~(\ref{biquad_sixth}) e sostituiamo
nella~(\ref{biquad_fifth}):

\[
i_1= \frac{v_a}{R_4}-\left(1 + \frac{1}{s C_2 R_4} \right)
\frac{v_b-v_a}{R_3}
\]
\[
v_b - \left( R_4 + \frac{1}{s C_1}\right) \frac{v_a}{R_4} + \left(R_4
+ \frac{1}{s C_1}\right) \left(1+\frac{1}{s C_2 R_4}\right)
\frac{v_b-v_a}{R_3}=\frac{R_4}{R_3} (v_b - v_a)
\]
Da quest'ultima equazione si ottiene poi, con facili passaggi, la
relazione cercata tra $v_b$ e $v_a$:
\[
\frac{v_a}{v_b}=\frac{s^2 C_1 C_2 R_3 R_4 + s (C_1 R_4 + C_2 R_4) +
1}{s^2 C_1 C_2 R_3 R_4 + s[C_2 R_3 + (C_1 + C_2) R_4]+1}
\]
Dividendo infine numeratore e denominatore per $C_1 C_2 R_3 R_4$,
otteniamo:
\[
t(s)=\frac{v_a}{v_b}=\frac{s^2 + s \left(\frac{1}{C_1}+ \frac{1}{C_2}
\right) \frac{1}{R_3}+ \frac{1}{C_1 C_2 R_3 R_4}} {s^2 + s \left[ \left(
\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)\frac{1}{R_3}+\frac{1}{C_1 R_4} \right]+
\frac{1}{C_1 C_2 R_3 R_4}}
\]

I poli del filtro attivo avente la rete RC di
figura~\ref{filter_biquad_2}(a) nel circuito di feedback corrispondono
agli zeri del numeratore in tale espressione. Confrontando tale
numeratore con la forma tipica di un filtro di ordine 2:

\[
s^2 + s \frac{\omega_0}{Q_0} + \omega_0^2
\]

otteniamo la corrispondenza\footnote{\`E opportuno richiamare
l'attenzione sul fatto che la rete \emph{passiva} di
figura~\ref{filter_biquad_2}(a) ha il medesimo valore di
$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{C_1 C_2 R_3 R_4}}$ caratteristico del filtro
attivo, ma un diverso valore di $Q_0$. Infatti $Q_0$ \`e determinato
dal coefficiente che moltiplica il termine lineare in s nel
\emph{denominatore} della t(s), attraverso la relazione:
$\frac{\omega_0}{Q_0}=(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2})\frac{1}{R_3}+\frac{1}{C_1
R_4}$.}:

\[
\omega_0^2=\frac{1}{C_1 C_2 R_3 R_4}
\]
\[
Q_0=\sqrt{\frac{R_3 C_1 C_2}{R_4}} \frac{1}{C_1+C_2}
\]

I valori delle capacit\`a e delle resistenze possono quindi essere
scelti, facendo uso di tali relazioni, in modo da realizzare il tipo
di filtro desiderato.

\`E spesso conveniente, per comodit\`a, scegliere due condensatori di
uguale capa\-cit\`a:
\[
C_1=C_2=C
\]
Con ci\`o le espressioni precedenti divengono:
\[
\omega_0=\frac{1}{C \sqrt{R_3 R_4}}
\]
\[
Q_0=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{R_3}{R_4}}
\]
Vediamo da tali espressioni che la frequenza angolare $\omega_0$ \`e
determinata, oltre che da C, dal prodotto delle due resistenze, mentre
il valore di $Q_0$, indipendente dalla capacit\`a $C$, \`e determinato
dal loro rapporto.

La quantit\`a $\omega_0/Q_0$, legata alla larghezza di banda, \`e poi
data da:
\[
\frac{\omega_0}{Q_0}=\frac{2}{C R_3}
\]

\subsection{Implementazione dei diversi tipi di filtri ``biquad''}

Nella precedente sezione abbiamo discusso in termini del tutto
generali, il problema della realizzazione di un sistema di ordine 2
che abbia due poli complessi coniugati, adatti alla costruzione di
filtri attivi. Dobbiamo ora discutere il modo in cui il circuito
dovr\`a concretamente esser costruito, allo scopo di ottenere, a
seconda dei casi, filtri passa-basso, passa-banda etc.

 
A seconda del tipo di filtro che vogliamo realizzare, dovremo
immettere il segnale d'ingresso in un diverso punto del circuito. Nel
farlo teniamo presente che il gene\-ratore del segnale da filtrare
sar\`a con molta probabilit\`a un generatore di tensione, la cui
impedenza d'usci\-ta, nel caso di un generatore ideale, \`e nulla. Ci\`o
\`e importante, poich\'e questo vuol dire che l'inserimento del
generatore in corrispondenza ad uno dei punti di massa non altera i
poli e gli zeri del sistema rispetto a quelli calcolati in
precedenza. In figura~\ref{filter_biquad_4} il punto $a$ della rete
passiva di figura~\ref{filter_biquad_2} \`e collegato all'ingresso invertente dell'operazionale
(impedenza infinita) mentre il punto $b$ \`e collegato all'uscita
(impedenza quasi nulla). Con ci\`o i poli e gli zeri della rete
passiva non vengono alterati.  Possiamo quindi, con tale struttura,
ottenere un filtro attivo.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/filter_biquad_4.eps,width=6.0 cm,
height=6.0 cm}}\end{center}
\caption{Filtri di tipo diverso dal passa-basso possono essere
ottenuti dalle configurazioni circuitali mostrate in precedenza
iniettando il segnale in punti diversi del circuito. In figura il
segnale viene iniettato sull'ingresso non invertente
dell'amplificatore operazionale, ottenendo un filtro passa-banda.}
\protect\label{filter_biquad_4}
\end{figure}


La funzione di trasferimento di tale filtro \`e il reciproco di quella
del filtro passivo analizzato.  Essa \`e data da:

\[
G(s)= \frac{s^2+s \left[ \left( \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \right)
\frac{1}{R_3} + \frac{1}{C_1 R_4}\right]+\frac{1}{C_1 C_2 R_3
R_4}}{s^2 + s \left( \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right) \frac{1}{R_3}+
\frac{1} {C_1 C_2 R_3 R_4}}
\]
Confrontando il denominatore di questa espressione con la funzione
quadratica caratteristica di un filtro di ordine 2:
\[
s^2 + s \frac{\omega_0}{Q_0} + \omega_0^2
\]
si ha, come sopra:
\[
\omega_0^2=\frac{1}{C_1 C_2 R_3 R_4}
\]
\[
Q_0= \left[ \frac{\sqrt{C_1 C_2 R_3
R_4}}{R_3}\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \right)\right]^{-1}
\]


e, ponendo $C \equiv C_1 = C_2$:

\[
\omega_0^2 = \frac{1}{C^2 R_3 R_4}
\]

\[
Q_0= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{R_3}{R_4}}
\]

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/filter_quad_5.eps,width=7.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Esempio di filtro passa-banda biquadratico\index{Filtro!
biquadratico} con definito il valore dei componenti. Si ottiene un
filtro con picco a 1181 Hz e larghezza di banda di 144 Hz.}
\protect\label{filter_quad_5}
\end{figure}

Con i valori di $C$, $R_3$ ed $R_4$ mostrati in
figura~\ref{filter_quad_5}, si trova:

\[
\omega_0^2=5.508\;10^7
\]
\[
Q_0=8.2
\]
\[
\frac{\omega_0}{Q_0} \cong 905
\]
Cio\`e:
\[
f_0=\frac{\omega_0}{2 \pi}=1181\;Hz
\]
La funzione di trasferimento acquister\`a la forma:
\[
G(s)=\frac{s^2+1.228\;10^5\,s+5.508\;10^7}{s^2+905\;s+5.508\;10^7}
\]
Vediamo che si tratta di un filtro passa-banda (con la risposta che
tende ad 1 per $s \rightarrow 0$ e per $s \rightarrow \infty$, e con
un picco attorno a 1181~Hz). La larghezza di banda \`e: $\Delta f =
\omega_0/(2 \pi Q_0)=144\;Hz$.

Il risultato della simulazione di tale filtro, facendo uso di microcap
\`e mostrato in figura~\ref{filter_quad_5_out}. Da un'analisi dei
grafici si vede che la fase passa da circa $+80^o$ a $-80^o$ quando si
attraversa il valore $f_0$, in corrispondenza al quale si ha un picco
nel modulo della risposta.






\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/filter_quad_5_out.eps,width=7.0 cm,
height=9 cm}}\end{center}
\caption{Risultato della simulazione del filtro reale biquadratico
descritto nel testo. Grafico in alto: sfasamento dell'uscita rispetto
all'ingresso, grafico centrale: guadagno espresso in Decibel, grafico
in basso: guadagno espresso in scala lineare, il tutto in funzione
della frequenza.} \protect\label{filter_quad_5_out}
\end{figure}



Un collegamento alternativo, che realizza ancora una volta un filtro
passa-banda, \`e quello mostrato in figura~\ref{filter_biquad_3}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/filter_biquad_3.eps,width=11.0 cm,
height=9.0 cm}}\end{center}
\caption{Esempio di configurazione alternativa, in cui il segnale
viene iniettato tramite una resistenza nel punto di congiunzione dei
due condensatori in parallelo.} \protect\label{filter_biquad_3}
\end{figure}

Calcoliamo, facendo uso dei simboli per tensioni e correnti indicati
nella figura, la funzione di trasferimento di tale circuito.

Ricordando che \`e $v_-=v_+=0$ abbiamo:
\begin{equation}
v_x=v_i-r i_i = R i_R \label{biquad_filter_split_0}
\end{equation}
dove:
\[
i_R=i_i-i_0
\]
Per cui:
\[
v_x=R i_i - R i_0
\]
da cui:
\begin{equation}
i_0=i_i-\frac{v_i}{R} + r \frac{i_i}{R}=i_i(1+\frac{r}{R}) -
\frac{v_i}{R} \label{biquad_filter_split_1}
\end{equation}

\`E poi anche:
\begin{equation}
v_x=\frac{i_2}{s C_2}=-\frac{i_2-i_0}{s C_1} + v_0
\label{biquad_filter_split_2}
\end{equation}
nonch\'e:
\begin{equation}
v_0=- R_3 i_2 \label{biquad_filter_split_3}
\end{equation}
\begin{equation}
i_2=-\frac{v_0}{R_3} \label{biquad_filter_split_4}
\end{equation}

Dalle equazioni~(\ref{biquad_filter_split_0})
e~(\ref{biquad_filter_split_2}) si ottiene:
\begin{equation}
\frac{i_2}{s C_2}=v_i-r i_i \label{biquad_filter_split_5}
\end{equation}

Sostituendo in questa ad $i_2$ l'espressione ottenuta
dalla~(\ref{biquad_filter_split_4}), otteniamo poi:
\begin{equation}
-\frac{v_0}{s C_2 R_3}=v_i-r i_i \label{biquad_filter_split_6}
\end{equation}

Dalle~(\ref{biquad_filter_split_2}) e~(\ref{biquad_filter_split_0}) si ha
poi:
\[
v_0+\frac{i_0}{s C_1} - \frac{i_2}{s C_1}= R i_i - Ri_0
\]
cio\`e:
\[
v_0+\frac{i_0}{s C_1}+\frac{v_0}{s C_1 R_3}=R i_i - R i_0
\]
da cui:
\begin{equation} 
v_0 \left(1+\frac{1}{s C_1 R_3}\right) = R i_i - i_0
\left(R+\frac{1}{s C_1}\right) \label{biquad_filter_split_7}
\end{equation}

Sostituendo in questa, ad $i_0$
l'espressione~(\ref{biquad_filter_split_1}), si ottiene:
\[
v_0 \left(1+\frac{1}{s C_1 R_3}\right) = R i_i - \left(R+\frac{1}{s
C_1}\right) i_i \left(1+\frac{r}{R}\right) + \left(R+\frac{1}{s
C_1}\right) \frac{v_i}{R}
\]
dove, come segue dalla~(\ref{biquad_filter_split_6}):
\[
i_i=\frac{v_i}{r} + \frac{v_0}{s C_2 R_3 r}
\]
Si ottiene quindi:
\[
v_0 \frac{1+s C_1 R_3}{s C_1 R_3} = \frac{R}{r} v_i + \frac{R v_0}{s
C_2 R_3 r} -
\]
\[
- \frac{s R C_1 + 1}{s C_1} \left(1 + \frac{r}{R}\right)
\frac{v_i}{r}- \frac{s R C_1 + 1}{s C_1} \left(1 + \frac{r}{R}\right)
\frac{v_0}{s C_2 R_2 r} +
\]
\[ 
+ \frac{s R C_1 + 1}{s C_1} \frac{v_i}{R}
\]

Questa equazione fornisce la relazione cercata tra $v_i$ e $v_0$. Si
trova:
\[
G(s)=\frac{v_0}{v_i} = -\frac{s/r C_1}{s^2 + 2 s \frac{C_1+C_2}{C_1
C_2} \frac{1}{R_3} + \frac{r+R}{C_1 C_2 r R R_3}}
\]

Se le resistenze $r$ ed $R$ sono ottenute dalla divisione di un'unica
resistenza $R_4$ in due elementi in parallelo:
\[
R=\frac{R_4}{1-\alpha}
\]
\[
r=\frac{R_4}{\alpha}
\]
si ottiene:
\[
G(s)=-\frac{s \alpha/C_1 R_4}{s^4 + 2 s
\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right) \frac{1}{R_3}+ \frac{1}{C_1
C_2 R_3 R_4}}
\]





\section{Filtri attivi a retroazione multipla}
\index{Filtro! a retroazione multipla} I filtri che abbiamo fin qui
esaminato fanno uso di una rete RC o CR all'ingresso non invertente di
un amplificatore e di una ulteriore rete CR o RC all'ingresso
invertente. In quest'ultima uno degli elementi passivi \`e collegato
all'uscita dell'amplificatore, fornendo in tal modo un feedback.

I filtri a retroazione multipla utilizzano due feedback separati ed un
amplificatore invertente. Un esempio di filtro passa-basso a
retroazione multipla \`e mostrato in figura~\ref{retro_multi_bas}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/retro_multi_bas.eps,width=10.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Esempio di configurazione circuitale relativa ad un filtro a
retroazione multipla.  Si notino gli elementi $R_3$ e $C_2$ che
determinano la retroazione.}  \protect\label{retro_multi_bas}
\end{figure}


Per ottenere la funzione di trasduzione di questo circuito,
applichiamo il teorema di Kirchoff al nodo indicato con A.

\[
\frac{v_i-v_A}{R_1} + \frac{v_o-v_A}{R_3} -
\frac{v_A}{Z_{C_1}}-\frac{v_A}{R_2} \:=\:0
\]


Dove si \`e fatto uso della condizione $v_+ = v_- = 0$. Da questa si
ottiene:\[ v_A
\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+sC_1\right) \:=\:
\frac{v_i}{R_1} + \frac{v_o}{R_3}
\]
Applicando la medesima equazione di Kirchoff al nodo B (ingresso
invertente dell'A.O.), troviamo:
\[
v_A \:=\: -s C_2 R_2 v_o
\]
Da queste equazioni si trova poi:
\[
\frac{v_o}{R_3} \:=\: -\frac{v_i}{R_1}-s C_2 R_2 v_o
\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+s C_1\right)
\]
\[
A_v\:=\:\frac{v_o}{v_i}\:=\:-\frac{1}{R_1}\frac{1}{\frac{1}{R_3}+ s
C_2 R_2(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3})+s^2C_1 C_2 R_2}
\]
\[
A_v \:=\: \frac{-1}{\left[C_1 C_2 R_1
R_2\right]\left[s^2+s\frac{1}{C_1}
\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)+\frac{1}{C_1
C_2 R_2 R_3}\right]}
\]
Dal confronto di questa con la funzione caratteristica del filtro
passa-basso:
\[
G(s)\:=\:\frac{A_0 \omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q_0}s + \omega_0^2}
\]
si trova:
\[
\omega_0\:=\:\frac{1}{\sqrt{C_1 C_2 R_2 R_3}}
\]
\[
\frac{\omega_0}{Q_0}\:=\:\frac{1}{C_1}
\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)
\]
Da queste si ottiene poi:
\[
\frac{1}{Q_0}\:=\:\sqrt{\frac{C_2}{C_1}}\left[\sqrt{\frac{R_2}{R_3}}+
\sqrt{\frac{R_3}{R_2}}+\sqrt{\frac{R_2 R_3}{R_1}}\right]
\]\[
A_0\:=\:-\frac{R_3}{R_1}
\]
Vediamo che il guadagno alle basse frequenze \`e quello di un
amplificatore invertente realizzato con le sole resistenze $R_1$ ed
$R_3$. La pulsazione di taglio $\omega_0$ non dipende invece dalla
resistenza $R_1$.




La figura~\ref{retrout_multi_bas} mostra l'andamento del guadagno di
un tale circuito in funzione della frequenza, con la seguente scelta
del valore dei componenti: $R_1=1.5 M\Omega$, $R_2=1.2 M\Omega$,
$R_3=3.3 M\Omega$, $C_1=47 nF$ e per valori di $C_2$ variabili tra
22~nF (curva 1) e 220~nF (curva 11).  A tale scelta di valori
corrispondono valori di $\omega_0$ e $Q_0$ che variano tra gli estremi
dati da:
\begin{itemize}
\item{per $C_1=22~nF \rightarrow \omega_0 \approx 16~Hz\;,\;Q_0\approx
0.19$}
\item{per $C_1=220~nF \rightarrow \omega_0 \approx 5~Hz\;,\;Q_0\approx
0.61$}
\end{itemize}

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/retrout_multi_bas.eps,width=10 cm,
height=12 cm}}\end{center}
\caption{Andamento del guadagno del filtro passa-basso a retroazione
multipla descritto nel testo.  Le curve sono ottenute variando
linearmente il valore di $C_1$ da 22 nF (curva 1) a 220 nF (curva 11).}
\protect\label{retrout_multi_bas}
\end{figure}

\section{Filtri notch}

Spesso \`e necessario realizzare dei filtri che eliminino segnale
compresi in un intervallo di frequenze molto stretto. Questi sono noti
come filtri ``notch''.

L'idea su cui il pi\`u noto dei filtri di questo tipo \`e basata, \`e
quella del circuito RC a doppia T, mostrato in figura~\ref{double_t}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/double_t.eps,width=10.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Configurazione circuitale relativa al filtro notch, ossia un
tipo di filtro elimina-banda molto stretto. Questa particolare
configurazione, puramente passiva, si basa sul circuito RC a doppia
T.} 
\protect\label{double_t}
\end{figure}



Si pu\`o vedere che questo circuito taglia le frequenze corrispondenti
alla risonanza:
\[
f_0\:=\:\frac{1}{2 \pi RC}
\]
In corrispondenza a tale frequenza il ramo superiore A-X-B e quello
inferiore A-Y-B introducono sfasamenti uguali ed opposti. Ne segue che
in B il segnale risultante si annulla. Ci\`o \`e mostrato in
figura~\ref{double_t_out}. I diagrammi di Bode per il modulo (grafico
superiore) e la fase (grafico inferiore) della funzione di
trasferimento di tale circuito confermano quanto asserito. Come si
vede, il diagramma di Bode per il modulo ha una brusca caduta
(intaglio o ``notch'') alla frequenza di risonanza.  In corrispondenza
a tale frequenza la fase subisce un'improvvisa variazione di $+\pi$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/double_t_out.eps,width=9.0 cm,
height=10.0 cm}}\end{center}
\caption{Diagrammi di Bode relativi al filtro notch passivo descritto
nel testo. Grafico in alto: guadagno, grafico in basso: sfasamento in
funzione della frequenza.} \protect\label{double_t_out}
\end{figure}


Il circuito mostrato nella figura~\ref{notch_op_amp} \`e una
implementazione di tale filtro con l'ausilio di un amplificatore
operazionale.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/notch_op_amp.eps,width=12.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Implementazione del filtro notch con l'ausilio di un
amplificatore operazionale.} \protect\label{notch_op_amp}
\end{figure}

La funzione di trasferimento di questo circuito \`e:
\[
G(s)\:=\:\frac{A_v(s^2+\omega_0^2)}{s^2 + \frac{\omega_0}{Q_0} s +
\omega_0^2}
\]
con:
\[
A_v\:=\:1 + \frac{R_b}{R_a}
\]
\[
\omega_0\:=\:\frac{1}{RC}
\]
\[
Q_0\:=\:\frac{1}{2(2-A_v)}
\]
Il $Q_0$ del sistema \`e determinato dal guadagno $A_v$
dell'amplificatore.  Notiamo che $A_v$ deve essere minore di 2 se si
vuole un circuito stabile.


La figura~\ref{notch_op_amp_out} mostra un esempio di plot di Bode
(modulo e fase) per tale circuito.

In tale esempio i valori dei componenti sono tali che $RC=1000$,
$A_v=0.5$, e quindi: $f_0=159$~Hz e $Q_0=0.333$.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/notch_op_amp_out.eps,width=10.0 cm,
height=11 cm}}\end{center}
\caption{Diagrammi di Bode relativi al filtro notch basato su
amplificatore operazionale descritto nel testo. Grafico in alto:
guadagno, grafico in basso: sfasamento in funzione della frequenza.}
\protect\label{notch_op_amp_out}
\end{figure}


Filtri notch sono disponibili in commercio nella forma di moduli
pronti all'uso, con frequenze che vanno da 1~Hz a 50~kHz, con
``profondit\`a'' del notch di circa 60~dB.

Un filtro notch, regolabile su di un intervallo di frequenze pi\`u
ampio di quello del filtro a T, \`e quello~(\cite{ElectronicD})
mostrato in figura~\ref{notch_mancini}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/notch_mancini.eps,width=12.0 cm,
height=7 cm}}\end{center}
\caption{Esempio di configurazione circuitale che implementa un filtro
Notch facente ricorso ad una rete RC e ad un follower basato su
operazionale. Si noti che questo genere di circuito pu\`o essere
utilizzato in scale di frequenze molto pi\`u elevate del circuito
Notch a doppio T.} \protect\label{notch_mancini}
\end{figure}

Per questo circuito la frequenza di risonanza \`e:
\[
f_0\:=\:\frac{1}{2 \pi C \sqrt{3 R_1 R_2}}
\]
con:
\[
R_1=R_{1A}+R_{1B}
\]
ed:
\[
R_6\:=\:6(R_1+R_2)
\]
Una tipica funzione di trasferimento di questo circuito \`e mostrata
in figura~\ref{notch_mancini_out}.

\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/notch_mancini_out.eps,width=10.0 cm,
height=10 cm}}\end{center}
\caption{Diagrammi di Bode relativi al filtro notch descritto nel
testo. Grafico in alto: guadagno, grafico in basso: sfasamento in
funzione della frequenza.} \protect\label{notch_mancini_out}
\end{figure}

\section{Filtri a condensatori commutati}

Negli ultimi anni hanno avuto larga diffusione filtri in cui le
resistenze sono sostituite da condensatori che vengono, con
l'applicazione di opportuni impulsi, rapidamente caricati e
scaricati. Questi sono noti come \emph{Switched-Capacitor Filters}
(Filtri a condensatori commutati).  \index{Filtro! a condensatori
commutati} Esistono vari motivi per tale scelta. Un primo motivo, di
ordine pratico, \`e nel fatto che nella realizzazione di un filtro
sotto forma di circuito integrato \`e opportuno limitare l'uso di
resistenze che, oltre ad essere poco precise, occupano sul chip uno
spazio notevole. \'E facile invece, come vedremo tra poco, simulare
una resistenza mediante un condensatore commutato.

Un secondo motivo di tale scelta \`e nel fatto che un filtro a
condensatori commutati pu\`o, modificando semplicemente la frequenza
degli impulsi di clock che caricano e scaricano il condensatore,
fornire la frequenza di taglio $\omega_0$ desiderata, senza alcuna
modifica degli elementi passivi presenti.

Per capire come un condensatore commutato possa simulare una
resistenza, si consideri il circuito di figura~\ref{swcap1}


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/swcap1.eps,width=9.0 cm,
height=6 cm}}\end{center}
\caption{Configurazione circuitale a condensatori commutati. Gli
interruttori sono supposti essere complementari: quando uno \`e aperto
l'altro \`e chiuso e viceversa ed il loro comando avviene tramite un
segnale esterno di frequenza nota $f_ck$.} \protect\label{swcap1}
\end{figure}


Gli interruttori $S_1$ ed $S_2$ (implementati con transistor FET sul
chip) sono complementari: quando $S_1$ \`e chiuso, $S_2$ \`e aperto e
viceversa.  Con $S_1$ chiuso la tensione (varia\-bile) presente
all'ingresso $V_i$ carica il condensatore C. La carica del
condensatore \`e:
\[
q\:=\:V_i\:C
\]
tale carica si accumula nel tempo T/2 durante il quale $S_1$ \`e
chiuso.  Nel successivo intervallo T/2, $S_1$ \`e aperto, $S_2$ chiuso
ed il condensatore si scarica. La corrente media nel tempo T sar\`a
quindi:
\[
\overline{I}\:=\:\overline{I}_{out}\:=\:\overline{I}_{in}\:=\:\frac{q}{T}\:=\:
\frac{V_i C}{T}\:=\:V_i C \;f_{ck}
\]
con: $f_{ck}=1/T$.

La resistenza equivalente vista dalla sorgente $V_{in}$ \`e allora:
\[
R\:=\:\frac{V_i}{\overline{I}}\:=\:\frac{1}{C f_{ck}}
\]
Vediamo quindi che R \`e una funzione di C e di $f_{ck}$. Fissato C,
la resistenza pu\`o esser modificata semplicemente modificando la
frequenza $f_{ck}$.

Notiamo che le variazioni di $V_{in}$ debbono avvenire in tempi molto
pi\`u lunghi di T. Nella pratica, se $f_{max}$ \`e la massima
frequenza contenuta in $V_{in}$, si sceglie valori di $f_{ck}$
compresi tra 50 e 100 volte $f_{max}$.

Un esempio dell'uso di un condensatore commutato per realizzare un
integratore \`e mostrato nella figura~\ref{swcap2}.


\begin{figure}[h!]
  \begin{center}\mbox{\epsfig{file=filtri/swcap2.eps,width=12.5 cm,
height=5 cm}}\end{center}
\caption{Esempio di circuito integratore ottenuto utilizzando una
configurazione a condensatore commutato. L'invertitore $D_1$ ha lo
scopo di chiudere $S_2$ quando $S_1$ \`e aperto. Questo circuito
presenta il vantaggio che la costante di integrazione \`e
proporzionale alla frequenza del clock di commutazione, e quindi
risulta molto semplice adattare il circuito alle varie esigenze senza
dover cambiare i valori dei componenti passivi.} \protect\label{swcap2}
\end{figure}

L'invertitore $D_1$ ha lo scopo di chiudere $S_2$ quando il segnale di
clock apre $S_1$. La resistenza associata al condensatore commutato
$C_1$ \`e, come visto:
\[
R\:=\:\frac{1}{C_1 f}
\] 
dove f \`e la frequenza del clock.

Il segnale in uscita sar\`a quindi:
\[
V_{out}\:=\:-\frac{1}{R C_2}\;\int{V_{in}
dt}\:=\:-f\frac{C_1}{C_2}\;\int{V_{in} dt}
\]
Vediamo che la costante che moltiplica l'integrale di $V_{in}$ dipende
dalla frequenza e \emph{dal rapporto delle capacit\`a}. Ci\`o \`e un
importante vantaggio rispetto all'utilizzo di un integratore che
utilizza una resistenza ed una capacit\`a poich\'e, mentre non \`e
facile realizzare in un integrato un condensatore (o una resistenza)
preciso e stabile, \`e molto pi\`u agevole realizzare due capacit\`a
il cui rapporto lo sia.  Il risultato di ci\`o \`e che sono
disponibili in commercio filtri a condensatori commutati il cui costo
\`e molto inferiore a quello di filtri convenzionali.
\newline
Un secondo vantaggio dei filtri di questo tipo \`e, come accennato,
nel fatto che essi consentono di regolare la frequenza di taglio
(quella superiore in filtri passa-basso, quella inferiore in filtri
passa-alto etc), con la semplice modifica della frequenza f del
segnale di clock.  Infatti, come visto, tale modifica equivale a
cambiare la resistenza equivalente R e quindi la costante che
moltiplica l'integrale di $V_{in}$.
\newline
Filtri a condensatori commutati sono disponibili in commercio sia in
versioni dedi\-cate, in cui la configurazione (passa-basso, passa-alto,
passa-banda etc.) \`e fissata, che in versioni ``universali'', che
possono essere adattate a realizzare il filtro che si desidera
aggiungendo esternamente i componenti opportuni.
\newline
Un problema che \`e presente nei filtri a condensatori commutati \`e
l'influenza del segnale di clock su quello in uscita. Ammettiamo ad
esempio di voler realizzare un filtro passa-basso, con una frequenza
di taglio superiore di 1~kHz e di utilizzare un filtro a condensatori
commutati con una frequenza di clock di 100~kHz. Se il segnale che si
vuol filtrare ha componenti di Fourier nella zona 99-101~kHz,
osserveremo all'uscita del filtro un segnale spurio, non attenuato,
con frequenze inferiori ad 1~kHz. A tale fenomeno si da il nome di
\emph{aliasing}.  \index{Aliasing}






